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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Extremwertproblem


George
01.11.08, 21:14
Hallo Allerseits,

Ich muss eine Extremwertproblem Aufgabe lösen, bei der ich nicht weiterkomme:

Bei einer Rechteckigen Glasplatte ist eine Ecke abgebrochen. Aus dem Rest soll eine rechteckige Scheibe mit möglichst großen Inhalt herausgeschnitten werden.

http://www1.minpic.de/bild_anzeigen_kleiner.php?img=34941.jpg

a) wie ist der Punkt P zu wählen :confused:

Also an die Mathefreaks im forum: Bitte um Hllfe. Für zahlreiche Antworten danke schon mal im voraus

Mit Grüßen, George

richy
01.11.08, 22:22
Hi
Der Link funktioniert leider nicht.

Allgemeine Vorgehensweise.
Dieser Punkt P wird von den Koordinaten x,y abhaengen.
(Wenn man das Rechteck auch drehen kann einem Winke phi.)
Fuer diese Parameter ergeben sich unterschiedliche Rechtecke R.
Schwierigste Aufgabe wird es sein den Flaecheninhalt dieser Rechtecke als Funktion der Parameter x0,y0 zu ermitteln. Die Flaeche A(x0,y0)
Und diese Flaeche maximierst du dann mittels Differentialrechnung. Indem du nach x0,y0 ableitest.

Fuer einen Parameter gilt als Extremwert:
a) dA(x0)/dx0=0
Die Steigung auf der Bergspitze oder der Talsohle ist gleich Null.

Lauft man in ein Tal ist die Steigung erst kleiner Null, beim Verlassen groesser Null.
Die Ableitung reicht also von negativen Werten nach positiven Werten.
Die Ableitungsfunktion dA(x0)/dx0 selbst hat also eine positive Steigung.
D.h. die zweite Ableitung ist groesser 0

An der Bergspitze ist es Umgekehrt
D.h. die zweite Ableitung ist kleiner 0
Dass waere die zweite Bedingung , dass der Extremwert nach a) ein Maximum ist.

Fuer 2 Parameter schlaegt man die Ableitungsbedingungen am besten nach.
Ich hab sie grad nicht im Kopf.

George
01.11.08, 23:29
Hey Richy,

Hier einmal ein funktionierender Link:
http://www.quanten.de/forum/attachment.php5?attachmentid=101&stc=1&d=1225576747

Ja, P hägt von x und f(x) ab. Ich nehme 3 Punkte, P selbst (und bezeiche es als P3), und jeweils einen am ende der geraden (also P1 und P2) , auf der P liegt. Für die Fläche A= a*b habe ich dann eine Funktion:

A(x1,x3,y2,y3)= [80- (x1+ x3)]* [60-(y2-y3)]

ich wähle nun ein KOS, indem die linke Seite des rechtecks genau auf der y- Achse liegt. Es ergibt sich somit: x1= 0 und zusätzlich weiß ich, dass y2= 60 ist. In A(x) eingesetzt:

A(x,y)= (80-x3)* [60-(60- y3)]

Jetzt habe ich x3 und y3 als variable gewählt. Ich lasse nun durch P1 und P2 eine Funktion laufen (die also alle 3 punkte durchläuft). Für die erhalte ich

f(x)= 1,5x +30

ich kann diese in A(x) einsetzen und erhalte nach Umformen:

A(x)= 1,5x²- 150x+ 2400
A'(x)= 3x- 150

Hier einmal meine Überlegung Grafisch:
http://www.quanten.de/forum/attachment.php5?attachmentid=102&stc=1&d=1225578482

So brauch ich nicht mit 2 Variabeln zu rechnen. Für die notw. Bedingung A'(0) habe errechne ich

x= 50

Das kann aber nicht sein, denn bei x= 50 kann P garnicht liegen. Die Gerade, auf der P liegt ist für die Definitionsmenge als Df = [0;20] definiert. Nach x= 20 hat man ja gar keine Glasplatte mehr, die man schneiden könnte... Hier komm ich also nicht mehr weiter...

Gruß

Uli
02.11.08, 00:09
Hey Richy,
A(x)= 1,5x²- 150x+ 2400
A'(x)= 3x- 150
Gruß

Vorzeichenfehler ?

A(x,y)= (80-x)*y

Ich kriege nach Einsetzen
A(x) = (80-x)*(1.5x+30) = 120x + 2400 - 1.5x² - 30x = -1.5x² + 90x + 2400
A'(x) = -3x + 90
==> x = 30

EMI
02.11.08, 03:30
Vorzeichenfehler ?

A(x,y)= (80-x)*y

Ich kriege nach Einsetzen
A(x) = (80-x)*(1.5x+30) = 120x + 2400 - 1.5x² - 30x = -1.5x² + 90x + 2400
A'(x) = -3x + 90
==> x = 30

Vorzeichenfehler ja, aber x=30 liegt immer noch außerhalb der Glasplatte.
Bis hierhin noch richtig:
A(x) = -1.5x² + 90x + 2400

Gruß EMI

PS: Die größte Fläche ergibt sich bei P2(x2=20, y2=60) = 60²
Die Verschnittflächen addieren und den Punkt P von deren Minimum ermitteln;)

George
02.11.08, 11:37
PS: Die größte Fläche ergibt sich bei P2(x2=20, y2=60) = 60²
Die Verschnittflächen addieren und den Punkt P von deren Minimum ermitteln;)

Was meinst du mit "Verschnittflächen addieren"? Wie komm ich auf 60²?...

Uli
02.11.08, 12:30
Vorzeichenfehler ja, aber x=30 liegt immer noch außerhalb der Glasplatte.


Quatsch - die Platte ist doch 80 cm breit: meine Lösung stimmt.

Edit: hast ja doch irgendwie recht damit (s.u.)

George
02.11.08, 12:38
Quatsch - die Platte ist doch 80 cm breit: meine Lösung stimmt.
Kann man hier denn nicht mal 'ne "Pipi-Aufgabe" vorrechnen, ohne dass wer es besser weiß ?

EMI hat schon recht... Es geht ja nicht um die ganze Platte, sondern um das Stück, wo die Abgebrochen ist, wo der Punkt P liegt. Wenn man ein Koordinatensystem wählt, wo also mein P1 die koordinate x=0 hat, so ergibt sich ein Maximales ergebnis für x bei 20 (80- 60, also die länge der platte unten minus der oberen länge).. Ich muss irgendwo die 20 herholen..

Vielleicht sollte ich so tun, als hätte ich falsch gerundet :D :D

gruß

Uli
02.11.08, 12:47
EMI hat schon recht... Es geht ja nicht um die ganze Platte, sondern um das Stück, wo die Abgebrochen ist, wo der Punkt P liegt. Wenn man ein Koordinatensystem wählt, wo also mein P1 die koordinate x=0 hat, so ergibt sich ein Maximales ergebnis für x bei 20 (80- 60, also die länge der platte unten minus der oberen länge).. Ich muss irgendwo die 20 herholen..

Vielleicht sollte ich so tun, als hätte ich falsch gerundet :D :D

gruß

Naja, das Extremum wäre bei x=30. Der Bruch endet aber schon bei x=20. Also ist x=20 dem Extremum am nächsten und somit die Lösung. So würde ich argumentieren.
Bei x=20 verschwindet natürlich keine Ableitung; das ist einfach der Rand des Definitionsbreiches; und dort ist die Fläche am größten.

richy
02.11.08, 20:27
Habs auch grad nachgerechnet :
A(x,y)=(80-x)*y
y laesst sich ueber x ausdruecken
y=30+30/20*x fuer 20>x>0
Setzt man ein erhalet man die bereits genannte Funktion
A(x)=2400+90*x-3/2x^2
Deren Maximum liegt bei x=30 also nicht im Intervall [0..20]

Die Ableitung ist im Intervall stets positiv. Es reicht dies fuer einen Punkt darin zu zeigen zum Beispiel fuer 0. Denn 30 ist ja das einzigste Extremum :
Laesst man sich die Funktion ausdrucken, so sieht man auch dass sie monoton steigend ist.

Deren Maximum liegt also beim maximalen x=20
So wie Uli auch argumentiert hat. Es ist ein Randmaximum.
Fuer x>20 ist die Funktion nicht mehr
y=30+30/20*x
sondern konstant
y=60

Wuerde ich x noch weiter erhoehen, so wurde sich y nicht mehr aendern und die Flaeche wieder schrumpfen, da (80-x) kleiner wird.
y ist eine unstetige Funktion damit auch A(x,y).
Man koennte
A=(80-x)*(30+30/20*x) fuer 20>x>0
A=(80-x)*60 fuer 80>x>20
darstellen. Dann wuerde man das Maxiumum besonders gut sehen.

EMI
03.11.08, 01:57
Ich muss irgendwo die 20 herholen...

Nimm die 30 (Maximum) und zieh davon 10 ab. 30-10=20 Da hast Du deine 20.;)

EMI

PS: Die 10 darfst Du von den 30 abziehen, um wieder auf der Glasplatte zu landen.

richy
03.11.08, 02:30
Auch fuer den Wert x=30 existiert ein Rechteck auf der Glasplatte.
Das habe ich im letzten Thread doch gezeigt.
Der "Fehler" ist, dass in dieser Grafik die Funktion y(x) nicht richtig dargestellt
ist.
http://www.quanten.de/forum/attachment.php5?attachmentid=102&stc=1&d=1225578482
Die Verlaengerung ueber den Wert x=20 existiert nicht.
Beim Wert 20 ist y(x) unstetig und folgt dann dem Verlauf der oberen Kante der Glasplatte.
Sie nimmt dann den festen Wert y=60 an :

y(x)=(30+30/20*x) fuer 20>x>0
y(x)=60 fuer 80>x>20

EMI
03.11.08, 02:53
Auch fuer den Wert x=30 existiert ein Rechteck auf der Glasplatte.
Die Verlaengerung ueber den Wert x=20 existiert nicht.
Beim Wert 20 ist y(x) unstetig und folgt dann dem Verlauf der oberen Kante der Glasplatte.
Sie nimmt dann den festen Wert y=60 an :
y(x)=(30+30/20*x) fuer 20>x>0
y(x)=60 fuer 80>x>20

Hallo richy,

schon klar.
Das Rechteck für den Wert x=30 hat auch die maximale Fläche, aber der "Glasanteil" dieser Fläche ist halt nicht die maximal mögliche Glasfläche. Die ist 60².
In y(x)=(30+30/20*x) müsste x irgendwie bis 20 begrenzt werden.

Gruß EMI

richy
03.11.08, 03:01
In y(x)=(30+30/20*x) müsste x irgendwie bis 20 begrenzt werden.

Genau das habe ich doch oben getan !
Die Funktion ist abschnittsweise anzugeben.

Fuer x=0..20 lautet sie
y(x)=(30+30/20*x)
fuer x=20..80 lautet sie
y(x)=60

Das ist genau die Funktion dem die obere Kante der Glasplatte folgt.
Miniaturansicht der unstetigen Funktion y(x) :
.___
/

Das Rechteck für den Wert x=30 hat auch die maximale Fläche,

Nein. Die Verlaengerung der Funktion y(x)=(30+30/20*x) existiert nicht.
Aber sehr wohl ein Rechteck fuer x=30.
Und dessen Flaecheninhalt ist (80-30)*60
Und ich brauche gar nicht nachrechnen, dass dies kleiner ist als die Flaeche bei x=20.
Dort ist die Flaeche (80-20)*60
Ab da eben (80-x)*60

aber der "Glasanteil" dieser Fläche ist halt nicht die maximal mögliche Glasfläche.
Schon klar was du meist. Es geht aber nicht um irgendwelche nichtexistierenden Glasanteile.
Was denn waere wenn die Funktion y(x) bei x=20 keinen Knick haette.
Sie hat da nun mal den Knick und ist von 0..80 abschnittsweise definiert.
Die geistige Verlaengerung des ersten Abschnittes spielt keine Rolle ausser dass ich damit argumentieren kann, dass die Flaeche von x=0..20 eine monoton steigende Funktion ist.

EMI
03.11.08, 04:03
Ich würde vorschlagen George bricht noch etwas von der Ecke weg;) , so das P2 nicht bei x=20 sondern bei x= 262/3 ~ 26,6666667 ist.

Dann ist sein P2 auch der Maxwert für Delta x und y!
Dann braucht er auch mit dem Glasschneider nicht mehr in der Luft rumschneiden.:)

EMI

Sino
03.11.08, 15:47
Nach x= 20 hat man ja gar keine Glasplatte mehr, die man schneiden könnte... Hier komm ich also nicht mehr weiter...


Wenn Du ein lokales Maximum für x=30 rausbekommst, das aber wegfällt, da es nicht im Definitionsbereich liegt und sich sonst rechnerisch kein lokales Maximum im Bereich ]0..20[ ergeben hat, dann muss sich bei einer der Intervallgrenzen das absolute Maximum befinden.
In dem Fall ist das die 20, sagt einem schon die Logik, aber man kann auch für x=0 und x=20 ausrechnen und das x nehmen, wo sich der grösste Wert ergibt.


Extremwertsatz:
"Wenn eine Funktion f in einem Intervall [ a; b] stetig ist, dann hat sie in diesem Intervall auch einen kleinsten und größten Wert."

Also wenn die Funktion f in [a,b] definiert und stetig ist und Du in dem Intervall kein lokales Maximum mittels der Ableitungen von f findest, muss also danach auf einer der Intervallgrenzen ein absolutes Maximum sein. Für das Minimum gilt natürlich das Gleiche.

P.S.: Denk gerade über die Stetigkeit nach. Unstetigkeit wäre für den Satz eigentlich nur ein Problem, wenn die Funktion an einem x innerhalb des Intervalls gegen unendlich streben würde. Im Definitionsbereich ist die Funktion aber für alle x definiert und somit automatisch nach oben und unten beschränkt, wenn der Definitionsbereich ein geschlossenes Intervall ist. Von daher ergibt sich in diesem Fall der Sachverhalt schon allein daraus. ( Wenn das nun zu formal war, dann ist die Uni schuld. Einmal eine "Kleinigkeit" in 'nem Beweis vergessen, schon wurden da 3 von 4 Punkten abgezogen. ;) )

George
04.11.08, 11:06
Ich würde vorschlagen George bricht noch etwas von der Ecke weg;)
EMI

hehe, genau! sich einfach das nehmen, was man braucht:D Ist immer ne gute Vorgehensweiße:)

Naja ich glaub ich hab es dann soweit verstanden. Da die Funktion stetig ist, muss sich das Extrema also am Rand des Definitionsbereiches befinden, also x= 20.

Grüße, George

Sino
04.11.08, 12:04
hehe, genau! sich einfach das nehmen, was man braucht:D Ist immer ne gute Vorgehensweiße:)

Naja ich glaub ich hab es dann soweit verstanden. Da die Funktion stetig ist, muss sich das Extrema also am Rand des Definitionsbereiches befinden, also x= 20.
Ja genau, also wenn Du kein lokales Maximum in dem Intervall mittels Ableitung findest, die Funktion stetig ist, und die Intervallgrenzen mit zum Intervall gehören, es also ein geschlossenes Intervall ist, dann muss eine der Intervallgrenzen ein absolutes Maximum sein.

Ich weiss ja nicht, wozu Du das rechnen musst, ob Schule, Ausbildung ...

Allgemein bei einer Kurvendiskussion:
Wenn man eine stetige differenzierbare Funktion hat, die auf einem geschlossenen Intervall definiert ist und dazu absolute Minima und Maxima bestimmen soll, dann schaut man erstmal mittels 1. und 2. Ableitung, ob innerhalb des Intervalls lokale Minima und Maxima sind und rechnet diese gegebenfalls aus.
Danach rechnet man die Funktionswerte an den 2 Intervallgrenzen aus und vergleicht die mit den lokalen Minima und Maxima.
Der grösste bzw kleinste Wert aus den ganzen Werten ist dann ein absolutes Maximum bzw. Minimum.


( Wenn ein oder beide Intervallgrenzen offen sind, weil die Funktion auf der Intervallgrenze selber nicht definiert ist, kann man da natürlich nicht direkt einsetzen. Dann muss man eine Grenzwertbetrachtung machen, also ein x innerhalb des Intervalls gegen die Intervallgrenze streben lassen und schauen, wogegen der Funktionswert strebt. f(x)=1/x²+10 im Definitionsbereich (0;1]. wäre so ein Fall. Die Funktion hat dann kein absolutes Maximum, weil für x->0 f(x) gegen unendlich strebt. Das absolute Minimum ist aber da und hat den Wert 11. )

Wenn Du das ganze öfter brauchst Klassenarbeit/Klausur/Übungsaufgaben ... dann würde ich mir nochmal durchlesen, wie man eine Kurvendiskussion macht und ein paar Übungsaufgaben rechnen.

zeitgenosse
04.11.08, 12:14
Wenn wir gerade bei den Extrema sind, hätte ich auch eine einfache Aufgabe:

Es soll ein (rechteckiger) Hühnerhof angelegt werden. Dazu stehen 40 m Zaun zur Verfügung. Wie gross ist die maximale Fläche?

Gr. zg

EMI
04.11.08, 12:59
Wenn wir gerade bei den Extrema sind, hätte ich auch eine einfache Aufgabe:
Es soll ein (rechteckiger) Hühnerhof angelegt werden. Dazu stehen 40 m Zaun zur Verfügung. Wie gross ist die maximale Fläche?

Na ja, die größte Fläche ergibt ein Kreis. das ist aber nicht die Frage.
Als rechteckiger Hühnerhof sind es 100m² maximal. Hühnerhof als gleichseitiges Rechteck/Quadrat(geviert).

Gruß EMI

PS:Bei gegebenen Umfang ist die max.Fläche eines Rechtecks immer ein Quadrat!

Umfang = 4a
Rechteck Seiten a-x, a+x
Fläche = A = a² - x²
dA/dx = - 2x
=> x = 0
A = a²
A = (U/4)² mit U=40m folgt:
A = (40m/4)² = 100m²

zeitgenosse
04.11.08, 13:09
Als rechteckiger Hühnerhof sind es 100m² maximal.

Das sehe ich auch so.

F'(x) = 0

F''(10) = -2

F(10) = 20*10 - 10^2 = 100

Gr. zg

zeitgenosse
04.11.08, 14:03
Eine zweite Praxisaufgabe zum Thema, die mir gerade in den Sinn kommt:

In einem Blechverarbeitungsunternehmen (Dosenhersteller) sollen die Herstellungskosten für ein bestimmtes Produkt gesenkt werden. Dazu soll u.a. bei der Fertigung von zylindrischen Blechdosen mit gegebenem Volumen der Materialverbrauch minimiert werden (bekanntlich ist die benötigte Menge an Weissblech proportional zur Dosenoberfläche). Somit soll für den optimalen Blechzylinder mit Nebenbedingung V = h(Pi*r^2) die minimale Oberfläche O(r, h) ermittelt werden. Zu bestimmen sind demzufolge der Radius (r) und die Höhe (h) einer solchen Dose.

Gr. zg

richy
04.11.08, 15:12
Methode von Lagrange :
http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator

Volumen :
V=h*Pi*r^2.
soll maximiert werden

Flaeche : A= Mantelflaeche+2 mal Deckelflaeche
A=2*Pi*r²+2*Pi*r*h
soll minimiert werden

Muesste jetzt nachschlagen, aber versuche es mal aus dem Kopf :
dA/dr=4Pi*r+2*Pi*h =! 0
dA/dh=2*Pi*r =! 0

Nee das koennen nicht die Nebenbedingungen sein r=0, h=0
Ist ja klar dass dann die Oberflaeche minimal ist
Ist einfach die Oberflaeche die Nebenbedingung ?
Wenn ich dann nach der Lagrangen Koordinate lambda ableite erhalte ich dann aber die Bedingung dass die Oberflaeche 0 sein soll. Richtig waere aber dass diese konstant ist.
Ich versuche es mal so :

NB:
2*Pi*r²+2*Pi*r*h-c=0

H(r,h,l1)=h*Pi*r^2 + l1*(2*Pi*r²+2*Pi*r*h-c)

dH/dr=2*h*Pi*r + l1*4*Pi*r + 2*Pi*h=0
dH/dh=Pi*r^2+l1*2*Pi*r=0
dH/dl1=2*Pi*r^2+2*Pi*r*h-c=0

Das Gleichungssystem haette die Loesung :
h = r^2/(r+1)

Aber als Dosenhersteller wuerde ich nochmals gruendlicher ueberlegen.
Das waeren ja Flachdosen :-)
Die Bedingung dass die Oberflaeche minimal ist habe ich irgendwie noch nicht eingebracht.
Da wird wohl der Fehler liegen.

EDIT
HATTE EINE KLAMMER VERGESSEN !
H(r,h,l1)=h*Pi*r^2 + l1*(2*Pi*r²+2*Pi*r*h-c)
Hier
Das ist falsch :
dH/dr=2*h*Pi*r + l1*4*Pi*r + 2*Pi*h=0
richtig ist :
dH/dr=2*h*Pi*r + l1*(4*Pi*r + 2*Pi*h)=0

Und die Loesung des Gleichungssystems ist dann
h=2*r
*****

EMI
04.11.08, 16:43
Geschätzt:
h = r ?
Mal sehen ob ich dazu komme mal zu rechnen.
Da habe ich immer so meine Probleme mit dem Rechnen.

EMI

PS: doch eher 2*r = h ? Ich denke wir müssen einer Kugel(größstes Volumen zu Oberfläche) am nächsten kommen.

richy
04.11.08, 16:59
Maximales Volumen bei minimaler Oberflaeche geht ja gar nicht !
Ich habe das falsch gelesen. Das Volumen ist die Nebenbedingung !
Jetzt also nochmal als Test mit Lagrange :

NB:
1) V=h*Pi*r^2
minimiere :
2) A=2*Pi*r²+2*Pi*r*h

H(r,h,l1)=2*Pi*r²+2*Pi*r*h + l1*(h*Pi*r^2-c)

dH/dr=4*Pi*r+2*Pi*h+2*l1*h*Pi*r=0
dH/dh=2*Pi*r+l1*Pi*r^2=0
dH/dl1=h*Pi*r^2-c=0

Dieses Gleichungssystem hat die Loesung
h=2*r
****
Naja keine Flachdose, mehr ne Quadratdose :-)

Bei vorgegebenem Volumen benoetigt man am wenigsten Weissblechflaeche mit der Quadratdose :-)
Das hier waere also die schwaebische Dosenform :
h=2*r
*****

Da beide Dosenanteile hier im Forum reichlich vorhanden sind kann man sagen :
Das Forum hier ist ein optimales Dosenwerk :D


Geschätzt:
h = r ?
.....
PS: doch eher 2*r = h ? Ich denke wir müssen einer Kugel(größstes Volumen zu Oberfläche) am nächsten kommen.
( Das mit der Kugel war auch mein Gedanke )
Gratuliere ! Sehr gut geschaetzt ! Da zeigt sich der Praktiker.

richy
04.11.08, 17:33
Bloß können muß man's wie halt, wie richy!
Ja, aber dabei nicht wie oben eine klammer vergessen !!!
Habs gerade korrigiert.
Beide Optimierungsaufgaben fuehren zum selben Ergebnis !

Marco Polo
04.11.08, 17:40
Klammern bekommst Du auf Anfrage von Marco Polo reichlich.;)

Hihi, genau. Was hatte ich doch gleich für Klammern verlangt?
50 Cent/Stück meine ich mich zu erinnern.

richy
04.11.08, 17:43
Schwaben liegt um die Ecke. Da spart man auch mit Klammern.
BTW: Man kann die Aufgabe auch ohne Lagrange loesen.

1) V=h*Pi*r^2
2) A=2*Pi*r²+2*Pi*r*h
Hier in 1) h ueber V ausdruecken
3) h=V/( Pi*r^2)

3) in 2) einsetzten
2) A=2*Pi*r²+2*Pi*r*V/( Pi*r^2)
Und dann A minimieren.
Das fuehrt aber auch zu recht komplizierten Ausdruecken.

50 Cent/Stück meine ich mich zu erinnern.
Na dann biege ich mir die doch lieber selbst :-)

Hamilton
04.11.08, 17:49
Oh, na sowas, plötzlich steht die richtige Lösung schon da-
dann kann man das hier ignorieren:

V=h*Pi*r^2
A=2*Pi*r²+2*Pi*r*h

=> h=V/(πr²) damit nach A:
A= 2πr²+2V/r

∂A/∂r = 4πr-2V/r² = 0

daraus ergibt sich dann:
_______
r = ³√ V / (2π) und ein hässlicher Ausdruch für h, den man durch h=V/(πr²) bekommt.

Viel schöner ist es allerdings, wenn man jetzt V=hπr² in den Ausdruck für r einsetzt, dann kommt:
h^(1/3)*r^(2/3)/2^(1/3)=r, was einen schließlich dazu bringt, dass

r=h/2

das optimale Verhältnis einer zylindrischen Dose mit irgendeinem Volumen drin ist.

Merke: Man kann nicht das Volumen optimieren und gleichzeitig die Fläche minimieren.
Entweder man minimiert die Fläche bei gegebenem Volumen, oder man maximiert das Volumen bei gegebener Fläche.
Beides läuft auf das gleiche Verhältnis hinaus.

rene
04.11.08, 18:04
Ich habe für die Funktion von r bei gegebenem Volumen und gesuchter minimaler Weissblechfläche der Konservendose

r = (V/pi)^(1/3) erhalten, also die dritte Wurzel aus V/pi

Grüsse, rene

richy
04.11.08, 18:20
@Hamilton

Den Rechenweg habe ich oben auch angegeben.
Die Methode von Lagrange ermoeglich aber solche Aufgaben formell einheitlich zu loesen. Die Schwierigkeit verlagert sich dann auf das Loesen des Gleichungssystems. Aber auch dies laesst sich am Rechner einheitlich loesen.

Die Lagange Methode habe ich auch bei folgendem Problem erfolgreich benutzt.
Dabei war unter anderem ein numerischer Differenzierer im Frequenzbereich zu entwerfen. Dieser Entwurf enthielt nun aber Eigenschaften, die ihn fuer nichtlineare Differenzenverfahren ungeeignet macht, Er ist nicht Gruppengeschwindigkeitstreu. Diese Eigenschaft erfuellen aber Differenzierer mit einem Entwurf ueber die Taylorreihe. Alledings haben die den Nachteil hoher numerischer Daempfung.
Loesung des Problems war ein Entwurf im Frequenzbereich wobei der Entwurf im Zeitbereich ueber die Methode von Lagrange als Nebenbedingung verwendet wurde. Das kann man sich so vorstellen, dass man ueber die Nebenbedingungsgleichungen zunaechst die Dimension des Zahlenraumes erhoeht in dem dann aber im urspruenglichen Bereich nur noch die Gebiete in Frage kommen in denen die Nebenbedingungen erfuellt sind.
Die Implementierung am Rechner war dabei lediglich eine erweiterung der Bestimmungsmatrix.
Also sehr einfach.

Damit besass der Differenzierer nun die positibven Eigenschaften beider Entwurfsverfahren. Er war gruppengeschwindigkeitstreu UND numerisch wenig gedaempft.
Dank Lagrange :-)

r = (V/pi)^(1/3) erhalten, also die dritte Wurzel aus V/pi
r = ³√ V / (2π) und ein hässlicher Ausdruch für h, den man durch h=V/(πr²) bekommt.


Das erhaelt man bei der Methode ohne Lagrange.
Jetzt ist aber V eine Funktion von r und h. Und damit kannst du diese Gleichung r=f(V(r,h) als Funktion r=g(h) umformen.
Kann dir aber schon vorhersagen, dass du dabei ueber recht unschoene Ausdruecke stolpern wirst.
Das Ergebnis wird aber auch h=2*r sein.

rene
04.11.08, 18:28
Bei einem gegebenen Volumen von 1 Liter ergeben sich

h=r=6.8278cm

Grüsse, rene

[nachträgliche Anmerkung: Hat sich im Nachhinein als falsch erwiesen]

rene
04.11.08, 18:44
Schockschwerenot. Es gibt 2 komplexe Lösungen und eine reelle mit r=5.4193cm bei V=1000cm^3.

h wäre dann h=2*r

So kann man sich täuschen.

Grüsse, rene

Jogi
04.11.08, 18:47
Bei einem gegebenen Volumen von 1 Liter ergeben sich

h=r=6.8278cm



Hab's mal eben numerisch nachgerechnet.

Dabei ist mir aufgefallen dass der Flächeninhalt von Deckel und Boden zusammen genau der Mantelfläche entspricht.

So unschön ist das also gar nicht.


Gruß Jogi

richy
04.11.08, 18:54
Oh, na sowas, plötzlich steht die richtige Lösung schon da-


NB:
1) V=h*Pi*r^2
minimiere :
2) A=2*Pi*r²+2*Pi*r*h
Methode von Lagrange:
H(r,h,l1)=2*Pi*r²+2*Pi*r*h + l1*(h*Pi*r^2-c)
l1 ist der Lagrange Multipikator.

Man erhaelt das Gleichungssystem :
1)dH/dr=4*Pi*r + 2*Pi*h + 2*l1*h*Pi*r=0
2)dH/dh= 2*Pi*r + l1*Pi*r^2=0
3)dH/dl1= h*Pi*r^2-c=0

Den Weg wie man das Gleichungssystem loest hatte ich mir gespart weils so einfach ist :

Gleichung 3 braucht man nicht.

Kuerzen :
1) 2*r + h + l1*h*r=0
2) 2 + l1*r=0

2) nach l1 aufloesen
2) l1=-2/r

in 1) einsetzen
2*r + h - 2*h=0
2*r-h=0
h=2*r
****

Ohne Polynome
Eleganter und einfacher als mit Lagrange geht es nicht.
http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator
http://upload.wikimedia.org/math/4/a/d/4ad9d21ac132c7ae676dcbb59827c805.png

Man fuegt der zu optimierenden Gleichung die Nebenbedingung lambda*g=0 an.
Es lassen sich beliebig viele Nebenbdingungen ueber lambda_k anfuegen.
Nun loest man diese neue Oprimierungsaufgabe.

Der Lagrangemultiplikator faellt wie man oben gesehen hat bei der Loesung wieder raus.

Merke: Man kann nicht das Volumen optimieren und gleichzeitig die Fläche minimieren.

Wer tut denn so was ? *fg
Maximales Volumen bei minimaler Oberflaeche geht ja gar nicht !
Ich habe das falsch gelesen. Das Volumen ist die Nebenbedingung !

Schockschwerenot. Es gibt 2 komplexe Lösungen und eine reelle mit r=5.4193cm bei V=1000cm^3.
Ich habe dir bei der Methode unschoene Ausdruecke vorhergesagt :-)

Jogi
04.11.08, 19:11
War zu erwarten. Kugelnähe halt.

Is klar.

Bei der Sache mit der Kugel warst du mir zuvorgekommen, ich war grad' dabei, den alten Griechen zu suchen, der den Zusammenhang schon mal erkannt hatte.;)


Gruß Jogi

rene
04.11.08, 19:32
Ich habe dir bei der Methode unschoene Ausdruecke vorhergesagt :-)

Yep. Hast Du. Allgemein ausgewertet komme ich auf:

r = 1/2*4^(1/3)*(V*Pi^2)^(1/3)/Pi als reele Lösung. Dann kommen noch die beiden komplexen

-1/4*4^(1/3)*(V*Pi^2)^(1/3)/Pi ± 1/4*I*sqrt(3)*4^(1/3)*(V*Pi^2)^(1/3)/Pi

Grüsse, rene

richy
04.11.08, 20:01
Warum benutzt du nicht die Lagrange Methode, die ich vorgestellt habe ?
Da kann man die Loesung wie du oben siehst fast im Kopf ausrechnen.
Einfach Nebenbedingung g=0 ueber lambda*g "hinne drabaebbe". (ankleben :-)

Sino
04.11.08, 20:42
Warum benutzt du nicht die Lagrange Methode, die ich vorgestellt habe ?
Da kann man die Loesung wie du oben siehst fast im Kopf ausrechnen.
Einfach Nebenbedingung g=0 ueber lambda*g "hinne drabaebbe". (ankleben :-)

Hmm, das komische ist, dass ich die Aufgabe irgendwie sofort wiedererkannt habe, aber mich kein Stück daran erinnern kann, das jemals so gerechnet zu haben. (Hab's vielleicht früher falsch gemacht. :p )
Naja, nun hab ich es auch mit Lagrange berechnet und das gleiche Ergebnis rausbekommen, also h=2*r. Also wieder was dazu gelernt.

rene
04.11.08, 20:43
Warum benutzt du nicht die Lagrange Methode, die ich vorgestellt habe ?
Da kann man die Loesung wie du oben siehst fast im Kopf ausrechnen.
Einfach Nebenbedingung g=0 ueber lambda*g "hinne drabaebbe". (ankleben :-)

Stimmt. Das Verhältnis zwischen r und h lässt sich damit beinahe spielerisch bestimmen mit h=2*r. Aber ich will ja schliesslich auch noch ihre Beträge rausbekommen, also eine Funktion f'(r) mit einer minimierender Variable r, und wenn ich die habe, kann ich auch noch h bestimmen.

Grüsse, rene

zeitgenosse
04.11.08, 21:12
Man kann nicht das Volumen optimieren und gleichzeitig die Fläche minimieren.

Genau!

Es war nach der minimalen Oberfläche (= Blechverbrauch) bei gegebenem Volumen, z.B. 1 Liter Dose, gefragt.

Somit, wie von einigen richtig erkannt:

h = 2r

r = (V/2Pi)^(1/3)

Zusatzfrage:

Wie viel Verschnitt (Blechabfall) fällt pro Dose mindestens an? Schliesslich muss der Fertigungsplaner ja wissen, wieviele Coils (Bandstahlrollen) er für einen Kundenauftrag anfordern muss.

@richy
Der Tipp mit dem Lagrange-Multiplikator war übrigens äusserst nützlich.

Gr. zg

Jogi
04.11.08, 21:41
Zusatzfrage:

Wie viel Verschnitt (Blechabfall) fällt pro Dose mindestens an? Schliesslich muss der Fertigungsplaner ja wissen, wieviele Coils (Bandstahlrollen) er für einen Kundenauftrag anfordern muss.


8r^2 - 2*Pi*r^2 (?)


Gruß Jogi

zeitgenosse
04.11.08, 22:01
8r^2 - 2*Pi*r^2

Das habe ich auch, etwas vereinfacht:

1,72 r^2 Verschnitt pro Dose

Gr. zg

Jogi
04.11.08, 22:08
Kann man aber noch optimieren, wenn man die Kreise nicht im quadratischen, sondern im diagonalen Verband ausschneidet.

Dann wird's mit der Berechnung allerdings schwieriger.


Gruß Jogi

zeitgenosse
04.11.08, 22:21
Dann wird's mit der Berechnung allerdings schwieriger.

Das überlasse ich gerne dem NC-Programmierer.

Gr. zg

richy
04.11.08, 23:58
Kann man aber noch optimieren, wenn man die Kreise nicht im quadratischen, sondern im diagonalen Verband ausschneidet.

Meinst du damit die dichteste Kreispackung ?
Ich meine wenn ich diese fuer mehr als 7 Kreise waehle fuehrt dies zu dem diagonalen Verband, den du erwaehnt hast.
http://de.wikipedia.org/wiki/Dichteste_Kugelpackung
Demnach haette man dann 26% Verschnitt.

Marco Polo
05.11.08, 00:05
Zu diesem Thema hat der Mathematiker László Fejes Tóth 1975 die Wurstvermutung aufgestellt. :D

http://de.wikipedia.org/wiki/Wurstkatastrophe#Die_Wurstkatastrophe

Passt das nicht auch in die Kochecke?

Jogi
05.11.08, 00:33
Hi richy.

Meinst du damit die dichteste Kreispackung ?
Ich meine wenn ich diese fuer mehr als 7 Kreise waehle fuehrt dies zu dem diagonalen Verband, den du erwaehnt hast.
Genau.
Ob das in praxi was bringt, hängt von verschiedenen Parametern ab.
Wenn der Auftrag nur über eine Dose lautet, kannzes von vorneherein vergessen.

Bei einem grösseren Auftrag spielt das Blechmaß die Hauptrolle.
Erst wenn ich durch die dichtere Kreispackung eine Reihe mehr aus der gleichen Blechbreite kriege, macht das Sinn.
Außerdem muss ich ja auch die Werkzeugkosten im Auge behalten.:D

http://de.wikipedia.org/wiki/Dichteste_Kugelpackung
Demnach haette man dann 26% Verschnitt.
Yep, an die Kugelpackung dachte ich natürlich auch sofort.
Das ist das Gleiche, nur eben in 3D.

Wie kommst du auf die 26% ?


Gruß Jogi

richy
05.11.08, 00:47
He he der bin ich an anderer Stelle auch begegnet :-)
Auch der Wurstkatastrophe.
Wie ist das aber gemeint. Die dichteste Kugelpackung ist doch der Kugelknoedel ! (Erinnerst du dich ?)
Aber der ist eine Pizzapackung. Die Wurtspackung hat weniger Verschnitt ?

Und ausgehend von der Schneeflocke ueber Kepler haben wir auch gelent wie man Orangen oder Kanonenkugeln als dichtestes Kluster anordnet :

... bewiesen 1998, dass ab einer Dimension von 42 die Wurstvermutung tatsächlich gilt. Ab dem 42-dimensionalen Raum ist die Wurst also immer die dichteste Anordnung, und die Wurstkatastrophe tritt nicht ein. Im zweidimensionalen Raum ist nach J. M. Wills[5] die optimale Anordnung immer ein Cluster.

Interessanterweise scheint in drei Dimensionen die optimale Packung immer entweder eine Wurst oder ein Cluster, aber niemals eine Pizza zu sein. Auch diese Tatsache scheint in höheren Dimensionen zu gelten.

=> auch im Himmel gibt es Wuerste. Das klingt verheissungsvoll :D

Yep, an die Kugelpackung dachte ich natürlich auch sofort.
Das ist das Gleiche, nur eben in 3D.

Nee, die heisst nur Kugelpackung in der Ebene. Den Namen Kreispackung gibt es nicht.
Man koennte auch Knoedel oder Pizzapackung sagen.
In 3 D ist die dichteste Kugelpackung Keplers Pyramide.
http://de.wikipedia.org/wiki/Keplersche_Vermutung

Der kam ueber Schneeflocken auf diese Idee ;

Wie kommst du auf die 26% ?

Wegen dem Raumfuellungsgrad von 74%

Interessanterweise scheint in drei Dimensionen die optimale Packung immer entweder eine Wurst oder ein Cluster, aber niemals eine Pizza zu sein.
Heisst das nicht, dass man am besten ein Blech mit der Breite 2*r bestellt.
Aber rein intuitiv wuerde ich meinen das waere nicht so optimal wie die Knoedelpackung.

Jogi
05.11.08, 00:59
BTW: Es waere dumm ein flaechenhaftes Blech fuer die Kreise zu bestellen.
Man denke an die Wurstvermutung !
Man bestellt eines mit der Breite 2*r.
Noch besser:
Ein Rundstahl im geforderten Querschnitt.
Den dann in Scheiben schneiden, Verschnitt=0.

Gruß Jogi

richy
05.11.08, 01:02
@Jogi
Hab meinen Text gerade nochmal korrigiert. Denke die Knoedelpackung ist optimal.
Er kann es genauer belegen ?
Der Beweis von Keplers Vermutung zog sich uebrigends ueber 400 Jahre hin.
Noch besser:
Ein Rundstahl im geforderten Querschnitt.
Den dann in Scheiben schneiden, Verschnitt=0.
Bravo ! Genau !

Nur scheiden wird teurer sein als stanzen.

Marco Polo
05.11.08, 01:04
Und dauert viel zu lang!

Jogi
05.11.08, 01:06
Nur scheiden wird teurer sein als stanzen.
:D :D :D

Klar!

Ich stanze also weiter treu und brav innerehelich, denn scheiden wird teuer...


Gruß Jogi

rene
05.11.08, 01:22
Eine Lampe soll über der Mitte einer Strasse mit der Breite b installiert werden. In welcher Höhe muss sie montiert sein, damit die Strassenränder optimal ausgeleuchtet werden?

Grüsse, rene

richy
05.11.08, 01:26
Ahh hier :
http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~greiner/Download/MathSpiel/PT2001-kugel-abr.pdf
In der Ebene tritt die Wurstkatastrophe schon bei n=2 ein.
Die doppelt lineare Anaordnung wird dort als Bifi bezeichnet :-)

Wahrscheinlich waere ein quadratisches Bleck optimal. Haengt natuerlich von der Anzahl Deckel ab.

Jogi
05.11.08, 01:30
Eine Lampe soll über der Mitte einer Strasse mit der Breite b installiert werden. In welcher Höhe muss sie montiert sein, damit die Strassenränder optimal ausgeleuchtet werden?

Grüsse, rene

Ich würde sagen, in halber Lampenhöhe.

Also direkt über dem Asphalt.

Ist vielleicht nicht sonderlich praktisch, weil die Ausleuchtung je nach Verkehrsaufkommen ziemlich schnell gegen Null tendieren könnte.


Gruß Jogi

Marco Polo
05.11.08, 01:33
Hi rene,

h=b/2 ?

Marco Polo
05.11.08, 01:35
Ich würde sagen, in halber Lampenhöhe.


Hö? Nach der Lampenhöhe ist doch gefragt.

rene
05.11.08, 01:43
Hi rene,

h=b/2 ?

Hi Marco Polo

Nein. Die Aufgabe ist nahrhafter als sie den Anschein macht.

Grüsse, rene

Jogi
05.11.08, 01:45
Hö? Nach der Lampenhöhe ist doch gefragt.
Nein.
Nach der Höhe der Anbringung.
Wenn die Lampe 100mm Durchmesser (=Höhe) hat, kann ich sie mit ihrem Zentrum nicht auf Nullhöhe der Strasse anbringen, ohne den Asphalt 5cm auf zu graben. Das wäre auch kontraproduktiv, weil dann würde die Lampe ja die Hälfte ihres Lichtes dazu verwenden, den Graben auszuleuchten.


Gruß Jogi

Marco Polo
05.11.08, 01:49
Nein.
Nach der Höhe der Anbringung.
Wenn die Lampe 100mm Durchmesser (=Höhe) hat, kann ich sie mit ihrem Zentrum nicht auf Nullhöhe der Strasse anbringen, ohne den Asphalt 5cm auf zu graben. Das wäre auch kontraproduktiv, weil dann würde die Lampe ja die Hälfte ihres Lichtes dazu verwenden, den Graben auszuleuchten.


Ich bin von einer Punktquelle ausgegangen. rene hat ja keinen Lampendurchmesser angegeben. Punktquelle also in Höhe der Anbringung. Hab ich die Aufgabenstellung falsch verstanden?

Gruss, Marco Polo

rene
05.11.08, 01:52
Ich bin von einer Punktquelle ausgegangen. rene hat ja keinen Lampendurchmesser angegeben. Punktquelle also in Höhe der Anbringung. Hab ich die Aufgabenstellung falsch verstanden?

Gruss, Marco Polo

Die Lampe ist natürlich punktförmig.

Grüsse, rene

Jogi
05.11.08, 01:53
Ahh hier :
http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~greiner/Download/MathSpiel/PT2001-kugel-abr.pdf
In der Ebene tritt die Wurstkatastrophe schon bei n=2 ein.
Die doppelt lineare Anaordnung wird dort als Bifi bezeichnet :-)

Wahrscheinlich waere ein quadratisches Bleck optimal. Haengt natuerlich von der Anzahl Deckel ab.

Aus dem pdf-Dokument:
Damit haben wir die beste Kreisgitterpackung und
deren Packungsdichte  = =(2p3) :=
0:9069 bestimmt. Diese Kreisgitterpackung heit hexagonal.
Ich hatte mich doch zurecht über die 26% gewundert.


Gruß Jogi

zeitgenosse
05.11.08, 04:44
Noch besser:
Ein Rundstahl im geforderten Querschnitt.
Den dann in Scheiben schneiden

Stanzen ist effizienter. Die anfallenden Blechschnipsel gehen dann gleich wieder in den Tiegelofen.

Gr. zg

zeitgenosse
05.11.08, 04:47
Die Lampe ist natürlich punktförmig.


Leuchten (Lampe und Gehäuse) haben immer eine Strahlungscharakteristik. Diese muss man kennen, um eine realitische Berechnung durchzuführen.

Gr. zg

zeitgenosse
05.11.08, 05:36
@rene

Wenn wir von einer punktförmigen Lichtquelle ausgehen, folgt die Beleuchtungsstärke dem Lambertschen Gesetz:

E = (I/r^2)cosφ ; I ist die Lichtstärke

Für eine optimale Ausleuchtung der Ränder (= grösstmögliche Beleuchtungsstärke) ist sicherlich die Höhe der Lichtquelle entscheidend. Am Besten fertigt man sich zuerst eine Skizze an. Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten "Höhe" (h) und "halbe Strassenbreite" (b/2) sowie der Hypothenuse "radialer Abstand von der Lichtquelle" (r). Der Winkel φ wird durch das Lot durch die Lichtquelle und die Verbindungslinie Lichtquelle-Randpunkt gebildet.

Nun berechnet man den Cosinus und den radialen Abstand (r) und erhält so die Beleuchtungsstärke E(h) als Funktion der Höhe:

E = I*h/((b/2)^2 + h^2)^(3/2))

Nun muss nur noch das Extremum bestimmt werden (Quotienten- und Kettenregel anwenden).

Nach Überspringen der dazu üblichen Zwischenschritte erhalte ich für die optimale Höhe:

h = (1/2)*(sqrt 2)*(b/2) ≈ 0,707(b/2)

Die maximale Beleuchtungsstärke an den Strassenrändern (Symmetrie vorausgesetzt) beträgt dann:

E = 2*(sqrt 3)*I/(9*(b/2)^2)

Gr. zg

rene
05.11.08, 09:53
Hallo Zeitgenosse

Das ist richtig. Man kann noch weiter vereinfachen zu:

h = b / sqrt(8)

E = I*8 / (3*sqrt(3)*b^2)


Grüsse, rene

Jogi
05.11.08, 10:10
Rechnerisch sicherlich richtig.

Aber praxisfremd.

Bei einer Strassenbreite von 6m ergäbe sich eine Anbringungshöhe von ~2,12m.

Zweckmässigerweise wird man die Lichtquelle mit einem Reflektor und einer Streuscheibe ausstatten, dann kann man die Leuchte in einer Höhe anbringen, die die Durchfahrt von grösseren Fahrzeugen zulässt.
Außerdem verringert sich die Blendwirkung der Verkehrsteilnehmer mit zunehmender Höhe.
Gestaltet man Reflektor und Streuscheibe entsprechend, kann man sogar mehr Licht zum Fahrbanrand leiten als zur Mitte.


PS:
Das mit dem Scheibchenschneiden war natürlich nicht ernst gemeint, genausowenig wie die Lichtquelle auf Asphalthöhe.:)


Gruß Jogi

zeitgenosse
05.11.08, 12:55
Rechnerisch sicherlich richtig. Aber praxisfremd.

Das Beispiel - wenn ich es richtig verstanden habe - diente lediglich der mathematischen Durchdringung von Extrema. In praxi besitzt eine Leuchte eine charakteristische Lichtstärkeverteilungskurve (LVK), die meist in Polarkoordinaten erstellt und für einen Lichtstrom von 1000 lm normiert ist. Wenn erforderlich werden Diagramme für A-, B- und C-Ebenen gezeichnet.

Für Strassenleuchten (Kandelaber) mit bspw. Quecksilberdampf-Hochdrucklampen wird man in der Regel nicht einen Rund- bzw. Lambertstrahler, sondern eine Leuchte mit Reflektor (Breitstrahler, Tiefstrahler) verwenden. Dadurch verändert sich eo ipso auch die optimale Höhe.

Nebst der erforderlichen Beleuchtungsstärke spielt auch die Lichtfarbe eine Rolle. So erscheinen Gegenstände, die von Natriumdampf-Niederdrucklampen (monochromatisches Licht) angestrahlt werden, in einem gelblichen Licht, das die Konturen gut hervortreten lässt. Die Farbwiedergabe ist jedoch stark eingeschränkt (Katzen erscheinen allesamt grau).

Gr. zg

zeitgenosse
05.11.08, 14:18
Die bisher behandelten Extremwertaufgaben sind Stoff aus dem Gymnasium. Doch lange ist es her!

Deshalb - um niemanden zu strapazieren - nur noch e i n e elementare Aufgabe:

Hans besitzt einen Hausteil mit Schrägdach (im Aufriss ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen 3 und 4 Meter). Unter das Dach möchte er eine Kammer mit rechteckigem Querschnitt einbauen.

Wie gross muss das vom Dreieck umschriebene Rechteck f(a, b) sein, damit seine Fläche maximal wird?

Gr. zg

EMI
05.11.08, 15:50
Hans besitzt einen Hausteil mit Schrägdach (im Aufriss ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen 3 und 4 Meter). Unter das Dach möchte er eine Kammer mit rechteckigem Querschnitt einbauen.
Wie gross muss das vom Dreieck umschriebene Rechteck f(a, b) sein, damit seine Fläche maximal wird?

b=-(4/3)a+4

Der Flaecheninhalt ist hier A=a*(-(4/3)a+4)

A'=dA/da=(a*(-4/3a+4))=-(4/3)a²+4a

0=-(8/3)a+4

a=1,5m

b=-(4/3)*1,5+4=2m

1,5m * 2m = 3m²

EMI

PS: ist das jetzt hier unsere Matheecke?

zeitgenosse
05.11.08, 16:09
1,5m * 2m = 3m²

JAAAAAAA!

Die Seiten des eingeschriebenen Rechtecks sind halb so gross wie die Katheten des Dreiecks.

Gr. zg

Sino
05.11.08, 16:12
Rein aus Symmetriebetrachtungen bei (3m/2*4m/2)=1.5*2=3m².

Hab aber nur gemalt.

Wenn man das Raumrechteck / die Verlust-Dreiecke einzeichnet und alles an der Hypthenuse des ursprünglichen Dreiecks spiegelt, erhält man 4 Rechtecke in einem Rechteck. Die 2 Rechtecke, die von der Hypthenuse geschnitten werden, sind Raumverschwendung.
Wenn man nun den Punkt auf der Hypothenuse, der die Ecke des Raumes kennzeichnet, verschiebt, werden die Verlustflächen genau dann minimal, wenn die anderen 2 Rechtecke exakt gleich sind, was bei der Seitenlänge a/2 und b/2 der Fall ist.

Ok, das war nun aber keine strikte Mathematik. :D

Aber als mathematischer Beweis würde es reichen, wenn man zeigt, dass es genau ein Maximum geben kann, z.b. durch die Linearität der Gleichungen.
Dann kommt aufgrund der spiegelsymmetrischen Vorgänge unterhalb und oberhalb der Hypothenuse nur a/2 und b/2 in Frage. Da jede Lösung eine zweite andere Lösung als Spiegelbild hätte, nur bei a/2 und b/2 sind beide Lösungen identisch. :)

zeitgenosse
05.11.08, 16:42
Das war erst zum Aufwärmen! :p

Anlässlich eines Firmenwettbewerbes steht folgende Aufgabe an:

Gegeben ist ein 5 m hohes (vertikal montiertes) Rohr, das bis zum Rand mit Wasser gefüllt wird. Unten am Boden ist das Rohr mit einer Endmuffe verschlossen. Es soll nun ein Loch in das Rohr gebohrt werden, damit der dadurch entstehende Wasserstrahl den Boden an möglichst weit entfernter Stelle trifft.

Es werden folgende Vereinfachungen in Kauf genommen:

Der Verlauf des Wasserstrahls wird als waagerechter Wurf im luftleeren Raum betrachtet.

In welcher Höhe würdest du das Loch bohren?

Gr. zg

EMI
05.11.08, 19:43
In welcher Höhe würdest du das Loch bohren?

Die Weite w berechnet sich mit der Rohrhöhe h und der Bohrhöhe a wie folgt:

w = 2 sqrt(a*h - a²)
w² = -4a² + 20a
wmax bei a=2,5m
wmax=5m bei vmax=7m/s

EMI

zeitgenosse
05.11.08, 20:28
wmax bei a=2,5m

Völlig korrekt, die gesuchte Bohrhöhe befindet sich in der Mitte der Wassersäule.

Gr. zg

zeitgenosse
06.11.08, 10:30
Die Katze kann das Mausen nicht lassen!

Nur noch eine winzigkleine Aufgabe (danach höre ich auf):

Gegeben ist eine Zündholzschachtel mit Länge a = 5 cm. Das Volumen (a*b*c) beträgt 45 cm^3. Der Materialverbrauch soll minimiert werden. Wie gross müssen die dazu erforderlichen Kanten (a, b, c) sein?

Gr. zg

EMI
06.11.08, 12:20
Wie gross müssen die dazu erforderlichen Kanten (a, b, c) sein?

a=5cm
b=3cm
c=3cm

Gruß EMI

Hamilton
06.11.08, 13:40
Ok, jetzt mal eine von mir, die mal zur Abwechslung mit Physik zu tun hat:
Die ist evtl. auch ein bisschen schwieriger, aber mal sehen:

Zeige, dass die Gleichverteilung (für ein diskretes System) maximale Entropie hat.

Entropie = S = Σ -p_i ln(p_i)

Viel Spaß

Sino
06.11.08, 14:09
Gegeben ist eine Zündholzschachtel mit Länge a = 5 cm. Das Volumen (a*b*c) beträgt 45 cm^3. Der Materialverbrauch soll minimiert werden. Wie gross müssen die dazu erforderlichen Kanten (a, b, c) sein?

Das ist ein typische: "Das sieht man doch." Aufgabe, bei der man sich nur überlegen muss, wie man es hinschreibt, dass es ein Mathelehrer akzeptiert.

1) 2 Endflächen: A_Enden = 2*b*c = 2*V/a = 18 cm² = const
2) 4 Seitenflachen: A_Seiten = 2*a*b+2*a*c = 2a(b+c)
3) A = A_Seiten + A_enden = A_Seiten + const

Aus 1) => c=9cm²/b

Einsetzen in 3) ergibt:

A(b)=10cm*(b+9cm²/b)=10cm*b+90cm³/b + const
A'(b)=10cm+90cm³*(-1)/b²=10cm-90cm³/b²
A'(b)=0 => 10cm=90cm³/b² <=> 10cm*b²=90cm³ <=> b²=9cm² => b=3cm
A''(b)=180cm³/b³ => A''(3cm)>0 => Minimum von A bei b=3cm. Aus c=9cm²/b folgt c=3cm.

So eine "Das sieht man doch sofort !"-Aufgabe muss man doch irgendwie schneller machen können. :o

edit: Über einen Integralsatz sollte das schneller gehen. Die Länge der Randkurve 2*(b+c) steht in Verbindung zur Oberfläche und zum Volumen. Damit sollte man das Ganze in 1 oder 2 Zeilen rechnen können.

EMI
06.11.08, 15:05
So eine "Das sieht man doch sofort !"-Aufgabe muss man doch irgendwie schneller machen können. :o

V=a*b*c=A*a
Wir wissen, das das Verhältnis Fläche zu gegebenen Umfang A/U beim Rechteck, bei einem gleichseitigen Rechteck(Quadrat) an größten ist.
also A/U = max = AQ/U

Also V=AQ*a daraus folgt AQ=b²=c²=bc und daraus b=c

AQ=V/a = b² = c²
b=c=sqrtV/a= 3cm

Oder umständlicher, wenn man das oben nicht weis:

V=a*b*c
b=V/ac
Fo=2ab+2ac+2bc die Oberfläche der Schachtel, hier b=V/ac einsetzten
Fo=2V/c+2ac+2V/a hier a=5 und V=45 einsetzen.
Fo=90/c+10c+18 = 90*c^-1+10c+18
dFo/dc = -90*c^-2+10 = -90/c²+10
0=-90/c²+10
c=sqrt90/10 = 3cm
b=V/ac =45/5*3 = 3cm

EMI

richy
06.11.08, 16:48
So eine "Das sieht man doch sofort !"-Aufgabe muss man doch irgendwie schneller machen können :


Volumen V=5*b*c
Flaeche :5*c+5*b+c*b (Die 2 kann man sich sparen)
Lagrange H= 5*c+5*b+c*b+ l1*(5*b*c-V)
dH/db=5+c+l1*5*c=0
dH/dc=5+b+l1*5*b=0

Man sieht sofort dass beide Gleichungen die selbe Loesung bezueglich l1 haben
c=g(l1),b=g(l1) => b=c=k
5*k^2=45,k=wurzel(9)
k=3=b=c
*******

richy
06.11.08, 17:12
S = Σ -p(i) ln(p(i))
dS/di =Σ -dp(i)/di ln(p(i))-dp(i)/di =0

Ist auch erfuellt wenn alle Summanden gleich Null sind :
dp(i)/di ln(p(i))+dp(i)/di =0 (Kettenregel beim ln kuerzt p(i))
dp(i)/di*(ln(p(i))+1)=0
dp(i)/di=0 => p(i)=konstant
******************
(ln(p(i))+1)=0 waere auch konstant

Ich meine die Rechnung liefert nur zufaellig das Ergebnis
Der Ansatz dS/di=0 scheint mir nicht richtig.
Man muesste die Variationsrechnung anwenden

Sino
06.11.08, 17:42
Ok, das ein Quadrat rauskommen muss, war mir sofort klar, wusste aber nicht, wie ich da formal die Kurve kriege.
Hätte also nur die Argumentation: "Die Summe der Seitenflächen werden minimal, wenn der Umfang des b-c-Rechtecks minimal ist." formal hinschreiben müssen, und dann nur noch die Sache mit dem Quadrat formal begründen.

Mit Lagrange hab ich danach auch nochmal gerechnet, aber dazu hatte ich zuerst keine Lust, weil ich wusste, dass der Formalismus klappt. ;)
Obwohl Lagrange wohl die einfachste Methode ist, weil man nicht gross nachdenken muss, wie man argumentiert, sondern das einfach formal runterschreibt und rechnet und fertig ist man.

richy
06.11.08, 18:05
5+c+l1*5*c=0
5+b+l1*5*b=0
Man muss gar nicht gross rechnen. Hier sieht man sofort das c=b gelten muss.
Warum soll man es sich unnoetig schwer machen ?
Und dass dass Quadrat optimal ist war auch wegen EMIs Argumentation zu erwarten.

Sino
06.11.08, 18:23
Zeige, dass die Gleichverteilung (für ein diskretes System) maximale Entropie hat.

Entropie = S = Σ -p_i ln(p_i)


Keine Ahnung, wie man das formal sauber macht.

Ich würde mir zwei Mikrozustände i,j rausgreifen, die unterschiedliche Wahrscheinlichkeit haben. Dann würde ich zeigen, dass das System mehr Entropie hat, wenn ich die p_i und p_j jeweils durch 1/2(p_i+p_j) ersetze. Damit mach ich 2 Zustände gleichwahrscheinlich, die anderen Zustände werden davon nicht berührt und Summe aller Wahrscheinlichkeiten bleibt 1.

Dann schnapp ich mir die nächsten zwei Mikrozustände, die unterschiedliche Wahrscheinlichkeit haben, mach das gleiche, usw.

Nach einer endlichen Zahl von Schritten hab ich dann das System in den Zustand höchster Entropie versetzt. Da wäre dann die Gleichverteilung erreicht und der Vorgang endet.

Aber wie man das formal schreibt, so dass das als Beweis standhält, keine Ahnung. :D


edit: Hmm, überleg gerade, ob das mit endlich vielen Schritten klappt. Wahrscheinlich kann man mit dem Verfahren nur jede beliebige Epsilon-Schranke unterschreiten, die die Abweichung von der Gleichverteilung darstellt.

( nochmal edit: Ansonsten würde ich da mit vollständiger Induktion rangehen, also ein System maximaler Entropie schrittweise um jeweils einen Zustand erweitern. Und dann zeigen, dass aus der Gleichverteilung bei n folgt, dass bei n+1 wieder eine Gleichverteilung die höchste Entropie ergibt. )

richy
06.11.08, 18:52
Ich meine es ist eine Variationsaufgabe.
http://de.wikipedia.org/wiki/Variationsrechnung

Sino
06.11.08, 21:11
Ich meine es ist eine Variationsaufgabe.
http://de.wikipedia.org/wiki/Variationsrechnung

Hab ich nie gemacht.

Aber vollständige Induktion sollte zum Ziel führen.

Wenn ich als Induktionsvoraussetzung habe, dass für n Mikrozustände der Summenterm mit einer Gleichverteilung maximal/minimal (jenachdem, wo ich das Minus lasse), dann kann ich den Schritt zu n+1 machen.

Wenn ein neuer Zustand dazukommt, der die Wahrscheinlichkeit p_x hat, dann multipliziere ich die Wahrscheinlichkeiten der alten Gleichverteilung, die 1/n sind und in der alten Summe stehen, einfach alle mit (1-p_x).
Dann verwende ich die Induktionsvoraussetzung wieder, dass der modifizierte Summenterm maximal/minimal ist, weil er eine Gleichverteilung ist.
( Gleichverteilung stimmt nur insofern, als dass die Glieder alle gleich sind. Die summieren sich nicht mehr zu 1.0, sondern zu (1-p_x). Da darf man in der Induktionsvoraussetzung dann halt nicht verlangen, dass sich die p_i zu 1.0 addieren müssen, sondern macht das allgemein für alle Konstanten aus dem Intervall (0..1]. Das deckt dann die echte Wahrscheinlichkeitsverteilung mit ab und alle anderen Fälle, die man im Beweis braucht.)

Dann berechne ich das px, das minimale Gesamtentropie ergibt, das dann 1/(n+1) sein sollte, schreib alles in die gleiche Summe und habe den Summenterm für n+1, der dann bewiesenermassen maximal/minimal und gleichverteilt ist.

Nun braucht man nur noch den Induktionsanfang mit einem einzigen Mikrozustand, also n=1, der ist trivialerweise gleichverteilt, oder wenn man den nicht mag, n=2.

Ich schreib das nun aber nicht alles hier hin, weil es im Forum nicht sonderlich Spass macht, mit Indices und Summen rumzuwerkeln, bin mir aber sicher, das es klappt, hab's grösstenteils auf Papier.

Ausserdem wollte ich eigentlich "Contact" schauen. ;)


P.S.: Vielleicht beweist man das normalerweise anders, aber ich kann halt nur das benutzen, was ich kenne/mir einfällt. :)

Hamilton
06.11.08, 23:22
S = Σ -p(i) ln(p(i))
dS/di =Σ -dp(i)/di ln(p(i))-dp(i)/di =0

Ist auch erfuellt wenn alle Summanden gleich Null sind :
dp(i)/di ln(p(i))+dp(i)/di =0 (Kettenregel beim ln kuerzt p(i))
dp(i)/di*(ln(p(i))+1)=0
dp(i)/di=0 => p(i)=konstant
******************
(ln(p(i))+1)=0 waere auch konstant

Ich meine die Rechnung liefert nur zufaellig das Ergebnis
Der Ansatz dS/di=0 scheint mir nicht richtig.
Man muesste die Variationsrechnung anwenden
__________________
WTF? Leitest du da nach dem Index ab, oder was?

Hamilton
06.11.08, 23:27
Ich hab das nicht umsonst hier reingestellt- es ist eine Extremwertaufgabe, die sich mit Lagrange lösen lässt.

Dazu überlege man sich, welche Funktion man maximieren will- also S
und dann überlege man sich die Nebenbedingung.
Diese gilt generell für alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Wenn man das hat, benutze man Lagrange um auf die Lösung zu gelangen.

richy
07.11.08, 00:25
Hi Hamilton
Es gibt hier den fundamentalen Unterschied, dass du nicht Koordinaten einer Funktion suchst, die ein Extrema aufweisen, sonder gesucht ist eine passende Funktion, die diese Summe minimiert . Wenn p(i) keine diskrete sondern kontinulierliche Verteilung waere und die Summe damit ein Integral, waere dies ein typisches Variationsproblem.
http://itp.tugraz.at/LV/schnizer/Analytische_Mechanik/node13.html

EDIT
Die Loesung von Sino zeigt eine andere Interpretation. Hey prima.
Dennoch mal die Varainte wenn p(i) eine kontinuierliche Funktion waere, die zum
selben Resultat fuehrt.

Fuer F(p(i), p(i)/di, i ) (normalereise der Index t statt i)
muesste p(i) die Eulersche Differentialgleichung des Variationsproblems erfuellen :

d/di *dF/d(dp/di) - dF/dp = 0
**********************
Wobei bis auf d/di die Ableitungen partiell sind.
Im konkreten Fall gilt :
F(p) =-p(i) ln(p(i)
Es kommt also kein dp/di als Funktionsargument vor.

Und nur daher kann man die Aufgabe wie eine gewoehnliche Extremwertaufgabe behandeln.

und dann überlege man sich die Nebenbedingung.
Diese gilt generell für alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Die Nebenbedingung waere, dass Summe(aller p(i))=1

Man bildet die Funktion :
http://itp.tugraz.at/LV/schnizer/Analytische_Mechanik/img3472.gif

sowie deren Eulerschen DGL :
http://itp.tugraz.at/LV/schnizer/Analytische_Mechanik/img3474.gif

Man sieht auch die Nebenbedingung enthaelt kein dp(i)/di
damit :
NEBENBEDINGUNG:

Summme(p(i),i=0..k)-1=0

+F=-p*ln(p)-l1 (Summme(p(i),i=0..k)-1)

dF/dp=-ln(p)-1-l1 (Summme(1,i=1..k))=0
1) ln(p)+1+l1*k=0

aus dF/dl1
2) (Summme(p(i),i=0..k)=1

Aus 1 folgt p(i)=konstant
aus 2) folgt p(i)=1/k

rene
07.11.08, 00:30
Mit

I = -(p*ln(p)/ln(2.)+(1-p)*ln(1-p)/ln(2.))

erhalten wir für eine Gleichverteilung mit p=0.5 den höchsten Informationszuwachs für ein Ereignis (z.B. Ziehung einer Kugel aus einer Urne bei 10 roten und 10 blauen Kugeln). Für jedes andere Verhältnis sinkt der Informationszuwachs für ein Ereignis.

Der Plot dieser Funktion für p=0..1

http://img124.imagevenue.com/img.php?image=14094_shannon_122_1140lo.jpg

Gruss

Sino
07.11.08, 00:31
Ich hab das nicht umsonst hier reingestellt- es ist eine Extremwertaufgabe, die sich mit Lagrange lösen lässt.

Dazu überlege man sich, welche Funktion man maximieren will- also S
und dann überlege man sich die Nebenbedingung.
Diese gilt generell für alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Wenn man das hat, benutze man Lagrange um auf die Lösung zu gelangen.

Ok, hatte etwas Angst vor Lagrange, weil ich dachte, das wird kompliziert mit Summen.

Also:
Entropie = S = Σ -p_i ln(p_i)
Nebenbedingung habe ich Σ p_i = 1.

H = Σ -p_i ln(p_i) + l1(1-Σ p_i)
dH/dp_i = -ln(p_i)-1 - l1 = 0 ( für jeden Mikrozustand i eine Gleichung davon )
dH/dl1 = 1 - Σ p_i = 0

Da l1 in allen dH/dp_i den gleichen Wert hat => alle p_i müssen gleich sein.
( man kann die noch nach p_i auflösen, dann steht da p_i=exp(l1-1) , braucht man aber nicht )


P.S.: Hab nicht dran gedacht, dass von den Summen immer nur ein Term übrig bleibt, wenn man nach p_i ableitet. Das macht die Sache natürlich einfach. Gute Aufgabe.

zeitgenosse
07.11.08, 00:50
a=5cm
b=3cm
c=3cm

Bravourös!

Nun aber - last but not least - eine Praxisaufgabe:

Aus einem Rundholz gut gelagerter deutscher Fichte (Radius 10 cm) soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt (b*h) von 3 Meter Länge herausgesägt werden. Wie gross sind b und h zu bemessen (auf praktikable Werte runden), damit eine maximale Tragfähigkeit (T) erzielt wird?

p.s.
Als ich vor Jahren als "Aussteiger" in Missouri im 'Green County' in der Nähe von Springfield weilte, habe ich "on the job" das Zimmermannshandwerk erlernt. Auch damals waren Tragbalken aus Holz stets höher als breit!

Gr. zg

richy
07.11.08, 01:10
Die Idee von rene und sino mit dem Informationszuwachs, den induktiv herzuleiten, ist auch gar nicht schlecht !
dann steht da p_i=exp(l1-1) , braucht man aber nicht )

Das heisst nichts anderes als p(i)= konstant.

dH/dp_i = -ln(p_i)-1 - l1 = 0 ( für jeden Mikrozustand i eine Gleichung davon )

Ah du betrachtest jedes p_i als Variable. Sehr gut !
Man kann die Differentation aber auch unter der Summe durchfuehren :
dF/dp=-ln(p)-1-l1 (Summme(1,i=1..k))=0
Wobei dies aber wenig aendert, denn k*l1 waere einfach ein anderer Lagrangemultiplikator.

Da l1 in allen dH/dp_i den gleichen Wert hat => alle p_i müssen gleich sein.
Sehr sehr gutes Argument ! Gefaellt mir besser als mein Weg.
Vor allem auf sichererem Boden.

rene
07.11.08, 01:53
Nun aber - last but not least - eine Praxisaufgabe:

Aus einem Rundholz gut gelagerter deutscher Fichte (Radius 10 cm) soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt (b*h) von 3 Meter Länge herausgesägt werden. Wie gross sind b und h zu bemessen (auf praktikable Werte runden), damit eine maximale Tragfähigkeit (T) erzielt wird?

Gr. zg

Das Resultat vorweg:

b=r=0.1m
h=r*sqrt(3)=0.1732m


Ich bin von einer Biegungssteifigkeit von I = h^3*b/12 ausgegangen mit den Nebenbedingungen h=2*sin(phi)*r und b=2*cos(phi)*r.

Differenziert und die Ableitung mit Null gleichgesetzt und nach phi aufgelöst ergibt phi=Pi/3 im Bogenmass, das in die Nebenbedingungen eingesetzt die Höhe und Breite des Balkens ergibt.

Grüsse, rene

EMI
07.11.08, 02:05
Aus einem Rundholz gut gelagerter deutscher Fichte (Radius 10 cm) soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt (b*h) von 3 Meter Länge herausgesägt werden.
Wie gross sind b und h zu bemessen (auf praktikable Werte runden), damit eine maximale Tragfähigkeit (T) erzielt wird?

Die Tragfähigkeit T eines Balkens mit rechteckigem Querschnitt ist T=Kh²b mit K=Materialkonstante.
T = Kh²b --> max

Der rechteckige (b*h) Balkenquerschnitt muss in den Querschnitt d=2r des Rundholzes passen.

d²=h²+b²
h²=d²-b²

T = h²b
T = (d² - b²)b = d²b - b³

0= -3b² + d²
b=sqrt 400/3
b~11cm

h=sqrt(400-400/3)
h~16cm

h*b = 176cm²

EMI

richy
07.11.08, 02:16
sion hat in seinem Loesungsweg ( p(i),i=1..k) nicht als Funktion aufgefasst sondern als jeweils freie Parameter. Anstatt einen 1 D Raum hat er einen k dimensionalen Raum berachtet. Und dies fuehrte elegant zum Erfolg.
Nur so viel zum Sinn zusaetzlichen Dimensionen. :D

zeitgenosse
07.11.08, 02:31
Das Resultat vorweg:

b=r=0.1m
h=r*sqrt(3)=0.1732m

Mein Resultat demzufolge auch vorweg (mit gerundeten Werten):

[...] Daraus resultiert aus dem gegebenen Rundholz (r = 10 cm) ein Balken mit den Massen (B x H) von 11 cm x 16 cm. Der Rest ist Verschnitt und geht in die Schnitzelheizung. :D

Mit den unbedarften Worten des einfachen (Zimmer)-Mannes aus den Ozark-Mountains:

Die maximale Tragfähigkeit wird erzielt, wenn die Höhe des Balkens gerade sqrt(2) mal so gross wie die Breite ist.

Na ja, in den Rohholzquerschnitt hineinpassen täten beide Balkenmasse (wobei es bei dir etwas eng wird).

Zum Nachvollzug meiner Lösung:

Als Hauptbedingung:

Tragkraft T(b, h) prop. zu k*b*h^2

(Die Materialkonstante k habe ich für den vorliegenden Fall eliminiert bzw. auf 1 gesetzt, weil im Kontext nicht relevant).

Als Nebenbedingung:

h^2 = d^2 - b^2 (mit d = Diagonale des Balkens)

Zielfunktion:

T(b) = b*d^2 - b^3

Der Rest ist Schema.

Gr. zg

zeitgenosse
07.11.08, 02:50
b~11cm

h~16cm

Genial!

Der (alte) Meister - obwohl mit selbem Resultat behaftet - gibt sich endgültig geschlagen und erkennt, dass er dem "Gesellen" nichts mehr beibringen kann.

Gr. zg

richy
07.11.08, 03:14
...................................

EMI
07.11.08, 03:15
Gegeben sind 5 Behälter, sortenrein gefüllt mit Kügelchen unterschiedlichster Anzahl(größer 100). Es gibt 10 Gramm und 11 Gramm Kugeln.

Mit einer Wägung (Waage mit Gramm Anzeige) soll bestimmt werden in welchen Behältern sich die 10g und in welchen sich die 11g Kugeln befinden.
Dabei könnten auch alle Behälter nur mit 10g Kugeln oder nur mit 11g Kugel befüllt sein.

Wie geht man vor?

Gruß EMI

PS: Jogi halt dich bitte zurück, Du kennst die Lösung.

Sino
07.11.08, 03:39
Bravourös!

Nun aber - last but not least - eine Praxisaufgabe:

Aus einem Rundholz gut gelagerter deutscher Fichte (Radius 10 cm) soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt (b*h) von 3 Meter Länge herausgesägt werden. Wie gross sind b und h zu bemessen (auf praktikable Werte runden), damit eine maximale Tragfähigkeit (T) erzielt wird?


Hmm, habs mal probiert, aber ohne Gewähr !
Keine Ahnung, ob man die Tragfähigkeit so rechnet ! Habe heute das erste Mal seit 20 Jahren Statik-Kram kurz angeschaut. Bin also von einem Balken ausgegangen, auf den ein Moment wirkt, dass ihn durchbiegt. Der Balken hat die Breite a und Höhe b.

Hab mir die Formel für die Spannung rausgesucht:
sigma(z)=M*z/I mit I=integral(z²)dA wobei z die Koordinate ist, in der durchgebogen wird, also obdA nach unten, wenn der Balken waagerecht liegt. z=0 ist in der Mitte vom Balken.

Wenn man das nach M umstellt, und von -b/2 bis b/2 über z integriert,
dann ergibt sich:

M = sigma_max*a*b²/6

sigma_max ist die maximal erlaubte Spannung, Zug oder Schubspannung, je nachdem, was kleiner ist.

Nebenbedingung ergibt sich aus dem Kreis um den Balken:
(a/2)²+(b/2)²=r <=> a²+b²-4r²=0

Ok, da die Tragfähigkeit maximal werden sollte, maximiere ich das Moment M und bastele den Lagrange-Ansatz damit zusammen:

H = sigma_max*a*b²/6 + l1(a²+b²-4r²)
1) dH/da = sigma_max*b²/6+2*l1*a = 0
2) dH/db = sigma_max*a*b/3+2*l1*b = 0
3) dH/dl1 = a²+b²-4r² = 0

Wenn ich das auflöse, bekomm ich raus:
a=2*r/sqrt(3) ~ 11.5cm
b=sqrt(2)*a = 2*sqrt(2)*r/sqrt(3) ~16.3 cm

Keine Ahnung, ob das stimmt. Wie gesagt, den Ansatz für die maximale Tragfähigkeit das maximale Biegemoment anzusetzen, hab ich mir schon aus den Fingern gesaugt. (edit: Ok, scheint zu funktionieren, das gleiche wie bei EMI.)

Sino
07.11.08, 04:28
Gegeben sind 5 Behälter, sortenrein gefüllt mit Kügelchen unterschiedlichster Anzahl(größer 100). Es gibt 10 Gramm und 11 Gramm Kugeln.

Mit einer Wägung (Waage mit Gramm Anzeige) soll bestimmt werden in welchen Behältern sich die 10g und in welchen sich die 11g Kugeln befinden.
Dabei könnten auch alle Behälter nur mit 10g Kugeln oder nur mit 11g Kugel befüllt sein.

Wie geht man vor?


Hmm, gibts da noch irgendwelche Zusatzinfos, was man nicht darf ?
Ich mein, sonst nehm ich die Kugeln aus dem Behälter und wiege die einfach. :D

Wenn der Behälter undurchsichtig und verschlossen ist und man ihn nicht öffnen darf, hab ich keine Ahnung, wie man z.b. 200 Kugeln a 11g von 220 Kugeln a 10g Gramm unterscheiden soll. Beide Behälter würden ja 2200g plus Verpackung wiegen. ( Ich geh auch davon aus, dass die Kugeln auch gleich gross sind )

Oder ist das 'ne Scherzfrage ? ;)

Sino
07.11.08, 05:02
EINE Wägung reicht!

Achso, ok, Ist schon spät ;)

edit:
Also wenn ich Kugeln aus den Behältern nehmen darf, dann nehm ich unterschiedlich viele Kugeln aus jedem einzelnen Behältern und zwar jeweils soviele, dass das Gesamtgewicht eindeutig jede einzelne mögliche Kombination aus Behälter und Kugeleinzelgewicht widerspiegelt.
Dann wieg ich die und rechne rückwärts.

Ok, Binärcodierung geht:

1 Kugel aus Behälter 1
2 Kugeln aus Behälter 2
4 Kugeln aus Behälter 3
8 Kugeln aus Behälter 4
16 Kugeln aus Behälter 5

edit:
Die Decomposition ist etwas kompliziert:

0) Setze X := gemessenes Gewicht in Gramm.
1) Setze i:=1;
1) Falls X gerade = > { 10g-Kugeln in Behälter i ... Setze X:=X-10 }
sonst => { 11g-Kugeln in Behälter i ... Setze X:=X-11 }
2) Setze X:=X/2
3) Falls X>0 => Setze i:=i+1, gehe zu 1
sonst fertig

P.S.: Wie man wohl erraten kann, hab ich das am Computer ausprobiert. Dummerweise hat das beim ersten Versuch gestern Nacht mit einer Folge aus 2er Potenzen nicht hingehauen, was aber am Ende nicht an der Folge gelegen hat, sondern an einem Bug in meinem Programm ;(

Beweis:

Gewicht = g_1 + 2*g_2 + 2*2*g_3 + 2*2*2*g_4 + 2*2*2*2*g_5

Der g1 Term bestimmt, ob das Gewicht gerade oder ungerade ist. Bei 11g in Behälter 1 ist das Gewicht ungerade.
Da man nun g_1 kennt, kann man g_1 nun abziehen.
Dann teilt man das Restgewicht durch 2. Dadurch rückt der g_2 Term an die Stelle von g_1 und bestimmt, ob das Restgewicht gerade oder ungerade ist, weil er keinen Vorfaktor mehr hat.
Damit kennt man g_2, zieht es wieder ab, teilt das Restgewicht durch 2, macht mit g_3 weiter usw.

zeitgenosse
07.11.08, 11:16
Wie kommt man denn auf:
w = 2 sqrt(a*h - a²)

Deine Frage verstehe ich nicht (weil du ja bereits die richtige Lösung geliefert hast). :confused: :confused:

Aber meinetwegen, bin ja ein gutmütiger Kerl. ;)

Die Weite erhalten wir aus der Wurfparabel (und diese aus den Koordinaten des Wasserstrahls):

y = (1/2)g*t^2 = x^2/4h

In diese Gl. setzen wir diee Koordinaten des Auftreffpunktes (x_w, H-h) ein und lösen nach x_w (Weite) auf, so dass:

x_w = 2 * sqrt(Hh - h^2)

H Höhe Wassersäule
h Differenz Wasserpegel-Bohrloch

Aus weiteren Überlegungen folgt in summe, dass die grösstmögliche Weite dann erzielt wird, wenn sich das Bohrloch in der Mitte der Wassersäule befindet.

Gr. zg

EMI
07.11.08, 15:35
1 Kugel aus Behälter 1
2 Kugeln aus Behälter 2
4 Kugeln aus Behälter 3
8 Kugeln aus Behälter 4
16 Kugeln aus Behälter 5

Richtig Sino, das ist die Lösung.

310g = alle Behälter 10ner Kugeln
311g = 11er in Behälter1, Rest 10ner
312g = 11er in Behälter2, Rest 10ner
313g = 11er in Behälter2 und 1, Rest 10ner
314g = 11er in Behälter3, Rest 10ner
315g = 11er in Behälter3 und 1, Rest 10ner
316g = 11er in Behälter3 und 2, Rest 10ner
317g = 11er in Behälter3, 2 und 1, Rest 10ner
318g = 11er in Behälter4, Rest 10ner
319g = 11er in Behälter4 und 1, Rest 10ner
320g = 11er in Behälter4 und 2, Rest 10ner
321g = 11er in Behälter4, 2 und 1, Rest 10ner
.
.
341g = alle Behälter 11er Kugeln

Gruß EMI

Hamilton
07.11.08, 15:40
Da l1 in allen dH/dp_i den gleichen Wert hat => alle p_i müssen gleich sein.
( man kann die noch nach p_i auflösen, dann steht da p_i=exp(l1-1) , braucht man aber nicht )
Bingo!, oh, ich muss, auf 10 Zeichen kommen, also nocmal: Bingo (das ist richtig, kurz und elegant)

Sino
07.11.08, 15:43
Richtig Sino, das ist die Lösung.

War eine nette Aufgabe. Hätte nur nicht auf die Idee kommen sollen, das zu programmieren, bevor ich genau verstanden hab, was ich da mathematisch treibe.
Nachdem ich die Formel mal auf Papier geschrieben hab, die G am Ende darstellt, war mir erst klar, was ich da treibe und hab das Programm dann extrem vereinfacht. Das war mal wieder blinder Aktionismus von mir. :p

EMI
07.11.08, 15:51
Deine Frage verstehe ich nicht (weil du ja bereits die richtige Lösung geliefert hast).

Ich wollte nur mal sehen wie andere auf diese w = 2 sqrt(a*h - a²) Gleichung kommen.

Ich bin da so vorgegangen:

ha = h-a
mgha = 1/2mv²
v = sqrt2gha = sqrt(2gh-2ga)

w = v*sqrt2a/g
w = 2 sqrt(a*h - a²)

Gruß EMI

EMI
07.11.08, 16:17
h Differenz Wasserpegel-Bohrloch

Hallo zg,

das kann nicht. Dein h ist mein a=Höhe Bohrloch(vom Boden bis Bohrloch).
Also die Wasserhöhe unter dem Bohrloch.

Deine Deffinition von h wäre aber die Wasserhöhe über dem Bohrloch.
Das ist aber genau mein (h-a) oder dein (H-h)!
Bei meinem h/2=a oder Deinem H/2=h merkst Du den Fehler bei der Ableitung nur nicht.

Berechne mal mit deinem h die Geschwindigkeit v des Wasserstrahls wenn das Loch am Boden wäre.

v = sqrt(2gH-2gh) bei Dir wäre hier h=H also v=0, da Bohrloch hier 0cm ist. "h Differenz Wasserpegel-Bohrloch" h=H-0, h=H

Gruß EMI

rene
07.11.08, 18:31
Hallo EMI

Ich habe es so gemacht:

x(h1) = sqrt(2*g*h1) * sqrt(2*(h-h1)/g)

Mit h=Höhe der Wassersäule
und h1=Höhe zwischen dem Bohrloch und der oberen Begrenzung der Wassersäule.

Die Ableitung und ihre Gleichsetzung mit der Tangentensteigung Null ergibt

f'(h1) = sqrt((h-h1)/g)*g/(sqrt(g*h1))-sqrt(g*h1)/(sqrt((h-h1)/g)*g) = 0

und nach h1 aufgelöst

h1 = h/2


Grüsse, rene

zeitgenosse
08.11.08, 12:28
das kann nicht.

Mit der Konvention

A)

H = Höhe Wassersäule

h = Abstand (Tiefe) von der Wasseroberfläche, d.h.:

Wasserpegel h = 0
Fusspunkt-Rohr h = H

Zielfunktion Z(h) = Hh - h^2 (nimmt ihr Maximum an) wenn

1. Ableitung Z'(h) = H - 2h ; Z'(h) = 0

2. Ableitung Z''(h) = -2 < 0 ; somit Maximum

--> h = H/2

und

B)

Geschwindigkeit: v = sqrt(2gh) ; in Bodennähe geht h --> H

gelange ich zum Schluss:

Würde man ein Wasserrohr mit 3 Bohrlöchern (oben, mitte unten) aus der Vertikalen kippen, käme der unterste Strahl am Weitesten. So aber ist es der Strahl, der aus der Mitte der Wassersäule hervorbricht. Betrachte dazu den "Manneken-Pis" in Brüssel!

Gr. zg

EMI
08.11.08, 12:54
Wasserpegel h = 0
Fusspunkt-Rohr h = H
Geschwindigkeit: v = sqrt(2gh)

Hallo zg,

richtig, und für unser mehrfach angebohrtes Rohr:

H=Wasserpegel
und H=h+hB mit hB Höhe Fußpunkt bis zum jeweiligen Bohrloch, folgt:
vB = sqrt(2gH-2ghB)

Gruß EMI