Quanten.de Diskussionsforum - Math Verhulst 1989

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AW: Math Verhulst 1989

Zitat:

Zitat von richy (Beitrag 64426)

Und was passiert mit den schwarzen Loechern die es hinterlassen hat?

Wenn es wirklich welche gibt zerstrahlen die auch nach HAWKIG.
Auch deren langwellige Photonen werden dann immer nur länger und länger.
Die gesamte Materie im All besteht dann nur noch aus diesen Photonen in Summe zwar die gleiche Energie wie zu Beginn beim Urknall aber das ist dann genau so sinnlos wie heutzutage auf Schalke zu gehen.

AW: Math Verhulst 1989

Zitat:

Zitat von Marco Polo (Beitrag 64425)

Du hattest imho mal geschrieben, dass du in Gelsenkirchen oder Umgebung wohnst. Habe ich das falsch in Erinnerung?

Schon richtig Marco, Gelsenkirchen liegt doch in der südlichen Münster-Süd Region.

AW: Math Verhulst 1989

Zitat:

Zitat von Marco Polo (Beitrag 64427)

Sagen wir mal so: Wenn es beschleunigt expandiert endet es aber schneller mit dem Wärmetod, als wenn es unbeschleunigt expandiert.

Richtig Marco,

nur macht das dann den Kohl auch nicht mehr fett.

Gruß EMI

AW: Math Verhulst 1989

Zitat:

Zitat von EMI

Die gesamte Materie im All besteht dann nur noch aus diesen Photonen in Summe zwar die gleiche Energie wie zu Beginn beim Urknall aber das ist dann genau so sinnlos wie heutzutage auf Schalke zu gehen.

Loooooooooool :)

AW: Math Verhulst 1989

Zitat:

Zitat von EMI (Beitrag 64428)

Zitat:

Zitat von richy (Beitrag 64431)

Loooooooooool :)

Ihr Satansbrut wagt es tatsächlich euch gegenüber Herne-West despektierlich zu äussern? In den Staub ihr Würmer. :D

Zitat:

Schon richtig Marco, Gelsenkirchen liegt doch in der südlichen Münster-Süd Region.

Liegt da nicht eher München? ;)

AW: Math Verhulst 1989

Zitat:

Zitat von Marco Polo (Beitrag 64432)

Liegt da nicht eher München? ;)

Sorry, na klar doch, auch München. Zwar bedeutunglos aber gehört auch dazu.

AW: Math Verhulst 1989

Kurze Zusammenfasung :
Das numerische Experiment hat gezeigt, dass die Nichtumkehrbarkeit von nichtlinearen Differenzengleichungen mit nichtbijektiver Abbildungsfunktion im chaotischen Fall von prinzipieller Natur ist. Ursache ist die Mehrdeutigkeit. Im Beispiel der logistischen Gleichung die Mehrdeutigkeit der Wurzelfunktion. Fuer den chaoischen Fall (Ljapunovexponent>0) ist das Vorzeichen der Wurzel in der Umkehrfunktion der logisischen Gleichung chaotisch und kann nicht auf den urspruenglichen Startwert zurueckverfolgt werden. Es existieren im Zeitschritt K dann 2^K Moeglichkeiten fuer das Vorzeichen.

Eine interessante Frage waere diesbezueglich wie dies zu interpretieren ist, wenn man die Verhust Gleichung als diskretisierte Differentialgleichung betrachtet. Indem man als Grenzwert die Laenge des Zeitschritts gegen Null streben laesst. Damit strebt K->00 und es existieren unendlich viele Moeglichkeiten, so dass jeder Funktionswert im Grunde akausal ist. Wie kann man sich dies erklaeren ? Die Loesung einer solchen DGL koennte z.B. unendlich mehrdeutig sein. Nun ist die Loesung der logistischen Gleichung fuer den Parameter r=4 gegeben und dies scheint tatsaechlich ein Erklaerungsansatz.

http://home.arcor.de/richardon/2010/verhulstlsg.gif
fe:=1/2*(1-exp(2^n*log(1-2*x)));
fc:=1/2*(1-cos(2^n*arccos(1-2*x)));

Wobei man die Loesungen auch ueber die veketteten Polynome darstellen kann.
Die Loesung fuer r=4 enthaelt die cos Funktion, so dass deren Umkehrfunktion unendlich mehrdeutig wird. Dies ist selbst dann gegeben wenn man sich stets auf das Intervall (0..1) beschraenkt. An den veketteten Polynomen sieht man, dass deren "Frequenz" zu den Intervallraendern abhaengig von n stetig steigt. Hier dargestellt fuer n=3,n=5

http://home.arcor.de/richardon/2011/vpolyr43.gif
http://home.arcor.de/richardon/2011/vpolyr4.gif

(Maple code)
>f[0]:=x;
>for i from 0 to 5 do;
>f[i+1]:=4*f[i]*(1-f[i]);
od;

Dies nur als kurze Zusammenfassung der Vorbetrachtung. Im naechsten Posting moechte ich die wenigen einfachen Schritte vorstellen, die mir schon 1989 zeigten, dass zwischen der Darstellung aller (Vorzeichen) Moeglichkeiten und dem Zufall ein Zusammenhang besteht, den ich schliesslich im Forum hier mittels dem Phasomaten nochmals vereinfacht in Form von Anwendungsmoeglichkeiten dargestellt habe.

AW: Math Verhulst 1989

Komplexwertiger Entscheidungsbaum und Zufall
**********************************
Zurueck an den Atari 1040 ST ins Jahr 1989. 0hne Kenntnis des Vorzeichenverlaufs der Wurzel gelang mir die inverse Iteration zurueck zum Annfagswert natuerlich nicht.
http://home.arcor.de/richardon/richy...tic/algo20.gif
Dass die Iterierte in fast allen Faellen komplexwertig wird war mir schnell klar und so war es naheliegend die Iteration rein interessehalber einfach mal im Komplexwertigen zu betrachten. Realteil und Imaginaerteil der Wurzel berechnen sich dort wie folgt (Bronstein S. 515) :

sqrt(x+iy)=u+iv
u = +-sqrt( (x+sqrt(x*x+y*y))/2)
v = +-sqrt( (-x+sqrt(x*x+y*y))/2)
http://home.arcor.de/richardon/richy...ic/nsalgo2.htm

Maple rechnet stets komplex, so dass die Programmierung hier besonders einfach ist :
Im Beispiel wird der doppelte goldene Schnitt fuer r verwendet und stets das positive Vorzeichen der Wurzel.

> s:=0.9; r:=1+sqrt(5);
> N:=10000;
> for i from 0 to N do
> s0:=evalf(1/2/r*(r-(r^2-4*r*s)^(1/2)));
> s1:=evalf(1/2/r*(r+(r^2-4*r*s)^(1/2)));
> s:=s0; # Stets positives Vorzeichen der Wurzel
> f[i]:=s;
> od:
> druck:=seq(f[i],i=0..N):
> complexplot([druck],0..1,-0.25..0.25,style=point,color=black);

Verwendet man stets das positive Vorzeichen erhaelt man folgendes Ergebnis:

http://home.arcor.de/richardon/2011/complex1.gif

Naja, ein bischen mehr hatte ich schon erwartet. Dass das stets positive Vorzeichen willkuerlich ist war mir klar und so war der naechste Schritt ein alternierendes Vorzeichen +-+-+-+ :
> if i mod 2 =1 then s:=s0 else s:=s1; fi;

Ergebnis :
http://home.arcor.de/richardon/2011/complex2.gif

4 er Zyklus +++-+++-+++-
> if i mod 4 =1 then s:=s0 else s:=s1; fi;

http://home.arcor.de/richardon/2011/complex3.gif

Eine gewisse Haeufungsstruktur ist erkenntlich, insbesonders wenn man die Bilder ueberlagert.Diese Ueberlagerungsstruktur interessierte mich natuerlich. Man muesste dazu die Iterationen aller moeglichen Vorzeichenmuster berechnen und darstellen. Alle 2^N Bilder ueberlagern. Dazu ist es erforderlich alle Pfade eines Binaerbaumes im Programm durchzugehen. Ein etwas groesserer Programmieraufwand.
http://home.arcor.de/richardon/richy...ic/nsalgo1.htm
Ich wollte das am naechsten Tag erledigen, da es schon spaet in der Nacht war. Naja, ein Versuch fiel mir noch ein, den man in wenigen Minuten implementieren kann.
Was passiert wenn ich das Vorzeichen zufaellig waehle ?
Dann erhaelt man fuer r=1+Wurzel(5) dieses Bild :

http://home.arcor.de/richardon/2011/complex4.gif

AW: Math Verhulst 1989

Ich war natuerlich voellig platt :)
Wie kann denn eine zufaellige Wahl des Vorzeichens dieses komplette Bild hervorzaubern ?
(Es ist qualitativ das selbe Bild wie wenn man alle Vorzeichenfaelle ueberlagert)
Tja, so ganz genau weiss ich das bis heute nicht.
Und nebenbei : Man sieht das Muster der Mandelbrotmenge, wobei die Punktmenge selbst eine Juliamenge darstellt. Um 1989 eine Julia oder Mandelbrotmenge zu berechnen benoetige man am Atari mindestens 15 Minuten. Und ich erhielt diese Juliamenge in ein paar Sekunden.
Denn mit jedem Iterationsschritt erzeuge ich einen neuen Punkt der Juliamenge. Dank dem Zufall :-)

AW: Math Verhulst 1989

Wozu existiert somit ein (determinierter oder objektiver) Zufall ?
Er ermoeglicht es alle Zustaende eines Binaerbaumes zu durchlaufen. Warum weiss ich allerdings immer noch nicht :-) Ohne Zufall wuerde die Evolution in Periodizitaeten stagnieren.

Im Thread hier hatte ich numerisch gezeigt, dass bei einer nichtlinearen Iteration mit jedem Rechenschritt Information ueber die Anfangswerte verloren geht, wenn das Vorzeichen der inversen Iteration nicht periodisch ist. D.h. wenn es zuaellig ist.
Ich fasse einen Gedankengang dazu (der vielleicht etwas unverstaendlich anmutet) aus einem anderen Thread nochmals zusammen :

Zitat:

Zitat von Heisenberthread

In der physikalische Umwelt empfinden wir die Vergangenheit als determiniert und die Zukunft als offen, mehrdeutig. Also gerade umgekehrt wie in einer expliziten Differenzenglichung. Wir muessten dort die Umkehrfunktion betrachten, die z.B. zu einer Juliamengen fuehren kann. Aus der expliziten Ausgangsgleichung wird dann eine implizite Gleichung.

H(f(k+1)^2,f(k+1))=f(k)

In dem Fall tritt im exliziten Ausdruck dann ein bijektiver Wurzelterm auf.

Nun erscheint und aber auch die Vergangenheit anders als die Realitaet. Wir vergessen Systemzustaende und dies bedeutet einen Informationsverlust. Aufgrund dieser Motivation oder einfach rein interessehalber kann man sich die Aufgabe stellen, ob es Funktionen gibt, die in beiden Richtungen mehrdeutig sind.

Aufgabe :
Geben sie eine bijektive Funktion an, deren Umkehrfunktion ebenfalls bijektiv ist. Klingt kompliziert aber es gibt eine ganz einfache Loesung :

y^2=t^2
anders angeschrieben :
y=+-t

Graphisch stellt dies ein einfaches Kreuz "X" dar. Und klar dese Funktion ist lediglich in einem Punkt t=0 eindeutig. Bemerkenswert ist dabei, dass sich die Nichtlinearitaet "kompensieren" und lediglich eine Folge derselben, die Bijektivitaet erhalten beliebt.
Den Punkt t=0, an dem sich die Funktion in beiden Richtungen verzweigt koennte man als Gegenwart, Realitaet interpretieren. Aber hier gibt es nur einen solchen ausgezeichneten Punkt.
Man kann weitere Funktionen desselben Typs konstruieren, aber daran aendert sich wenig :

a*(y-y0)^2 + b*(t-t0)^2 = R^2
*************************

Diese Funtionen kennt man. So ist auch ein Kreis sogar in jedem Punkt bijektiv. Es existiert daher kein Realitaetspunkt.

Kann man eine Funktion konstruieren die fuer mehr als einen Punkt eindeutig ist (mehrere Realitaetspunkte) und ansonsten mehrdeutig ?
Es erscheint zunaechst unmoeglich, aber das geht. Dazu waehlt man zunachst eine beliebige nichtlineare Funktion F(). Deren Umkehrfunktion sei G(). Folgender Funktionentyp kann dann die Forderung erfuellen wenn F() periodisch ist :

EDIT

Statt
G(v(y))=h(t)*G(v(t))
muss gelten

F(v(y))=h(t)*F(v(t))

Das ist die Form der bekannten Verhulstloesungen. Jedoch mit deren Umkehrfunktionen.
Ich stelle das Thema erstmals zurueck.