vektoren

[minimal]

Hallo

Meine erste Frage: Wie komme ich von (n=0 sigma N-1) abs(r(tn+1)-r(tn)) zu s(t) = (t0 integral t) abs(dr(t')/(dt')) (dt')? Dabei ist r() eine vektorwertige Funktion. Das ist die Herleitung der s(t) Funktion einer Raumkurve.

Zweite Frage: Tangenteneinheitsvektor = (dr(t)/(dt))/abs(dr(t)/(dt)) = (dr(t)/(dt))/(ds/(dt)). Das ist für mich alles verständlich (folgt ja aus der vorherigen Herleitung). Jedoch ist das ganze dann auch = dr(s)/(ds). Auf wikibooks habe ich die Erklärung gefunden, die es mit der Geschwindigkeit erklärt. Wie würde man das ganze mathematisch lösen?

Dritte Frage: Was ist mit einer glatten Raumkurve gemeint?

Vierte Frage: Wenn ich einen Vektor b in einen auf Vektor a senkrechten und einen zu Vektor a parallelen Teil zerlegen will, ist der auf a senkrechter Teil (a^-2)*ax(bxa). Wie komme ich auf die (a^-2) die ich mit der Richtung noch multiplizieren muss?

Fünfte Frage: Wie kann ich diese ganzen Formeln mit Brüchen, dem Sigma usw. darstellen?


Danke im voraus!

[minimal]

Die zweite Frage hat sich erledigt, nachdem ich mich wieder drangesetzt habe :).
Hier habe ich die Formeln schöner dargestellt: http://netphysik.de/forum/mathematik/mathematik-studium/2924-vektoren/ (bisschen runter scrollen ;))

[Uli]

Hallo

Meine erste Frage: Wie komme ich von (n=0 sigma N-1) abs(r(tn+1)-r(tn)) zu s(t) = (t0 integral t) abs(dr(t')/(dt')) (dt')? Dabei ist r() eine vektorwertige Funktion. Das ist die Herleitung der s(t) Funktion einer Raumkurve.

Danke im voraus!


Nur mal was zu (1)

http://web1.ws11.phpwsserver.net/latexrender/pictures/e6da42199975ee4d3fafebaaadaaa1eb.png

Auf der linken Seite steht eine Summe über Beträge von Differenzen von
Funktionswerten; wenn die Funktion r(t) z.B. ein zeitabhängiger
Ortsvektor ist (eine Bahnkurve), dann ist dieser Betrag der Abstand 2er
Punkte auf der Kurve. Wenn du jeden Term dieser Summe erweiterst mit
(delta t) / (delta t) , wobei (delta t) = tn+1 - tn,
dann steht dort eine Summe von Differentenquotienten
[r(tn+1) - r(t)] / (delta t)
mal (delta t) - physikalisch eine Momentangeschwindigkeit mal einer Zeitspanne: also ein zurückgelegtes Weg-Segment. Und über diese summierst du.

Wenn du nun delta t infinitesimal klein werden lässt, geht der Differentenquotient in den Differentialquotient dr/dt über (auch Ableitung genannt) und aus der Summe mal (delta t) wird ein Integral und du erhältst den Term auf der rechten Seite.

http://web1.ws11.phpwsserver.net/latexrender/pictures/1c26787aaca4b8a2e61e43d965a31a5f.png

So kommst du formal von links nach rechts.

Wenn die Betragstriche nicht wären, würden sich Ableitung und Integration gerade aufheben. Wenn man nun mal davon ausgeht, dass das Ganze mit Physik zu tun hat - r ein Ortsvektor ist und t die Zeit, dann ist der Differentialquotient, über dessen Betrag du integrierst, der Geschwindigkeitsvektor. Du integrierst aber nur über den Betrag, interessierst dich für die Richtung nicht, dann ergibt sich (s = v * t ) so etwas wie die Länge des zurückgelegten Weges eines Objektes, das die Bahn r(t) zurückgelegt hat - etwa so, als ob du einen Bindfaden entlang der Kurve legst und zum Schluss die Länge des Fadens misst.

Ohne die Betragstriche wäre das Resultat der Integration einfach
r(ende) - r(start)
der Vektor, der vom Startpunkt zum Endpunkt zeigt, dessen Länge also der Abstand Startpunkt - Endpunkt ist
und nicht die Länge des Weges.

Ich hoffe, das passt so ungefähr.

Gruß,
Uli

[zeitgenosse]

Dritte Frage: Was ist mit einer glatten Raumkurve gemeint?

Eine glatte Raumkurve lässt sich in jedem Punkt p= r(x,y,z) differenzieren. Eine Zickzacklinie bspw. wäre in diesem Sinne nicht glatt.

Gr. zg

[Uli]

Eine glatte Raumkurve lässt sich in jedem Punkt p= r(x,y,z) differenzieren. Eine Zickzacklinie bspw. wäre in diesem Sinne nicht glatt.

Gr. zg

Ja genau; noch mehr als um Differenzierbarkeit geht es hier aber um Stetigkeit, denke ich: für eine unstetige Kurve kann man den Abstand 2er Punkte nicht infinitesimal klein werden lassen und der Grenzübergang zum Integral ließe sich nicht mehr rechtfertigen.

Gruß, Uli

[minimal]

Danke viel mals an alle! Hab jetzt alles verstanden!