Carsten Milkau
01.12.08, 18:40
In der QM taucht der seltsame Effekt auf, daß die Messung eines Quantenzustandes zu einer Zustandsreduktion führt, d.h. bei einer projektiven Messung nimmt das Meßobjekt gemäß einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung "plötzlich" einen der Basiszustände an. Es scheint jedoch, als ob man eine Messung auch als nichts anderes als eine Verschränkung von Beobachter und Objekt auffassen kann, und mehr noch: jede Verschränkung der Zustände zweier QM-Systeme auch als Messung aufgefaßt werden kann. Macht diese Interpretation Sinn? Der wesentliche Unterschied zur Standardtheorie wäre dabei, daß eine Messung prinzipiell umkehrbar ist (dabei geht jedoch auch die gewonnene Information wieder verloren)!
Notationen:
A (x) B ... Tensorprodukt von A und B
|v> ... ket-Vektor v
<v| ... bra-Vektor v
<u|v> ... Skalarprodukt von u und v
A* ... Adjungierter zu A
|ab> = |a> (x) |b>, <ab| = <a| (x) <b| ... Kurzschreibweisen für Tensorprodukte von Vektoren
{|i>} ... Kurzschreibweise für eine Orthonormalbasis (ONB)
[x=y] ... Kronecker-Symbol von x und y
I(H) ... Identitätsoperator auf H
sum_ijk... f(i,j,k,...) ... Summe der Terme f(i,j,k,...) über alle Tupel der Basivektoren von {|i>}, {|j>}, {|k>}, ...
Wir betrachten zunächst ein (abgeschlossenes) Zweiparteiensystem aus einem Objekt A und einem Beobachter B. Der gemeinsame Zustandsraum H ist darstellbar durch das Tensorprodukt H_A (x) H_B der Zustandsräume H_A, H_B derbeiden Teilsysteme. Wir betrachten nur Reinzustände, aufgrund der Linearität ergeben sich für Gemische analoge Gleichungen. Zum Zeitpunkt 0 seien beide Systeme nicht verschränkt, d.h. das Zweiparteiensystem befindet sich in einem separablen Zustand |ab> mit |a> \in H_A, |b> \in H_B. Da wir das Gesamtsystem als abgeschlossen annehmen, entwickelt es sich unitär, d.h. zum Zeitpunkt 1 befindet sich das System in einem Zustand M |ab> für einen gewissen unitären Operator M: H -> H. Seien nun {|i>}, {|k>}, {|r>}, {|t>} ONB in H_A und {|j>}, {|l>}, {|s>} ONB in H_B. M ist unitär, also gilt M*M = I. Wir setzen für x,y \in H_B
(1) M_xy := <x| M |y> (= sum_ik (<ix| M |ky>) |i> <k|)
Wegen M* M = I(H) zeigt eine einfache Rechnung [1], daß für alle |y> \in H_B mit <y|y> = 1
sum_j (M_jy)* M_jy = I(H_A),
also insbesondere für y = b. Das Ensemble { M_jb }_j erfüllt also die Bedingungen für ein Ensemble Meßoperatoren!
Für den Zustand M |ab> des Systems zum Zeitpunkt 1 ergibt sich ferner [2]
(2) M |ab> = sum_j (M_jb |a>) (x) |j>
Das System befindet sich also in einer Superposition von Zuständen der Form (M_jb |a>) (x) |j>! Betrachten wir einmal einen dieser Zustände einzeln. Er ließe sich so interpretieren, daß B |j> "mißt" und A dabei in den Zustand M_jb |a> übergeht. Das ist genau das, was bei einem Meßensemble { M_jb }_j zu beobachten ist! Nun befindet sich das System zwar in einer Superposition dieser Zustände für alle j. Da sich die superpositionierten Zustände aber gegenseitig quantenmechanisch nicht beeinflussen, "merkt" B nicht, daß er mit A verschränkt ist, sondern hat den Eindruck, es hätte eine Zustandsreduktion auf (M_jb |a>) (x) |j> (für eines der |j>) stattgefunden.
Wir haben nun gesehen, daß eine Verschränkung als Messung aufgefaßt werden kann. Es ist umgekehrt aber auch möglich, eine Messung als Verschränkung aufzufassen. Sei wieder A ein Meßobjekt mit Zustandsraum H_A. Sei ferner ein Ensemble Meßoperatoren { M_j }_j gegeben. Der Beobachter B sei durch einen Zustandsraum H_B beschrieben und vor der Messung nicht mit A verschränkt, d.h. das Zweiparteiensystem aus A und B befinde sich wieder in einem separablen Zustand |ab> \in H_A (x) H_B =: H. Die Messung kann nun durch die Verschränkung M durchgeführt werden, die durch die Gleichung
(3) M := sum_j M_j (x) |j> <b| (= sum_ijk (<i| M_j |k>) |ij> <kb|)
gegeben ist. Man beachte: es gilt M_jb = M_j für M_xy wie in (1). [3]
Was an dieser Stelle noch fehlt, ist eine Erläuterung der beobachteten Wahrscheinlichkeiten <a| (M_j)* M_j |a> für die Messung von |j>.
Zum Abschluß noch die Rechnungen im Detail:
[1]
sum_j (M_jy)* M_jy
= sum_j (sum_ik (<ij| M |ky>) |i> <k|)* (sum_rt (<rj| M |ty>) |r> <t|)
= sum_j (sum_ik (<ky| M* |ij>) |k> <i|) (sum_rt (<rj| M |ty>) |r> <t|)
= sum_ijkt (<ky| M* |ij> <ij| M |ty>) |k> <t|
= sum_kt (<ky| M* M |ty>) |k> <t|
= sum_kt <ky|ty> |k> <t|
= sum_kt <y|y> <k|t> |k> <t|
= <y|y> sum_k |k> <k|
= I(H_A)
[2]
M |ab>
= I(H) M I(H) |ab>
= sum_ijkl |ij> <ij| M |kl> <kl|ab>
= sum_ijkl <ij| M |kl> <k|a> <l|b> (|i> (x) |j>)
= sum_ijklr <ij| M |kl> <l|b> <k|r> <r|a> (|i> (x) |j>)
= sum_ijklr <ij| M |kl> <kl|rb> <r|a> (|i> (x) |j>)
= sum_ijr <ij| M I(H) |rb> <r|a> (|i> (x) |j>)
= sum_ijr (<ij| M |rb> |i> <r|a>) (x) |j>)
= sum_j (M_jb |a>) (x) |j>
[3]
M_jb
= sum_ik <ij| M |kb> |i> <k|
= sum_ikrst <r| M_s |t> <ij|rs> <tb|kb> |i> <k|
= sum_ik <i| M_j |k> |i> <k|
= M_j
Notationen:
A (x) B ... Tensorprodukt von A und B
|v> ... ket-Vektor v
<v| ... bra-Vektor v
<u|v> ... Skalarprodukt von u und v
A* ... Adjungierter zu A
|ab> = |a> (x) |b>, <ab| = <a| (x) <b| ... Kurzschreibweisen für Tensorprodukte von Vektoren
{|i>} ... Kurzschreibweise für eine Orthonormalbasis (ONB)
[x=y] ... Kronecker-Symbol von x und y
I(H) ... Identitätsoperator auf H
sum_ijk... f(i,j,k,...) ... Summe der Terme f(i,j,k,...) über alle Tupel der Basivektoren von {|i>}, {|j>}, {|k>}, ...
Wir betrachten zunächst ein (abgeschlossenes) Zweiparteiensystem aus einem Objekt A und einem Beobachter B. Der gemeinsame Zustandsraum H ist darstellbar durch das Tensorprodukt H_A (x) H_B der Zustandsräume H_A, H_B derbeiden Teilsysteme. Wir betrachten nur Reinzustände, aufgrund der Linearität ergeben sich für Gemische analoge Gleichungen. Zum Zeitpunkt 0 seien beide Systeme nicht verschränkt, d.h. das Zweiparteiensystem befindet sich in einem separablen Zustand |ab> mit |a> \in H_A, |b> \in H_B. Da wir das Gesamtsystem als abgeschlossen annehmen, entwickelt es sich unitär, d.h. zum Zeitpunkt 1 befindet sich das System in einem Zustand M |ab> für einen gewissen unitären Operator M: H -> H. Seien nun {|i>}, {|k>}, {|r>}, {|t>} ONB in H_A und {|j>}, {|l>}, {|s>} ONB in H_B. M ist unitär, also gilt M*M = I. Wir setzen für x,y \in H_B
(1) M_xy := <x| M |y> (= sum_ik (<ix| M |ky>) |i> <k|)
Wegen M* M = I(H) zeigt eine einfache Rechnung [1], daß für alle |y> \in H_B mit <y|y> = 1
sum_j (M_jy)* M_jy = I(H_A),
also insbesondere für y = b. Das Ensemble { M_jb }_j erfüllt also die Bedingungen für ein Ensemble Meßoperatoren!
Für den Zustand M |ab> des Systems zum Zeitpunkt 1 ergibt sich ferner [2]
(2) M |ab> = sum_j (M_jb |a>) (x) |j>
Das System befindet sich also in einer Superposition von Zuständen der Form (M_jb |a>) (x) |j>! Betrachten wir einmal einen dieser Zustände einzeln. Er ließe sich so interpretieren, daß B |j> "mißt" und A dabei in den Zustand M_jb |a> übergeht. Das ist genau das, was bei einem Meßensemble { M_jb }_j zu beobachten ist! Nun befindet sich das System zwar in einer Superposition dieser Zustände für alle j. Da sich die superpositionierten Zustände aber gegenseitig quantenmechanisch nicht beeinflussen, "merkt" B nicht, daß er mit A verschränkt ist, sondern hat den Eindruck, es hätte eine Zustandsreduktion auf (M_jb |a>) (x) |j> (für eines der |j>) stattgefunden.
Wir haben nun gesehen, daß eine Verschränkung als Messung aufgefaßt werden kann. Es ist umgekehrt aber auch möglich, eine Messung als Verschränkung aufzufassen. Sei wieder A ein Meßobjekt mit Zustandsraum H_A. Sei ferner ein Ensemble Meßoperatoren { M_j }_j gegeben. Der Beobachter B sei durch einen Zustandsraum H_B beschrieben und vor der Messung nicht mit A verschränkt, d.h. das Zweiparteiensystem aus A und B befinde sich wieder in einem separablen Zustand |ab> \in H_A (x) H_B =: H. Die Messung kann nun durch die Verschränkung M durchgeführt werden, die durch die Gleichung
(3) M := sum_j M_j (x) |j> <b| (= sum_ijk (<i| M_j |k>) |ij> <kb|)
gegeben ist. Man beachte: es gilt M_jb = M_j für M_xy wie in (1). [3]
Was an dieser Stelle noch fehlt, ist eine Erläuterung der beobachteten Wahrscheinlichkeiten <a| (M_j)* M_j |a> für die Messung von |j>.
Zum Abschluß noch die Rechnungen im Detail:
[1]
sum_j (M_jy)* M_jy
= sum_j (sum_ik (<ij| M |ky>) |i> <k|)* (sum_rt (<rj| M |ty>) |r> <t|)
= sum_j (sum_ik (<ky| M* |ij>) |k> <i|) (sum_rt (<rj| M |ty>) |r> <t|)
= sum_ijkt (<ky| M* |ij> <ij| M |ty>) |k> <t|
= sum_kt (<ky| M* M |ty>) |k> <t|
= sum_kt <ky|ty> |k> <t|
= sum_kt <y|y> <k|t> |k> <t|
= <y|y> sum_k |k> <k|
= I(H_A)
[2]
M |ab>
= I(H) M I(H) |ab>
= sum_ijkl |ij> <ij| M |kl> <kl|ab>
= sum_ijkl <ij| M |kl> <k|a> <l|b> (|i> (x) |j>)
= sum_ijklr <ij| M |kl> <l|b> <k|r> <r|a> (|i> (x) |j>)
= sum_ijklr <ij| M |kl> <kl|rb> <r|a> (|i> (x) |j>)
= sum_ijr <ij| M I(H) |rb> <r|a> (|i> (x) |j>)
= sum_ijr (<ij| M |rb> |i> <r|a>) (x) |j>)
= sum_j (M_jb |a>) (x) |j>
[3]
M_jb
= sum_ik <ij| M |kb> |i> <k|
= sum_ikrst <r| M_s |t> <ij|rs> <tb|kb> |i> <k|
= sum_ik <i| M_j |k> |i> <k|
= M_j