Math - Einheitskugel

[Hamilton]

Ein interessantes Thema, auf das ich vor einiger Zeit gestoßen bin, ist folgendes Phänomen:
Es gibt einen Ausdruck für das Volumen einer Kugel in einem N-dimensionalem Raum. (N kann hier auch reell sein)

Zur Info:
Die Verallgemeinerung einer Kugel ist ja eine Menge von Punkten aus einem N-dim, euklidischen Raum, die alle den gleichen Abstand (die Oberfläche) bzw. einen kleinergleichen Abstand (Volumen) zu einem Zentrum haben, als ein vorgegebener Radius.
Dabei ist mit Abstand der euklidische gemeint, also z.b. R = (dx²+dy²+dz²)^(1/2)
Da es in beliebig vielen Dimensionen Abstände gibt, gibt es darin auch immer Kugeln, sog. Hyperkugeln.


Das, was mich jetzt fasziniert ist, dass der zahlenmäßige Betrag der Volumina der Einheitskugeln (also r=1) bei ca. n=5 ein globales Maximum hat.
Ich würde erwarten, dass das irgendeine Bedeutung hätte, also z.b. dass unser Universum 5-dimensional ist- das lässt sich aber einfach nicht feststellen.
Ich finde das sehr seltsam.

Im Anhang ist ein Plot der Funktion für das Hypervolumen:
http://upload.wikimedia.org/math/3/d/8/3d865150624fc5e7b3694abb969fe80c.png
für r=1, die Zahlen geben das Volumen in der Einheit 1^n an, also für n=2 ist das z.b. pi (die Kreisfläche), für n=3 ist das 4/3 pi (Kugelvolumen)

edit: die gepunktete Linie ist die erste Ableitung- die ist nur da um das Maximum besser zu finden.

[zeitgenosse]

Das, was mich jetzt fasziniert ist, dass der zahlenmäßige Betrag der Volumina der Einheitskugeln (also r=1) bei ca. n=5 ein globales Maximum hat.

Ja, das ist in der Tat höchst interessant!

Aehnliches finden wir bei der Sphäre, also der Verallgemeinerung der Kugeloberfläche auf beliebig viele Dimensionen:

S_n-1 = dV_n/R

Ab n > 7 geht die Ausdehnung (Surface area) rapide zurück um dann gegen Null zu streben:

http://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html

Nach Poincaré (aber auch nach Hawking) könnten wir gut und gerne in einer 3-Sphere leben. Diese wäre - etwas laienhaft ausgedrückt - die dreidimensionale Umrandung einer Hyperkugel. Leider besitzen wir für Kugeln und Bälle mit n > 3 kein empirisches Bewusstsein. Im Existenzbereich der 3-Sphäre bestünde trotzdem kein wesentlicher Unterschied zu einer 3-Mannigfaltigkeit - lokal etwa einem euklidischen kubusförmigen Raum -, weil die 3-Sphäre dazu homöomorph ist.

Gr. zg

[richy]

Komisch
Ich wollte im Extremwertthread schon die Aufgabe stellen :
Warum sind Himmelskoerper bevorzugt rund ?

Liegt doch sicherlich an der minimalen Oberflaeche.
Aendert sich daran etwas im n-Dimensionalen Raum ?

[Hermes]

Wie lautet eigentlich die allgemeine vollständige Gleichung zur Volumensberechnung einer n-dimensionalen Hyperkugel?
Gibt es einen Link?

[zeitgenosse]

Wie lautet eigentlich die allgemeine vollständige Gleichung zur Volumensberechnung einer n-dimensionalen Hyperkugel?


http://home.datacomm.ch/chs/Container/Mathematik/kugel.jpg

Interessant ist, dass bei Kugel wie auch Sphäre die Gammafunktion auftaucht. Diese spielt auch der ζ-Funktion (siehe die "Riemannsche Vermutung") eine wichtige Rolle.

p.s.
Die Riemannsche Vermutung drückt aus: Der Realteil jeder nicht-trivialen Nst. ist 1/2. Der Beweis steht noch immer aus. Es winkt ein hohes Preisgeld!

Gr. zg

[richy]

Die Gammafunktion ist dabei die verallgemeinerte Fakultaet n!
D.h. sie erweitert die Fakultätsfunktion auf die positiven reellen Zahlen.

So wie ich das bei den Fibonacci Zahlen gerade getan habe.
Und die Riemannsche Zeta Funktion zeta(1) ist die Normierungsfunktion der Zipf Verteilung.

Eine Naeherung fuer zeta(1) ist :
http://upload.wikimedia.org/math/2/7/8/278644c58767041af85061fa42eff65e.png

Dabei ist Gamma die Euler-Mascheroni-Konstante. Etwa 0,5772156649.
Man kann den ln einer Zahl also ueber eine einfache Summe mit einer Korrekturkonstante annaehern. Koennte ab und zu nuetzlich sein.

[richy]

Nimm doch einfach zum Beispiel diese Tabelle™ zum kopieren :-)
http://www.torsten-horn.de/techdocs/ascii.htm
Hier das griechische Alphabet
http://www.webmaster-eye.de/ASCII-Das-griechische-Alphabet.294.artikel.html
Als kleines Geschenk noch ein Integral ∫
Groesse kann man ueber html Tag Vergroessertes Objekt steuern
Fast alle HTML Tags funktionieren hier.
Aber statt Ascii Escape Sequenz ist es einfacher das Zeichen zu kopieren.

[richy]

Hab noch einen Link hinzugefuegt. Da ist nun auch das ζ mit dabei.
Test &Omega &#946
Escape Sequenz grad so hinschreiben geht net. Wie gehts richtig ?
&#921
Ja Bitume Sack Zement
&#921
&#921
[&#921]
:D
Also das Integralzeichen ist ... moment
Escape Sequenz 8747

Kann man hier kopieren. Mit der Liste haben wir nun wirklich alles beisammen.
Die Liste ist vollstaendiger als die ersten :
http://www.homepage-total.de/html/unicode-tabelle.php
Ach so :
Tiefer und hoeher stellem sub und sup
ap
HOCH und [/sub]TIEF[/sub] - Bau
Geht hier anscheinend nicht.

[Hermes]

Auf die Gefahr hin die Mathematikexperten bei der Arbeit aufzuhalten.

http://home.datacomm.ch/chs/Container/Mathematik/kugel.jpg


Das R steht doch normalerweise für die Menge aller reelen Zahlen. Wie kommt das in die Formel? Das große kleine "r" im Nenner ist aber schon das r für Radius?
Was mache ich mit dem R wenn ich das Volumen einer 4D-Kugel und dem Radius r=1cm beispielsweise berechnen will?:confused:

@EMI: Einige Sonderzeichen finden sich auch in Word bzw Open Office unter "Einfügen -->Sonderzeichen". Läßt sich rauskopieren aus einem Dokument.

[zeitgenosse]

Auf die Gefahr hin die Mathematikexperten bei der Arbeit aufzuhalten.

In der Gl. für das Kugelvolumen

http://home.datacomm.ch/chs/Container/Mathematik/kugel.jpg

ist R der Radius.

Im Nenner steht nicht R bzw. r, sondern Γ (Gamma)!

Γ ist die sog. "Gammafunktion":

http://upload.wikimedia.org/math/3/e/8/3e80a4b5cd558f8e7aba1b849847d653.png

Beispiel:

Das Volumen der Einheitskugel (R=1) in n=3 beträgt:

V_3 = 4Pi/3 ≈ 4,19

Für eine 3-Kugel mit R = 10 cm resultiert somit:

V ≈ 4,19 * (10cm)^3

Gr. zg

[Hermes]

Hallo zeitgenosse, Danke für die Erläuterungen!

Dieses Maximum bei n=5 beim zahlenmäßigen Betrag des Volumens finde ich auch sehr seltsam...
Vermutlich wäre es offensichtlich zu erkennen, warum das so ist, wenn man solche Objekte tatsächlich mit der Vorstellung oder sogar sinnlich fassen könnte. So bleibt es eine mysteriöse Information, die wohl einfach ihre Richtigkeit hat, ohne daß man es irgendwie wirklich verstehen kann....

[Sino]

Ja, interessant ist es schon. Denk nun auch schon 10 Minuten darüber nach, was das bedeuten kann.
Aber im Moment überleg ich, ob das überhaupt was bedeuten muss, also aus physikalischer Sicht.

Die Volumina wären doch physikalisch nicht vergleichbar durch den Dimensionsunterschied.
Das Verhältnis V/r ist beim 2-d Gebilde (Kreisfläche) eine Länge, bei der normalen Kugel eine Fläche, beim 4-d Fall ein Volumen usw.

( Da fällt einem automatisch wieder das Urknall-Luftbalon-Aufblas-Modell ein. Der Radius des Balons ist die Zeitachse, die Oberfläche der Raum. Eine Dimension höher gedacht, 4D-Raumzeit, Zeitachse ist wieder Radius, hinter dem Quotienten aus Volumen und Radius steckt dann ein 3-dimensionaler Raum. )

Also, was ich ja eigentlich meinte, ist dass man irgendwie in meinen Augen schlecht Verhältnisse von Volumen und Radius verschiedendimensionaler Hyperkugeln vergleichen kann. Die sind nur zufällig reelle Zahlen, weil man die Beträge genommen hat. Normalerweise sind sie gerichtete Grössen verschiedener Dimensionalität.

( Da lob ich mit wieder die geometrische Algebra. Wenn ich da V/r schreibe, dann kann ich das direkt mit gerichteten Grössen machen und dann kommt da das wirkliche geometrische Objekt raus. Da kann man immer noch den Betrag nehmen, wenn man sich dafür interessiert. edit: ok, hier ist es auch mit Vektorrechnung sichtbar, da hier bei V die Richtung nicht interessiert. )

Aber vielleicht überseh ich auch etwas und die Quotienten bedeuten doch irgendwas ausserhalb des Objektes, auf das sie sich beziehen.

[Hermes]

Je länger ich als Nichtmathematiker (im Vergleich zu einigen hier) darüber nachdenke desto klarer wird es mir.
Nein, vorstellen kann ich mir das nicht, aber ich bin mir sicher, daß es einen schlichten geometrischen Grund gibt. Damit meine ich wenn wir dieses höherdimensionale Gebilde sinnlich erfassen könnten wäre diese Eigenschaft auf die gleiche Art und Weise einleuchtend und selbstverständlich wie man eben die Eigenschaften einer normalen Kugel oder den Umgang mit Perspektive im gewohnten Raum versteht.
Wenn man diese Wahrnehmungsmöglichkeit hat, ergibt sich ein Verstehen davon von selbst. Ein Neugeborenes befindet sich noch im 'dimensionalen Chaos' und erlernt den Umgang mit Raum und Zeit erst noch, so könnten wir das vielleicht auch mit weiteren Dimensionen, wenn es uns gelänge, bewußten Zugang zu finden. (Teil davon sind wir ja sowieso schon!)

Das ist jetzt natürlich spekulativ oder zumindest subjektiv meinerseits.
Kennt jemand eine Animation zu einer in unserem Raum rotierenden 4D-Kugel ähnlich wie den bekannten Tesserakt?
http://www.youtube.com/watch?v=l_jKXFSgZAQ

Frage mich ob das wohl schlichter als der Würfel einfach eine auftauchende, wachsende und wieder schrumpfende Kugel ist.

[zeitgenosse]

Im Kontext interessant ist die Keplersche Vermutung (dichteste Kugelpackung im euklidischen 3-Raum), erfüllt durch kubisch-flächenzentrierte und hexagonale Packungen (Beweis von Hale, 1998). Dabei tritt die sog. Kusszahl in Erscheinung, also diejenge Zahl der maximalen Anzahl von Kugeln im euklidischen Raum, welche die zentrale Einheitskugel ohne Überschneidungen berühren. In Dimension 3 sind es zwölf Kugeln (wie schon Newton richtig vermutete).

Gr. zg