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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Feldstärke, Ladungsdichte, Integration über die Fläche


Sino
14.11.08, 18:34
Ich bräuchte mal ein bischen Rechenunterstützung, steh gerade auf dem Schlauch ...

Also, ich betrachte eine beliebig geformte/verbogene nicht-leitende Fläche im Raum mit einer bestimmten Oberflächenladungsdichte, die ortsabhängig oder auch nicht-ortsabhängig sein kann. (Deswegen nicht-leitend, sonst gibt's ja Verschiebungsströme, die will ich aber nicht.)
So, nun interessiert mich die Feldstärke im Raum abhängig von einem Ortsvektor.

Als Beispiel könnte man mal eine nicht-leitende dünnwandige Hohlhalbkugel nehmen mit ortsunabhängiger Oberflächenladungsdichte. Die Fläche muss man dann ja noch parametrisieren.
Ok, die Feldstärke ist proportional zu 1/|r|² zumindest bezogen auf eine Punktladung, also muss ich ja eine Abstandsfunktion definieren, die mir den Abstand zwischen einem Punkt auf der Oberfläche und einem beliebigen Raumpunkt angibt, also als Betrag eines Vektors.
Wenn mich nun die Feldstärke im Punkt P im Raum interessiert - meinetwegen irgendwo vor der konkaven oder auch konvexen Seite der Hohlkugel - dann muss ich ja nun über meine Fläche integrieren, die Oberflächenladungsdichte mit dem Abstand zum Punkt P verrechnen und dann sollte da irgendwie E(P) rauskommen.

Kann das noch jemand ? ( Ich hab vergessen, wie man das macht :o )

edit: Also ich denk mal, dass das mit dem 1/|r|² anwendbar ist, da doch das Superpositionsprinzip gelten sollte.

Eigentlich müsste ich mir nur anschauen, wie man mit einem Doppelintegral die Oberfläche berechnet. Statt die Flächenstücke dA direkt aufzuintegrieren, muss ich dann in dem Flächenstück die enthaltene Ladung über die Oberflächenladungsdichte bestimmen und den Beitrag zu E im Punkt P aufintegrieren. Ich probier das mal ...

Sino
14.11.08, 21:13
Ok, habs selber hingekriegt, glaub ich.

Im Fall der (Halb-)Kugel benutzt man Kugelkoordinaten und kann sich über die Jacobimatrix sein Flächenstück dA holen.
Wenn man das dA mit der Oberflächenladungsdichte multipliziert hat man die erzeugende Ladung.
Die Polarkoordinaten kann man in karthesische umrechnen, dann denn Abstand zum Punkt P stimmen und dann hat man alles.
Damit kann man dann die ganz normale Formel für die Feldstärke einer Punktladung nehmen, das dA, Oberflächenladungsdichte und Abstand einsetzen und alles über die Fläche integrieren, also über die Kugelkoordinaten phi und theta (oder wie das Ding heisst).
Ich hoffe, das klappt so auch. :rolleyes:


edit:
Ok, war immer noch nicht so toll. Allgemein parametrisiert man die Fläche, bekommt damit den Ortsvektor zu einem Punkt auf der Fläche, z.b. [b]r[b](u,v), bestimmt Ableitungen r_u(u,v) und r_v(u,v) und das erhält das Flächenstück dA = |r_u X r_v|.


Aber ich glaube, ich bin das Ganze zu kompliziert angegangen. Man müsste die Situation auch umkehren können, also eine Ladung in Punkt P setzen und dann die Flussdichte in jedem Punkt der Fläche bestimmen. Und dann das ganze quasi "renormieren". Muss mal schauen, wie das hinhaut.

rene
15.11.08, 17:45
Hallo Sino

Steht die Fläche senkrecht zum Feld E und ist E überall auf der Fläche konstant, gilt für die Flussdichte einfach:

Φ=A*E (Fläche * elektr. Feldstärke)

Für eine Kugel gilt:

Φ = 4r²Pi*E

und allgemein:

Φ=∫∫E*dA


Grüsse, rene

Sino
15.11.08, 18:54
Steht die Fläche senkrecht zum Feld E und ist E überall auf der Fläche konstant, gilt für die Flussdichte einfach ...

Brauchte da den allgemeineren Fall.
Beispiel wäre: Ich habe einen nichtleitenden Kunststoffbecher, auf dem ich mittels Reibungselektrizität einen gleichmässigen Elektronenüberschuss, also eine gleichmässige Oberflächenladungsdichte erzeuge:
Problem war: Welche Kraft wirkt auf ein Elektron, das ich an den Becher annähere ?

( Ich spiele gerade mit abstrakten Elementarladungsmodellen, die sich mit den Maxwellschen Gleichungen insofern vertragen, als dass die Rückwirkung des eigenen Feldes die hervorrufende Ladung nicht beschleunigt. Nun muss ich halt mal schauen, wie die Modelle als Näherungen so hinhauen und welche Energien da im Spiel wären. Wenn ich damit durch bin, versuch ich das Ganze dann nochmal etwas sauberer quantenmechanisch hinzukriegen. )

Hamilton
17.11.08, 16:18
Statt mit dem Feld würde ich an deiner Stelle mit dem Potential rechnen. Das ist einfacher.
Das elektrische Potential kennst du, nehm ich mal an-
also irgendwie so: U= const. ∫ ρ(r)/r d³r
Entweder, du parametrisiest deinen Becher und integrierst über die Becherkoordinaten, oder du nutzt die linearität des Potentials aus und baust es dir zusammen aus dem Potential eines offenen Zylinders (Wand) und einer Scheibe (Boden).
Zum Schluss ist E = -∇U
Wenn du ein Programmierer bist und den Aufwand nicht scheust, kannst du auch aus dem integral eine Summe machen und platzierst ~100000 elementarladungen gleichverteilt auf deiner Geometrie und lässt dir das gesamte Potential aufsummieren. Wenn du das machen willst, kannst du allerdings auch gleich wieder das Feld nehmen.

Was rene gesagt hat gilt aber näherungsweise trotzdem, wenn du nur weit genug weg bist von deiner irgendwie geformten Quelle.

Sino
17.11.08, 16:37
Was rene gesagt hat gilt aber näherungsweise trotzdem, wenn du nur weit genug weg bist von deiner irgendwie geformten Quelle.

Hmm, ja, das mit dem Potential wäre eine Möglichkeit.

Mir ging es ja eigentlich um das Elektron in seinem eigenen Feld. Eigentlich löst erst die Quantenelektrodynamik das Problem, dass das Elektron nach den Maxwellschen Gleichungen durch sein eigenes Feld beschleunigt würde, wenn man ihm einen Stoss versetzt.
Ich wollte mal schauen, was passiert, wenn ich als Ausgangspunkt des Feldes nicht das Zentrum des Teilchens nehme, sondern viele Orte rund um das Teilchen, so dass ich das Teilchen in seinem eigenen Feld einsperre.

Dann hab ich sogar eine Trägheitswirkung eingebaut und die Teilchenmasse und die Feldmasse verkoppelt. Wollte das natürlich symbolisch ausrechnen, aber mein Algebra-Package mag die Integrale nicht symbolisch lösen, so dass ich nun selber am rumintegrieren bin.

Das Ganze soll auch nur ein Versuch sein, um mal zu schauen, was das so für Konsequenzen hat. Danach wollte ich mir nochmal die Orts- und Impulsunschärfe des Elektrons vornehmen, daraus E und B Felder errechnen und damit die Wirkung des Elektrons auf sich selber modellieren.

Das Ganze erweist sich nur gedanklich als weitaus einfacher, als sich das letztendlich rechnen lässt. Die Ideen dazu hatte ich sofort, als ich auf das Maxwellproblem gestossen bin, aber mit der Mathematik schlag ich mich nun schon den 3. Abend rum. :D

edit: Mich interessieren da am Ende die Feldenergien und die Wirkung auf die Trägheit des Teilchens. Zumindest, mal schauen, wie die Grössenordnungen so hinhauen würden. Vielleicht hab ich mir da zuviel vorgenommen, aber man wächst mit seinen Aufgaben ;)

P.S.: Da fällt mir gerade die Analogie zum Elektrostatischen Trägheitseinschluss ein, mit dem man Ionen auf einen Punkt konzentrieren kann. Mein Modell sollte genau das Gleiche bewirken: Das Elektron stabilisiert sich dann hoffentlich selber durch Elektrostatischen Trägheitseinschluss mit seinem eigenen (leicht-modifizierten) Feld. bzw, wenn die Ladungsverteilung sich bewegt/schwingt oder zittert, gäbe es dann sicher noch B Felder.

nochmal edit: Ok, ist wohl noch schwerer, als ich dachte. Hab nochmal bei Feynman nachgeschlagen. Der meint, bis das bei der QED alles zusammengepasst hat, sind 20 Jahre vergangen. Wie man die reine Ladung und Masse des Teilchens theoretisch errechnen kann, ohne da die Effekte der Wechselwirkungen drinzuhaben, war zu der Zeit zumindest noch nicht bekannt. Bei den Messungen sind die ja immer mit drin.