Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Math - Zufallszahlen in der Chaostheorie
Hi
Zu dem Thema Zufallszahlen habe ich eine mathematische Fragestellung.
Besser gesagt ein Artefakt auf den ich vor 20 Jahren im Rahmen der Chaostheorie gestossen bin und mir bis heute nicht recht erklaeren kann. Koennte sogar einen Bezug zur Quantenmechanik haben.
Das mathmatische Beiwerk in dessen Rahmen das Phaenomen auftritt ist etwas
komplizierter.
Vielleicht kann mir einer der Mathematiker hier weiterhelfen.
Mathematisches Beiwerk aus der sich das Artefakt ergibt :
*******************************************
Ausgangspunkt war hierbei die logistische Gleichung.
Insbesonders die vekettete Abbildung dieser. Man kann zeigen, dass man die
Nullstellen dieser Polynome erhaelt, wenn man die Iteration rueckwaerts durchlaeuft.
Nicht notwendige Details dazu hier :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/lsg1.htm
Die inverse Funktion der logistischen Gleichung enthaelt eine Wurzel.
Damit ergeben sich pro Iterationsschritt zwei Loesungswerte.
Bei n Schritten somit ein Binaerbaum.
Die Werte koennen auch komplexwertig werden, so dass die Iteration
schlieslich die Nullstellen in der komplexenen Ebene anzeigt.
Nicht notwendige Details dazu hier :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/nsalgo1.htm
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/nsalgo2.htm
Impelmentiert man das Programm und durchlaeuft den Binaerbaum vollstaendig erhalt man eine Grafik wie diese hier: Das sind die komplexen Nullstellen der verketteten Polynome der
einer logistischen Abbildung.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/pole/pole.htm
In jedem Iterationsschritt verdoppelt sich der Grad des Polynoms, der Nullstellen.
Das Phaenomen:
************
Das Durchlaufen des Binaerbaumes ist muhesam und zeitintensiv.
Waehlt man deshalb z.B nur den Pfad durch den Binaerbaum z-B- mit nur positivem oder negativem Vorzeichen der Wurze erhaelt man aber nicht die komplette Grafik der Nullstellen sondern nur kleine Teilgebiete davon.
Auch wenn ich das Vorzeichen periodisch wechsle +-+-+-+-+-
oder eine andere Sequenz waehle erhalte ich nicht das Bild wie beim kompletten Binaerbaum.
Spasseshalber hatte ich das Vorzeichen mal per Zufallsgenerator
ausgewaehlt. Dann ergibt sich bei gleicher Anzahl Punkte das komplette Bild !
Ein sehr viel schnellerer Algorithmus.
Ich kann mir schlecht erkaeren warum.
Nochmal etwas allgemeiner:
Ich durchlaufe komplett alle Aeste eines Binaerbaums.
Daraus ergibt sich ein Bild A
Durchlaufe ich einen determinierten Pfad ergibt sich auch bei gleicher Anzahl Punkte nur ein geringer Teil des Bildes A
Waehle ich nun einen Zufallspfad durch den Binaerbaum ergibt sich das selbe Bild wie wenn ich den Binaerbaum komplett durchlaufe.
Kann mir jemand eine Erklaerung liefern ?
Hat es mit der logistischen Gleichung zu tun odergibt es eine allgemeinere Erklaerung ?
Viele Gruesse
Hatte gehofft Hamilton koennte mir weiterhelfen :-(
Ok ich werde die Fragestelllung zu einem Spiel umbauen.
Bis dahin
ciao
Hi, ich habs erst jetzt gelesen, bin zum ersten mal in der Plauderecke..
Also, hab leider keine Zeit mich wirklich damit intensiv zu beschäftigen. Aber ich habe die Vermutung, dass wenn du dein Vorzeichen periodisch wechselst, eine unbeabsichtigte Synchronisation mit deinem Nullstellenalgorithmus auftritt, der dafür sorgt, dass die Punkte immer in den selben Bereichen liegen.
Du bekommst doch immer andere Bilder, wenn du +-+-+-, oder ++--++--, etc. vorgibst, oder?
Bei zufälligen Vorzeichen kann das natürlich nicht passieren, da bist du in jedem Bildbereich irgendwann mal drin.
Aber das ist jetzt nur eine Vermutung, ohne dass ich den Algorithmus, den Du benutzt wirklich verstanden habe.
Hi Hamilton
Zum Algo in Kurzfassung :
"Vorwaertsiteration"
**************
Die logistische Gleichung lautet
y(k+1)=a*y(k)*(1-y(k))=p(y(k))
Fasse ich z.B. zwei Iterationen Zusammen, so entspricht dies einer Verkettung der Iterationsfunktion.
y(k+2)=p(p(y(k)))
Fuer n Iterationen erhalte ich ein Polynom p_n(y), 2^n ter Ordnung
y(k+n)=p_n(y(k))) mit 2^n komplexwertigen Nullstellen.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/ana6.htm
Beispiel (mit schlechter Bezeichnung)
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/abb3.gif
Die Verkettung der Iterationsfunktion ist eine gaengige Methode zur Untersuchung von Differenzengleichungen. Dabei weisen die Polynome p_n(y)
charakteristische (teils verblueffende) Eigenschaften auf.
Dazu gehoert auch:
"Rueckwaertsiteration"
****************
Die Schnittpunkte der Polynome mit y=c erhaelt man indem man vom Startwert y0=c Die Iteration Rueckwaerts laufen laesst. (Bin mir nicht sicher,ob c irgedwelchen Bedingungen genuegen muss. Denn seltsamerweise ergibt jeder Startwert ein aehnliches Bild,was aber
durchaus erklaerbar waere. Komplexe Nullstellen sin ja keine echten Schnittpunkte)
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/algo20.gif
Die Rueckwaertsiteration liefert also jeweis zwei Werte (+-)
In n Iterationen die 2^n Nullstellen des Polynoms p_n(y).
Kurzzusammenfassung
****************
Die "Vorwaertsiteration" nach n Schritten kann durch ein verkettetes Polynom
p_n(y) der Ordnung 2^n beschrieben werden .
Dessen 2^n Nullstellen liefert eine "Rueckwaertsiteration".
Die Nullstellen sind teilweise komplex (Ausnahme a=2 und 4 ?) und bilden eine Juliamenge.
http://home.arcor.de/richardon/2007/poleklein.gif
RANDBEMERKUNG
*************
BTW: Im Fall a=2 ist das Bild ein Punkt. Es gibt nur die 2^n fache Nullstelle y=1/2.
Das p_n Polynom strebt sehr schnell gegen eine Rechteckfunktion, die die Gerade y=1/2
immer in dem Punkt (1/2,1/2) dem Attraktor tangiert.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/lsg18.gif
Fuer den Fall laesst sich die Verhulst Gleichung dann natuerlich analytisch loesen :-)
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/wiki1.gif
ist die Loesung der Verhulst Gleichung x(n+1)=2*x(n)*(1-x(n))
Du bekommst doch immer andere Bilder, wenn du +-+-+-, oder ++--++--, etc. vorgibst, oder?
Ich meine ja. (Ausserfuer a=2 natuerlich). Bischen kniffelig.
Irgendwie aehnlich zum Doppeltspaltversuch, Scharmittel=Zeitmittel
Wenn ich nach 20 Iterationen alle 2^20 (etwa 1 Million) Nullstellen betrachte sieht
das Bild genauso aus wie wenn ich eine Million Iterationen verwende aber bei jeder
nur eine Nullstelle hinzugefuegt wird. Aber eben nur wenn das Vorzeichen zufaellig ist.
Das komplette Bild ist nicht unscharf. Es ist genau determiniert, denn es sind ja die Nullstellen eines Polynoms. Das Bild ist aber auch fraktal.
Deine Frage war gut, denn jetzt kann ich es anders ausdruecken.
Durchlaufe ich nicht den kompletten Binaerbaum, dann erhalte ich nur einen Teil der Nullstellen.
Ist das Vorzeichen, dass ich dabei waehle nicht zufaellig. dann zeigt sich graphisch nur ein Teilausschnitt des Bildes.
Wie geht das ? Dieser Teilausschnit wird feiner aufgeloest. Der Ausschnitt geht in die fraktale Tiefe.
Ist das Vorzeichen zufaellig werden alle Bildteile in der komplexen Ebene dargestellt, dafuer in grober Aufloesung.
Vergleich
*******
Du hast 100 Pinselstriche frei um ein Bild abzumalen.
Entweder du zechnest damit das ganze Bild grob nach oder du zeichnest nur einen Auschnitt, dafuer detaillierter.
Seltsam, dass dies hier der "Grad der Zufaelligkeit" enscheidet.
Bei zufälligen Vorzeichen kann das natürlich nicht passieren, da bist du in jedem Bildbereich irgendwann mal drin.
Ganz so einfach kann man es nicht begruenden denke ich. Du beschreibst
bereits die Konsequenz.
Es ist eben die Frage. Warum wirkt sich die Wahl des Vorzeichens dieser Gleichung
im jeweiligen Iterationsschritt
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/algo20.gif
in der Form auf den Auschnitt des Bildes aus, wenn ich nicht alle Faelle betrachte ?
Das Ergebnis fuer alle Faelle (Referenz) kenne ich. Dieses PRG war ja der Ausgangspunkt.
Ich gebe also keine Koordinaten sondern nur das Vorzeichen vor.
Zum Spiel:
Ich dachte dabei man gibt das Vorzeichen durch Mausklicks beim Programmablauf vor. Je "zufaelliger" diese sind, umso groesser sollte der Auschnitt sein den man erhaelt.
Nebenbei liefert diese Zufallswahl einen superschnellen Juliamengengenerator :-)
Viele Gruesse
Hallo Richy,
mit der Rückwärtsiteration schlage ich mich auch gerade herum.
Ich versuche mal die Problematik in einer Exceltabelle zu verdeutlichen.Die Gleichung f(x) = 4x*(1-x) wird iteriert. Der Startwert z.B. 0,4 kommt in die Zelle A1. Ich iteriere runter bis zur Zelle A40, da steht dann 0,76502... .Den Wert kopiere ich in die Zelle B40. Von hier aus soll rückwärts hoch bis zur Zelle B1 iteriert werden, da soll dann wieder 0,4 stehen. f(x) = 4x*(1-x) wird in die Form x^2+px+q = 0 gebracht, damit ich die Lösungsformel für quadratische Gleichungen benutzen kann. Für jeden Rückwärtsiterationschritt gibt es jetzt zwei Möglichkeiten +Wurzel und –Wurzel. Welche richtig ist, um wieder zu 0,4 zu gelangen, kann ich in diesem Fall aus der Spalte A ablesen. Rechne ich nur mit + Wurzel so läuft die Folge gegen 0,75 , bei nur –Wurzel gegen 0. Nehme ich immer das Gegenteil zur richtigen Möglichkeit erhalte ich in Zelle B1 0,6.
Gibt es ein Kriterium für die Entscheidung ob + oder – Wurzel bei jedem Rückwärtsschritt ?
Gruss
soon
Hi soon
Gibt es ein Kriterium ob 1*1=1 oder -1*-1=1 ? Bleibt dir wohl nicht viel anderes uebrig als alle Loesungen zu berechnen. Die werden in der Regel komplex. Ergibt dieses Bild oben. Wenn du nicht alle Loesungen berechnest, sondern bei jeder Itearation zufaellig das Vorzeichen waehlst erhaeltst du fast das selbe Bild.
Das sind die Nullstellen z1,z2,z3 .... der Funktion (z-z1)(z-z2)(z-z2) .... die Wiederum das verkettete Polynom der Vorwaerts Iteration darstellt.
Warum rechnest du rueckwaerts ?
zeitgenosse
24.07.07, 19:28
@richy
Eine Zwischenfrage - nur am Rande (bin eben nochmals darauf gestossen, als ich deine Iterationen betrachtete):
Du hast früher (AC) gesagt, dass es einen Unterschied zwischen der logistischen Gleichung und der Verhulstgleichung gibt. Auf deiner Website bezeichnest du aber die auch von mir als logistische Gleichung angeführte Dgl. ebenfalls als Verhulstgleichung. Weshalb eigentlich?
Zumindest erkenne ich keinen formalen Unterschied zwischen deiner und meiner Notation (der Verständlichkeit wegen setze ich bei deiner Gleichung "underlines" ein):
lt. richy:
y_k+1 = a * y_k * (1 - y_ k) --> logistische Abbildung oder Verhulstgleichung
lt. zg:
p_n+1 = p_n + a*p_n(1 - p_n) = (1 + a)p_n - a*p^2_n
Wenn du mich fragst, ist das doch dasselbe. Oder habe ich ein Brett vor dem Kopf?
Gr. zg
zeitgenosse
25.07.07, 00:53
Waehle ich nun einen Zufallspfad durch den Binaerbaum ergibt sich das selbe Bild wie wenn ich den Binaerbaum komplett durchlaufe.
Man könnte sich diesen Sachverhalt so erklären, dass der Zufallsgenerator nach denselben Prinzipien arbeitet, die auch der logistischen Gleichung zugrunde liegen. Möglicherweise gibt es ein erkennbares gemeinsames Muster.
Gr. zg
Hi Zeitgenosse
(Logistischer Gleichung und Verhulst Gleichung sind das Selbe)
Der Unterschied zwischen logistischer Gleichung und logistischer DGL ist die Diskretisierung. Wobei ausgehend von der DGL die Diskretisierung 1.Ordnung auf deine Form fuehrt.
1) p_n+1 = p_n + a*p_n(1 - p_n)
Das ist nun aber nicht die ueblicherweise als logistische Gleichung bezeichnte Differenzengleichung. Mit der Variablen p_n (Ich habe p_n eingefuehrt um zu verdeutlichen, dass dies Polynome sind) waere diese :
2) p_n+1 = a*p_n(1 - p_n)
Hier tritt ein Summand p_n auf der rechten Seite weniger auf. Deine Gleichung 1 ) verhaelt sich anders als die logistische Gleichung 2) Ob es ueberhaupt stabile Bereiche gibt muesste man mal untersuchen. Falls ja, gaebe es vom Charakter her keinen grossen Unterschied. Man spricht ueberhaupt bei solchen Gleichungen z.B. von quadratischem Charakter. Auch die Mandelbrotmenge ist von quadratischem Charakter.
Mit logistischer / Verhulst Gleichung Abbildung ist aber stets Gleichung 2) gemeint. Historisch gesehen ist sie also nicht als Diskretisierung der logistischen DGL hervorgegangen, sondern eben ueber ein diskretes Populationsmodell.
Viele Gruesse
richy
zeitgenosse
27.07.07, 00:08
Kleiner Exkurs und Rekapitulation:
@richy
Irgendwie scheint mir, dass ich dich zuvor nicht richtig verstanden habe. Leider ist der zugrundegelegte Sachverhalt selbst in ansonsten guten Lehrbüchern (z.B. Heusser, "Gewöhnliche Differentialgleichungen") nicht immer eindeutig und unmissverständlich beschrieben.
So lese ich gerade in einem anderen Skript, dass die logistische Dgl. von VERHULST zur Untersuchung der Populationsdaynamik entwickelt wurde.
Diese Dgl. lautet in der allereinfachsten Form:
(d/dt) x --> y = (a - 1)x - ax^2
Daraus lässt sich dann die logistische Differenzengleichung ableiten:
x_n+1 = ax_n(1 - x_n)
Wenn ich es nun richtig verstanden habe, ist das die erforderliche Diskretisierung. Daraus lassen sich auch Iterationsvorschriften gewinnen.
Um eine logistische Funktion zu erhalten, schreibe ich folglich mit kühner Kreide:
y = a/(1 + b*e^(-k*x))
Als Graph bekomme ich dann eine Sigmoide:
sig(t) = 1/(1 + e^-t)
Damit verwandt ist übrigens die Gompertz-Funktion. Sie kann als Weiterentwicklung der logistischen Funktion angesehen werden.
Alternativ könnte ich auch schreiben (es kommt auf dasselbe hinaus):
f(x) = e^x/(1 + e^x)
Oder noch etwas allgemeiner:
f(x) = G * e^(kx)/(1 + e^(kx))
Um den Graph nach rechts zu verschieben - und so den Nullpunkt in den Koordinatenursprung zu verlegen - ergänze ich mit:
f(x) = G * e^(k(x - a))/(1 + e^(k(x - a)))
Der Parameter k bestimmt die Steilheit des Anstieges. Zu Beginn ist das Wachstum gering; am Wendepunkt im mittleren Kurvenabschnitt ist es am stärksten; danach nimmt es wieder ab. Letztendlich streben alle Kurvenbüschel gegen einen Sättigungswert - aber unterschiedlich schnell. Der Mathematiker wird sagen, dass die Lösungsfolge der logistischen Differenzengleichung monoton gegen den Sättigungswert K konvergiert.
Damit habe ich ein realistisches Wachstumsmodell bei begrenzten Ressourcen gefunden. Solches lässt sich u.a. sehr anschaulich an einer Käferpopulation verfolgen.
Zusammenfassend kann man somit sagen:
Es gibt eine logistische Differentialgleichung (Verhulstgleichung), die nicht mit der (diskreten) logistischen Gleichung verwechselt werden darf. Letztere nämlich ist eine Differenzengleichung. Dieser feine Unterschied war mir früher nicht bewusst.
Interessant ist nun aber, dass bei einem r > 1 gedämpfte Oszillationen resultieren. Bei einer Wachstumsrate 2 < r ensteht ein zyklisches Wachstum. Der Funktionsgraph pendelt nun zwischen zwei Extremen hin und her. Es bildet sich ein Zweierzyklus heraus. Bei r = 2.5 ensteht ein Viererzyklus (Periodenverdopplung). Je näher man dem mirakulösen Wert von 2.57 kommt, um so mehr Verdopplungen sind die Folge. Bei einem r > 2.57 ensteht erstes chaotisches Verhalten.
Trägt man sämtliche Lösungskurven ein, entsteht schliesslich das bekannte Feigenbaum-Diagramm. Sehr schön sind daraus die Bifurkationen abzulesen. Die Bifurkationsintervalle werden um so kleiner, je näher man dem Wert r = 2.57 kommt. Das Längenverhältnis zweier aufeinanderfolgender Intervalle bildet eine Konstante, die sog. Feigenbaumkonstante: δ = 4.6692...
Bei r > 2.57 sind nicht länger nur einzelne Häufungspunkte zu erkennen. Die einzelnen Funktionswerte erscheinen zufällig verteilt; dennoch handelt es sich um einen deterministischen Vorgang. Auch bleibt die Lösungsfolge endlich; denn alle Pukte liegen innerhalb eines scharf abgegenzten Bereiches.
Gibt es vielleicht Verbindungen zur Quantenmechanik? Unterliegt das statistische Verhalten einem strengen Mechanismus - gesteuert aus höherdimensionalen Räumen über komplexe Fourierreihen? Nichts wäre somit falscher als das Zufallsprinzip.
Ein weiterer Aspekt beginnt sich mit zunehmender Wachstumsrate herauszuschälen. Im chaotischen Bereich bilden sich "Inseln der Ordnung" heraus. Es entstehen schmale Streifen mit deutlich erkennbaren Häufungspunkten. Logistisch gesehen ist es aber wenig sinnvoll, Bereiche für r > 3 zu betrachten; denn von hier an divergiert die logistische Differenzengleichung für fast alle Startwerte.
Naja, jetzt bin ich doch weiter vorgestossen, als ich es eigentlich vorhatte. ;)
Gr. zg
Hi Zeitgenosse
Warum sollte Verhulst fuer die Beschreibung einer diskreten Populationsgroesse den Umweg ueber eine Differentialgleichung gehen ?
So lese ich gerade in einem anderen Skript, dass die logistische Dgl. von VERHULST zur Untersuchung der Populationsdaynamik entwickelt wurde.
Diese Dgl. lautet in der allereinfachsten Form:
A) (d/dt) x --> y = (a - 1)x - ax^2
Daraus lässt sich dann die logistische Differenzengleichung ableiten:
B) x_n+1 = ax_n(1 - x_n)
Das scheint mir sehr suspekt und die DGL nachtraeglich konstruiert.
Ich versuche im Folgenden die Konstruktion fuer dich aufzudecken:
Numerisch laesst sich die Differentation dx/dt (besser Integration ueber t)
z.B durch eine einseitige Differenz 1.Ordnung: approximieren:
dx/dt etwa (x(n+1)-x(n))/dt. t=n*dt
Einseitig und nicht zetral um ein explizites Verfahren zu erhalten.
(Eine Integration 4.ter Ordnung nach Adams Bashford waere sachgemaess)
Aber bleiben wir bei dem einfachen Ansatz: dx/dt etwa (x(n+1)-x(n))/dt mit dt=1
************************************************** ***********
in A)
x(n+1)-x(n)=a*x(n)-1*x(n)-a*x(n)^2
Wozu der Term -1*x(n) auf der rechten Seite ? Na der ist da hinkonstruiert damit -x(n) auf der linken Seite rausfaellt. Physikalisch hat der kaum einen Sinn. Diese Konstruktion habe ich dir an anderer Stelle aber auch schon vorgeschlagen. So wie ich sehe, konntest du damals nicht wissen worauf ich damit hinaus wollte.
Ansonsten ergaebe sich nicht die logistische Abblidung :
x_n+1 = a * x_n * (1 - x_ n)
sondern eben (ehemals deine Form)
x_n+1 - x_n = a*x_n*(1 - x_n)
x_n+1 = x_n + a*x_n*(1 - x_n)
Daher meine Vermutung, d.h. es ist so ziemlich sicher, dass die DGL A) lediglich ein nachtraegliches Konstrukt ist. Der Term -x(t) der rechten Seite.
Waere interessant wenn du mal bischen naeheres zur wahren Geschichte von Verhulst recherchieren koenntest. Es gibt da nur wenig Material.
Ich wuerde vorschlagen, die diskrete Form als logistische / Verhulst- Gleichung, Abbildung zu bezeichnen. So ist dies auch allgemein ueblich.
Und wenn die kontinuierliche Form gemeint ist den Begriff (DGL) hinzuzufuegen.
Z.B. Logistische / Verhulst Differentialgleichung.
Beide weisen voellig unterschiedliche Loesungsverhalten auf. Wobei die DGL nur eine untergeordnete Rolle spielt Sie ist analytisch loesbar kann auch kein oszillierendes oder gar chaotisches System beschreiben, da sie 1.Ordnung ist.
Waehrend die Differenzengleichung nicht loesbar ist fuer gewisse Parameter oszilliert und chaotische Loesungen enthaelt.
Obwohl sie nur 1.Ordnung ist !
Die logistische Abbildung ist analytisch nicht loesbar ! Bis auf die Loesung fuer r=2 die ich diesem Teufelswerk nach 15 Jahren Rumprobieren und Nachdenken zufaellig entreissen konnte :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/wiki1.gif
Ueber Laplace Fourier oder Z-Transformation kann man diese Loesung nicht gewinnen.
Aber ueber gesunden Menschenverstand mit etwas Schulmathematik.
Ein fundamentaler Unterschied zwischen DGL und DZGL !
Daher unterscheidet sich auch Heims diskretes Modell fundamental von einem kontinuierlichen. Die Grundgleichungen der ART sind nichtlinear.
Das Loesungsverhalten der Verhulst DZGL kann man dem Feigenbaumdiagramm oder dem Ljapunov Exponenten entnehmen. Neuerdings auch dem Zipfelsinn :-)
Damit habe ich ein realistisches Wachstumsmodell bei begrenzten Ressourcen gefunden. Solches lässt sich u.a. sehr anschaulich an einer Käferpopulation verfolgen.
Ja, aber realistisch ist nur die DZGL, die DGL ist nicht in der Lage das dynamische Verhalten der Kaeferpopulation zu beschreiben. Z.b die real auch auftretenden Oszillationen oder chaotische Kaeferdynamik. :D
In der Chaostheorie ist auch ausschliesslich die DZGL von Interesse.
Die DGL spielt in der Choastheorie keine Rolle.
Die Rueckwaertsiterierte, Nullstellen der verketteten Abbildung liefert sogar eine Juliamenge wie bei der DZGL der Mandelbrotmenge.
http://home.arcor.de/richardon/2007/poleklein.gif
Im chaotischen Bereich bilden sich "Inseln der Ordnung" heraus. Es entstehen schmale Streifen mit deutlich erkennbaren Häufungspunkten.
Und die letzte grosse Insel der Ordnung erhaelt man fuer r=1+Wurzel(8)
Die Zufallswerte bei diesem Parameterwert sind dann fast ideal zipfverteil.
Allgemein spielen gerade diese Grenzbereiche zwischen chaos und Ordnung (Ljapu=0) eine uebergeordnete Rolle. In der Mandelbrotmenge bilden diese genau diese fraktale Grenzschicht die wir dann auf den huebschen Bildchen bewundern. Ebenso ist eine Aussage der Chaostheorie, dass sich "Leben", Selbstorganisation genau an dieser fraktalen Grenzschicht entwickelt. Insbesonders auch immer weitab vom thermodynamischen Gleichgewicht.
Gibt es vielleicht Verbindungen zur Quantenmechanik?
Dazu muesste man nach Nichtlinearitaeten in der Schroedingergleichung suchen.
Und diese als DZGL nicht als DGL formulieren.
Unterliegt das statistische Verhalten einem strengen Mechanismus - gesteuert aus höherdimensionalen Räumen über komplexe Fourierreihen? Nichts wäre somit falscher als das Zufallsprinzip.
> einem strengen Mechanismus -gesteuert aus höherdimensionalen Räumen
Ja, das entspricht meiner Vorstelung. Die Unschaerfe ist bedingt durch die Abbildung des 6-D
auf unseren 4-D Raum. Vergleichbar mit einem 2-D Photo, dass niemals alle Teile des 3-D Raumes scharf abbilden kann.
> über komplexe Fourierreihen?
Diesen messe ich hier keine so grosse Rolle zu. Die FT ist ein Loesungsverfahren. Diese Geschichte mit dem vesrtaubten Mathematikbuch und den mehrdimensionalen Fourierreihen gefaellt mir ueberhaupt nicht.
> Nichts wäre somit falscher als das Zufallsprinzip.
Warum das denn ? Ja, der 6 D Raum waere vielleicht determiniert. Aber kennen wir alle Moeglichkeiten ? Haben wir prinzipiell Zugang zu diesen erweiterten Dimensionen ?
Also bleibt dies fuer uns Menschlein zufaellig.
Kleine Korrektur:
Logistisch gesehen ist es aber wenig sinnvoll, Bereiche für r > 3 zu betrachten; denn von hier an divergiert die logistische Differenzengleichung für fast alle Startwerte.
Du meinst Bereiche r > 4=1+Wurzel(9)
Die Nullstelen der verketteten Funktion sind dann alle reell. Zudem zerfallen sie in Cantorstaub. Es laesst sich auch zeigen, dass die dann noch stabilen Anfangswerte mit steigendem r ebenfalls zu Cantorstaub zerfallen.
Dass es ueberhaupt stabile Anfagswerte fuer r>4 gibt ist aber auch nur den wenigsten bekannt.
Viele Gruesse
(Diese Beitrag wurde gesponsert von USCHI, die 3 Stunden telephonieren kann :-)
zeitgenosse
27.07.07, 02:18
Warum sollte Verhulst fuer die Beschreibung einer diskreten Populationsgroesse den Umweg ueber eine Differentialgleichung gehen?
Unter der Verhulst-Pearl-Gleichung versteht man eine Differentialgleichung der Form:
dN/dt = rN(1 - N/K)
[wird in der Literatur auch als "logistische Gleichung" bezeichnet]
Gleichungen vom Typ := N_t+1 - N_t = delta N --> f(N_t)
hingegen sind Differenzengleichungen.
Dazu siehe:
http://www2.hu-berlin.de/biologie/theorybp/download/4/Syst11.pdf
Ein weiterer Autor schreibt (Seite 3ff., Rekursive Gleichungen):
"...gehen wir von der Differentialgleichung in eine Differenzengleichung über, die uns nur über diskrete Zustände Auskunft gibt. Das machen wir, indem wir die Zeit t durch die diskrete Variable n ersetzen und die Gleichung in eine rekursive Form bringen:
x_n+1 = rx_n(1 - x_n) --> f(x) = rx(1 - x)
[wird im Kontext ebenfalls als "logistische Gleichung" bezeichnet]
Dazu siehe:
http://www.kim-bostroem.de/Material/Texts/Science/Chaos.pdf
Gr. zg
Hi zeitgenosse
Zu spaeter Stunde.
(Uschi telephoniert wohl immer noch *fg. Seit 24 Uhr, Frauen halt *lol )
Darf man denen nicht uebel nehmen :-)
Die logistische Differentialgleichung
dN/dt = rN(1 - N/K) (ne bischen umnormierte Variante)
geht ueber die Diskretisierung, Approximation von dN/dt zu etwa N_t+1 - N_t NICHT ! in die logistische (DZGL) ueber.
Der Term -N_t verhindert die von Verhulst formulierte Form.
Daher die Midifikation der DGL auf der rechten Seite um den Term -N_t besser N_k zu kompensieren. Die modifizierte logistische DGL kompensiert diesen Term N_k,
ohne physikalische Hintergrund. DGL und DZGL sind ungleiche Geschwister.
Die logistische Gleichung und das ist die Ausgangsbasis lautet:
x(k+1)=r*x(k)*(c-x(k))
c gibt den Wertebereich an in denen sich fuer r=0..4 die Loesungen bewegen.
Die uebliche Form ist normiert zu c=1.
Wuerde ich c= 100 waehlen erhielte ich Werte zwischen 0 und 100.
Es ist eben so, dass hier etwas unueblich die diskrete Form die Ausgangsbasis ist. Die logistische Abbildung ist keine Diskretisierung der als solchen bezeichneten logistischen DGL, sondern umgekehrt die modifizierte DGL mit dem physikalisch sinnlosen Term -x(k) eine kontinuierliche und auch unbedeutsame Konstruktion AUS DER logistischen Gleichung.
Diese beiden Paare gehoeren also (numerisch Taylor FehlerOrdnung 1) zusammen:
x(k+1)=r*x(k)*(c-x(k))
dx(t)/dt=r*x(t)*(c-x(t))-x(t)
Minus x(t) also !
Zusammengefasstl :
Die diskrete logistische / Verhulst Gleichung ist die Basis und stellt nicht die Diskretisierung
der losgistischen DGL dar dx(t)/dt=r*x(t)*(c-x(t)).
sondern der Gleichung :
dx(t)/dt=r*x(t)*(c-x(t))-x(t)
Ziemlich verwirrend nicht ?
ciao
richy
Hallo,
bei der Untersuchung der + und – Wurzelverteilung bei der Rückwärtsiteration bin ich an Frage nach der Rechengenauigkeit des Computers hängengeblieben.
bemerkenswert :
x := 0;
for n := 1 to 100 do x := x + 0.1;
memo1.lines.add(floattostr(x));
also 100 mal 0,1 addieren
Ergebnis : x = 9,99999999999998
Integerrechnerei ist auch nicht viel besser: 1E15 + 1 = 1E15
Das ein Computer prinzipiell nicht genau rechnen kann ist klar, da der Speicherbereich für eine Zahl immer auf irgendeine Anzahl von Bits begrenzt ist. Aktuelle Prozessoren können mit maximal 64 Bit Binärzahlen umgehen .
Was ich bisher nicht wusste ist, dass z.B. 0,1 binär gesehen eine periodische Zahl ist!
Erstaunlich ist auch, wie schnell eine „chaotische“ Folge nicht mehr chaotisch ist, wenn man mit der Rechengenauigkeit noch etwas heruntergeht, also nach 10 oder 8 Nachkommastellen abschneidet.
Hat aber vermutlich nichts mit der Fragestellung zu tun.
Gr. soon
zeitgenosse
31.07.07, 01:41
Zusammenfassend:
Verhulst Gleichung:
p_n+1 = p_n + ap_n (1 - p_n) = (1 + a)p_n - a(p_n)^2
Normierte logistische Gleichung:
x_n+1 = rx_n(1 - x_n) ; 0 < r < 4
In äquivalenter Schreibweise:
x_n+1 = rx_n - r(x_n)^2
Offensichtlich handelt es sich hier um eine Differenzengleichung (DzGl). Damit werden auch Iterationen erst möglich.
Historisch interessant ist der Umstand, dass sich bereits Poincaré mit dem deterministischen Chaos (kritischer Orbit) befasste, obwohl die Chaostheorie noch nicht geboren war. Er fand heraus, dass es sowohl stabile Punkte als auch instabile Repellor's gibt (siehe dazu auch "Banach'scher Fixpunktsatz"). Intermittenz kündigt die nahende Ordnung an. Der Lyapunov-Exponent kann als Indikator der Ordnung betrachtet werden.
Gr. zg
Hallo Zeitgenosse
x_n+1 = rx_n(1 - x_n) ; 0 < r <= 4
Mit der 4 wird es ja erst richtig interessant
Gruss
soon
Hi
EDIT
****
>
Verhulst Gleichung:
p_n+1 = p_n + ap_n (1 - p_n) = (1 + a)p_n - a(p_n)^2
>
Kannst du eine Quelle fuer diese Gleichung und Bezeichnung nochmals angeben ?
Ich bin damit nicht so ganz einverstanden. Auch nicht sicher ob diese Form ueberhaupt konvergente Bereiche aufweist. Um ein geeigetes Paar DGL DZGL zu finden es ist auch viel einfacher die logistische DGL zu modifizieren. Wie oben bereits beschrieben.
@soon
Und sogar fuer r>4 gibt es stabile Bereiche. Deine Beobachtungen zur Rechenungenauigkeit habe ich auch schon gemacht. Iteriere ich einen komplexen Punkt 100 oder 1000 mal vorwaerts oder rueckwaerts hin und her, landet der ueberall, aber sicherlich nicht bei seinem Anfangswert. Abhaengig vom Ljapunovexponenten, also wie chaotisch, sensibel das System reagiert.
Das ist auch die Kernaussage ueber chaotische Systeme. Empfindlich gegenueber den Ausgangswerten und damit auch gegenueber den Rechenungenauigkeiten. Es gibt daher in den chaotischen Bereichen gar keine spezielle Mandelbrotmenge. Ab und zu wird darauf auch hingewiesen, dass das Ergebnis abhaengig ist von der Genauigkeit des Prozessors oder Compilers.
Sachgemaesser waere eine Darstellung des Ljapunovexponenten. So etwas gibt es auch fuer die Mandelbrotmenge.
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Was ich bisher nicht wusste ist, dass z.B. 0,1 binär gesehen eine periodische Zahl ist!
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Genau mit der Problematik hatte ich schon mal bei einem Programm in Form von unerwarteten Instabilitaeten zu kaempfen. Ohne Anregung schaukelte sich das Feld auf und divergierte. Ursache war hier tatsaechlich die Rechenungenauigkeit der Nachkommastellen. 0.5 ist eben weitaus genauer darstellbar als 0.1. Ausser kuenstlich numerisch bedaempfen , Viskositaet fand ich dafuer auch keine Loesung. BCD Zahlen waeren vielleicht eine Alternative.
@zeitgenosse
Man koennte Poincare sogar als Vater der Chaostheorie ansehen ?
Das Unangenehme am Ljapunovexponenten ist, dass es notwendig ist die Systemgleichungen zu kennen um diesen zu berechnen. Aus Messdaten ist mir hierfuer bisher keine Methode bekannt.
Vielleicht verstehst du, warum ich meine, dass der Zusammenhang zu der Abweichung der Zipf Verteilung bemerkenswert ist Die Verteilung, damit die Abweichung von der Zipf Verteilung, der von mir als "goldenes Guetemaß" bezeichnete Wert, kann ich alleine aus den Meßwerten ermitteln. Ich bin eher zufaellig darauf gestossen.
Weiss bisher selber nicht warum dem so ist. Dazu muesste sich ein profesioneller Mathematiker mal mit dem Zusammenhang beschaeftigen.
Den Grad von Ordnung und Chaos kann ich leider aus dem Informationsmaß noch nicht ermitteln.
Das waere aber hochinteressant und nuetzlich. Jedoch sind die Nullstellen und Peaks des goldenen Guetemaßes miteinander korelliert. Und immerhin sind ja auch diese von besonderem Interesse. Dazu nochmal mein numerisches Experiment hier :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/zipf/verh1.htm
Die Ergebnisse dort sind keineswegst selbstverstaendlich.
Auch dieses Bild ist mir bisher eher unerklaerlich:
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/zipf/erg1.gif
KUERZBESCHREIBUNG :
In der Grafik stellt jeder Punkt der Funktionen das Ergebnis einer numerischen Simulation der logistischen Glcihung ueber den Parameter r dar. Genauso wie beim Feigenbaumdiagramm.
Die BLAUE Funktion zeigt wie gewohnt den Ljapunovexponenten L der Gleichung ueber r.
L<0 "Ordnung" L=0 Birfukation L>0 "Chaos"
Die ROTE Funktion ist verknuepft mit dem semantischen Informationsgehalt. Wobei dieser fuer den Wert 0 am groessten ist. Numerisch ist jeder Funktionswert wie folgt recht einfach ermittelt:
Das Intervall 0..1 diskretisiere ich zunaechst in Haeufigkeitsklassen und ermittle wie oft die Ausgangsfolge in die entsprechenden Klassen faellt. Also die Verteilung der Ausgangsfolge.
Ein einfaches Abzaehlen. Als Referenz verwende ich nun die Zipfsche Verteilung, der ein maximaler semantischer Informationsgehalt zugesprochen wird. Um ein Guetemaß (einen Punkt der roten Funktion ) zu erhalten wende ich nun auf die gemessene Verteilung und die Referenz (Zipf Verteilung) die Methode der kleinsten Quadrate, das Gaussche Fehlerintegral an. Ich summiere einfach die Quadrate der Abstaende, Differenz beider Verteilungen.
Klingt kompliziert ist aber ueberhaupt nicht aufwendig,
Wie koennte ich diese mit den Nullstellen des Ljapu (blau) korrelierten Peaks (rot) am guenstigsten erfassen ? Welche Korrelation gibt es fuer die Bereiche 0>L>0 (blau) in der roten Kurve ? Gibt es die Ueberhaupt ?
Der Lohn waere ein numerisches Verfahren, anhand dessen ich den Grad der Ordnung / Unordnung des Systems ohne Kenntnis der Systemfunktion MESSEN koennte. Durchaus erstrebenswert.
Fuer die Birfukationsstellen sicherlich auch jetzt schon relativ einfach realisierbar.
(Ableitung der Funktion ? )
Fuer Systeme 1.Ordnung habe ich einen Algo entworfen, der den Ljapu nur anhand der
Messwerte ueber numerische Differentation bestimmen kann.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/le3.htm
Die Voraussetzung 1.Ordung ist aber nun mal in der Praxis sehr einschraenkend.
BTW: Anhand einer DZGL hoeherer Ordnung habe ich die Korrelation leider auch noch nicht getestet. Das waere natuerlich unbedingt notwendig. Auch fuer ein System nichtkonstanter Koeffizienten.
Auf analytischem Wege eine Ursache dieser Korrelation zu ermitteln sicherlich auch eine interessante aber auch anspruchvolle Aufgabe.
Anwendungsbeispiel A ...
Ahem, doch lieber geloescht.
Viele Gruesse
richy
@soon
Rechnest du die Rueckwaertsiterierte komplexwertig ?
Welches Ziel verfolgst du ?
Sind meine Ausfuehrungen hier verstaendlich ? Was koennte ich verbessern ?
Haettest du Lust und Zeit die bisherigen Ergebnisse mit weiterzuentwickeln ?
Konkretes momentanes Ziel :
Wie kann ich die blaue Funktion auf die rote Abbilden ?
Hilfsmittel and die ich denke FFT DFT
Info: Die Rueckwaertsiterierten stellen die Nullstellen des verketteten Polynoms dar.
Hi zeitgenosse
Vorschlag zu den Bezeichnungen.
Der Begriff "Verhulst" ist eigentlich unueblich. Ich verwende den Begriff dennoch gerne um damit den Namen dieses grossartigen Biologen nicht vergessen zu machen. Roentgenstrahlen werden im amerikanischen Sprachgebrauch als x-rays bezeichnet. Warum ist klar und ich finde das saudoof.
"x" entspricht "Roentgen" wie "Verulst" "logistisch" entspricht.
Ich bin dennoch damit einverstanden den Begriff "Verhulst" nicht mehr zu verwenden um weitere Missverstaendnisse zu vermeiden.
a) Die logistische (Differenzen) Gleichung lautet:
y(k+1)=r*y(k)*(c-y(k)), normiert c=1
b) Die logistische Differentialgleichung lautet:
dy(t)/dt =r*y(t)*(c-y(t)), normiert c=1
b besitzt eine analytische Loesung. a ist fuer r<>2 analytisch unloesbar
Wir mochten b auf dem digitalen Rechengeraet numerisch simulieren.
Diskretisieren wir b also mittels einer einseitigen Differenz 1.ter Ordung !
dy(t)/dt = ( etwa, in weitestem Sinne :-) (y(k+1)-y(k))/dt, t=k*dt,
Sachgemaesser waere es die Gleichung :
dy(t) = r*y(t)*(c-y(t)) dt numerisch zu integrieren.
Fuer eine Taylorfehlerordnung 1 kommt dabei aber das selbe raus.
Fehlerordnung 1 da die logistische DZGL auch lediglich eine (DZ) GL 1.ter Ordnung ist
Normiert mit dt=1 erhalten wir letzendlich die Naeherung:
dy(t)/dt =y(k+1)-y(k)), k=t
*********************
Setzen wir diese Naeherung in b ein
dy(t)/dt =r*y(t)*(1-y(t))
******************************
erhalten wir die DZGL ?
.....
Fuer die Loesung lasse ich auch ein Weissbier springen :-)
Entspricht diese diskretisierte Form der logistischen Abbildung ?
Was ist einfacher :
Eine modifizierte Form der logistischen DGL oder DZGL zu untersuchen ?
Auch fuer diese Antworten ein Weissbier :-)
ciao
richy
den letzten Thread habe ich noch etwas editiert
Hallo,
nochmal abschliessend zur Rechengenauigkeit:
wenn man die Rechengenauigkeit des Computers merklich erhöhen will, muss man von den vorgegebenen Zahlentyen (integer,single,extended usw.) auf eigene ausweichen.
z. B.
var
x : array[1..100000] of boolean;
y : array[1..100000] of boolean;
ergebnis : array[1..100000] of boolean;
Für die Zahlen x,y, usw. stehen damit jeweils 100000 Bits zur Verfügung statt 64.
Dann muss man noch die Prozeduren für die Rechenoperationen (Addition, Multiplikation , usw.) selber schreiben. Man emuliert also softwaremässig den mathemathischen Coprozessor.
Die Ungenauigkeit wird dabei kleiner, bleibt aber prinzipiell erhalten. Bei einer Erhöhung der Rechengenauigkeit durch Zuweisung von mehr Speicherplatz für eine Zahl, kommt noch eine gegenläufige Grösse mit ins Spiel: die zur Verfügung stehende Rechenzeit.
Eigentlich reicht es auch festzuhalten : Wenn man mit dem Computer iterative Prozesse untersucht, handelt es sich nicht um eine rein mathematische Angelegenheit , vielmehr hat man es mit einem ‚natürlichen System‘ zu tun, bestehend aus mathematischer Gleichung und physikalischer Hardware.
Und es gilt : Ungenauigkeit resultiert aus Begrenztheit.
Gr. soon
@Richy
Antwort kommt noch
Hi
Verwendet man ein Compteralgebrasystem muss man die von dir vorgeschlagene Methode nicht selbst implementueren. Die Genauigkeit laesst sich dann vorgeben. In C lassen sich BCD Zahlen verwenden. Ich habe aber keinerlei Erfahrung mit diesen.
http://mandalex.manderby.com/b/bcd.php
Im Link ist auch das Codierungsbeispiel von 0.1 angegeben.
In der Regel ist die Rechengenauigkeit auch meist ausreichend.
Im Falle nichtlinearer System waere eine unendlich hohe Genauigkeit notwendig.
Das laesst sich natuerlich nicht erreichen.
zeitgenosse
05.08.07, 00:00
In C lassen sich BCD Zahlen verwenden. Ich habe aber keinerlei Erfahrung mit diesen.
Ich hingegen schon, aus der Maschinenprogrammierung (SPS-Technik); z.B. Ansteuerung einer 7-Segment-Anzeige mittels BCD-Wandler.
BCD-Zahlen (8-4-2-1) erhöhen die Rechengenauigkeit nicht. Sie sind jedoch nützlich für den Elektroniker, weil man mit lediglich 4 Leitungen auskommt (anstatt sieben). Für ein dreistelliges Display (0 ... 999) benötige ich aber bereits 3 x 4 = 12 Leitungen.
In solchen Fällen (und vor allem wenn die Leitung sehr lang ist) verwendet man mit Vorteil eine Busverbindung (Profibus) oder sogar eine Ethernetankopplung. Mit der heutigen Technik ist das überhaupt kein Problem.
Gr. zg
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