AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Die Motivation der komplexen Zahlen liegt allerdings nicht bei drehbaren Staeben sondern im Hauptsatz der Algebra :

http://www.iadm.uni-stuttgart.de/Lst...is/node59.html

Der Satz ist fuer praktische Anwendungen ungemein wichtig. Zunaechst ein einfacher Fall :
x^2-2*x+1=0 hat die Loesungen x1=1, x2=1
Man erwartet zwei Nullstellen aber diese fallen zusammen auf den Wert x=1.
Wenn man solch eine doppelte oder mehrfache Nullstelle als mehrere Nullstellen unterscheidet, dann lautet der Hauptsatz der Algebra :

Jedes Polynom vom Grad n weist (in C) n Nullstellen auf !
Und dann laesst sich jedes Polynom p(x,n) ungemein praktisch als Produkt darstellen :
p(x,n)=a*(x-x1)(x-x2)....(x-xn)
Wobei x1,x2....xn die Nullstellen sind.
Beispiel :
x^2-2*x+1=(x-1)*(x-1)

Der Satz sollte allgemein gueltig sein um ihn ohne irgendwelche Fallunterscheidungen, Einschraenkungen bequem anwenden zu koennen. Jetzt sagts du : "Hey stimmt doch alles gar nicht !"
"Schau dir mal die Funktion z^2+1=0 an ! (z=x+i*y) Die Funktion schneidet die x Achse nirgends und hat somit keine Nullstelle"

Abb1)
http://home.arcor.de/richardon/2011/scr1.gif
Yoh, tatsaechlich schneidet die Funktion die x Achse nirgends. So ein Mist. Damit wird das nix mit dem Hauptsatz. Oder doch ?
Die Nullstellen von z^+1=0 waeren Wurzel(-1) und -Wurzel(-1). Koennten wir mit diesen beiden irren Zahlen den Hauptsatz retten ? Probieren wir einfach mal aus :
(z- Wurzel(-1))*(z+ Wurzel(-1)) (dritte binomische) = z^2-(Wurzel(-1))^2
Wenn wir fuer Wurzel(-1) ein Symbol i festlegen fuer das gilt : i^2=-1, dann koenten wir unseren Produkt Nullstellensatz weiterhin anwenden.
z^2+1=(z-i)*(z+i)

Das ist super, aber wenn ich z^2+1 betrachte. Wo liegt denn dieses i ? Im Unendlichen ? oder ist es unscharf ? Es soll die x Achse schneiden. f(z)=0. Aber wo ?

EDIT:
Im weiteren betrachte ich aus Anschuungsgruenden |f(z)|=0.

Die Nullstelle liegt direkt vor deiner Nase, blos siehst du sie nicht. Weil Abb1) nur einen Schnitt durch die komplexe Ebene darstellt. Die Im-Achse steht wie eine zusaetzliche Dimension senkrecht auf der x Achse. Das hatten wir bereits gesehen. Sie zeigt somit in die Bildebene, den Monitor hinein.
Eine z-Achse gibt es nicht, denn z ist die komplexe Ebene selbst. f(z)=0 bedeutet somit den Schnitt der Funktion mit dieser Ebene. Praktisch dem Fussboden.
Ich habe mir mal die Muehe gemacht dies 3 D darzustellen :

Abb2)
http://home.arcor.de/richardon/2011/scr2.gif

Der Rahmen zeigt was wir in Abb1) gesehen haben. Lediglich einen Schnitt Im=0 durch die Funktion. Man sieht sehr schoen die Nullstellen (Schnit1 Schnitt 2), Schnitt der Funktion mit der Ebene f(z)=0
Der Schnittpunkt z=i schwebt in Abb1 somit vor dem Monitor und der Schnittpunkt z=-1 befindet sich dahinter :D
Abb2) sollte zu einem AHA Erlebnis fuehren.Mit der Vorstellung von etwas "Verschmiertem" wird das nix.


Gruesse

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Hallo SCR,

mal aus heutiger Sicht eine ganz einfache Aufgabe für dich, bei der du die Richtigkeit deiner Vorstellung "dass das Vorzeichen des einen i automatisch das entgegengesetzte Vorzeichen beim anderen i bedingt" prüfen kannst:

Was kommt heraus bei folgendem Produkt:

sqrt(─ 2) • sqrt(─ 3) = ?

(sqrt = Operationszeichen für die Quadratwurzel)

Aber Vorsicht und Umsicht, denn selbst Leonhard Euler hat sich im Jahre 1770 bei dieser Aufgabe verrechnet. Und das ist kein Scherz, denn ich kann es belegen.

M.f.G. Eugen Bauhof

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Hallo Bauhof,

für die Multiplikation zweier Wurzeln mit gleichem Exponenten gilt (wenn meine dunklen Schulkenntnisse mich nicht täuschen): sqrt(a) * sqrt(b) = sqrt(a*b).
-> Ich würde spontan sagen sqrt(-2) * sqrt(-3) = sqrt ((-2)*(-3)) = sqrt(6) = 2,449...
-> Unabhängig davon ob richtig oder falsch: Klär mich bitte auf.

P.S.:
Der Euler ist mir sehr sympathisch. :D

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Hallo SCR,

du kommst auf das gleiche falsche Ergebnis wie Euler im Jahr 1770, nämlich sqrt(6).
Das richtige Ergebnis ist nicht + sqrt(6),sondern ─ sqrt(6). Denke eine Nacht darüber nach, vielleicht erkennts du, warum das so ist. Morgen kläre ich dich auf (falls es inzwischen nicht schon jemand anders getan hat).

M.f.G Eugen Bauhof

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Hi Eugen
Das kann ich fast nicht glauben :-) Hast du einen Link zu der Geschichte parat ?

@SCR
Zu meinem letzten Thread nochmals zusammengefasst :

- Die imaginaere Achse entspricht einer dimensionalen Erweiterung der reellen Achse
- Nur mit den komplexen Zahlen macht der Hauptsatz der Algebra einen Sinn.
- Bei der Multiplikation komplexer Zahlen wird der Betrag wie bisher multipliziert. Das Vorzeichen ist jedoch kontinuierlich und kann ueber einen Winkel dargestellt werden. Dieser muss gesondert berechnet werden. Fuer Multiplikationen verwendet man somit die eulersche Darstellung.
z1*z2=r1*exp(i*phi1)*r2*exp(i*phi2)= ... r1*r2*exp(i*(phi1+phi2))
Resultierendes kontinuierliches "Vorzeichen"=Phasenwinkel
Fuer Additionen verwendet man die triviale vektorielle Form z=x+iy.

Vorsicht !
Es ist eine willkuerliche Vereinbarung, aber fuer eine komplexe Zahl verwendet man gerne die "Variable" z=x+i*y. Alleine damit deutet man schon an : "Jetzt rechne ich komplexwertig" Man drueckt damit aber noch mehr aus und muss daher sehr aufpassen wenn man z statt x im vereinbarten Sinn schreibt. Denn ...

x und y stellen Zahlengeraden dar. Die Realteil- und Imaginaerteilachse. Es existiert aber keine z-Achse und ebensowenig eine f(z) Achse, denn f(z) kann ebenso eine komplexe Zahl darstellen und ist somit selbst ein Punkt in einer Ebene, ein Vektor. z und f(z) stellen Zahlenebenen dar. Jetzt wird es kompliziert, denn die Abbildung f(z) muesste man 4 dimensional darstellen. Das geht nicht. Man kann daher lediglich Betrag oder Phase=Winkel oder Realteil oder Imaginaerteil ueber der komplexen Ebene in 3D darstellen.

Oder Betrag als Wert auf einer Achse und die Phase als Farbe
Oder Realteil als Wert auf einer Achse und Imaginaerteil als Farbe
...
Wir suchen f(z)=0 und wenn der Vektor die Laenge 0 aufweist, dann ist dies gegeben.
In der Abb2) habe ich daher daher |f(z)| mit Phasen Farbenspiel dargestellt
Das bunte Farbenspiel stellt den Phasenwinkel dar.
Das haette ich vorher schon bemerken sollen. Wollte dies aber nicht gleich verkomplizieren.
Es ist ok wenn du dir sagst :
Komplexwertige Schnittpunkte schweben bei einer reellwertigen Darstellung einer Funktion auf meinem Monitor vor oder hinter diesem.
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Etwas fortgeschrittener Teil :
Allgemein gilt :
http://upload.wikimedia.org/math/7/d...38b8f00076.png

Bestimmen wir einfach mal die Funkionen u und v unseres Beispiels :

f(z)=z^2+1=(x+i*y)^2+1=x^2+2ixy-y^2+1
u(x,y)=x^2-y^2+1
v(x,y)=2xy

Fuer den Betrag muss man nun Wurzel (u^2+v^2) bilden. Das gibt einen etwas unhandlichen Ausdruck. Abbildung 2 stellt dessen Betrag dar.
Wenn gilt f(z)=0 dann gilt auch |f(z)|=|0| (Ok, bischen wackelig)
Der etwas unhandliche Ausruck hat zwei Nullstellen. i und -i.

Der falsche Weg :
Wie waere es wenn wir lediglich fordern der Realteil von f(z) soll null sein ?
x^2-y^2+1=0
x=Wurzel(y^2-1). x soll eine reele Zahl sein. Fuer -1>y>1 gibt es reelle Loesungen (wohl auf einer Hyperbel) fuer x.
http://home.arcor.de/richardon/2011/scr3.gif

Diese Bedingung Re(f(z))=0 kann somit nicht der Bedingung entsprechen f(z)=0, denn fuer Re(f(z))=0 existieren unendlich viele reelle Loesungen.

Wenn wir schon dabei sind koennen wir noch pruefen ob unser f(z) eine holomorphe Funktion darstellt. Dazu muesste sie die Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen erfuellen.

http://upload.wikimedia.org/math/f/0...b029983401.png und http://upload.wikimedia.org/math/1/6...77aed4ad36.png

Klingt kompliziert ist aber ganz einfach in der Durchfuehrung.

u(x,y)=x^2-y^2+1
v(x,y)=2xy

Wir bilden alle partielle Ableitungen :

δu/δx=2x
δu/δy=-2y
δv/δx=2y
δv/δy=2x

Wir pruefen und sehen : Unsere Funktion f(z)=z^2+1 ist holomorph !
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Gruesse

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Wenn wir im reellen rechnen dann sind sqrt(-2) und sqrt(-3) nicht definiert.Diese Zahlen sind auf einem reellen Zahlenstrahl nicht darstellbar. Eine Aufgabe mit Elementen zu loesen die gar nicht existieren waere sinnlos. Ich kann etwas sinnloses nicht umformen zu :
sqrt ((-2)*(-3)) Also muss ich von Anfang an die komplexe Darstellung waehlen.
z1*z2=i*Wurzel(2)*i*Wurzel(3)=-Wurzel(6)

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Oder die Potenzschreibweise, die hebt die Wurzel weg.

sqrt(─ 2) • sqrt(─ 3) = ?
√-2 • √-3 = ?
√-2 • √(-2 • 3/2) = ?
√-2 • √-2 • √(3/2) = ?
(√-2)² • √(3/2) = ?
-2 • √1,5 = ?

-2 • 1,2247... = -2,449...

Gruß EMI

Mit dieser Definition bin ich nicht ganz glücklich. Die Wurzel aus 6 hat zwei Lösungen, sowohl 2,449... als auch -2,449... Dieselben Ergebnisse hat -sqrt(6).

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Morgen zusammen!

√-2 * √-3
a) = √ (-2 * -3) = √6 (~ Euler)
a) = (√2 * √-1) * (√3 * √-1) = (√-1)² * √6 = -√6 (~ EMI)
b) = (√2 * i ) * (√3 * i ) = i² * √6 = -√6 (~ richy)


Das würde für b) zutreffen.

Laut wiki ...
... würde das (nur) daran liegen, dass die erste Wurzel mit der 2 eine gerade Zahl enthält. :rolleyes:

Wären dann aber nicht beide "Zwischenlösungen" (√6 als auch -√6) als gleichberechtigt anzusehen - Denn sie würden letztendlich ja beide zu den gleichen Endergebnissen führen? Und IMHO sogar irgendwie "über Kreuz verschmiert" ... :rolleyes:

wiki schränkt allerdings ein:
-> Frage: Was heißt das jetzt für mich in Summe? ;)

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Hallo Richy,

einen Link zur Seite 2 dieses Buches [1] habe ich parat, siehe Anhang (vierte Zeile von oben). Tristan Needham war ein Student von Roger Penrose. Die beiden müssen es wohl wissen.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[1] Needham, Tristan
Anschauliche Funktionentheorie.
München 2001. ISBN=3-486-24578-3