Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Math - Fibonacci Integraltransformation
Hi
So eine Integraltransformation gibt es meines Wissens noch nicht.
Ich will im folgenden einfach mal bischen weiter mit den Fibonacci Zahlen herumspielen.
Bin mir natuerlich darueber im klaren, dass ich nicht der erste bin der dies tut.
Der Thread hier soll auch wieder ein Merkzettel fuer mich sein.
Kann auch sein, dass ich einige mathematische Ausdruecke falsch verwende.
Mit dem Gedanken eine Fib Integraltransformation herzuleiten beschaeftige ich mich schon laenger.
Allerdings ueber das Konzept nicht so ganz schluessig.
Konkret die Parameterwahl.
Wie kann man fundamental eine Integraltransformation herleiten ?
Prinzipiell ist dies mit der Gaußschen Methode der kleinsten Quadrate moeglich. Indem man Basisfunktionen B(a,t) waehlt die von einem oder mehreren Parametern a abhaengen.
Die Methode von Gauss ist eine diskrete Methode, mit der man nun versucht
ueber eine Summe von k Basisfunktonen B(a(k),t) eine vorgegebene Funktion
f(t) mit der Methode der kleinsten Quadrate zu approximieren.
Die Methode der kleinsten Quadrate ermittelt ueber Integration den Fehler in einem frei waehlbaren Intervall t=[t0..t1]
Enthaelt die komplette Aproximationsfunktion (meist eine Summe der Basisfunktionen) m Parameter und stehen m Bestimmungsgleichungen zur Verfuegung, so erhaelt man eine m*m Matrix, deren Inversen das Approximationsproblem loest.
Besonders einfach wird die Approximation wenn die Basisfunktionen ein
Orthonormalsystem bezueglich dem Integrationsintervall t=[t0..t1] bilden.
Aufgrund der Ausblendeigenschaft ist dann nur die Hauptdiagonale der m*m Matrix mit von Null verschiedenen Werten besetzt.
Solch ein orthogonales System stellen zum Beispiel die harmonischen Schwingungen dar. Und komplex zusammengefasst die komplexe Exponentialfunktion.
Die Orthogonalitaet der Basisfunktonen ist aber keine zwingend notwendige Voraussetzung. Sie erspart lediglich die Inversion der Bestimmungsmatrix.
Ueber die Methode der kleinsten Quadrate lasst sich jedes Set von Basisfunktionen, dass an die Problemstellung angepasst ist als Approximation verwenden.
Soweit sogut :D
Wie will ich jezt bei den Fibonacci Zahlen weiter vorgehen ?
Zunaechst moechte ich an deren kontinuierliche Form in der komplexen Ebene erinnern:
gt=0.681 ....
Realteil: 1/sqrt(5)*( exp(-k*ln(gt)) - exp(k*ln(gt)*cos(k*PI) ) )
Imaginaerteil: - 1/sqrt(5)*exp(k*ln(gt)*sin(k*PI) )
Was kann man hier erkennen ?
Zum einen werden diese durch eine komplexe Exponentialfunktion gebildet.
Damit koente man die Ortogonalitaet ausnutzen.
Im Realteil der Fibonacci Zahle existiert noch der Term :
exp(-k*ln(gt))
gt ist kleiner als eins und daher ist dies der Anteil, der die Fibonacci Zahlen
exponentiell anwachsen laesst.
Und damit natuerlich auch den orthogonalen Charakter verdirbt.
Will ich diesen Charakter vordergruendig beschreiben oder den Mechanismus in der komplexen Ebene, der die Fibonacci Zahlen fuer ganzzahlige Werte auf die reelle Achse abbildet ?
Am besten waere natuerlich elementar die Methode der kleinsten Quadrate anzuwenden.
Da waere aber ein riesen Aufwand.
Ich untersuche daher erstmal eine ueber die Anfangswerte modifizierte Version der Fibonaccci Zahlen.
Hier also erstmal bischen Spielerei.
Die Z-Transformation zur Loesung der DZGL der Fibbonacci-Zahlen auf meiner Webseite haette ich mir sparen koennen, denn das Programm maple kann auch
Differenzengleichungen loesen.
Hie mal die Loesung fuer der DZGL
s[k+2]=s[k+1]+s[k]
fuer beliebige Anfangswerte c0=s[0], c1=s[1]
l:=(rsolve({s(n+2)=s(n+1)+s(n),s(0)=c0,s(1)=c1},s) );
http://home.arcor.de/richardon/2008/fib/fibabb0.gif
Das ist die uebliche Darstellung der Loesung
Man sieht hier aber schlecht, dass die Funktion fuer relle n komplexwerig ist.
Dies laesst sich ueber den evalc() Befehl von Maple erreichen :
l:=(rsolve({s(n+2)=s(n+1)+s(n),s(0)=c0,s(1)=c1},s) );
http://home.arcor.de/richardon/2008/fib/fibabb1.gif
Nun sieht man sehr schon, dass die Loesung komplexwertig ist und aus drei Teilen besteht :
A) Ein exponentiell wachsender Anteil
B) Exponentiell gedaempfter Realteil
C) Exponentiell gedaempfter Imaginaerteil
A+ B bilden dabei die Loesung fuer ganzzahlige k
Ueber letztere Darstelung ist es nun auch einfach die Anfangswerte so zu waehlen, dass verschiedene Charakteren der ueber die Anfangswerte verallgemeinerten Fibonacci DZGL in der komplexen Ebene eingestellt werden koennen.
Beispiel 1
*******
Unterdruecke ich einfach mal das Exponentielle Wachstum der Fib Zahlen :
Im Gegendatz zur ueblichen Darstellung sieht man sofort dass dies erfuellt ist wenn ich den ueber die Anfangswerte gebildeten Vorfaktors des Terms A geeignet waehle :
solve(1/5*c0+1/10*c1+1/10*5^(1/2)*c1=0,c0);
Die Loesung lautet :
c0=-c1*(1+wurzel(5) )/2
Fuer c1=-1 erhalt man (nicht unbedingt ueberraschenderweise)
c0= goldener Schnitt
Hier mal ein Bild der Spirale :
with(plots);
c1:=-1; c0:=-1/2*c1*(1+5^(1/2));
l:=evalc(rsolve({s(n+2)=s(n+1)+s(n),s(0)=c0,s(1)=c 1},s));
complexplot(l,n=0..50);
http://home.arcor.de/richardon/2008/fib/fibabb2.gif
Ich habe mich nun gefragt, ob diese Bedingung c0=-c1*(1+wurzel(5) )/2
denn auch durch ganzzahlige Werte zu erfuellen ist :-)
Exakt nicht .... aber
-C0/C1=goldener Schnitt
daemmert hier jemandem etwas ?
Klar das Verhaeltnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci Zahlen selbst strebt gegen den goldenen Schnitt, je groesser diese gewaehlt werden.
Wen wunderts ? :-)
Waehlt man also zwei aufeinanderfolgende Fibonacci Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen als Anfangswerte, so ergibt sich eine recht tueckische Funktion.
Zuerst scheinen die Werte gegen Null zu streben.
Irgendwann schlaegt dann aber Term A durch, der nicht genau kompensiert ist und die Funktion waechst exponentiell.
Was genau willst du hier eigentlich zeigen?
Vielleicht sagst du mal was du dir davon versprichst, eine neue Integraltransformation einzuführen, die ich allerdings noch nicht gefunden habe?!
Dazu noch auf der Basis einer Zahlenfolge von ganzen Zahlen, was sich ja irgendwie mit Integralen, also kontinuierlichen Dingern, schlecht verträgt.
Naja, es wäre schön, wenn du den Thread hier etwas öffentlicher umstrukturieren könntest- merkzettel kannst du dir zuhause an den Kühlschrank kleben :)
Na immerhin ist es doch schon interessant, dass wenn man als Anfangswerte der Fibonaccifolge
limit(n->00 s0=fib(n), s1=-fib(n+1)) waehlt, dass dann die Folge konvergiert.
Oder eben wenn ich -1 und den goldenen Schnitt waehle.
Dazu noch auf der Basis einer Zahlenfolge von ganzen Zahlen, was sich ja irgendwie mit Integralen, also kontinuierlichen Dingern, schlecht verträgt.
Siehst du in den Termen A,B,C eine Einschraenkung fuer natuerliche Zahlen ???
Zeig sie mir mal bitte. Ich sehe sie nicht.
Die Fibonacci Reihe wird fuer unganzzahlige Werte komplex. Das ist alles.
Und stellt fuer oben genannte Anfangswerte eine komplexe logarithmisch gedaempfte Exponentialfunktion dar.
Sagt dir der Ausdruck exp(-s*t) s=alpha+jw etwas ?
Da ist s die Variable im Bildbereich. Anhand der Terme A,B,C sieht man schonmal, dass die Fibfolge zwar eine komplexe Exponentialfunktion enthaelt, die Anfangswerte s(0),s(1) aber nicht in deren Frequenz eingehen
Man hat zwar die Ausblendeigenschaft der komplexen Exponentialfunktion, aber man kann die Frequenz nicht variieren.
Also ich sehe das schonmal ganz deutlich.
Ebenso, dass es notwendig waere den Term A zu kompensieren. Das ist ueber die Anfangswerte moeglich.
Der naechste Schritt ware es die Frequenz zu veraenern.
Und das koennte folgende Gleichung loesen :
l:=evalc(rsolve({s(n+2)=r1*s(n+1)+r0*s(n),s(0)=c0, s(1)=c1},s));
Allerdings geht hier das Ergebnis in Maple ueber mehrere Seiten.
Wobei ich fuer s(0)=s(1) schon einiges ueber doie Loesung weiss :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/frac2.htm
Ich bin also im Moment dabei zu untersuchen welche Parameter denn am zweckmaessigsten waeren und wie ich die Ausblendeigenschaft,Orthogonalitaet erhalte.
Letzteres ist zwar keine notwendige Bedingung um Funktionen zu approximieren, aber eben ungemein praktisch.
Man koennte auch ganz einfach ueber die Methode der kleinsten Quadrate vorgehen. Das fuehrt aber zu keiner Integraltransformation, sondern statt dem Integral zu einer Reihe. Hab ich oben ja verucht zu erlautern.
Und auch geschrieben :
Ich will im folgenden einfach mal bischen weiter mit den Fibonacci Zahlen herumspielen
merkzettel kannst du dir zuhause an den Kühlschrank kleben
Der ist zu klein dafuer.
Aber ist ok.
Wenn ich fertig bin loesche ich ganz einfach den Thread wieder.
Kam was sinnvolles dabei heraus, stelle ich es auf meine HP.
Hier zu schreiben ist nun mal einfacher wie die HP zu modifizieren.
Siehst du in den Termen A,B,C eine Einschraenkung fuer natuerliche Zahlen ???
Nö
Sagt dir der Ausdruck exp(-s*t) s=alpha+jw etwas ?
1. Ja, ich bin Physiker, ich hab sowas durchaus schon mal gesehen ;)
2. Es sagt mir, dass du Elektroingeniuer oder sowas bist, denn alle anderen schreiben i und nicht j
Zum Rest:
Also kurz: Ich bin kein Fibonnaciologe, alles was ich darüber weiß ist, dass es um Wachstum von (ganzzahligen) Karnickeln in Fibonnacis Garten ging.
Für mich ist das eine Zahlenfolge mit Gliedern ∈ N
Wenn das nicht so ist, weißt du da mehr als ich.
Ich bin also im Moment dabei zu untersuchen welche Parameter denn am zweckmaessigsten waeren und wie ich die Ausblendeigenschaft,Orthogonalitaet erhalte.Letzteres ist zwar keine notwendige Bedingung um Funktionen zu approximieren, aber eben ungemein praktisch.
Normaliesieren kannst du wenn du deine Funktionen mit was multiplizierst, was schnell genug abfällt, also Gauß, oder exp(-|x|) o.Ä.
Findest Du eine Basis, dann kannst du daraus immer mit dem Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahren auch eine ONB konstruieren.
Hi Hamilton
2. Es sagt mir, dass du Elektroingeniuer oder sowas bist, denn alle anderen schreiben i und nicht j
Ja. E.Ing, weil sich i mit der Stromdichte i beissen wuerde.
Also kurz: Ich bin kein Fibonnaciologe, alles was ich darüber weiß ist, dass es um Wachstum von (ganzzahligen) Karnickeln in Fibonnacis Garten ging.
Das ist richtig aber bischen wenig :-)
Ich bin auch kein Fibonacciloge aber kann hinzufuegen dass :
-Der Quotient zweier folgender Fib Zahlen gegen den goldenen Schnitt konvergiert.
Dies zeigt sich auch in der Kettenbruchdartellung :
http://upload.wikimedia.org/math/5/e/c/5ec9e81a45182c04df3560660b6a9449.png
oder der Loesung A+B+C oben.
Das duerfte der Aspekt sein warum diese Reihe uns stets eine lange Nase zeigt.
-Oder dass die Fib Zahlen im Pascalschen Dreieck gebildet werden koennen.
Also aus Summe von Binominalkoeffizienten.
-Dass nach dem Theorem von Zeckendorf jede Zahl als Summe nichtfolgender Fib Zahlen geschrieben werden kann.
(Zeckendorf Sequenz)
- Das die aus den Fib Zahlen gebildete goldene Sequenz ebenfalls verrueckte Eigenschaften aufweist. Und diese in der Informatik genutzt werden. (Fibonacci Heap)
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibrab.html
- Die Fib Zahlen in der Mandelbrotmenge vorkommen
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibrab.html
-Dass die Primfaktoren Zipf Verteilt sind.
Die Liste ist fast unueberschaubar :
Manche Fibonacciologen sind fast wie besessen :
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/
Nur mal ein Schmankerl :
http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/index.html
89 ist eine Fibzahl 89=Fib(11)
1/89=0.01123595506 beginnt also mit der Fib Reihe
- Benutze ich die Notation k=fib(n) so bestehen auch zwischen n und k Zusammenhaenge die man kaum glauben will. ( In obiger Darstellung waeren dies zusammenhaenge, dass ich Term A+B+C in n einsetzte)
Für mich ist das eine Zahlenfolge mit Gliedern ∈ N
Wenn das nicht so ist, weißt du da mehr als ich.
Die Fakultaet ist auch fuer Gliedern ∈ N definiert.
Es gibt dennoch auch eine Gammafunktion.
A+B+C sind genauso die verallgemeinerten Fib Zahlen. Komplex.
Fuer Im=0 (Schnittpunkt mit Re Achse erhaelt man die ganzzahligen Werte)
Zu meinen Experimenten.
*******************
Vielleicht haette ich zunaechst schreiben sollen :
Fibonacci Zahlen Reihensummenapproximation.
Das koennte man auf jeden Fall mit der Methode der kleinsten Quadrate realisieren. Dabei erhalt man fuer n Parameter a eine n*n Bestimmungsmatrix.
Ist die Basisfunktion orthogonal, so ist die Matrix nur in der Hauptdiagonalen besetzt. Die Gleichungen entkoppelt. Mit der Gauss Methode sieht man das sehr anschaulich.
Was haette ich dann davon ?
Ich kann sehen wieviel Anteil Fib (von einem Parameter) in einer Funktion enthalten ist. Und da die Fib Zahlen ueber solch eine ungaubliche Vielfalt von Eigenschaften verfuegen erhoffe ich mir damit einiges.
Findest Du eine Basis, dann kannst du daraus immer mit dem Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahren auch eine ONB konstruieren.
Ja, die Methode laesst sich auch auf Funktionalraeume anwenden. Aber ich will ja wissen was dann mit der DZGL passiert. Und zwischen dieser und deren Loesung, die ich als Basisfunktion verwenden moechte) steht z.B. eine Z Transformaton. Die muesste ich rueckwaerts anwenden um zu sehen wie das Orthogonalisierungsverfahren die DZGL veraendert. Das waere ein riesen Aufwand.
Mit exp(-s*t) meinte ich auch die Basisfunktion der La Placetransformation.
Wenn ich Term A ueber die Anfangswerte kompensiere und dennoch im innern die Eigenschaften der Fib Zahlen erhalten bleibt, dann hab ich doch schon fast alles. Denn B und C stelln eine komplexe gedaempfte Exp Funktion dar.
Ich koennte zum Beispiel auch den Parameter w als fib(w*n) oder fib(w+n) verwenden.
Dann waere eine damit gebildete Integralstransformation eine La Placetransformation mit einem speziellen Schnitt in der s Ebene.
Ich koennte alle bekannten Eigenschaften der La Place Transformation ausnuetzen.
So ist ja auch die Foeuriertransformation eine Spezielle La Place transformation, In der in s=alpha+j*omega der Fall alpha=0 betrachtet wird.
Gruesse
Nur mal zum anschauen :
Die Laplacetrasformierete der verallgemeinerten Fib-Zahlen c0=c1=1 in der komplexen S-Ebene
http://home.arcor.de/richardon/2008/fib/laplace.gif
Hier hab ich mal einige einfachste Loesungen der DZGL's vom Fibonaccityp zusammengestellt :
f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=i
Loesung : i^n = exp(i*Pi/2*n)
**********************
f(n+2)=-2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=-i
Loesung : (-i)^n
***********
f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=2*i
Loesung : (n+1)*i^n
***********
f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=-2*i
Loesung : (n+1)*(-i)^n
***********
f(n+2)=f(n+1)-1/4*f(n), f(0)=k, f(1)=k
Loesung : k*(n+1)*(1/2)^n
***************************
f(n+2)=f(n+1)-1/4*f(n), f(0)=2*k, f(1)=k
Loesung 2*k*(1/2)^n
f(n+2)=f(n+1)+2*f(n), f(0)=1, f(1)=2
Loesung2^n
EDIT 2010
Wenn ich noch wuesste wie ich damals darauf kam waere ich froh :-)
Hi richy.
Ich habe mich nun gefragt, ob diese Bedingung c0=-c1*(1+wurzel(5) )/2
denn auch durch ganzzahlige Werte zu erfuellen ist :-)
Exakt nicht .... aber
-C0/C1=goldener Schnitt
daemmert hier jemandem etwas ?
Klar das Verhaeltnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci Zahlen selbst strebt gegen den goldenen Schnitt, je groesser diese gewaehlt werden.
Wen wunderts ? :-)
Nee, wundert natürlich niemand, weil der Goldene Schnitt ja genau die Bedingung der Fib-Funktion erfüllt.
Eigentlich völlig banal.
Aber hier:
Hier hab ich mal einige einfachste Loesungen der DZGL's vom Fibonaccityp zusammengestellt :
f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=i
Loesung : i^n = exp(i*Pi/2*n)
**********************
f(n+2)=-2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=-i
Loesung : (-i)^n
***********
f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=2*i
Loesung : (n+1)*i^n
***********
f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=-2*i
Loesung : (n+1)*(-i)^n
***********
f(n+2)=f(n+1)-1/4*f(n), f(0)=k, f(1)=k
Loesung : k*(n+1)*(1/2)^n
***************************
f(n+2)=f(n+1)-1/4*f(n), f(0)=2*k, f(1)=k
Loesung 2*k*(1/2)^n
Könntest du mal im Klartext (also Prosa) erläutern, ob wir mit einer dieser Lösungen was anfangen können?;)
Gruß Jogi
Hi Jogi
Nee, wundert natürlich niemand, weil der Goldene Schnitt ja genau die Bedingung der Fib-Funktion erfüllt.
Eigentlich völlig banal.
So ganz banal ist das nicht, im Gegenteil. Oder uebersehe ich gerade etwas ? Denn das Verhaeltnis zweier Fib(n) Zahen naehert sich nur dem goldenen Schnitt fuer grosse n.
Aber untersuchen wir die Sache mal genauer. (g soll 0.618033988 .. sein)
Wobei g+1 als der goldene Schnitt bezeichnet wird. Beides ist aber so gut wie das Selbe. 1+g=1/g
Wie ich darauf komme eins und g als Anfangswerte zu waehlen ist klar.
Um den Term A zu kompensieren waehle ich c0 und c1 so, dass der Vorfaktor
(1/5*c0+1/10*c1+1/10*5^(1/2)*c1) des Terms gleich Null wird.
Das ist keine grosse Kunst. (Es gibt 2 Loesungen)
Es bleiben die exponentiell gedaempften harmonischen Terme B und C.
Die modifizierte Fib Version nenne ich mal Fibg
Berechnen wir Fibg(n+1)/Fib(n)
Am einfachsten sieht man das sofort an der nicht komplex umgeschriebenen Funktion :
(Sorry die Ascii Scheibweise, aber nur der blaue Teil interessiert)
Die ganzen Vorfaktoren kuerzen sich beim Verhaeltnis raus :
Die Loesung lautet in der Schreibweise :
-8*(3+5^(1/2))/(5^(1/2)+1)^3*(-2/(Wurzel(5)+1))^n
(-2/(Wurzel(5)+1))^n und aus dem Term bleibt beim Bilden des Verhaeltnis
-2/(Wurzel(5)+1)
Also wiederum -g
*************
Bei der Fib Reihe konvergiert der Reihenquotient gegen 1.618033988
Bei der Fibg Reihe ist er kostant ! gleich -0.618033988
Es kommt aber noch viel besser !
Hier mal einige Werte der Fibg(n) (Reihe)
Die haben alle die Form : (Die Reihe ist wegen -A alternierend)
- A / (Wurzel(5) +1 ) + B
Mit folgenden Werten fuer A, B
.A. .B.
000 001
002 000
002 001
004 001
006 002
010 003
016 005
026 008
042 013
068 021
110 034
178 055
288 089
Und die Werte von B duerften dir sicherlich bekannt sein
Ha jetzt wissen wir gleich wie 42 und 13 zusammenhaengen :-)
Hast du eine Idee fuer A ? Kann man natuerlich berechnen was das fuer Zahlen sind.
Das naechste Mal. Dann auch mehr zu den Loesungen und wie weit meine Integraltransformation ist.
Wobei ich da trotz einiger Ergebnisse kurz davor bin aufzugeben.
Schon spaet, aber ich muss noch wissen was die Folge A darstellt :
Wobei ich meine das schonmal gerechnet zu haben.
Sicherlich gibt es mehrere Loesungswege. Was waere dein Vorschlag ?
B stellen "natuerlich" die Fibonacci Zahlen selbst dar ! Heidenai :-)
Und schauen wir uns die Folge A nochmal genauer an :
000 001
002 000
002 001
004 001
006 002
010 003
016 005
026 008
042 013
Die Folgt ja auch der Fib DZGL fuer die Anfangswerte 0,2, bzw 2,2
Die Fib Folge B ist um eine Stelle verschoben.
Man kann also schreiben
Fib1_g(n)=-Fib22(n-1)/ (Wurzel(5)+1) + Fib11(n-2)
oder
Fib1_g(n)=-Fib02(n)/ (Wurzel(5)+1) + Fib10(n)
Ich hab das schonmal ausfuehrlicher gerechnet und meine zu wissen, dass man jede Fibfolge
als Summe zweier gewichteter Fib Folgen anderer Anfangswerte darstellen kann.
Jetzt koennten wir das auch mal anhand der expliziten Loesung betrachten.
da sieht man sofort, dass sich die Funktionen nur um einen linearen Vorfaktor unterscheiden . Und man mit c0=k0+K0, C1*k1+K1 den Umstand erklaeren kann.
Es folgt aber auch aus irgendeinem anderen Umstand der soweit ich mich erinnere recht seltsam war.
Schon spaet, aber ich muss noch wissen was die Folge A darstellt :
Och richy, was soll das schon sein?
Das ist einfach eine Fib-Reihe, die mit 2 startet.
Das gleiche kannst du mit jeder beliebigen Zahl machen, im Unendlichen konvergieren die zwei aufeinander folgenden Zahlen stets zum goldenen Schnitt.
Ich hab das schonmal ausfuehrlicher gerechnet und meine zu wissen, dass man jede Fibfolge
als Summe zweier gewichteter Fib Folgen anderer Anfangswerte darstellen kann.
Jetzt koennten wir das auch mal anhand der expliziten Loesung betrachten.
da sieht man sofort, dass sich die Funktionen nur um einen linearen Vorfaktor unterscheiden . Und man mit c0=k0+K0, C1*k1+K1 den Umstand erklaeren kann.
Es folgt aber auch aus irgendeinem anderen Umstand der soweit ich mich erinnere recht seltsam war.
Das mag ja alles sein.
Ich warte aber immer noch darauf, dass da ein für mich erkennbarer Zusammenhang zur Eulerschen Betafunktion auftaucht.
Oder einfach erst mal eine progressive Addition von Rotationen.
(Eine Fib-Reihe ist doch eine progressive Addition?)
Anstatt also zwei Fib Folgen zu addieren, könntest du einfach mal (gleichwertige) Roationen in Fib Manier aufaddieren.
Vielleicht führt dann ja das eine zum anderen, ich hab' da doch auch keine Ahnung...:o
Gruß Jogi
Das ist einfach eine Fib-Reihe, die mit 2 startet.
Yepp, allerdings sollte man sagen sie startet mit 0,2
Das gleiche kannst du mit jeder beliebigen Zahl machen, im Unendlichen konvergieren die zwei aufeinander folgenden Zahlen stets zum goldenen Schnitt.
Ja wegen Term A.
Aber da der bei meiner fib1_g Folge kompensiert ist konvergiert da nichts, sondern das Verhaeltnis zweier aufeinander folgenden Zahlen stets der goldene Schnitt.
Die eigentliche Ursache fuer den goldenen Schnitt liegt in der charakteristischen Gleichung der Fib Zahlen :
z^2=z+1
Die ergibt sich auch bei der Z-Transformation.
Dementsprechend konvergiert die Form
z^2=z-1/4 gegen die Loesung 1/2, wie meine Beispiele auch zeigen.
Ich warte aber immer noch darauf, dass da ein für mich erkennbarer Zusammenhang zur Eulerschen Betafunktion auftaucht.
Das hatte ich dir bereits geschrieben. Der mag existieren, aber die Fib Zahlen sind ja eine Summe im Pascalschen Dreieck und die Betafunktion hoechstens indirekt darin enthalten.
Das klappt nicht.
Oder einfach erst mal eine progressive Addition von Rotationen.
(Eine Fib-Reihe ist doch eine progressive Addition?)
Wenn du mit progressiv sukzessiv meint. Ja. Natuerlich.
Und sie sind Spiralen. Also Rotationen. Term B und C gewaehrleisten das.
Und fib1_g der einzigste Fall in der die Anfangswerte gegen 0 konvergieren.
Ansonsten divergent. Bis auf die vorgestellten Loesungen der gewichteten Summen. Die sind noch weitaus komplizierter.
Es gibt dafuer darunter den einfachsten Fall der Loesung : i^n : Ein Kreis
Gruesse
Hi richy.
Aber da der bei meiner fib1_g Folge kompensiert ist konvergiert da nichts, sondern das Verhaeltnis zweier aufeinander folgenden Zahlen stets der goldene Schnitt.
Siehste, das hatte ich nicht erkannt.:o
Aber jetzt, wo du`s sagst:
Die eigentliche Ursache fuer den goldenen Schnitt liegt in der charakteristischen Gleichung der Fib Zahlen :
z^2=z+1
Schön.
Ich warte aber immer noch darauf, dass da ein für mich erkennbarer Zusammenhang zur Eulerschen Betafunktion auftaucht.
Der mag existieren, aber die Fib Zahlen sind ja eine Summe im Pascalschen Dreieck und die Betafunktion hoechstens indirekt darin enthalten.
Indirekt reicht mir ja.
Es geht mir ja um eine Beta-Verteilung von Rotationen entlang der Z-Achse.
Das hat aber nichts mit einer Fib-Spirale zu tun, sagte ich auch schon.
Melde mich an anderer Stelle nochmal hierzu.
Trotzdem ist das hier interessant:
Wenn du mit progressiv sukzessiv meint. Ja. Natuerlich.
Und sie sind Spiralen. Also Rotationen. Term B und C gewaehrleisten das.
Und fib1_g der einzigste Fall in der die Anfangswerte gegen 0 konvergieren.
Ansonsten divergent. Bis auf die vorgestellten Loesungen der gewichteten Summen. Die sind noch weitaus komplizierter.
Es gibt dafuer darunter den einfachsten Fall der Loesung : i^n : Ein Kreis.
Gruß Jogi
Hi Jogi
Wie bereits angedeutet. Du kannst die beta Funktion ja wie erwaehnt statt der in der h0*ω*(1/t²)/(2*Pi) Komponente verwenden .
vec s = vec ( h0*ω*(1/t²)/(2*Pi) , r*sin(ω*t) , r*cos(ω*t))
Ich kann das als Beitrag zum Modell mal uebernehmen.
ω koennte man dazu doch prima als zweiten Parameter benutzen.
Gibt es gewisse Eigenschaften die h0*ω*(1/t²)/(2*Pi) erfuellen soll ?
Die Daempfung 1/t^2 ist kein Prob, denn die beta Funktion enthaelt in der Reihenentwicklung ein Glied 1/t
Beta ~ t^-1+(-gamma-Psi(w))+(1/12*Pi^2+1/2*gamma^2-1/2*Psi(1,w)+1/2*Psi(w)^2+Psi(w)*gamma)t ... und so weiter und so fort :-)
PSI ist wiederum so ein Exot, die Digammafunktion
Psi(x) = diff( ln(GAMMA(x)), x ) = diff(GAMMA(x), x ) / GAMMA(x)
Gehen wir mal in die Maple Wurstfachabteilung :-)
MAPLE : Was haettens den gern ?
KUNDE : Bitte einmal Betafunktion.
MAPLE : Geschnitte oder stetig ?
KUNDE : Stetig bitte
MAPLE : Beta(t,w) ueber t quadratisch oder einfach gedaempft ?
KUNDE : Die Beta Wurst bitte gut gedaempft !
MAPLE : Da kann ich ihne folgende Varianten a'biete
Beta(t^2,w),t),
das waere als Serie etwa :
t^(-2)+(-gamma-Psi(w))+(1/12*Pi^2+1/2*gamma^2-1/2*Psi(1,w)+1/2*Psi(w)^2+Psi(w)*gamma)*t^2+O(t^4),t,4)
Den Landau Zipfel O(t^4) kann ich a gern abschneide.
oder
Beta(t,w)^2,t),
t^-2+(-2*gamma-2*Psi(w))t^-1+(1/6*Pi^2+gamma^2-Psi(1,w)+Psi(w)^2+2*Psi(w)*gamma+(-gamma-Psi(w))^2)+(2*(-gamma-Psi(w))*(1/12*Pi^2+1/2*gamma^2-1/2*Psi(1,w)+1/2*Psi(w)^2+Psi(w)*gamma)+gamma*Psi(1,w)-gamma*Psi(w)^2+Psi(1,w)*Psi(w)-1/3*Psi(w)^3-2/3*Zeta(3)-1/6*Pi^2*gamma-1/3*gamma^3-1/3*Psi(2,w)-1/6*Psi(w)*Pi^2-Psi(w)*gamma^2)t +....
KUNDE : Die ist aber lang. Koennen's denn auch den ganzen Zipfel abschneiden ?
MAPLE : Moment da frag ich den chefe
CHEFE :
Meine guten Herren schauen sie mal :
solve(Beta(t,w)=1/t,w);
RootOf(Beta(t , _Z) t - 1)
Wenn sie schon lecker Beta Wurst verlangen schneiden wir das beste doch nicht ab und machen ein paar Wienerle draus !
KUNDE :Koennen sie uns mal so ein Stueck Beta Wurst probieren lassen ?
Auch die linear gedaempfte Variante ?
MAPLE : Moment das macht GRAF Maple
GRAPH MAPLE :
http://home.arcor.de/richardon/2008/fib/beta1.gif
KUNDE : Ja mai, da fehlt doch der ganze Landau Zipfel !
Des sieht ja aus wie a Wiener Wueschtel !
Gar kein Unterschied zu 1/t oder 1/t^2 !
MAPLE : Vorhin wollde sie den Zipfel net und jetzt beschweren sie sich !
Net alle Landauer Kinder und Landauer Zipfel sinn dick !
GRAF Maple Wenn ich w statt 1 auf 10 erhoehe sieht man mehr vom Zipfel. aber die Form der Beta Wurst bleibt aehnlich.
MAPLE : Was wollens ueberhaupt mir der Wurscht ?
Solls fuers Veschber soi ?
KUNDE : (*verlegen fluestert ) Nein fuer eine offene String Party
MAPLE : Pfui daibel. So ae noimodisch Uennerwaesch ******* ?
CHEFE :
Frueher konnt ma mit so ner Unnerhos von de Fraaaa ae ganzes Fahrraedle putze.
Hoid roichts grad noch fuer a Spoich (Speiche)
Graf Maple :
plot( ho ho ho) :D
KUNDE : Also wir dachten da an etwas nun doch wohlgeformteres.
Bischen variabler.
MAPLE : Wolle sie demit sage die Bedda Wurscht isch langwoilg ?
Chefe : Ha gugg da die Rotzloeffel do a
Graf Maple :
plot( ho ho ho) :D
KUNDE : Sie sollte fuer w halt etwas abwechslungsreicher sein !
MAPLE Hanno ! Des isch jo de Gipfel. Do komme die Seggel in unser Bedda Worschdfachgschaeft un wisse net a mol was se wolle un beschwaere sich dann a noch, dass die Worschd
(*mit hoher Stimme) nicht abwechslungseich genug waere"
So Schdrings do, die griegd da do druebbe in de Verdoilungsabbodek.
Kund : Wo bitte ?
Chefe : In der Beta Verteilungs Apotheke
Gruess Gott !!!
:)
Marco Polo
10.11.08, 20:54
Looooooooooooool
Hihihi. Der Hammer. *das Sauerstoffzelt such*
Der diesjährige virtuelle Comedy-Award geht damit an richy. *tusch*
Ich hab das ausgedruckt und zeige es nächste Woche meinen Kollegen aus dem Schwoabaländle.
Das wird ein Spass...
Der Kunde begibt sich hinueber zur Beta Verteilungs Fachapotheke.
Auf dem Weg dorthin kommt er an einer Baustelle vorbei.
Ein scheinbar italienischer Bauarbeiter ruft ihm von oben zu.
Attenzione come stai !
Der Kunde ruft zurueck : Grazie bene.
Dann knall ihm ein Backstein an den Kopf.
Bauarbeiter :
'Abbe doch gerufe "Komme Stain !"
Der Kunde hat nun einen weiteren Grund fuer den Besuch der Apotheke :D
Oh Mann, Luft!!!!
Mein Zwerchfell!!!!
Richy, du bist für die Party gebucht!
Und bring' auch Marco Polo mit, schliesslich hat er den Italiener zuerst entdeckt!
Um die Kleiderordnung macht euch keine Sorgen, an der Eingangstür werden Einheitsstrings ausgegeben!:D
Gibt es gewisse Eigenschaften die h0*ω*(1/t²)/(2*Pi) erfuellen soll ?
Hmm... mal sehen... wie wär's mit:
meiner fib1_g Folge?
Die Daempfung 1/t^2 ist kein Prob, denn die beta Funktion enthaelt in der Reihenentwicklung ein Glied 1/t
Yep, deshalb dachte ich ja, dass sich in Verbindung mit den Rotationen vielleicht von ganz allein eine Betaverteilung ergibt.
Mein Grundgedanke, der dann zu der vec s Funktion geführt hatte, war ja ursprünglich ein ganz anderer, nämlich E=mc².
Mehr dazu auf der Party...;)
Gruß Jogi
@Jogi
Du siehst.
Beta Funktion ist ja gar nix. Pah 1/t und bischen dicke Kinder von Landau.
Aber an eine wirklich gute Beta Verteilung dran zu kommen. Tja das ist mit Muehen und Opfern versehen. Ob in der Metzgerei oder in der Apotheke.
Nun, wie geht es weiter ?
Wie komme ich denn nur blos an eine gute Beta Verteilung ran ?
Tja. Das ist gar nicht so einfach !
Marco Polo
10.11.08, 23:38
Und bring' auch Marco Polo mit, schliesslich hat er den Italiener zuerst entdeckt!
Um die Kleiderordnung macht euch keine Sorgen, an der Eingangstür werden Einheitsstrings ausgegeben!:D
Mehr dazu auf der Party...;)
Och schade, ich wollte mein GRAF Maple - Kostüm anziehen. ;)
Och schade, ich wollte mein GRAF Maple - Kostüm anziehen. ;)
...und damit deine figürlichen Unzulänglichkeiten kaschieren, das ham' w'r gerne!:D
Ich stell' mir das grade bildlich vor:
- Alle hängen ihre Weißbierplauze über den Tanga, nur der Herr Graf hält sich vornehm bedeckt.
- Keine schlechte Strategie, sie hat nur einen Haken:
Es ist kein Weibsvolk anwesend.
(Das ist bekanntlich geschlossen zur Steinigung eines Gotteslästerers gezogen, unter missbräuchlicher Verwendung der unbeaufsichtigt abgelegten Herrengarderobe.:D )
Klar wir kommen . Aber wohin ? :-)
So blöd ist die Idee gar nicht.
Malmsheim, Karlsruhe, Möglingen, Heilbronn... alles nicht soo weit auseinander.
Bei mir wäre Platz, aber ich kann auch problemlos nach KA fahren und dabei noch jemand mitnehmen.
Ich warte mal auf euere PNs.
Gruß Jogi
Hi Jogi
Ich hab mal bischen gegoogelt um zu erfahren welche Funktion nun tatsaechlich in der Stringtheorie verwendet wird.
Es scheint mir so, dass es tatsaechlich die Betafunktion ist. Nicht etwa die Beta Verteilung. Ich vermutete letzteres, weil sich hier eine Aenderung der Parameter weitaus drastischer auswirkt. Fasst man einen Parameter als Zeit auf, so ergibt sich im Intervall [0..1] eine Art Welle die von links nach rechts lauft. Wobei der 2 te Parameter vornehmlich die Amplitude bestimmt.
Nun hat der Besuch in der Mapke Fachmetzgerei gezeigt, dass die Betafunktion aehnlich der 1/t Funktion ist. Mehr noch. Wahlt man fuer den 2 ten Parameter 1, so gilt :
Beta(t,1) = 1/t
Beta(t,1)^2 = 1/t^2
wie man sich anhand des Integrals herleiten kann :
int(x^(t-1)*(1-x)*(w-1),x=0..1)=1/x;
Ihr rechnet also schon mit Beta(t,1)^2 = 1/t^2
Wie kommt ihr eigebtlich auf das 1/t^2 ?
EIne Naeherung fuer die Betafunktion waere uebrigends :
http://upload.wikimedia.org/math/6/0/d/60d3e5ad41a7c0fa98da7bf6c9252d6e.png
Anderes Thema.
Wenn ich die Beta Verteilung betrachte, dann faellt mir noch etwas auf :
http://upload.wikimedia.org/math/f/f/b/ffbb1ac67fec8f4d761d2945cfef73e9.png
Siehst du es auch ? Es sind zwei gegeneinander arbeitende Terme.
Und wenn man p=q=2 einsetzt erhaelt man eine beruehmte Funktion der Chaostherie !
Die Abbildungsfunktion der logistische Gleichung !
Der Normierungsfaktor ist dann Beta(2,2)=1/6 bzw 1/Beta(2,2)=6
Die logistische Gleichung laesst sich also allgemeiner formulieren als
x(k+1)=a/6*f_Beta(x(k),2,2)
und eine allgemeinere logistische Gleichung waere :
x(k+1)=a*Beta(p,q)*f_Beta(x(k),p,q)
Waere mal interessant eine Beta Verteilung Mandelbrotmenge zu berechnen.
ciao
das thema hier ist irgendwie ein Rohrkrepierer.
Hat nu mal irgendwas funktioniert? Was ist mit der fib. Integraltrafo?
Hi hamilton
Ja, ich konnte konkrete konvergente Integrale fuer elementare Funktionen ueber eine "Fibonacci Integraltrasformation" bestimmen.
Auch eine Art Fibonacci Spektrum.,
Allerdings erwiesen sich die Integraltrasformierten als formal monstroese
Ausdruecke.
Dabei hatte ich zwei Variationen A,B dieser Integralitransformation im Auge.
Die Version B die mir eher wichtig erschien, in der nuetzliche Eigenschaften des Urbereichs auf den Bildbereich uebertragen werden koennen, fuehrte aber selbst fuer elementare Funktionen zu nicht konvergierenden Integralen.
Die Fouriertransformation ist nichts weiter als ein Schnitt durch die komplexe Ebene der Variablen s=a+j*b der LaPlace Transformation.
Die Fouriertransformation betrachten den Schnitt a=0.
Zudem sind deren Basisfunktionen orthogonal.
Die Variante A einer Fibonacci Transformation entspricht einem etwas komplexeren Schnitt durch die s-Ebene.
Dieser Schnitt bringt aber meiner Meinung nach nichts.
Daher habe ich das Thema nicht weiter verfolgt.
Insbesonders konnte ich fuer die Variante A zwar jede Menge konvergierender Integrale bestimmen, aber keine allgemeine Ruecktransformation.
So ganz habe ich das Thema aber auch noch nicht in den Muell geworfen.
Man koennte es wiederbeleben in der Form, dass man zunaechst Funktionen ueber Summen verallgemeinerter Fibonacci Funktionen mit einem Parameter r darstellt.
Solch eine Approximation ist ueber die Methode von Gauss ueberhaupt kein Problem.
Aber stellt auch einen nicht unerhebichen Arbeiotsaufwandand dar.
Insbesonders wenn die Funktionsbasis nicht orthogonal ist.
Man muss dann allgemeingueltige Aussagen fuer gewisse Klassen von Integralen finden.
Fuer die Funktionsbasis eines Rechtecksignales ist mir dies zum Beispiel schon gelungen.
Es waere bei den Fibonacci Zahlen ein recht grosser Arbeitsaufwand.
Und im Moment interessiert mich Heims Gravitationsgesetz mehr.
Aber ok wenn du weiter draengst werd ich es dem Schulbub vorrrechnen.
Wie immer wirst du kein Wort verstehen und daher rumnoergeln.
Ist da etwa jemand beleidigt?
Ich hatte eigentlich gedacht, dass du nicht einer von diesen narzistischen Schwachköpfen bist, die hier immer mit einem "Ich habe immer Recht und bin klüger als Du!" Button am Pullover rumlaufen. Insofern bin ich irgendwie enttäuscht.
Na dann gehe das Thema selbst mal an.
Wozu? Um hier irgendwem irgendwas zu beweisen?
Es ist dir in deiner Einleitung zu dem Thema ja nicht mal gelungen eine Motivation dafür zu geben warum man sowas machen sollte. Es gibt bereits einige Integraltransformationen- was soll die Fibonacchi Neues bringen? Warum denkst, du dass es überhaupt möglich ist eine zu machen? Die Fibonacchi-Folge ist eine Folge von natürlichen Zahlen, wenn es eine kontinuierliche Fortsetzung gibt, wie du sagst, muss man die erstmal einführen (das ist kein Standard-wissen)- du kannst nicht erwarten, dass sich dein Auditorium immer alle Infos selber besorgt.
Und anstatt sauber, formal den Faden weiterzuspinnen postest du tonnenweise Maple Output- ich hab den Verdacht, dass du selber keinen Schimmer hast, was du da eigentlich tust, kann das sein, eh?
Zum Schluss drugst du rum, bleibst ein Ergebnis schuldig und auf Anfrage kommt: "das ist alles monströs, aber ich hab eine neue Idee, aber die würdest du sowieso nicht verstehen"
Das finde ich irgendwie arm.
Hi Hamilton
Uups ich hatte den Beitrag doch editiert .
Sorry klang halt so wie : Aetsch kommt da noch was.
Ich war mir bei dem Thread nicht sicher ob etwas dabei heraus kommt.
Aber ueber den Weg war ich mir im Klaren.
Eigentlich wollte ich eine Fibonacci Reihen Approximation herleiten.
Da hatte ich den Thread aber falsch benannt.
Das waere auch einfacher gewesen. D.h. da koennte man systematischer vorgehen. Fuer Rechteckfunktionen habe ich das schon mal realisiert und es hat prima geklappt.
Soll das ganze nichtnumerisch funktionieren, so sind aber einige Integrale zu loesen.
Int Fib(A*n)*Fib(B*n) fuer alle A, zum Beispiel.
Und das koennte bei dem Fibonacci Zahlen schwierig sein.
Was soll das Ganze ?
Warum gibt es eine Fourier Transformation oder Reihenentwicklung ?
Diese Fibonacci Zahlen oder der goldene Schnitt kommen ueberall in der Natur vor. Oder zum Beispielauch in Aktienkursen. Es ist ja auch "nur" eine spezielle exponentielle Wachstumsfunktion.
Mich haette eben mal interessiert, dass ein Hilfsmittel zur Verfuegung steht,mit dem man bestimmen kann : Aha diese Funktion setzt sich aus folgenden Fibonacci Folgen zusammen.
Das ist mit einer Reihenapproximation auch gar kein Problem.
Nur benoetigt man dann einen geeigneten Parameter fuer die Funktionen.
Und nach dem hatte ich in dem Thread hier auch gesucht.
Und anstatt sauber, formal den Faden weiterzuspinnen postest du tonnenweise Maple Output- ich hab den Verdacht, dass du selber keinen Schimmer hast, was du da eigentlich tust, kann das sein, eh?
Doch ich weiss es ganz genau was ich wollte. Wenn du die kontinuierliche Fib Folge anschaust, dann siehst du ja, dass es nichts weiter ist wie eine komplexe Exponentialfunktion, die mit einem Amplitudenfaktor versehen ist. Der Amplitudenfaktor ist aber divergent und so kann ich kein konvergentes Integal erwarten. Also hab ich die Fib Folgen erstmal modifiziert.
Und es ist mir ja gelungen wenigstens den nichtperiodischen Term A zu kompensieren.
Das ist doch schonmal was oder ?
Und dann war der naechste Schritt nach einem geeigneten Parameter zu suchen.
Einer liegt ja auf der Hand. Fib(K*n)
Man koennte aber auch die Anfangswerte verwenden oder verschobene Fib Folgen.
Letzteres war eigentlich mein Favorit.
Mit der modifizierten Funktion Fib(K*n) hab ich auch konvergente Integrale mit Maple berechnet.
Blos die waren so lang, dass ich die nun tatsaechlich hier nicht reinstellen wollte.
War aber an fuer sich schon interessant.
Und dabei ist mir aber auch klar geworden :
Wenn ich Eigenschaften dieser Integrale irghendwie nutzen moechte dann macht das ja nur einen Sinn wenn du auch eine Ruecktransformation findest.
Und die habe ich nicht gefunden.
Und dann hat sich der Thread auch verlaufen.
Spaeter gings um die Beta Funktion. Und da gab es auch ein Ergebnis. Dass diese ueber 1/t^2 schon bei Jogis Modell mit drinsteckt.
Zusammenfassung:
Fibonacci Reihenapproximation. Eigentlich hatte ich das vor. Dann habe ich gesehen, dass die kontinuierliche Fib Funktion im Grunde eine komplexe Exponentialfunktion ist. Und das war dann unueberlegt, deswegen gleich an einer Integraltranformation zu basteln.
Einige der Ergebnisse sind doch dennoch sehr interessant.
Nur neu sind sie nicht. Denn es gibt sehr viele Mathematiker, die wissen, dass der goldene Schnitt nicht einfach irgendeine eine Zahl ist.
Und dementsprechend gibt es wohl fast nichts, dass man an der Fibonacci Folge noch nicht untersucht hat.
Das duerfte einer der meist erforschten Folgen der Mathematik sein.
Und Zeit dazu hatte man reichlich.
Nur das mit der Zipf Verteilung der Primfaktoren ist vielleicht nicht ganz so bekannt.
@Emi
Ja das war unueberlegt und ich habs editiert.
Fuehlte mich schon angegriffen. Aber im Grunde koennte man an eine Reihenapproximation wirklich mal wieder rangehen.
Auch wenn dann wieder gefragt wird: Was soll das.
Das kann man aber bei 99% der Threads hier fragen.
Und an der Kuehlschranktuer ist eben auch kein Platz mehr fuer Merkzettel :-)
Aber die Darstellung des korrigierten Gravitationsgesetzes ist mir im Moment wichtiger.
FIBONACCI TRANSFORMIERTE DER COSINUSFUNKTION :
http://home.arcor.de/richardon/2008/heim/fibcos.gif
Immerhin konvergent *fg
Deswegen hab ich daran nicht weitergebastelt.
Hmmm bei einer Reihenapproximation duerfte sich wohl das selbe Problem stellen.
Ausserdem bin ich hochmotiviert he he :D
Sieht ja schlimm aus, aber da kann man doch sicher noch was vereinfachen. Sah da z.b. Terme, die sich mittels binomischer Formeln zusammenfassen lassen am Ende, aber das Ganze ist mir nun auch zuviel, um da zu überblicken, ob da noch irgendwas geht. Müsste man erstmal mit Substitution schauen, wie die Struktur überhaupt ist. Da blickt ja keiner mehr durch.
Gibs zu, Du hast eine "expandieren" Taste geclickt, damit das Algebrasystem das nochmal auf Maximum aufbläht. ;)
G
@sino
Das ist die Transformierte wenn ich veschobene Fibonacci Folgen als Funktionsbasis verwende.
Eine bischen ungewoehnliche Vorgehenswiese. Aber warum ich den Parameter in Betracht gezogen habe, dafuer habe ich auch Gruende.
Wenn man die "Frequenz" k in fib(k*n) als Parameter nimmt sind die Ausdruecke bichen handlicher.
Aber das ist es nur ein Schnitt durch die s-Ebene der Lapa Place Transformation.
Was ja auch mal ganz interessant waere.
Im Prinzip hat Hamilton schon recht. Mit einer Fibonacci Integral Transformation hatte ich den Maßstab von Anfang an zu hoch angesetzt.
Es schien mir spontan irgendwie naheliegend, weil die komplexe Fib Folge eine gewichtete komplexe Exponentialfolge ist.
Meine Schritte hier waren dennoch nicht planlos wie es Hamilton meint. Aber egal.
Man muesste sich erstmal anhand der Produktregel der Integration
ueberlegen inwiefern hier die orthogonalen Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion erhalten bleiben koennten.
Wahrscheinlich gar nicht. Und damit wird die Ruecktransformation dann auch
komplizierter wie bei der Fouriertransformation.
Das sieht man am besten wenn man ueber die Methode von Gauss eine Reihenapproximation herleitet.
Das haette ich zuerst tun sollen.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/gauss/gindex.htm
Den Ausdruck Fehlerintegral habe ich da ungluecklich gewaehlt.
Gueteintegral waere besser.
Das Beispiel mit der Potenzreihenapproximation sollte zeigen, dass dies nicht immer
die beste Approximation ist. Mit Gauss und einer geeigneten Funktionalbasis kommt man
meist weiter.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/gauss/sinpow2.gif
Your approximation=Taylorreihe der Sinusfunktion.
Bei einer Rehenapproximation sieht man dann alles sehr viel systematischer.
Das moechte ich auch noch angehen.
Ich weiss :
In der Physik spielt die Fibanocci Folge und der goldene Schnitt ausser
bei Heim keine Rolle.
Warum eigentlich ? Ueberall ist beides in der Natur allgegenwaertig.
Und Physik ist doch eine Naturwissenschaft.
Ein Hilfsmittel in der Technik ist die Spektralanalyse.
Ein ebensolches Hilfsmittel haette ich gerne zur Verfuegung um Prozesse,
Funktionen hinsichtlich ihrer Anteile an Fibonacci Folgen zu untersuchen.
Gerade bei Zufallsprozessen waere dies sehr interessant.
Nehmen wir mal die Aktienkurse. Die sind anscheinend zufaellig.
Es duerfte aber wohlkeine Neuigkeit sein, dass darin Fibonacci Wellen enthalten sind.
Daher der ganze Aufwand.
Die ganze Vorarbeit die ich in dem Thread vorgestellt habe, der Maple outpt, ist
meiner Meinung nach schon sinnvoll.
Viele Gruesse
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