Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Neue LSG zur logistischen Abbildung
Hi
Vorbemerkung
**********
Die logistische Gleichung ist der einfachste Prototy einer nichtlinearen Differenzengleichung-
y[k+1]=a*y[k]*(1-y[k])
Die Gleichung ist fuer alle a analytisch unsloesbar. Fuer einen Speziallfall a=2
laesst sich die Gleichung jedoch loesen.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/wiki1.gif
Der Loesungsweg ist hier dargestellt:
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/ana_index.htm
Skizze des Loesungsweges
********************
Dabei wird untersucht ob es einen Fall gibt in dem die veketteten Uebertagungspolynome eine einzige 2^n fache Nullstelle beim Schnitt mit dem invarianten Anfangswert aufweisen.
Es laesst sich ausnutzen, dass die Iteration der Umkehrfunktion genau den Nullstellen des n-fach verketteten Polynoms entspricht.
(Dieses Polynom stellt auch die Werte aller Anfangswerte im Schritt n dar )
Fuer den Parameterwert a=2 liegt tatsaechlich der Fall einer einzigen mehrfachen Nullstelle vor und damit laesst sich die Loeung der Gleichung sofort ermitteln.
Das selbe Verfahren soll nun auf die einfach verkettete logistische Gleichung angewendet werden. Diese erhaelt man, wenn man in der Gleichung
y[k+1]=a*y*(1-y)
y durch y[k+1]=a*y[k]*(1-y[k])
ersetzt.
Anschaulich entspricht dies einer Zusammenfassung zweier Iterationsschritte der logistischen Gleichung.Man erhaelt die DZGL :
1) y[k+1]=a^2*y[k]*(1-y[k])*(1-a*y[k]*(1-y[k]))
***************************************
Diese Gleichung besitzt fuer a=2 dementsprechend die selbe Loesung wie die
logistische Gleichung. Im folgenden wird gezeigt, dass weitere Parameter a
auf eine einzige mehrfache Nullstelle des Uebertragumgspolynoms fuehren.
Jedoch erfuellt nur der Parameter 2 alle Loesungszweige.
Und daher laesst sich auf diesem einfachen Wegt keine neue Loesung ermitteln.
Ich lasse die Rechnung dennoch hier mal setehen.
Anmerkung
********
Es muessen in der Berechnung die Nullstellen von Polynome 4 ten Grades berechnet werden.
Weiterhin werden etwas laengere Terme auftreten, so dass die Berechnung nur mit einem
analytischen Hilfsprogramm (MAPLE) in akzeptabler Zeit (ein Nachmittag) moeglich ist.
Die Formeln im ASCI Code sind natuerlich recht unleserlich.
Dafuer koennen diese sofort in das Programm Maple uebertragen werden.
Da das Ergebnis nun doch positiv ausgefallen ist, werde ich diese in einer folgenden Version durch besser lesbare Grafiken ersetzen.
Grundgedanke:
Die Methode, mit der ich die logistische Gleichung fuer den Parameter a=2 loesen
konnte moechte ich nun auf die erste Verkettung der logistischen Gleichung anwenden.
Ausgangspunkt ist somit die DZGL:
1) y[k+1]=a^2*y[k]*(1-y[k])*(1-a*y[k]*(1-y[k]))
***************************************
Die DZGL ist erster Ordnung und die Uebertragungsfunktion ein Polynom 4 ter Ordnung.
Die Vorgehensweise zur Loesung der logistischen Gleichung fuer r=2 war folgende :
1) Bestimmen der invarianten Anfangswerte aus y[k+1]-y[k]=0
2) Bilden der Umkehrfunktion der Abbildung.
Diese stellen die Nullstellen des verketteten Polynoms beim Schnitt mit dem Anfangswert
dar. (Das wird noch naeher erklaert)
3) Lassen sich Bedingungen finden, dass die Nullstellen konstant sind, so bedeutet dieser
Fall, dass das Polynom eine einzige mehrfache Nullstelle aufweist.
Dies soll fuer ein festes a gelten.
Damit ist eine Loesung der logistischen Abbildung gefunden.
Damit sind :
- In der Umkehrfunktion fuer y die invarianten Anfangswerte einzusetzen
- Unter dieser Voraussetzung die Funktion konstant zu halten.
(Es gibt weitere Moeglichkeiten identische Nullstellen zu erzeugen ! )
Diese solllen gesondert untersucht werden.
************************************************** *
Dass die Inverse Rekursion der Abbildung die Nullstellen des verketteten
Polynoms darstellen wird hier gezeigt :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/lsg1.htm
************************************************** *
Bestimmen wir also zunaechst die invarianten Anfangswerte der Gleichung 1
y[k+1]=a^2*y[k]*(1-y[k])*(1-a*y[k]*(1-y[k]))
Aus y[k+1]-y[k]=0 erhalten wir die Bestimmungsgleichung fuer diese :
a^2*x-a^3*x^2+2*a^3*x^3-a^2*x^2-a^3*x^4-x = 0
Ein Polynom 4 ter Ordning, dass wir mit MAPLE loesen :
Wir erhalten fuer die Iteration folgende invariante Anfangswerte :
0
i) (a-1)/a,
ii) (1/2*a+1/2+1/2*(a^2-2*a-3)^(1/2))/a,
iii) (1/2*a+1/2-1/2*(a^2-2*a-3)^(1/2))/a
(Formel als Grafik folgt noch)
Nun bestimmen wir die Nullstellen des veketteten modifizierten Polynoms :
Dazu muessen wir die Umkehrfunktion eines Polynoms 4 ter Ordnung bilden und erhalten
4 Loesungszweige :
Es waere auch moeglich die Rueckwaertsiterrierte einfach zu verketten:
1) lsg1=y[k+1]=1/2*(a^2+(a^2*(a^2-2*a+2*(-a*(-a+4*y[k]))^(1/2)))^(1/2))/a^2
2) lsg2=y[k+1]=1/2*(a^2-(a^2*(a^2-2*a+2*(-a*(-a+4*y[k]))^(1/2)))^(1/2))/a^2
3) lsg3=y[k+1]=1/2*(a^2+(-a^2*(-a^2+2*a+2*(-a*(-a+4*y[k]))^(1/2)))^(1/2))/a^2
4) lsg4=y[k+1]=-1/2*(-a^2+(-a^2*(-a^2+2*a+2*(-a*(-a+4*y[k]))^(1/2)))^(1/2))/a^2
Diese Loesungen stellen Iterationen dar, die die Nullstellen erzeugen.
Damit diese Konstant bleiben sind fuer y[k] jeweils die ermittelten Attraktoren einzusetzen und unter dieser Bedingung alle Ausdruecke unter der Wurzel gleich 0 zu setzen.
(Formel als Grafik folgt noch)
Wir erhalten somit ohne die Null 12 Bestimmungsgleichungen fuer a:
(3 invariante Anfangswerte fuer 4 Gleichungen )
deren Loesungen fuer a hier angegeben sind. Fuer diese Werte von a laesst sich die
verkettete logistische Abbildung analytisch Loesen :
1,i) a=0,0,2
1,ii)a=0, 0, 1+(1-4*I)^(1/2), 1-(1-4*I)^(1/2)
1,iii)a=0,0
2,i) a=0,0,2
2,ii) 0, 0, 1+(1-4*I)^(1/2), 1-(1-4*I)^(1/2)
2,iii) a=0, 0
3,0) a=0,0,4
3,i) a=0, 0, -2, 2
3,ii) a=0, 0, 1+(1+4*I)^(1/2), 1-(1+4*I)^(1/2)
3.iii) a=0, 0, 1-5^(1/2), 5^(1/2)+1 (Die zugehoerige Nullstelle lauten 1/2)
4,i) a=0, 0, -2, 2
4,ii) a=0, 0, 1+(1+4*I)^(1/2), 1-(1+4*I)^(1/2)
4,iii) a= 0, 0, 1-5^(1/2), 5^(1/2)+1
Zusammenfassung der Ergebnisse im naechsten Thread.
MAPLE CODE DER BERECHNUNGEN
*************************
> restart;
> N:=5; y[0]:=x;
> # Iteratives Erzeugen der Verketteten Uebertragungsfunktion
> for i from 0 to N do
> y[i+1]:=a*y[i]*(1-y[i]);
> od:
>
> # Bestimmen der 2 Schritt invarianten Attraktoren
> yoi:=solve( y[2]-y[0]=0,x);
>
> #Bestimmen der inversen Funktion der 2-fachen Variante :
> #yo entspricht im vorherigen Text y[k]
> lsg:=(solve(y[2]=y0,x));
>
> # Im folgenden ist etwas Handarbeit erforderlich
> # Die invarianten Anfangswerte yoi[1..4] muessen
> # in die inverse Iterierte lsg[1..4] fuer y0 substituiert werden
> # Hier als Beispiel der 4 te invariante Anfangswert in den 4 ten Loesungszweig
> subs(y0=yoi[4],lsg[4]);
> # Man erhaelt einen laengeren Ausdruck in dem der Teil
> # nach dem ersten Additionszeichen im Zaehler zu Null
> # gesetzt werden muss, um zu gewaehrleisten, dass die
> # iterativ berechnete Nullstelle konstant bleibt.
> # Den Ausdruck kann man aus dem obigen Ergebnis kopieren
> # und in den folgenden Gleichungsloeser ensetzen :
> solve( kopierter Ausdruck=0,a);
> # Man erhaelt die Werte fuer a, die die vorausgesetzten
# Bedingungen erfuellen
Recht kurz oder ?
FERTIG :-)
Hi richy,
Du solltest unbedingt- bevor Du tonnenweise Krams postest- genau darüber Nachdenken:
Motivation:
-Was will ich zeigen? Wo will ich hin?
-Warum will ich das zeigen?
Methode:
-Mit welchen Methoden zeige ich das?
-Welche Annahmen mache ich?
-Welche Probleme treten auf?
Ergebnis:
-Was kommt raus?
-Entspricht das Ergebnis meinen Erwartungen?
-Kann man das noch verbessern?
Davon kann man ggf. abweichen, in jedem Fall ist eine Einleitung, wie etwa:
Die folgenden Berechnungen sind recht komplex. Es geht dabe um eine weitere Loesung der Verhulst Gleichung, logistischen Abbildung. Bzw um eine Variante dieser, die ch noch erlauetern werde.
ein förmlicher Rausschmiss.
Mach das lieber nochmal und erzähl was Du eigentlich machen willst und warum du es so machst, wie du es machst.
CONCLUSION
**********
Die Methode funktioniert fuer die verkettete DZGL leider nicht, das keiner der Parameter a
alle Loesungszweige erfuellt.
Hi Hamilton
Ich verstehe deinen Einwand.
Du solltest unbedingt- bevor Du tonnenweise Krams postest- genau darüber Nachdenken:
Die Zusammenhaenge in meiner neuen Berechnung sind sehr komplex.
Es wundert mich daher auch nicht, dass du sie nicht verstehst.
Das ist mir aber eher egal, da es mir genuegt zu wissen was ich denn da mache.
Es ist kein Kram den ich hier poste, denn natuerlich habe ich mir zuvor
Gedanken ueber meine Vorgehensweise gemacht.
( Das habe ich auch in der Einleitung schon bemerkt )
Ausserdem ist "Kram" eine persoenliche Beleidigung, die ich dir aber nicht uebel nehme..
Die Berechnungen hier sind leider nur fuer jemanden verstaendlich, der nachvollziehen kann, wie ich die logistische Gleichung fuer den Parameter a=2 geloest habe.
Du hast dir hierfuer anscheinend bisher nicht die Muehe gemacht.
Ich kann alle deine Fragen detailliert beantworten.
Aber ich vermute mal, du wirst kein einiges Wort davon verstehen.
Das ist aber nicht mein Problem sonders deines !
Ich weiss dass du ein herrvorragender Mathematiker bist, aber Chaostheorie und nichtlineare Differenzengleichungen scheinen nicht zu deinem Spezialgebiet zu gehoeren.
Das ist aber gerade mein Spezialgebiet. Wenn du Berechnungen hierzu, also einem Gebiet in dem du dich hicht auskennst, dann als Kram bezeichnet.
Dann spricht das nicht gerade fuer dich.
Aber wie gesagt ich nehme dir das nicht uebel.
Antworten auf deine spezielle Fragen im naechsten Thread.
@Hamilon
Im folgenden habe ich deine Anregungen versucht auf den Ausgangsthread zu uebertragen.
Damit sind die Antworten auf deine spezielle Fragen hier doppelt und ich habe sie geloescht.
Sorry wenn ich bischen ueberreagiert habe
Viele Gruesse
Hey Richy,
nun fühl dich mal nicht gleich so auf den Schlips getreten.
Zufällig ist Nonlinear Dynamics & Chaos genau mein Spezialgebiet. Es ist daher nicht so, dass ich nicht verstehen würde worum es geht und dass ich das nicht wertschätzen würde- ganz im Gegenteil, ich finde es toll, wenn sich Leute damit beschäftigen- es geht mir hier einfach um die Präsentation deiner Ergebnisse!
Lesen und Verstehen kostet viel Zeit, deshalb ist es die Aufgabe eines Wissenschaftlers, seine Arbeit so knapp und verständlich darzustellen, wie möglich. Andernfalls liest sich das keiner durch und das ist ja nicht das, was du willst, oder?
Deshalb hat ein wissenschaftl. Paper auch meistens einen bestimmten Aufbau:
(Abstract) - Intro, Methods, Results, Conclusion, Outlook ..
Wenn Du hier deine Ergebnisse veröffentlichst, finde ich das ja gut! Aber du tust dir mit der Art, wie du es hier präsentierst selber keinen Gefallen, weil sich das so, wie es hier steht, niemand durchlesen wird.
Daher: nimm meinen Rat an- überlege dir vorher, worum es geht, was willst du zeigen? Was ist neu, an dem was du machst? Wie gehst du vor und was kommt dabei raus? Interpretiere dein Ergebnis.
Tonnenweise Rechnungen wird sich erst jemand durchlesen und nachvollziehen, wenn klar ist, dass sich das lohnt. Es ist deine Aufgabe, diese Motivation zu erzeugen!
Und häng dich nicht an dem Wort "Kram" auf- das war nicht böse gemeint, ich sage zu allen möglichen Dingen "Kram".
Hey Richy,
Zufällig ist Nonlinear Dynamics & Chaos genau mein Spezialgebiet. Es ist daher nicht so, dass ich nicht verstehen würde worum es geht und dass ich das nicht wertschätzen würde- ganz im Gegenteil, ich finde es toll, wenn sich Leute damit beschäftigen- es geht mir hier einfach um die Präsentation deiner Ergebnisse!
Lesen und Verstehen kostet viel Zeit, deshalb ist es die Aufgabe eines Wissenschaftlers, seine Arbeit so knapp und verständlich darzustellen, wie möglich. Andernfalls liest sich das keiner durch und das ist ja nicht das, was du willst, oder?
Deshalb hat ein wissenschaftl. Paper auch meistens einen bestimmten Aufbau:
(Abstract) - Intro, Methods, Results, Conclusion, Outlook ..
Wenn Du hier deine Ergebnisse veröffentlichst, finde ich das ja gut! Aber du tust dir mit der Art, wie du es hier präsentierst selber keinen Gefallen, weil sich das so, wie es hier steht, niemand durchlesen wird.
Daher: nimm meinen Rat an- überlege dir vorher, worum es geht, was willst du zeigen? Was ist neu, an dem was du machst? Wie gehst du vor und was kommt dabei raus? Interpretiere dein Ergebnis.
Tonnenweise Rechnungen wird sich erst jemand durchlesen und nachvollziehen, wenn klar ist, dass sich das lohnt. Es ist deine Aufgabe, diese Motivation zu erzeugen!
Hallo richy,
dem habe ich nicht's hinzuzufügen.
Gruß EMI
Hi
Lesen und Verstehen kostet viel Zeit, deshalb ist es die Aufgabe eines Wissenschaftlers, seine Arbeit so knapp und verständlich darzustellen, wie möglich. Andernfalls liest sich das keiner durch und das ist ja nicht das, was du willst, oder?
Das mit der Zeit ist natuerlich ein Argument.Die ganze Rechnung ist zwar kein Hexenwerk, aber nun auch nicht ganz einfach. Ich will doch gerade, dass man es verstehen und nachvollziehen kann. Letzendlich auch wenn ich es mal wieder nachlese.Und deshalb hab ich ein bischen weit ausgeholt.
Ich versuche das ganze mal zu Kuerzen.
Dass hier Polynome 4 ter Ordnung auftreten und andere ziemlich ueble Ausdruecke kann ich aber auch nicht aendern.
Deswegen hab ich auch gleich zu anfang darauf hingewiesen, dass man die Berechnungen nur mit Maple durchfuehren kann.
Und klar ich muss die wichtigen Formeln noch als Grafik darstellen.
Ok, dann kuerze ich erstmal den Text und versuch morgen mal die Formeln reinzustellen.
Das Ergebnis waere wie gesagt, dass man die einfach verkettete logistische Gleichung fuer den Parameter a=1+Wurzel (5) loesen kann.
Das will ich aber auch erst noch genauer pruefen. Die hergeleiteten Bedingungen scheinen
mir nir notwendig, nicht hinreichend.
Viele Gruesse
Fertig:
Hoffe mal es ist nun verstaendlicher. Die wichtigsten Formeln als Grafik folgen noch.
Soll ich noch was weglassen oder ergaenzen ?
Ein wissenschaftliches Paper solls ja aber auch nicht gerade werden.
Hi
Ich habe das ganze nochmals uebrprueft.
Leider scheint die Vorgehensweise nicht mehr so einfach zu funktionieren.
Vermutlich muss der Parameter a eines invarianten Anfagswerts in allen Loesungszweigen 1-4 erfuellt sein.Diese Bedingung erfuellt aber einzigst a=2
Schade
Mal sehen ob ich dazu noch eine Idee habe.
Hi,
ich hab mir das mal flüchtig angesehen.
Das Ganze ist jetzt viel übersichtlicher - trotzdem habe ich einige Einwände. Z.B. Was sind Übertragungspolynome? Das ist kein allgemeiner Begriff.
Wenn ich das richtig verstehe, willst du (oder hast schon) eine geschlossene Form für die Lösung der logistischen Gleichung finden, also eine DZGL umformen in eine Form, die nur vom Anfangswert x0 abhängt und sofort das n-te Glied der Folge ausrechnet, ohne sich durch die ganzen Zwischenglieder zu hängen?!
Diese Art Lösung würde ich eher "geschlossene Form" nennen, statt analytisch. Analytisch bedeutet streng genommen etwas anderes.
Zunächst die Gute Nachricht: Deine Formel für a=2 ist richtig.
Nun die schlechte: Du bist leider nicht der erste...
http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html
Stephen Wolfram hat das schon gemacht und auch schon Lösungen für a=-2 und a=4 angegeben.
Ich hab mal ein bisschen rumgerechnet: Zur besseren Darstellung hier x=x_n
x_n+1
= 2x(1-x) = 2 ( x-x²)
= -2( (1/2-x)²-1/4)
= -2( (1/2-x)² - 1/4 )
=-1/2(1-2x)²+1/2 = 1/2 - 1/2 (1-2x)²
der letzte Ausdruck ist deiner Formel schon sehr ähnlich. In der Tat stellt sich raus, dass:
x_n+2 = 1/2 - 1/2 [1 - 1 + (1 -2x)(1-2x) ][1 - 1 + (1 -2x)(1-2x) ]= 1/2-1/2(1-2x)^4 etc..
so dass sich durch jede Iteration die Form nicht verändert, nur der Exponent an der Klammer verdoppelt sich jedes mal.
So, aber nun würde ich gerne deine Herleitung verstehen.
Ich hab deine Seite http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/lsg3.htm
gelesen jedoch:
Ich hab Probleme mit deiner Vorgehensweise und den Vokablen, die Du verwendest.
Also, ich glaube Dir ja, dass du diese Formel tatsächlich selbst erarbeitet hast, aber der Artikel dazu / die Herleitung hat damit ja überhaupt nichts zu tun. Du schreibst was von irgendwelchen Polynomen, von denen keiner weiß, wie sie aussehen, berechnest deren Schnittpunkte mit einer Konstanten- warum sagst du nicht- dann legst du fest- weil es schon schön einfach ist- dass es nur einen Schnuttpunkt höherer Ordnung gibt und rätst irgendwelche Konstanten und zum Schluss steht die fertige Formel da?!
Richy, das ist nichts- mach das nochmal!
Außerdem:
Die richtigen Nullstellen des Polynoms, also p(n)=0 gefallen mir nicht so sehr.
Sorry, aber sowas zu schreiben ist wirklich bescheuert!
Entweder die Nst. der Polynome tragen zur Lösung bei, oder nicht. Wenn nicht, kannst Du solche Sätze weglassen.
Kannst Du diesen Artikel bitte mal überarbeiten!?
Wenn das meiner wär, würde das später etwa so aussehen:
Für die Logistische DZGL x_n+1 = rx(1-x) kann für r=2 eine Lösung in geschlossener Form gefunden werden. Um diese zu erlangen, bediene man sich folgender Gegebenheiten: -- Die sollten dann alle fein säuberlich aufgelistet sein --
Danach folgt der kommentierte Lösungsweg- und zwar konkret und nachvollziehbar!
Die Kommentare sollten enthalten, was du warum machst.
Im jetzigen Zustand ist dein Artikel jedenfalls katastrophal!
Hi Hamilton
Erstmal vielen Dank fuer den Link :
http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html
(Ueber welche Stichwortehast du den gefunden ?)
Wenn ich das richtig verstehe, willst du (oder hast schon) eine geschlossene Form für die Lösung der logistischen Gleichung finden, also eine DZGL umformen in eine Form, die nur vom Anfangswert x0 abhängt und sofort das n-te Glied der Folge ausrechnet, ohne sich durch die ganzen Zwischenglieder zu hängen?!
Genau. Ich will einfach eine analytische Loesung der DZGL finden.
Und klar.Fuer a=2 habe ich wie Wolfram die Loesung schon gefunden.
Aber auf einem sehr viel einfacheren Weg.
Mit analytisch wollte ich aiudruecken, das es keine numerische Loesung sein soll.
Denn eine solche stellt die Iteration selbst schon dar,
Mach WIKI ist der Begriff in diesem Zusammenhang korrekt:
Die Lösung eines Problems wird als analytisch bezeichnet, wenn sie – im Gegensatz zu numerischen Lösungen – in Form von bekannten Funktionen, Konstanten etc. angeschrieben werden kann.
Der Ausdruck "geschlossene Loesung" bedeutet das selbe.
Nun die schlechte: Du bist leider nicht der erste...
Naja warum schlecht ? Die Seite die du gepostet hast ist klasse.
Ich war halt ein Jahre zu spaet dran. Meine Loesung ist von 2003
Ich dachte eher daran, dass irgendein Mathematiker oder Amateur schon sehr viel frueher den selben Loesungsansatz hatte.
Wolfram hat wohl einen komplizierteren Weg gewaehlt, aber das Ergebnis ist natuerlich das gleiche.
Denn exp(2^n*ln(g(x)))=g(x)x^(2^n)
Der Satz ist natuerlich besonders hilfreich :
R. Germundsson (pers. comm., Apr. 25, 2002) has proved that no other solutions of this form are possible.
Hmm was meinst du ?
Heist dies die Gl ist sonst tatsaechlich unsloesbar oder nur mit dieser Methode nicht.
Und die Loesung fuer 4 ist super !
Haette ich nie fuer moeglich gehalten, dass es die gibt. *bin begeistert
http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LogisticMap/Inline29.gif
Auch ueber den Loesungsansatz.
http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LogisticMap/NumberedEquation3.gif
Wolfram scheint diesen postuliert zu haben.
Waere interessant zu wissen wie er darauf gekommen ist.
Was sind Übertragungspolynome?
Die Iteration hat eine Uebertragungsfunktion und diese stellt in der logistischen GL. ein quadratisches Polynom dar. Wolfram nennt die Polynome x(n)
Die verketteten Polynome x(x(x(x()))) vom Grad 2^n bilden den Schluessel zur Loesung der DZGL.
.
Ich habe x(n) als p(n) bezeichnet. p wegen "Polynom" und n gibt den Grad der Verkettung an.
Das habe ich sehr ausfuehrlich hier erklaert.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/ana6.htm
AUf der Mathworld Seite wird die verkettete Funktion auch benutzt :
http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/LogisticEquationIterations_800.gif
Aehnliche Bilder findest du auch auf meiner Seite. r entspricht meinem a.
Jede Farbe steht fuer einen anderen Grad der Verkettung, Grad des Polynoms,Zeitschritt n.
Du siehst also die Entwickluung aller Anfamgswerte x in den Grafiken.
Der Fall =2 wird spaeter noch interessant. Leider ist in den Zeichnungen der Attaktor (r-1)/r
nicht eingezeichnet.
Diese Polynome haben ganz erstaunliche charateristische Eigenschaften.
Nicht nur dass sie die Loesung im n.ten Iterationsschritt derstellen.
Auf oben genannter Seite habe ich einige wichtige Eigenschaften genau erklaert.
Fuer meinen Loesungsweg braucht man die aber nicht einmal. Nur fuer meine anderen
analytischen Berechnungen.(Die alle nichts neues darstellen)
Die Mathworld Seite beschaeftigt sich mit diesen Berechnungen der Birfukationsstellen.
Es gibt viele weitere interessante Eigenschaften dieser Polynome
So, aber nun würde ich gerne deine Herleitung verstehen.
Dazu solltest du auf meiner Seite zunaechst die Bausteine 1-4 lesen.
Da werden alle Begriffe genau definiert.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/ana_index.htm
Dann der Baustein :
"Die Nullstellen einer iterativen Funktion (Konrad)"
der zunaechst kompliziert erscheint.
Der Link zeigt eine weitere Eigenschaft der Polynome ist. Dass man ihre Nullstellen durch die Umkehrfunktion von y[k+1]=a*y[k]*(1-y[k] iterativ berechnen kann.
Man kann dies auch einfach als einen Satz betrachten.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/lsg1.htm
Damit wird die Loesung recht einfach. Reine Schulmathematik
Erkenntis 1 :
Die veketteten Polynome stellen in jedem Iterationsschritt n den aktuellen Wert ALLER Anfangswerte 0..1 dar.
(Es handelt sich fuer jedes a um eine Klasse von Polynomen p(n,x).)
=>
Wenn ich das Bildungsgesetz der Polynome fuer alle n geschlossen anschreiben kann, habe ich die DZGL geloest.
UEBERLEGUNG.
Ein Polynom wird durch seine Nullstellen beschrieben.Der Grad der verketteten Polynome waechst mit 2^n. Es kommen also immer neue Nullstellen hinzu.
Erkenntis 2 :
Kanne ich ein geschlossenes Bildungsgesetz (also nicht in Form einer Iteration) fuer die Nullstellen angeben, dann habe ich die DZGL gesloest.
Dabei genuegt es die Nullstellen des Schnitts von p(n) mit einer beliebigen Gerade
zu kennen. Denn aus p'(n,x)=p(n,x)-c=0 folgt p(n,x)=p'(n,x)+c
(In meiner oder Wolframs Loesung resultiert daraus der Ausdruck 1/2)
TRICK :
Oh wie wunderbar waere es wenn die Polynome fuer irgendein a genau eine 2^n fache
Nullstelle haetten ! Also eine einzigste Nullstelle.
Dann haette das Polynom p'(n,x) die Form (x-x0)^(2*n)
Und ich koennte die Aufgabe loesen.
Aber ich kann doch pruefen ob es diesen Fall gibt ! Anhand des iterativen Nullstellenbestimmers f-1(). Da muss ich nur den Ausdruck unter der Wurzel gleich Null setzen und erhalte eine Bestimmungsgleichung fuer a !
Die Iteration bleibt dann konstant und damit die Nullstellle.
Und diese sagt mir fuer a=2 bleiben die Nullstellen konstant
Eine einzige 2^ n fache Nullstelle ! Und sie lautet x=1/2
Die zugehoerige Schnittgerade ist (a-1/a)=1/2
Das pruefe ich natuerlich nach und sehe. Alles hat seine Richtigkeit.
Der anfaengliche Wunsch ging in Erfuellung.
Nun hat k*p'(x) die selben Nullstellen wie p'(x). Ich muss noch eine Konstante bestimmen.
Das ist weniger kniffelig und habe dann die DZGL geloest.
Die richtigen Nullstellen des Polynoms, also p(n)=0 gefallen mir nicht so sehr.
Sie gefallen mir nicht weil ich keine Bestimmunggleichnung dafuer habe.
Ich habe aber eine Bestimmungsgleichung der Nullstellen von
p'(n)=p(n)-(a-1)/a
Daher gefaelllt mir dieses Polynom sehr sehr viel besser :D
Ich weiss ich hab alles teilweise etwas naiv formuliert. Damit es eben jeder verstehen kann.
Zudem hab ich die Loesung im Chaostheorieforum zusammen mit Konrad erarbeitet.
Die Texte von dort als Vorlage kopiert.
Wuerde mich freuen wenn du den Loesungsweg erkennst. Waere echt super.
Und du haettest auch was davon.
Es muss nur ein einmal click machen Und danach fraegt man sich, warum man da nicht vorher drauf gekommen ist.
Schade dass auf der Mathworldseite auf die Loesungen von Wolfram nicht weiter eingegangen wird.
Viele Gruesse
Beispiel der Nullstellen in der komplexen Ebene.
(Wobei hier alle Kombinationen der Loesungszweige berechnet wurden. Das muss nicht so zutreffen)
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/pole/pole.htm
Die Nullstellen bilden eine Juliamenge
Und warum mache ich das eigetlich alles ?
Eigentlich schon immer.
Auch im Rahmen meiner Diplomarbeit.Da stiess ich auf die Methode von TAM.
Die das Gaussche Fehlerintergal. z.b Approximation ueber Potenzreihen mit den
Integraltansformationen ueber die Lagrange Methode verbunden hat.
Es ergab sich eine neue Approximationsmethode und die Ergebnisse waren fuer meine
Begriffe unschlagbar.
Ich habe dann 5 Jahre lang an der Uni gearbeitet. Die Algorithmen immer weiter und weiter
verbessert. bis mein Arbeitsvetrag schliesslich nicht mehr verlaengert wurde.
Ich war aber wie besessen !
Habe danach fuer mich zuhause immer noch weiter numerische Differentatoren und Integratoren entworfen. Fuer niemenden. Nur fuer mich.Wie ein Idiot.
Wohl auch ein psychologisches Problem.
Mein Erstkontakt mit der Verhulst Gleichung war 1985.
Diese unscheinbare Gleichung hat mich geradezu verrueckt gemacht.
Nach knapp 20 Jahren konnte ich der Gleichung endlich eine Loesung entreissen.
Es ist doch voellig egal ob jemand anderes, Herr Wolfram auf anderem Wege
ebenfals zu einer Loesung gelangt ist. Anscheinend sogar ein Jahr zuvor.
Das beeintraechtigt meinen Weg zur Loesung doch in keinster Weise.
Im Gegenteil.
r=4
Ich frag nich jetzt:
Wow , wie hat er diesen Fall konkret geloest ?
Marco Polo
09.08.08, 01:37
Ich war aber wie besessen !
Habe danach fuer mich zuhause immer noch weiter numerische Differentatoren und Integratoren entworfen. Fuer niemenden. Nur fuer mich.Wie ein Idiot.
Wohl auch ein psychologisches Problem.
Hi richy,
nein. Das ist kein psychologisches Problem, sondern vielmehr eine bewundernswerte Eigenschaft, die ausschliesslich Personen auszeichnet, die einen inneren Drang verspüren, den Dingen auf den Grund zu gehen.
Ich kann nur sagen: Hut ab vor deiner Erkenntnisgeilheit. Die muss man auch haben, um sich den tumben Verlockungen der Medienwelt erfolgreich zu entziehen. Fernsehprogramm? Was ist das?
Genau das unterscheidet einen intelligenten von Wissensgier geprägten Menschen von der wie blind durch das Leben stampfenden Allgemeinheit.
Willkommen im Club der Idioten. ;)
Gruss, Marco Polo
@Marco Polo
Du weisst aber ganz ganau dass unsere Welt so NICHT funktioniert !
Jeder Mensch traegt die menschlichen Funktionsprinzipien in sich.
Das faengt schon beim ersten Tanzkurs an.
Es sind ganz spezielle Eigenschaften die sich dann auch im weitern Lebensverlauf,
dem vortgeschrittennen Tanzkurs bewaeheren.
Die verbissene Suche nach Loesungen gehoert nicht dazu.
BTW:
Fernseher hab ich verschenkt.
Du hast aber recht.
Alle diese Dinge zaehlen nicht.
Man muss sich staendig neu orientieren. Sich auch staendig neu in Frage stellen
Danke fur das Lob :-)
Marco Polo
09.08.08, 03:22
Du weisst aber ganz ganau dass unsere Welt so NICHT funktioniert !
Ja. Leider ist das tatsächlich so.
Ich habe kein Prob mit Frauen.
Mich immer nur irgendwie durch die Welt gef....
Also vielleicht doch ein Problem von mir ?
Nö. So erging es mir auch und vielleicht den meisten...?
Fernseher hab ich verschenkt.
Ich hab 2 riesengrosse Falchbildglotzen. Die stehen aber nur blöd rum. Ausser für Fuppes und DVD´s.
Du hast aber recht.
Alle diese Dinge zaehlen nicht.
Man muss sich staendig neu orientieren. Sich auch staendig neu in Frage stellen
Nur dann bleibt man Mensch.
Das kann man so stehen lassen, denke ich. Oh nein... schon wieder 4:00 Uhr durch...
Hab ne Menge vor heute. Also guat´s Nächtle.
Marco Polo
Hi Marco
Ich hab meinen Thread noch bischen editiert.
Man editiert ja staendig :-)
ciao
und gute Nacht
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