AW: Unendlicher Raum = Unendliche Größen bzw. Unendlichkeit in "beide" Richtungen?
 

ok. Danke. Da habe ich etwas übersehen.

Die EC ist laut WP-Artikel(n) erstmal nur für geschlossene Flächen definiert.

AW: Unendlicher Raum = Unendliche Größen bzw. Unendlichkeit in "beide" Richtungen?
 

Ich denke, der wichtigste Punkt ist die Frage der Kompaktheit.

Die Sphäre S² ist topologisch kompakt, die Ebene E² nicht. Letztere ist jedoch homöomorph zu einer punktierten S², d.h. einer S² aus der ein Punkt entfernt wurde, d.h. nicht-kompakt ohne Rand.

E² = S² \ "ein Punkt"

Leider ist das sehr formal, mir fällt kein anschauliches Beispiel ein als das oben genannte.

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Klar. Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Gau%C3%9F-Bonnet

AW: Unendlicher Raum = Unendliche Größen bzw. Unendlichkeit in "beide" Richtungen?
 

Aber dabei brauchst du wieder eine geometrische statt einer topologischen Betrachtung, inkl. der Krümmung.

Im vorliegenden Fall funktioniert das auch nicht ganz so einfach. Um mittels Gauß-Bonnet zu argumentieren, muss man für eine unendlich ausgedehnte Mannigfaltigkeit voraussetzen, dass das uneigentliche Integral über die Krümmung existiert, oder natürlich, dass die Krümmung Null ist.

Wenn man das Integral über die S² und über die punktierte S² berechnet, findet man natürlich, das sie übereinstimmen. Nun gibt es mehrere Möglichkeiten:
1) die Mannigfaltigkeiten sind homöomorph
2) die Mannigfaltigkeiten sind nicht homöomorph, obwohl das Integral übereinstimmt
3) die Mannigfaltigkeiten sind nicht homöomorph, man muss zusätzlich zum Integral über die Krümmung noch den Beitrag des Rabdes betrachten

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AFAIK müsste man dann aber auch noch zeigen, dass der Satz auch für nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten gilt.

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Darauf läuft es hinaus. Wobei sich der präzise Beweis des Satzes mit der sinnvollen Anwendbarkeit vermischt.

Man darf ja nicht vergessen, dass topologische Invarianten oft nicht trennscharf sind, d.h. dass nicht-homöomorphe Mannigfaltigkeiten identische Invarianten haben können.

Zweiter vereinfachter Erklärungsansatz:

Im Rahmen einer Grundlagendiskussion erscheint es mir einfacher und lehrreicher zu sein, wenn man in diesem Zusammenhang die Grundlagen der Topologie anspricht. Identisch heißt im Sinne der Topologie homöomorph, siehe Homöomorphismus

Es gelingt im Fall von Kugeloberfläche und |R^2 (Ebene) nicht eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Mengen zu finden. Es wird in diesem Zusammenhang auch von "Verbiegen" gesprochen. Man kann die Kugel nicht so verbiegen, dass daraus eine Ebene wird, selbst wenn man die Kugel flach presst.

Eine Möglichkeit eine Bijektion zu finden, liegt darin in die Kugel ein Loch zu stanzen. Dann geht es wieder, zB mit der zweiten Karte der https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Zahlenkugel.

Ohne den Nordpol ist die stereografische Projektion offensichtlich eine Bijektion. Stetig und umkehrbar stetig sollte sie eigentlich auch sein.

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Du meinst, das hier …

… ist die anschauliche Version davon …

Ja, m.E. prima. Aber Geku muss entscheiden; siehe die Frage

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Das ist mir schon klar. Eine unendlich große Kugeloberfläche hat, obwohl sie euklidisch ist, eine Innen- und eine Außenseite, was bei einer unendlichen Ebene nicht der Fall ist.

Hat man als 2-dimensionales Wesen überhaupt eine Chance zu erkennen auf welche dieser beiden Flächenwelten man lebt?

Für mich ist die wesentliche Eigenschaft dieser unendlichen Flächenwelten, dass sie euklidisch sind und die Winkelsummen eines Dreieckes 180° betragen.

Was muss ich entscheiden?

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Nein, rein mathematisch ist das nicht der Fall. Der Begriff einer Seite spielt keine Rolle.

Ob du unsere Erklärungen verstehst, dass und warum ein Universum mit k = +1 auch im Grenzfall unendlich großen Radius’, näherungsweise euklidisch, Krümmung näherungsweise Null rein mathematisch nicht zu einem mit k = 0 wird.