Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Math - Lustiger Beweis / Wo ist der Fehler?
Hi,
ich hab vor kurzem ein YoutubeVideo gesehen, in dem jemand den "Beweis" vorführt, dass 1+1=0 ist.
(Liebe Mathematiker, wir befinden uns hier im Körper der komplexen Zahlen)
Der Beweis geht etwa so:
1+1=1+sqrt(1)
1+1=1+sqrt( (-1)*(-1) )
1+1=1+sqrt(-1)*sqrt(-1)
1+1=1+ii
1+1=1+i²
1+1=1+(-1)
1+1=1-1
1+1=0
Viel Spaß beim Knobeln!
Hi,
ich hab vor kurzem ein YoutubeVideo gesehen, in dem jemand den "Beweis" vorführt, dass 1+1=0 ist.
(Liebe Mathematiker, wir befinden uns hier im Körper der komplexen Zahlen)
Der Beweis geht etwa so:
1+1=1+sqrt(1)
1+1=1+sqrt( (-1)*(-1) )
1+1=1+sqrt(-1)*sqrt(-1)
1+1=1+ii
1+1=1+i²
1+1=1+(-1)
1+1=1-1
1+1=0
Viel Spaß beim Knobeln!
tja sqrt((-1)*(-1)) ist nicht gleich sqrt(-1)*sqrt(-1)
Gruß,
Lambert
tja sqrt((-1)*(-1)) ist nicht gleich sqrt(-1)*sqrt(-1)
das sehe ich nicht so- der Fehler liegt meineserachtens woanders.
Jedenfalls solltest Du Deine Behauptung in jedem Fall beweisen, wenn Du darauf bestehst, dass sqrt((-1)*(-1)) ist nicht gleich sqrt(-1)*sqrt(-1) ist.
Allgemein gilt sqrt(ab) = sqrt(a)*sqrt(b).
Hi,
sqrt(-1) = ± i, denn (−i)² = i² = −1
Gruss
Hi,
sqrt(-1) = ± i,
denn (−i)2 = i2 = −1
Gruss
det geht schon mal gar net!
Ein sqrt ist nie negativ(!), auch nicht sqrt(-1)
Diese ist definiert als sqrt(-1) = i
Gruß,
L
Pythagoras
07.08.08, 14:07
>>>>1+1=1+sqrt(1)
1+1=1+sqrt( (-1)*(-1) )
1+1=1+sqrt(-1)*sqrt(-1)
1+1=1+ii
1+1=1+i²
1+1=1+(-1)
1+1=1-1
1+1=0 <<<<<<<<<<
<<<<<<<<<<<
1+1= ii+ii
1+1= i²+i²
1+1= -1-1
1+1= -2
Wenn ich "richtig" gerechnet habe.
Ich glaube aber, der Trugschluss liegt schon in der ersten Zeile:
nämlich 1+1= 1+ sqrt(1).
Ist es zulässig, einen Ausdruck (die zweite 1 auf der linken Seite) durch einen
unbegründet komplizierteren Ausdruck [sqrt(1)] zu substituieren ?
Pyth.
sqrt2 = 1,414... und 1,414 *1,414 = 2
EMI
befürchte, Du hast recht.
War zu schnell :o
Gruß,
L
befürchte ist gut.;)
allerdings... :o
Eine Wurzel hat immer 2 Lösungen, denn sie ist die Umkehrung der Potenzrechnung.
X² = 1
X1 = 1
X2 = -1
X = +/- sqrt(1)
EMI
Du meinst eine quadratische Gleichung hat immer zwei Lösungen? ;)
Nichts für Ungut,
Gruß,
L
PS. ansonsten meine ich, dass Du Recht hast. Es gibt von 1² zwei Lösungen, wovon in diesem Fall nur eine schlüssig ist.
Der "Beweis" wird meines wissens gerne herangezogen um zu zeigen dass die Defintion i=Wurzel(-1) unzutreffend bzw. nur die halbe Wahrheit ist.
i wird definiert ueber die Gleichung i^2=-1. nicht ueber i=Wurzel(-1)
Und i^2=-1 hat die Loesungen i= +/-Wurzel(-1)
Der Fehler liegt also an der Stelle an der i=Wurzel(-1) gesetzt wird.
Oder wenn man die Mehrdeutigkeit weiter nach vorne verfolgt. An der Stelle
1=(-1)*(-1) was auch nur die halbe Wahrheit ist weil auch 1=1*1 gilt.
Die Mehrdeutigkeit kommt aber erst ueber i=Wurzel(-1) als Fehler zum tragen.
Die erste Zeile ist noch korrekt.
Es ist nicht so, dass die Wurzelfunktion immer mehrdeutig ist, nur weil man so oft +/- daran anpinselt.
Sondern ein Polynom n ten Grades weist n Nullstellen auf.
1+1=1+ (+/-)sqrt(1)
Na gut. Waehlen wir deinen zweiten Fall :
1+1=1-sqrt(1)=1-1=0 => 2=0 und das Raestel waere erheblich kuerzer :D
y=Wurzel(9) hat die eindeutiige Loesung y=3
aber
y^2=9 hat die beiden Loesungen y=3,y=-3
Wenn ich nun schreibe
(-3)*(-3)=9 =>
-3=Wurzel(9) =>
-3=3 =>
-1=1
liegt der Fehler an der selben Stelle wie in Hamiltons Beispiel
nur da ist er in der imaginaeren Einheit besser versteckt.
@Hamilton
Diese Loesungszweige haben leider auch meinen Loesungsanschlag auf die logistische DRGL vereitelt :-)
Also vorerst. Natuerlich habe ich (leider :D) schon einen neuen Plan.
Pythagoras
07.08.08, 14:38
1= (betragsmässig) sqrt(1)
Aber der Ausdruck "(1)" ist ungleich dem Ausdruck "sqrt(1)".
Der Fehler ist, daß Ausdruck und Betrag für gleich gesetzt werden.
Pyth.
Aber der Ausdruck "(1)" ist ungleich dem Ausdruck "sqrt(1)".
Nein das ist falsch.
sqrt(1) ist in dem Dall nicht mehrdeutig sondern eindeutig gleich 1.
Auch wenn man im Rahmen quadratischer Gleichungen oefters +/- vorne dranpinselt.
Die erste Zeile ist daher auch noch richtig. Ihr seid leider auf dem Holzweg.
Der Feher liegt bei i=sqrt(-1). Ab der Stelle (-1)*(-1)=1 wird die Rechnung mehrdeutig. Man kann auch hier gleich einen Widerspruch konstruieren:
(-1)*(-1)=1 => Wurzel((-1)^2)=Wurzel(1) => -1=1, richtig waere +/-1=+/-1
Nur wenn ich Wurzel() als Operetor verwende, zum Loesen einer Gleichung wird die
Funktion mehrdeutig. Und diese Operation ist in i verborgen.
i selber ist mehrdeutig weil es ueber i^2=-1 definiert ist.
Und dies wird nicht beruecksichtigt.
1+1=1+sqrt(-1)*sqrt(-1)
1+1=1 (+/-) ii
1+1=1 (+/-) i²
1+1=1 (+/-) (-1)
1+1=1 (+/-) 1
1+1=2 und nicht 0.
Pythagoras
07.08.08, 15:24
@richy
>>>>
>>(Aber der Ausdruck "(1)" ist ungleich dem Ausdruck "sqrt(1)". )<<
Nein das ist falsch.
sqrt(1) ist nicht mehrdeutig sondern eindeutig gleich 1.<<<<
<<<<
Ich meine, es sind zwei betragsgleiche aber verschiedene Ausdrücke.
So, wie (2+2) und (4).
y=Wurzel(9) hat die eindeutiige Loesung y=3
aber
y^2=9 hat die beiden Loesungen y=3,y=-3
Hallo Richy.
Darauf kommt's wohl an.
Gruß,
L
soon hatte den Fehler des Beweises schon angeschrieben :
sqrt(-1) = ± i, denn (−i)² = i² = −1
wenn auch in sehr kleiner Schrift :-)
@Lambert
Deine Anwort dazu war geradezu abenteuerlich :-) Und enthielt zudem den elementaren Fehler des "Beweises"
i ist gerade nicht definiert als i=Wurzel(-1)
Genau das will der "Beweis" uns naemlich vor Augen fuehren :-)
Man kann den Fehler aber auch ohne komplexe Zahlen verstehen.
Ueber 1=(-1)*(-1) wird eine Mehrdeutigkeit eingefuehrt, die im Folgenden nicht mehr beruecksichtigt wird.
soon hatte den Fehler des Beweises schon angeschrieben :
wenn auch in sehr kleiner Schrift :-)
1+1
ist nunmal keine quadratische Gleichung.
Wenn man aber eine aus ihr konstruiert, muss man alle Konditionen mit aufschreiben. Dazu gehört 1+1 = 2.
L
@Lambert
1+1 ist nunmal keine quadratische Gleichung.
Deswegen ist die erste Zeile noch richtig.
Die Operation des Quadrierens wird das erste Mal bei 1=(-1)*(-1) durchgefuehrt.
x^2-1=0. Selbstverstaendlich gilt 1=(-1)*(-1), aber ...
Ab der Stelle entsteht eine Mehrdeutigkeit. Es wird aber im folgenden keine Wurzel mehr gezogen, so dass jeder wie in meinen nichtlkmplexen Beispielen sagen wuerde. "Hey da musst du (+/-) anpinseln."
Die inverse Operstion zum Quadrieren wird statdessen (nicht sichtbar) ueber die unsachgemaessen Substitution i=Wurzel(-1) durchgefuehrt. Da muesste stehen Wurzel(-1)=(+/-) i
So wie es soon angeschrieben hat. Weil i ueber i^2=-1 definiert ist.
Beispiel:
i*i=i^2 (Jetzt substituiere ich falsch, scheinbar keine Operation des Wurzelziehens)
Wurzel(-1)*Wurzel(-1)=i^2 (falsch !) richtig waere (+/-)Wurzel(-1)*(+/-)Wurzel(-1)= i^2
Wurzel((-1)*(-1))= i^2
1=-1
Jetzt muesstest du sehen, dass i=Wurzel(-1) unsachgemaess sein kann.
Das heisst aber nicht dass die Wurzelfunktion immer mehrdeutig ist.
Sondern nur dass die Gleichung i^2=-1 zwei Loesungen hat.
(Sorry wenn ich mich teilweise wiederholt habe aber soons Antwort bedurfte
anscheinend zusaetzlicher Erlaeuterungen )
Hallo Richy
wenn auch in sehr kleiner Schrift :-)
wieso 'kleine Schrift' ? Verdana 1, - ist bei mir so gross wie die Schrift in den anderen Beiträgen.
Ich versuche jetzt mal Verdana 2. Besser?
Gruss
Ja, so isses bei mir in Normalschrift :-)
Anmerkung:
Die Wurzelfunktiion y=sqrt(x) stellt von der Umkehrfunktion des Quadrierens per Konvention nur deren Hauptwert dar. Waere sie stets zweideutig haette die Gleichung :
y-sqrt(a)=0 zwei Loesungen. Welche Konsequenz ergaebe sich daraus ?
Hi,
ich hab vor kurzem ein YoutubeVideo gesehen, in dem jemand den "Beweis" vorführt, dass 1+1=0 ist.
(Liebe Mathematiker, wir befinden uns hier im Körper der komplexen Zahlen)
Der Beweis geht etwa so:
1+1=1+sqrt(1)
1+1=1+sqrt( (-1)*(-1) )
1+1=1+sqrt(-1)*sqrt(-1)
1+1=1+ii
1+1=1+i²
1+1=1+(-1)
1+1=1-1
1+1=0
Viel Spaß beim Knobeln!
Wo ist hier der mathematische Fehler:confused:
Eine Frau und ein Mann schlafen miteinander, die Frau wird mit Zwillingen schwanger, sodass die folgende Rechenoperation folgt:
1+1=4
möbius
Pythagoras
07.08.08, 19:34
Typisch @Hamilton; erst stellt er uns eine Aufgabe, dann lässt er uns schmoren.
Wow, das hat euch wohl Spaß gemacht-
nun, die Lösung liegt in der Tat darin, dass die Annahme
1+1 = 1 + sqrt(1) schon falsch ist, denn sqrt(1) ist sowohl 1 als auch -1 und schon steht da
1+1 = 1 + sqrt(1) = 1 -1 = 0
den Kram mit den komplexen Zahlen macht man nur um abzulenken.
Schreibt man korrekt 1+1 = 1 + | sqrt(1) |
womit man definitiv nur die positive Lösung der Wurzel verwendet, klappt auch der Rest nicht mehr.
Gute Nacht!
und wer hat's gemerkt?
hast du toll gemacht! Nimm dir 'nen Keks!
Nur ist Emis als auch Hamiltons Begruendung leider grottenfalsch.
Soons Begrundeung, die ich doch detailliert beschrieben habe, ist die einzig richtige !
sqrt(-1) = ± i, denn (−i)² = i² = −1
Das ist so sicher wie das Amen in der Kirche.
Wenn x-sqrt(a)=Zwei Loeusungen haette (x1=sqrt(a) und x2=-sqrt(a)),
dann waere der Haupsatz der Algebra verletzt.
Mit Wurzel(a) ist daher stets der Hauptwert gemeint. Wenn ich die Nebenwerte betrachten muss, schreibe ich dies als (+/-) an.
Der Fall 1+1=1-sqrt(1) wuerde bedeuten 1=0.
Daher ist dieser Nebenwert Bloedsinn. sqrt(1) ist 1 und sonst nichts.
Nur wenn ich x^2-1=0 loese muss ich den Nebenwert betrachten.
Das ist aber eine voellig andere Gleichung.
grmbl, dass ist Schulstoff
@Emi
Ich hoffe du hast den Keks noch nicht gegessen. Gib ihn lieber mal an soon weiter.
sqrt(1) ist sowohl 1 als auch -1
Hilfe, dass darf einem Physiker passieren aber keinem Mathematiker :D
Bin nicht sauer nur erstaunt :-)
Ich denke mal Hamilton hat nur den ersten Beitrag des Thraeds durchgelesen.
soon war schlauer und hat sich kuerzer gefasst als ich :-)
Seite 3 :
http://home.eduhi.at/teacher/fruehwirth/8am/skript-komplexe-vhs.pdf
Ich krieg keinen Keks weil ich das Raetsel schon vorher kannte.
Das einem abhalten soll die schlampige Definition i=sqrt(-1) zu verwenden.
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29
Eindeutigkeit von Wurzeln aus positiven Zahlen
Obwohl die eingangs genannte Fragestellung bei geradzahligen Wurzelexponenten und positiven Radikanden zwei Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzt, steht die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen sqrt{} grundsätzlich für die positive Lösung. Beispielsweise hat die Gleichung x^2 = 4 die beiden Lösungen 2 und −2. Der Term sqrt{4} hat jedoch den Wert 2 und nicht den Wert −2.
Als Trostpreis :
Ich bin auch schon indirekt in diese Falle getappt, In dem Thread hier :
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=95
Nur war da die Aufgabenstellung "etwas" komplexer.
Die Gleichung z^(n/m)=z0 hat somit n verschiedene Loesungen.
Dabei wird der Betragskreis in der komplexen Ebene m Mal umrundet.
Und wie sieht es aus wenn ich die Probe meiner Loesungen mache ?
Dann pruefe ich z0^(m/n)=z
Und diese Gleichung hat m Loesungen ! Keine n. Tueckisch gell :-)
Im komplexen geht fuer m>n die Probe nicht immer auf.
sqrt kommt ja eigentlich aus der Programiersprache "gibt die Quadratwurzel einer angegebenen Zahl zurück", oder?
Jau, ist zumindest in der math.h eingearbeitet.
@EMI
Nein es ist egal ob Wurzel{} oder sqrt{}
Damit ist immer der Hauptwert gemeint.
Auch wenn du Wurzel(1) in den Taschenrechner tippst lautet die Loesung 1 und nicht (+/-) 1. Wurzel(1)=-1 ist ein Nebenwert.
Und der kann falsch sein !
Anders ist es wenn du solve(x^2=1 in den Taschenrechner tippst)
Es kommt also drauf an wie du die Funktion verwendest.
Du kannst natuerlich immer konsequent beide Werte mitschleppen.
Aber dann musst du auch staendig pruefen ob du nicht einen falschen Wert
mitschleppst.
Denn die Loesung der
GL. 1) y=Wurzel(1) kann nach dem Haupsatz der Algebra nur eine Loesung haben. Und wenn du zwei mitschleppst in eine falsch.
Hier waere der Nebenwert y=-1 falsch.
Wenn man viel im Komplexen rechnet sollte man dennoch so vorgehen,
wenn man sich nicht sicher ist.
Alle Nebenwerte berechnen und dann die Probe machen.
Es ist also nicht grundsaetzlich falsch die Nebenwerte mitzuschleppen, aber es ist falsch, dass grundsaetzlich alle diese die Gleichung erfuellen.
Wie Gleichung 1 auch zeigt. Man MUSS dann man die Probe machen.
Im Reellen ist es aber ganz klar dass 1=Wurzel(1) ist.
Aber im komplexen nicht. i=(+/-) Wurzel(-1) !
Tja, verstoesst die Gleichung x=i nicht gegen den Hauptsatz der Algebra ?
Du koenntest sagen, na es ist reine Definition dass nur der Nebenwert gemeint ist und Wurzel(1)=-1 somit falsch ist.
Im Komplexen sieht man sehr viel deutlicher, dass die Nebenwerte falsch sein koennen.
Man erhaelt ganz konkrete falsche Zahlenwerte.
Im folgenden Beispiel an den Hauptsatz denken !
Die Gleichung z^(1/3)=i hat eine Loesung, keine drei !
In der Probe berechne ich alle Nebenwerte. Und zwei davon MUESSEN sogar falsch sein.
z^(1/3)=i
z=i^3 = i*i*i = -i
Im Prinzip sieht man an i*i*i schon dass -i korrekt ist
Wir machen dennoch die Pobe
*************************
Dazu setzten wir -i in die linke Seite ein also (z=-i)^(1/3)
und schauen ob dann wie auf der rechten Seite i rauskommt
Wir werden drei unterschiedliche Ergebnisse erhalten.
Wenn eines davon i ist, ist die Probe gelungen. Ok ?
Nur ein Ergebnis kann i sein.
Die anderen Nebenwerte sind Loesungen der Gleichung z^3=-i
Das ist aber nicht die Gleichung die wir loesen wollen !
Sonder z^(1/3)=i
Die Probe
********
-i=exp(i*3/2*Pi+2*k*Pi)
(-i)^(1/3)=exp(i*(3/2*Pi+2*k*Pi))^(1/3) ,k=0,1,2
(-i)^(1/3)=exp(i*(1/2*Pi+2*k/3*Pi)) ,k=0,1,2
z=cos((1/2*Pi+2*k/3*Pi))+i*sin((1/2*Pi+2*k/3*Pi))
k=0
z0=i (Probe bestanden)
k=1
z1=-1/2*3^(1/2)-1/2*i (ungleich i, erfuellt z^(1/3)=i nicht !)
k=2
z2= 1/2*3^(1/2)-1/2*i (ungleich i, erfuellt z^(1/3)=i nicht !)
( k=3 , z=I, ab hier gehts von vorne los )
z1 und z2 erfuellen die Gleichung z^(1/3)=i nicht !
sondern
z^3=-i
nach dieser Gleichung wurde aber nicht gefragt
Viele Gruesse
Soweit verstanden ?
Dann eine Aufgabe um die es Diskussionen geben wird :
Welche Loesung hat die Geichung.
Wurzel(x)=-1 ?
1) i² = -1 richtig?
2) -i² = 1 richtig?
Ja klar. Nach 1) ist i sogar definiert und nicht ueber i=Wurzel(-1)
Das nicht alle Werte Grundsätzlich eine Gleichung erfüllen sagte ich:
Es ging ja um Wurzel(1)=1 oder Wurzel(1)=-1
Nach Definition ist nur Wurzel(1)=1 richtig.
Meine ich Haupt und Nebenwert schreibe ich einfach (+/-) Wurzel(1)
>> Wurzel(x)=-1
> x = i² * i²
i² * i² = 1
Wenn du ueber die i andeuten willst x element C, als eine Art Aufforderung, jein ....
eins ist aber dennoch keine komplexe Zahl.
Die Antwurt ist noch einfacher.
Gleichung nach x aufloesen und die Probe machen.
@Hamiltotn
Schreibt man korrekt 1+1 = 1 + | sqrt(1) |
womit man definitiv nur die positive Lösung der Wurzel verwendet, klappt auch der Rest nicht mehr.
Stell dir vor den Rautschlag nimmt jemand ernst und kennzeichnet immer den positiven Loesungszweug "sicherheitshalber" mit einem Betragszeichen.
i= sqrt(-1) = |sqrt(-1| i=|i|=1
uups trotz doppelter Sicherheit der falscher Loesungszweig. Dann also
i= sqrt(-1) = -|sqrt(-1| i=-|i|=-1
Na eines von beim muss doch stimmen :D
Der Betriebswirt geht dann auf Nummer ganz sicher und bilder den Mittelwert 1=(1-1)/2=0 :-)
Mit der Vorgehensweise gaebe es keine komplexen Zahlen mehr.
doch noch kurz eine Richtigstellung nach meiner gestrigen großen Schlappe (bin froh, dass ich nicht fehlerfrei bin; wäre ja langweilig) in dieser Sache.
Richtigstellung:
i ist ein-eindeuting definiert als sqrt(-1)
Zu behaupten aus i²=-1 entstünden zwei Lösungen + und - sqrt(-1) ist nicht erlaubt.
Gruß,
Lambert
Stell dir eine seltsame "Zahl" vor deren Quadrat -1 ergibt.
x^2=-1
Jede quadratische Gleichung hat 2 Loesungen
x=+-Wurzel(-1)
Nun nennen wir diese zweideutige Zahl i
i=+-Wurzel(1)
Verwendet man die schlampige Definition i=Wurzel(-1) erhalt man in Hamiltons lustigem Raetsel das Ergebnis 0=1
Genau aus diesem Grund. Und nur aus diesem Grund
Und vor diesem Fehler i=Wurzel(-1) soll uns das Raestel bewahren.
http://home.eduhi.at/teacher/fruehwirth/8am/skript-komplexe-vhs.pdf
Amen hat denn keiner Erbarmen ? :-)
Soon sag doch du mal was.
Stell dir vor den Rautschlag nimmt jemand ernst und kennzeichnet immer den positiven Loesungszweug "sicherheitshalber" mit einem Betragszeichen.
Natürlich kannst Du das für komplexe Zahlen dann nicht mehr machen, da der Betrag da auch anders definiert ist. Es gibt in den komplexen Zahlen ja auch nicht wirklich positive und negative Zahlen, nicht wahr? Ich sagte ja auch, dass man die komplexen Zahlen für den Trick nicht braucht- nur als Ablenkung. Wenn Du 1+1 = 1 + | sqrt(1) | hinschreibst, funktioniert der Trick nicht mehr, das ist alles.
Die Definition der Wurzel ist eine Sache für sich.
Natürlich hat eine (Quadrat)Wurzel i.A. zwei Lösungen- dass man ot per Def. sagt, dass einen der negative Teil nicht interessiert, die Wurzel also zwanghaft eindeutig macht, ändert ja nichts an der Tatsache, dass sowohl 1*1=1 als auch (-1)*(-1)=1 ist.
Dass man das überhaupt so in Büchern findet, liegt meiner Meinung nach an der Computertechnik- man will eine Funktion definieren, die einem von einer floating point zahl EINE andere zurück liefert. Der kluge Programmierer weiß um das +/- und kann das Ergebnis der Wurzel entsprechend weiter verarbeiten, das geht aber nur, wenn er weiß, dass das Ergebnis immer positiv ist.
In der reinen Mathematik brauchst Du diese Eindeutigkeit nur, wenn Du Wurzeln in einer Funktion benutzen willst, denn die müssen ja eindeutig sein.
In solchen Gleichungen hingegen, wie z.B. 2 + sqrt(9) = x
kann x durchaus zwei Lösungen haben, wie hier 5 und -1 (wenn x reell sein darf).
Übrigens: Wenn Du (auch oder vor allem) aus komplexen Zahlen Wurzeln ziehst, gibt es keine HAUPT oder NEBEN Werte. Die Lösungen sind alle gleichberechtigt.
Wenn man z^(1/3)=i lösen will, kann man das so machen:
z^(1/3) = i ==> z = i³ ==> z= - i
Gibt es noch mehr Lösungen?
Gucken wir nach:
i³ = exp{ i( pi/2 + 2pi n)*3 } = exp{ i (3pi/2 + 6pi n) } (mit n =0,1,2,3...)
Das heißt wir haben im Einheitskreis nur eine Lösung, alle anderen Lösungen sind mit -i identisch.
Hi,
sqrt(-1) = ± i, denn (-i)² = i² = -1
sqrt(1) kann ebenfalls 2 Lösungen haben : 1 und -1 (hier sehe ich kein Problem)
Üblich ist allerdings folgendes:
Zitat:
Laut der Wurzel-Definiton ist diese Wurzel x die Lösung von x² =9 :
sqrt(9) = x <=> x² =9
Die rechte Gleichung hat nun aber zwei Lösungen ( +3 und -3)
und somit hätte auch die Wurzel x zwei Lösungen +3 und -3).
Dadurch wäre eine Wurzel aber ein zweideutiger Rechenausdruck.
Eine Addition dreier Wurzeln könnte dadurch acht Lösungen haben. Beispiel:
sqrt(9) + sqrt(4) + sqrt(16) =
(Lösungen wären z.B. 3+2+4 oder 3-2+4 oder 3-2-4 oder ...)
Um solche Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, legt man daher fest:
Die Wurzel x = nteWurzel(a) ist die nicht-negative Lösung der Gleichung x^n = a
Zitat Ende
was 'man' alles 'festgelegt' hat, ist aber auch nicht immer sinnvoll!
'festlegen' erinnert mich an das hier:
http://www.zeit.de/stimmts/1997/1997_28_stimmts
damit ist doch eigentlich alles abgefrühstückt, und überhaupt, da gibt es doch wirklich spannendere Baustellen.
@richy
ich stelle nachher einen interessanten screenshot in Deinen Thread zur logistischen Gleichung
Gruss
soon
BTW:
Die Gleichung Wurzel(x)=-1 hat keine Loesung.
@Hamilton
Loese die Gleichung nach x
x+summe(k=1..100, k*Wurzel(x))=0
Beachte dabei, dass du unter deiner Annahme alle 2^100 Loesungen berechnen musst.
Es gibt kein Grund, dass die Vorzeichen korreliert sind , daher darfst du die Wurzeln auch nicht ausklammern.
Bischen viel Aufwand nicht :-)
Satz ?:
Ein Polynom 1 ter Ordnug hat 2 Nullstellen ?
Beispiel: x-Wurzel(2)=0
Pythagoras
08.08.08, 18:50
>>>> Amen hat denn keiner Erbarmen ? :-)<<<<
<<<
Aber es ist doch kein bisschen schlimm, daß du es nicht gepackt hast, richy !
Ging uns doch allen genau so ! :D
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