Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Hallo richy,

könntest Du mir einmal ein wenig unter die Arme greifen?

Das hier z.B. ist doch richtig, oder?: i * (-i) = 1
Kannst Du mir etwas zu (i)^0,5 erzählen?
(Also am Besten erst einmal alle "ganz einfachen" Gesetzmäßigkeiten von i ... und insbesondere gerne alles bei dem i "irgendwie mit Pi zusammenhängt" ...)

Danke! :)

P.S.: Mich würde dann später voraussichtlich vorrangig das Rechnen in der Polarform interessieren - Da muß ich mich aber erst noch ein wenig einlesen.

P.P.S.: Und natürlich ist auch die Hilfe von jedermann anderem gerne willkommen!

Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Das ist korrekt.

Eine gute Erklärung ohne Polarform fällt mir hierzu spontan nicht ein.

i ist definiert als i*i=-1. Es erweitert den "Raum" der reellen Zahlen. Du kannst dir das wie ein Koordinatenkreuz vorstellen, wo auf der x-Achse die reellen Zahlen aufgetragen sind, und auf der y-Achse die imaginären Zahlen.

Die Zahl i hat in diesem Koordinatenkreuz den Punkt bei x=0 und y=1. Die (komplexe) Zahl 1 + i entspricht in dem Koordinatenkreuz dem Punkt x=1 und y=1, die Zahl 3 + 2i dem Punkt x=3 und y=2, usw.
Du kannst jede komplexe Zahl aus einem reellen Anteil und einen imaginären Anteil zusammensetzen. Der x-Wert im Koordinatenkreuz steht für den reellen der y-Wert für den imaginären Anteil. Man spricht hier übrigens auch von der sogenannten komplexen Zahlenebene.
Anstatt den x- und y-Wert in Zahlen auszudrücken, kannst du das auch mit einem Winkel - sagen wir "phi" - und einem Radius r tun. Anschaulich wird das erst, wenn du dir das aufzeichnest. Du nimmst eine beliebige komplexe Zahl, z.B. 2 + 2i, und zeichnest sie in der komplexen Zahlenebene als Punkt bei x=2 und y=2. Nun ziehe eine Linie zwischen dem Koordinatenursprung (x=0,y=0) und diesem Punkt (x=2,y=2). phi ist nun definiert als der Winkel zwischen der x-Achse und dieser Linie, gemessen gegen den Uhrzeigersinn. In unserem Fall also 45° oder Pi/4 in Radiant. Mit Hilfe der Winkelfunktionen sin und cos kannst dies nun wie folgt ausdrücken:

x + y*i = r*cos(phi) + r*sin(phi)*i

wobei r = -/(x² + y²) (das soll ne Worzel sein vor der Klammer ;) )
r ist somit der Abstand vom Koordinatenursprung bis zu deinem Punkt (2,2).

Für die Winkelfunktionen gilt ja sin(phi)=y/r und cos(phi)=x/r. Das umgeformt ergibt x=r*cos(phi) bzw. y=r*sin(phi).

Wenn du cos(x) + i*sin(x) in einer Taylorreihe entwickelst, siehst du, dass die entstehende Reihe dieselbe Reihe ist die man erhält, wenn man die Exponentialfunktion e^(i*x) entwickelt. Das heißt es gilt allgemein:

cos(x) + i*sin(x) = e^(i*x)

Daraus folgt: r*cos(phi) + r*sin(phi)*i = r*e^(i*phi)

Womit die sogenannte Polarform einer komplexen Zahl entwickelt ist.

Für unser Bespiel gilt: 2 + 2i = -/(8)e^(i*Pi/4)

Damit kann man leicht i^0,5 berechnen. In Polarform schreibt sich i als

i = 1*e^(i*Pi/2) weil der Winkel zwischen der x-Achse und i (x=0,y=1) 90°, sprich Pi/2 entspricht.
Dann gilt weiters:

i^0,5 = [e^(i*Pi/2)]^0,5 = e^(i*Pi/2*0,5) = e^(i*Pi/4) = cos(Pi/4) + i*sin(Pi/4) = 0,707... + i*0,707...

und das wars. ;)

Als Hilfe zum Verständnis ist folgender Beitrag sehr dienlich:

http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Relation
oder
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplex...xe_Zahlenebene

AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Hallo Benjamin,

herzlichen Dank - Das geht genau in die richtige Richtung und gefällt mir schon einmal super! :)

z.B.
Dann sehe ich nämlich ein Minkowski-Diagramm.
Und dergestalt kann man ein Minkowski-Diagramm dann ebenfalls darstellen ... bzw. in einer Polarform ... Muß 'mal darüber nachdenken / das ausprobieren. :rolleyes:

Ein paar Sachen von Dir werde ich mir wohl auf jeden Fall erst noch etwas näher zu Gemüte führen müssen ... Für mich hartes Brot eben. ;)
(Ich schaue mir z.B. gerade einmal in Verbindung mit Deinem Beitrag dieses Filmchen hier an: http://www.youtube.com/watch?v=FwuPXchH2rA)

Danke!

AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Ich kann Benjamins Ausfuehrung wenig hinzufuegen. Eine Herleitung der Wurzel(i) ohne Polarform faellt mir ebenfalls nicht ein. Zunaecht solltest du dir Konventionen in der Gausschen Ebene merken :

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...anAndPolar.png

Die komplexe Zahl z wird somit durch ihren Radius=Betrag und Winkel=Argument in der Gausschen Ebene dargestellt. Der Winkel wird bezueglich der Realteil-Achse gemessen und mathematisch wie immer gegen den Uhrzeigersinn. Am besten merkt man sich auswendig :

********************************
phi=arg(z)=arctan(Imaginaerteil/Realteil) (Auf Quadranten achten !)
|z|=Wurzel(Realteil^2 + Imaginaerteil^2)
********************************
Vorsicht ! Beim arctan(Imaginaerteil/Realteil) ist die Bedeutung der Vorzeichen nicht mehr eindeutig. (Daher arg(Im,Re)) Den Quadranten von Phi muss man somit extra bestimmen.
Jetzt merkt man sich noch die erste schwarze Taste eines Klaviers CiS und kann damit eine komplexe Zahl nach Benjamins CiS Gleichung wieder als Relateil und Imaginaerteil darstellen :
Fuer i geht dies alles noch sehr einfach. Der Betrag ist eins und phi gleich 90 Grad also Pi/2. Benjamin hat das alles schon angegeben. i=exp(i*Pi/2)

Wie zieht man nun aber die Wurzel aus i ? Ueber (exp(a))^b=exp(a*b)
i^(1/2)=exp(i*Pi/2)^(1/2)=exp(i*Pi/4) Genau, das wars schon.
****************************

ZUSATZ :
Allgemeiner : Wie loest man die Gleichung z^2=i. Die Gleichung hat zwei Loesungen, Wurzeln. Folgendes soll die Mehrdeutigkeit im Komplexen zeigen. Man wendet den selben Trick an wie bei da^x/dx. ebbes=exp(ln(ebbes))
Damit kann man ueber den ln() die Potenz beseitigen. Somit :

i^(1/2)=exp(ln(i^1/2))=exp(1/2*ln(i))=exp(0.5*ln(i))
Naja, jetzt haben wir das Probem darauf abgewaelzt den ln() aus einer komplexwertigen Zahl zu ziehen. Aber fuer w=ln(z) gibt es eine "Loesungsformel" :

http://upload.wikimedia.org/math/5/4...986c51dc0a.png

i^(1/2)=exp(0.5*(ln|i|+i*(arg(i) + 2*k*Pi) ) k=0,1
ln|i|=ln(1)=0
arg(i)=Pi/2

i^(1/2)=exp(0.5*(i*(Pi/2 + 2*k*Pi) ) k=0,1
*********************************

Auch damit sieht man sehr schoen, wie denn die Teilung des Winkels von Pi/2 nach Pi/4 zustande kommt.

k=0 (Hauptwert)
i^(1/2)=exp(0.5*(i*Pi/2))=exp(i*Pi/4) ... mit CiS = Wurzel(2)/2*(1+i)
k=1
i^(1/2)=... exp(i*Pi/4+i*Pi) ... CiS = -Wurzel(2)/2*(1+i)
Aha. Bei der zweiten Losung wird der Zeiger um Pi weitergedreht. Waere die erste Losung nicht komplex, dann entspraeche dies einem negativen Vorzeichen. Negative Zahlen sind somit ein Spezialfall imaginaerer Zahlen.

Im Thread Phas-O-Mat hatte ich z^16=1 schon mal graphisch dargestellt :
Schwarz=Wurzel(i). Man sieht wie der Winkel phi=Pi/2 zu Pi/4 halbiert wird :

http://home.arcor.de/richardon/2010/wurzel1.gif

http://home.arcor.de/richardon/richy...omat/phaso.htm

Gruesse

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Ja Sch***eibenkleister - Ich sehe schon: Das wird ja wieder ein Heidenspaß für mich werden! :D
Danke auch Dir richy: Da sieht nämlich ("mit meiner verschmierten Brille" betrachtet ;)) auf den ersten Blick doch schon so einiges äußerst interessant/vielversprechend aus.
Noch dazu gibt's Worzeln, Klaviere ... Was will man denn mehr: Das wird bestimmt noch lustig.
Aber lasst mich bitte erst einmal Euren ersten Input verdauen - Ich melde mich dann wieder wenn ich soweit bin (bzw. doch schon zwischendrin Fragen auftauchen sollten)
Danke erst einmal bis dahin! :)

P.S.: @Benjamin: Deiner Signatur kann ich nur voll und ganz zustimmen! :)

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Ist, wie schon gesagt, richtig SCR,

da: 1/i = -i , daraus folgt:
i * (-i) = i * 1/i = i/i = 1



(i)^1/2 = √i , da i = √-1 ist folgt:
√i = √√-1, also 4. Wurzel aus -1.
√i = -1^1/4

W = √i = √√-1 = -1^1/4
W = cos(180° + k*360°)/n + i sin(180° + k*360°)/n

Mit n=4 (4. Wurzel) folgt:

W = cos(45° + k*90°) + i sin(45° + k*90°)

Die n-ten Wurzeln aus einer Zahl haben n Werte (k [0,1,2,...,(n-1)].
Für n=4 (4.Wurzel) also 4 Lösungen für W mit K[0,1,2,3]

Mit k=0 folgt W0 = cos 45° + i sin 45°
Mit k=1 folgt W1 = cos 135° + i sin 135°
Mit k=2 folgt W2 = cos 225° + i sin 225°
Mit k=3 folgt W3 = cos 315° + i sin 315°

Mit k=4 wäre der Winkel 405°=360°+45°, also wäre W4=W0, W5=W1...usw, immer im Kreis rum, rum, rum..., wie ein Hamster im Laufrad, halt Mut andrehen.:D

Gruß EMI

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Vielleicht sollte man hier nochmals erwaehnen :

Emi hat die 4 Losungen von z^4=-1 angegeben. Haupwert=Wurzel(i)
Ich hatte die 2 Loesungen von z^2=i angegeben. Haupwert=Wurzel(i)

Mit Wurzel(i) ist im Grunde der Hauptwert gemeint. Benjamins Loesung reicht hier somit aus :
Wurzel(i)=exp(i*Pi/4)=Wurzel(2)/2*(1+i)=cos 45° + i sin 45°=0,707... + i*0,707...

Das ist wie im Reellen :
Wurzel(4)=2
Aber die Gleichung x^2=4 hat zwei Losungen x1=2, x2=-2

Zusammenfassend :
Umrechnug z=Realteil+i*Imaginaerteil in Polarkoordinaten
************************************************** *
phi=arg(z)=arctan(Imaginaerteil/Realteil) (Auf Quadranten achten !)
|z|=Wurzel(Realteil^2 + Imaginaerteil^2)
************************************************** *
z=|z|(cos(phi)+i*sin(phi))
Das Neue und Praktische ist, dass fuer diese CiS Form (eulersche Formel) gilt :
|z|(Cos(phi)+i*Sin(phi))=|z|(exp(i*phi))
***************************************
Das ermoeglichte die Potenz in die Klammer der Exp Funktion zu schreiben.
Aus |z|(cos(phi)+i*sin(phi))^(1/2) geht dies nicht sofort hervor.

Die CiS Formel kann man ueber die Taylorreihe von exp(i*phi) herleiten.

http://upload.wikimedia.org/math/a/8...9c10106d2e.png

Genau. Das ist das Interessante der Gleichungen z^m=-1
Fuer z^Wurzel(2)=-1 lauft der Hamster z.B. ewig im Kreis herum ohne dass sich eine Loesung widerholt. Die Gleichung hat somit unendlich viele Loesungen.

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Hallo Richy,

ja.
Interessant finde ich auch den Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Winkelfunktionen und den Hyperbelfunktionen:

Man kann nämlich die Lorentz-Transformationen als Drehungen im Minkowski-Raum um den Winkel (phi) darstellen:
Der Winkel (phi) ist durch die Relativgeschwindigkeit v bestimmt:

tanh(phi) = v/c

Nachdem sinh(phi) = - i•sin(i•phi) und cosh(phi) = cos(i•phi) ist, ergeben sich die Lorentz-Transformationen durch eine
Drehung in der komplexen Ebene (x, i•c•t) um den imaginären Winkel (i•phi) mit

phi = Artanh(v/c)

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

P.S.
Ich habe die Herleitung hier nur angedeutet. Falls jemand die vollständige Herleitung sehen will, dann kann ich diese auch einstellen.

Das stimmt allerdings. Die Wurzel ein reellen wie auch komplexen Zahl liefert keine eindeutige Lösung.

So ist zum Beispiel 2*2=4 genauso wie (-2)*(-2)=4 ist. Daraus folgt das die Wurzel von 4 zwei Lösungen hat, nämlich 2 und -2.

Deshalb ist i streng genommen nicht als die Wurzel von -1 definiert, weil auch diese Wurzel zwei Lösungen hat, i und -i. Die mathematisch genaue Definition von der imaginären Einheit i ist: i*i=-1 ;)

Bei einen Minkowski-Diagramm ist entscheidend, dass auf der y-Achse ct aufgetragen wird. Das soll aber nicht verwundern, weil der Minkowski-Raum ein vierdimensionaler Vektorraum ist mit 3 räumlichen Dimensionen und einer "zeitlichen", oder genauer: dem Produkt von Zeit und Lichtgeschwindigkeit.
Auch der Raum der komplexen Zahlen kann als Vektorraum aufgefasst werden.

In älterer, um nicht zu sagen alter, Literatur hat die y-Achse im Minkowski-Raum einen imaginären Charakter i*ct. Heute bevorzugt man aber die kontra- und kovariante Darstellung, womit auf die imaginägre Achse verzichtet werden kann.

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Hallo Benjamin,
Hmmm ...
Damit man bei einer Multiplikation zweier Zahlen als Ergebnis eine negative Zahl erhält muß der eine Operand positiv und der andere negativ sein -> i müsste dementsprechend "beide Vorzeichen" in irgendeiner Art und Weise mitbringen.

1. i ist grundsätzlich bezüglich des Zustandes "Vorzeichen" als "unscharf" anzusehen: "Positiv" als auch "Negativ" sind gleichrangig zutreffend als auch nicht zutreffend.

2. Bei einer Multiplikation von i mit sich selbst kommt es zu einem Verschränkungszustand dergestalt, dass das Vorzeichen des einen i autromatisch das entgegengesetzte Vorzeichen beim anderen i bedingt (bzw. umgekehrt).

Außer dass das vermutlich völlig daneben klingt ;): Spricht irgendetwas Konkretes gegen eine solche Betrachtungsweise? :rolleyes:

P.S.: Danke an alle für die anderen Beiträge - Ich habe sie mir schon einmal zu Gemüte geführt.

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Ja, weil es die einfache Erklaerung gibt, dass die Im-Achse senkrecht auf der Re-Achse steht. i ist der Vektor mit dem Betrag 1 auf dieser Im-Achse. Und nach der eulerschen Formel bedeutet Mutiplikation mit dem anderen i, dass unser Vektor um 90 Grad gedreht wird. Was erhalten wir somit als Ergebnis ?
i kann man schon als spezielles Vorzeichen betrachten. Am einfachsten ist es jede Zahl als Zeiger der komplexen Ebene zu betrachten. Und dann ist der Winkel phi ein kontinuierliches Vorzeichen.

Spezialfaelle :
**********
Positive Zahlen : phi=0, Symbol +
Negative Zahlen : phi=180 Grad, Pi, Symbol -
rein imaginare positive Zahl : phi=90 Grad,Pi/2, Symbol i
rein imaginare negative Zahl : phi=-Pi/2, Symbol -i

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...anAndPolar.png

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Morgen richy,
Ja - Aber liegt das nicht nur daran ...
... dass man sich "von vorneherein" festlegt?
Ja - "er verändert sich" mit / auf Basis der Durchführung der Berechnung: Jetzt "manifestiert sich" das Vorzeichen (?).
... Und die komplexe Zahl stellt dabei "das Messergebnis" dar. Und aus diesem Messergebnis kann man rückschließen, welche(s) Vorzeichen sich nun "geschärft" hat/haben: Es/Sie lag(en) aber nicht von Anfang an in dieser "geschärften" Ausprägung vor (?).

Aber das sind im Moment nur so Gedanken: Das sehe ich mir noch einmal genauer an und denke noch weiter darüber nach (Passt das zur Fundamentaldefinition i*i = -1?, ...)
Dann gäbe es aber nicht nur 0 (= Plus) oder 1 (= Minus) ... - Heruntergebrochen auf die Imaginärzahlen dann aber doch schon , denke ich (?):
180°>phi>0° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil mit positivem Vorzeichen
# 90°>phi>0° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil und Realteil mit positivem Vorzeichen
# 180°>phi>90° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil mit positivem, Realteil mit negativem Vorzeichen
180°<phi<360° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil mit negativem Vorzeichen
# 180°<phi<270° -> Imaginärteil und Realteil mit negativem Vorzeichen
# 270°<phi<360° -> Imaginärteil mit negativem Vorzeichen, Realteil mit positivem Vorzeichen

P.S.: Bedeutet eigentlich +i = (+1)*i bzw. -i = (-1)*i?
Oder meint man mit +i die von Dir als "rein positive Imaginärzahl" bezeichnete und mit -i die "rein negative Imaginärzahl" (so etwa im Sinne eines "absoluten Vorzeichens")?

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Das sehe ich nicht so. Es handelt sich nämlich nicht um eine Multiplikation zweier verschiedener Zahlen, sondern um eine Multiplikation einer Zahl mit sich selbst. Das heißt, beide Zahlen müssen dasselbe Vorzeichen haben.

Da keine reelle Zahl x die Gleichung x*x=-1 erfüllen kann, wurde eine Zahl i definiert, die genau diese Bedingung erfüllt.

Richy hat es gut formuliert. i ist eine Art Vorzeichen, und zwar in der Art wie -1 ein Vorzeichen darstellt. -i ist folge dessen eine Kombination beider Vorzeichen nämlich i*(-1).

Warum das so funktioniert, gründet in der Antwort auf die Frage, warum überhaupt minus mal minus Plus ergibt. Das ist streng genommen auch eine reine Definitionssache. Genau genommen eine Frage dessen, wie man die Rechenoperationen "mal" und "plus" definiert und ob sie dem Distributivgesetz und Assoziativgesetz gehorchen.

Siehe z.B. hier:

3*(-4) + 3*4 = -12 + 12 = 0 / *(-1)

(-1)*3*(-4) + (-1)*3*4 = (-3)*(-4) + (-3)*4 = ?12 - 12 = 0

Damit die Gleichung stimmt, muss -3 mal -4 plus 12 ergeben.
Dass die Gleichung diese Gestalt überhaupt erst annimmt, ist eine Folge unserer definierten Rechenregeln, insbesondere eine Folge des Distributiv- und Assoziativgesetzes.

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Hallo Benjamin,

ich sehe aber jetzt noch nicht ganz, was ich verletzten würde, wenn ich ausgehend von
i*i = -1
dem i erst einmal beide Vorzeichen gleichberechtigt (in einem "verschmierten" Zustand) zugestehen würde.
Und erst bei der Ausführung der Rechenoperation käme es zu einer Verschränkung dergestalt, dass wenn "links" das eine "rechts" zwangsläufig das andere auftreten muß: Plus mal Minus gibt Minus = Minus mal Plus gibt Minus

Ja - eine Zahl mit zwei gleichberechtigten Vorzeichen ...
... vor Durchführung der Rechenoperation ist das Vorzeichen identisch - eben "verschmiert".

Danke ->
i*i=-1 | *(-1)
(-i)*i = 1.

Wenn ich mir i*i=-1 ansehe dann schaue ich zuerst nach rechts: Da sehe ich eine reele Zahl mit negativem Vorzeichen.
Damit eine Multiplikation zweier Zahlen ein negatives reeles Ergebnis erbringt muß eine positiv und die andere negativ sein.
Sehe ich nach links sehe ich, dass eine Zahl mit sich selbst multipliziert werden soll um dieses negative Ergebnis zu erzielen: Das ist im reelen Zahlenraum nicht möglich.
"Das geht nur im Imaginären" - Da ist das Vorzeichen des i bis zur Durchführung der Rechenoperation ("Der Messung") verschmiert.

Analoge Logik lässt sich auch auf die Gleichung (-i)*i = 1 anwenden.

Wenn wir es einmal dahingestellt lassen würden, inwieweit meine Vorstellungen überhaupt sinnvoll sind oder nicht (und was sie bringen mögen), möchte ich doch noch einmal nachfragen:
Würde ich mit dieser Vorstellung zum Verhalten des Vorzeichens im imaginären Zahlenraum denn gegen irgendetwas konkret widersprechen? :rolleyes:

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Sie ist einfach sinnlos und unnötig; die Algebra der komplexen Zahlen ist wohldefiniert, ohne sie miteinander "verschmieren" zu müssen.

Zumindest dem gesunden Hausverstand würde ich sagen.

Das ist in meinen Augen ein Widerspruch. Es gilt i²=-1. Wir haben nur ein i. Es gibt keine Unterscheidung zwischen "links" und "rechts".

AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Hallo Benjamin,
Das wäre also notfalls verschmerzbar ... Ich habe schließlich einen Ruf zu verlieren. ;)
Da sprichst Du womöglich den entscheidenden Punkt an: Ich sehe da nämlich zwei Zahlen = zwei i.
Ich versuche es einmal so auszudrücken:
Das würde bedeuten, das i wäre beidesmal exakt dasselbe (~ inkl. "scharfem" Vorzeichen) - und nicht "nur" das Gleiche (~ mit "unscharfem" Vorzeichen) ...

-> Laß' mich einmal darüber (meine Vorstellungen + Deine Äußerungen) nachdenken ...

EDIT: In diesem Kontext:
Hmm ...

AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Genau ! Du hast es doch verstanden. Zuvor war eine Zahl ein Punkt auf der Zahlengeraden. Eine komplexe Zahl ist nun ein Punkt in der Ebene, zweidimensional. Nimm mal die Grafik oben und stelle dich in den Nullpunkt.
Stell dir dabei vor es waere eine Aufnahe aus der Vogelperspektive !

Vor dir liegen die positiven Zahlen. Die Menschen in der Steinzeit kannten keine negativen Zahlen. Es genuegte ihnen nur nach vorne zu schauen. Aber dann kam : Ich habe zwei Steine und gebe dir drei davon. Mir bleibt minus ein Stein. Wenn man immer nur nach vorne schaut gibt es keine -1. Ahhh man muss in die andere Richtung schauen. Dennoch gibt es keinen "minus ein Stein". Es gibt aus materieller Sicht keine Schulden. Aber wenn mein Steinzeitclan wieder an Alle Steine verteilt, dann koennte mein "minus ein Stein" bedeuten, dass ich nun einen weniger bekomme.
Genauso ergibt der Vorgang i*i wieder eine reelle Zahl.

Schauen wir mal zu minus eins und dem Vorgang (-1)*(-1)=1. Sind -1 oder 1 irgendwie unscharf ? Noe. Aber wie drehen wir uns eigentlich um ?
Wenn wir nur "hinten" und "vorne" kennen koennten wir uns sagen, dass der Punkt -1 nach Null hin wandert und von dort zum Punkt, der Zahl eins.
So drehen wir uns aber nicht um Bei dem Vorgang schauen wir auch in ganz andere Richtungen. Nach links oder rechts. Koennten hier nicht auch Zahlen liegen ? Und in der komplexen Ebene in der du gerade stehst ist es so.
-1*-1 entspricht hier einem negativen Stab der Laenge 1, den du um 180 grad drehst.

"Multipliziere mit -1" bedeutet dann : "Drehe dich um". Pi
"Multipliziere mit i" bedeutet dann : "Drehe dich halb um". Pi/2 oder schaue nach links.
Allgemein.
"Multipliziere mit a+i*b" bedeutet dann : "Drehe dich um arctan(b/a).
Und multiplizierde die Stablaenge (Betrag) mit Wurzel(a^2+b^2)

AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Die Motivation der komplexen Zahlen liegt allerdings nicht bei drehbaren Staeben sondern im Hauptsatz der Algebra :

http://www.iadm.uni-stuttgart.de/Lst...is/node59.html

Der Satz ist fuer praktische Anwendungen ungemein wichtig. Zunaechst ein einfacher Fall :
x^2-2*x+1=0 hat die Loesungen x1=1, x2=1
Man erwartet zwei Nullstellen aber diese fallen zusammen auf den Wert x=1.
Wenn man solch eine doppelte oder mehrfache Nullstelle als mehrere Nullstellen unterscheidet, dann lautet der Hauptsatz der Algebra :

Jedes Polynom vom Grad n weist (in C) n Nullstellen auf !
Und dann laesst sich jedes Polynom p(x,n) ungemein praktisch als Produkt darstellen :
p(x,n)=a*(x-x1)(x-x2)....(x-xn)
Wobei x1,x2....xn die Nullstellen sind.
Beispiel :
x^2-2*x+1=(x-1)*(x-1)

Der Satz sollte allgemein gueltig sein um ihn ohne irgendwelche Fallunterscheidungen, Einschraenkungen bequem anwenden zu koennen. Jetzt sagts du : "Hey stimmt doch alles gar nicht !"
"Schau dir mal die Funktion z^2+1=0 an ! (z=x+i*y) Die Funktion schneidet die x Achse nirgends und hat somit keine Nullstelle"

Abb1)
http://home.arcor.de/richardon/2011/scr1.gif
Yoh, tatsaechlich schneidet die Funktion die x Achse nirgends. So ein Mist. Damit wird das nix mit dem Hauptsatz. Oder doch ?
Die Nullstellen von z^+1=0 waeren Wurzel(-1) und -Wurzel(-1). Koennten wir mit diesen beiden irren Zahlen den Hauptsatz retten ? Probieren wir einfach mal aus :
(z- Wurzel(-1))*(z+ Wurzel(-1)) (dritte binomische) = z^2-(Wurzel(-1))^2
Wenn wir fuer Wurzel(-1) ein Symbol i festlegen fuer das gilt : i^2=-1, dann koenten wir unseren Produkt Nullstellensatz weiterhin anwenden.
z^2+1=(z-i)*(z+i)

Das ist super, aber wenn ich z^2+1 betrachte. Wo liegt denn dieses i ? Im Unendlichen ? oder ist es unscharf ? Es soll die x Achse schneiden. f(z)=0. Aber wo ?

EDIT:
Im weiteren betrachte ich aus Anschuungsgruenden |f(z)|=0.

Die Nullstelle liegt direkt vor deiner Nase, blos siehst du sie nicht. Weil Abb1) nur einen Schnitt durch die komplexe Ebene darstellt. Die Im-Achse steht wie eine zusaetzliche Dimension senkrecht auf der x Achse. Das hatten wir bereits gesehen. Sie zeigt somit in die Bildebene, den Monitor hinein.
Eine z-Achse gibt es nicht, denn z ist die komplexe Ebene selbst. f(z)=0 bedeutet somit den Schnitt der Funktion mit dieser Ebene. Praktisch dem Fussboden.
Ich habe mir mal die Muehe gemacht dies 3 D darzustellen :

Abb2)
http://home.arcor.de/richardon/2011/scr2.gif

Der Rahmen zeigt was wir in Abb1) gesehen haben. Lediglich einen Schnitt Im=0 durch die Funktion. Man sieht sehr schoen die Nullstellen (Schnit1 Schnitt 2), Schnitt der Funktion mit der Ebene f(z)=0
Der Schnittpunkt z=i schwebt in Abb1 somit vor dem Monitor und der Schnittpunkt z=-1 befindet sich dahinter :D
Abb2) sollte zu einem AHA Erlebnis fuehren.Mit der Vorstellung von etwas "Verschmiertem" wird das nix.


Gruesse

AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Hallo SCR,

mal aus heutiger Sicht eine ganz einfache Aufgabe für dich, bei der du die Richtigkeit deiner Vorstellung "dass das Vorzeichen des einen i automatisch das entgegengesetzte Vorzeichen beim anderen i bedingt" prüfen kannst:

Was kommt heraus bei folgendem Produkt:

sqrt(─ 2) • sqrt(─ 3) = ?

(sqrt = Operationszeichen für die Quadratwurzel)

Aber Vorsicht und Umsicht, denn selbst Leonhard Euler hat sich im Jahre 1770 bei dieser Aufgabe verrechnet. Und das ist kein Scherz, denn ich kann es belegen.

M.f.G. Eugen Bauhof

AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Hallo Bauhof,

für die Multiplikation zweier Wurzeln mit gleichem Exponenten gilt (wenn meine dunklen Schulkenntnisse mich nicht täuschen): sqrt(a) * sqrt(b) = sqrt(a*b).
-> Ich würde spontan sagen sqrt(-2) * sqrt(-3) = sqrt ((-2)*(-3)) = sqrt(6) = 2,449...
-> Unabhängig davon ob richtig oder falsch: Klär mich bitte auf.

P.S.:
Der Euler ist mir sehr sympathisch. :D

AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Hallo SCR,

du kommst auf das gleiche falsche Ergebnis wie Euler im Jahr 1770, nämlich sqrt(6).
Das richtige Ergebnis ist nicht + sqrt(6),sondern ─ sqrt(6). Denke eine Nacht darüber nach, vielleicht erkennts du, warum das so ist. Morgen kläre ich dich auf (falls es inzwischen nicht schon jemand anders getan hat).

M.f.G Eugen Bauhof

AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Hi Eugen
Das kann ich fast nicht glauben :-) Hast du einen Link zu der Geschichte parat ?

@SCR
Zu meinem letzten Thread nochmals zusammengefasst :

- Die imaginaere Achse entspricht einer dimensionalen Erweiterung der reellen Achse
- Nur mit den komplexen Zahlen macht der Hauptsatz der Algebra einen Sinn.
- Bei der Multiplikation komplexer Zahlen wird der Betrag wie bisher multipliziert. Das Vorzeichen ist jedoch kontinuierlich und kann ueber einen Winkel dargestellt werden. Dieser muss gesondert berechnet werden. Fuer Multiplikationen verwendet man somit die eulersche Darstellung.
z1*z2=r1*exp(i*phi1)*r2*exp(i*phi2)= ... r1*r2*exp(i*(phi1+phi2))
Resultierendes kontinuierliches "Vorzeichen"=Phasenwinkel
Fuer Additionen verwendet man die triviale vektorielle Form z=x+iy.

Vorsicht !
Es ist eine willkuerliche Vereinbarung, aber fuer eine komplexe Zahl verwendet man gerne die "Variable" z=x+i*y. Alleine damit deutet man schon an : "Jetzt rechne ich komplexwertig" Man drueckt damit aber noch mehr aus und muss daher sehr aufpassen wenn man z statt x im vereinbarten Sinn schreibt. Denn ...

x und y stellen Zahlengeraden dar. Die Realteil- und Imaginaerteilachse. Es existiert aber keine z-Achse und ebensowenig eine f(z) Achse, denn f(z) kann ebenso eine komplexe Zahl darstellen und ist somit selbst ein Punkt in einer Ebene, ein Vektor. z und f(z) stellen Zahlenebenen dar. Jetzt wird es kompliziert, denn die Abbildung f(z) muesste man 4 dimensional darstellen. Das geht nicht. Man kann daher lediglich Betrag oder Phase=Winkel oder Realteil oder Imaginaerteil ueber der komplexen Ebene in 3D darstellen.

Oder Betrag als Wert auf einer Achse und die Phase als Farbe
Oder Realteil als Wert auf einer Achse und Imaginaerteil als Farbe
...
Wir suchen f(z)=0 und wenn der Vektor die Laenge 0 aufweist, dann ist dies gegeben.
In der Abb2) habe ich daher daher |f(z)| mit Phasen Farbenspiel dargestellt
Das bunte Farbenspiel stellt den Phasenwinkel dar.
Das haette ich vorher schon bemerken sollen. Wollte dies aber nicht gleich verkomplizieren.
Es ist ok wenn du dir sagst :
Komplexwertige Schnittpunkte schweben bei einer reellwertigen Darstellung einer Funktion auf meinem Monitor vor oder hinter diesem.
************************************************** *****************
Etwas fortgeschrittener Teil :
Allgemein gilt :
http://upload.wikimedia.org/math/7/d...38b8f00076.png

Bestimmen wir einfach mal die Funkionen u und v unseres Beispiels :

f(z)=z^2+1=(x+i*y)^2+1=x^2+2ixy-y^2+1
u(x,y)=x^2-y^2+1
v(x,y)=2xy

Fuer den Betrag muss man nun Wurzel (u^2+v^2) bilden. Das gibt einen etwas unhandlichen Ausdruck. Abbildung 2 stellt dessen Betrag dar.
Wenn gilt f(z)=0 dann gilt auch |f(z)|=|0| (Ok, bischen wackelig)
Der etwas unhandliche Ausruck hat zwei Nullstellen. i und -i.

Der falsche Weg :
Wie waere es wenn wir lediglich fordern der Realteil von f(z) soll null sein ?
x^2-y^2+1=0
x=Wurzel(y^2-1). x soll eine reele Zahl sein. Fuer -1>y>1 gibt es reelle Loesungen (wohl auf einer Hyperbel) fuer x.
http://home.arcor.de/richardon/2011/scr3.gif

Diese Bedingung Re(f(z))=0 kann somit nicht der Bedingung entsprechen f(z)=0, denn fuer Re(f(z))=0 existieren unendlich viele reelle Loesungen.

Wenn wir schon dabei sind koennen wir noch pruefen ob unser f(z) eine holomorphe Funktion darstellt. Dazu muesste sie die Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen erfuellen.

http://upload.wikimedia.org/math/f/0...b029983401.png und http://upload.wikimedia.org/math/1/6...77aed4ad36.png

Klingt kompliziert ist aber ganz einfach in der Durchfuehrung.

u(x,y)=x^2-y^2+1
v(x,y)=2xy

Wir bilden alle partielle Ableitungen :

δu/δx=2x
δu/δy=-2y
δv/δx=2y
δv/δy=2x

Wir pruefen und sehen : Unsere Funktion f(z)=z^2+1 ist holomorph !
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Gruesse

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Wenn wir im reellen rechnen dann sind sqrt(-2) und sqrt(-3) nicht definiert.Diese Zahlen sind auf einem reellen Zahlenstrahl nicht darstellbar. Eine Aufgabe mit Elementen zu loesen die gar nicht existieren waere sinnlos. Ich kann etwas sinnloses nicht umformen zu :
sqrt ((-2)*(-3)) Also muss ich von Anfang an die komplexe Darstellung waehlen.
z1*z2=i*Wurzel(2)*i*Wurzel(3)=-Wurzel(6)

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Oder die Potenzschreibweise, die hebt die Wurzel weg.

sqrt(─ 2) • sqrt(─ 3) = ?
√-2 • √-3 = ?
√-2 • √(-2 • 3/2) = ?
√-2 • √-2 • √(3/2) = ?
(√-2)² • √(3/2) = ?
-2 • √1,5 = ?

-2 • 1,2247... = -2,449...

Gruß EMI

Mit dieser Definition bin ich nicht ganz glücklich. Die Wurzel aus 6 hat zwei Lösungen, sowohl 2,449... als auch -2,449... Dieselben Ergebnisse hat -sqrt(6).

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Morgen zusammen!

√-2 * √-3
a) = √ (-2 * -3) = √6 (~ Euler)
a) = (√2 * √-1) * (√3 * √-1) = (√-1)² * √6 = -√6 (~ EMI)
b) = (√2 * i ) * (√3 * i ) = i² * √6 = -√6 (~ richy)


Das würde für b) zutreffen.

Laut wiki ...
... würde das (nur) daran liegen, dass die erste Wurzel mit der 2 eine gerade Zahl enthält. :rolleyes:

Wären dann aber nicht beide "Zwischenlösungen" (√6 als auch -√6) als gleichberechtigt anzusehen - Denn sie würden letztendlich ja beide zu den gleichen Endergebnissen führen? Und IMHO sogar irgendwie "über Kreuz verschmiert" ... :rolleyes:

wiki schränkt allerdings ein:
-> Frage: Was heißt das jetzt für mich in Summe? ;)

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Hallo Richy,

einen Link zur Seite 2 dieses Buches [1] habe ich parat, siehe Anhang (vierte Zeile von oben). Tristan Needham war ein Student von Roger Penrose. Die beiden müssen es wohl wissen.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[1] Needham, Tristan
Anschauliche Funktionentheorie.
München 2001. ISBN=3-486-24578-3

Ja, wie gesagt, hat sqrt(-2)*sqrt(-3) streng genommen zwei Lösungen, nämlich 2,449... und -2,449... Ob man hier i²*sqrt(6) oder sqrt(6) schreibt ist demnach egal, weil beides zum selben Ergebnis führt.

Ich hab schon gesehen, dass auf Wiki steht, mit Wurzel wäre grundsätzlich die positive Wurzel gemeint. Diese Einschränkung kann ich aber nicht nachvollziehen. Sie scheint mir willkürlich und inkonsistent.

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Dem möchte ich zunächst zustimmen.
Andererseits muss man, glaube ich, es extra angeben, wenn man beide Lösungen meint. So wie bei der Diskriminante, z.B.:

http://upload.wikimedia.org/math/0/f...4bc3521ff1.png

In unserem Fall müsste es also heissen:

x1,2 = ± sqrt(-2)*sqrt(-3)

wenn man an beiden Lösungen interessiert wäre, beide angeben möchte.

So gesehen passt's wieder.


Gruss, Johann

Warum?

Ich argumentiere:

2²=4
(-2)²=4

Daher folgt für die Umkehroperation sqrt():

sqrt(4)=2 und -2

Aus welchem Grund sollte man -2 nicht als Lösung ansehen?
Argumente?

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Weil es dann nicht eindeutig ist.

f(x) = x^1/2

f(x) muss (?) ein eindeutiges Ergebnis liefern.
richy wird dazu sicher mehr und fundierter schreiben können. :)
Mengen, Abbildungen, etc. ...

Fakt ist, dass man es angibt, wenn beide Lösungen gefragt sind.
Dazu musst du dich nur an die Schule und Kurvendiskussion erinnern. :)


Gruss, Johann

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Hallo zusammen,

Einerseits kenne ich das grundsätzlich auch genauso wie von Benjamin geschrieben - Sinngemäß:
Beim Quadrieren führen zwei unterschiedliche Zahlen zum gleichen Ergebnis, beim Wurzelziehen sind deshalb auch immer zwei Lösungen gleichberechtigt.
-> Keiner hat sich da oben verrechnet ;).

Andererseits muß ich zugeben, dass ich niemanden (mich eingeschlossen) wüsste, der z.B. ein in einer Berechnung auftretendes √4 nicht spontan und eindeutig als +2 interpretieren würde (Benjamin- Vielleicht Du?).

Was ich in Wiki aber auch "sonderbar" finde:
-> Bei √-2 * √-3 dürfe ich demnach die Wurzel nicht "zusammenziehen", bei √-5 * √-3 dürfte ich das dagegen schon - Die dahinterstehende Logik erschließt sich mir nicht.

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He he, nein leider auch nicht. Ich war vor langer Zeit sogar Benjamins Meinung. Ein Mathematiker hat mich dann vom Gegenteil ueberzeugt und das hat bisher immer gepasst.
Vieleicht kann man argumentieren, dass durch eine Umformung eine Gleichung nicht mehrdeutig werden darf :
1=1
Wurzel(1)=Wurzel(1)
Wuerde ich hier beide Vorzeichen zulassen waere die Gleichung in zwei Faellen sogar falsch :
Wurzel(1)=-Wurzel(1) auf beiden Seiten durch +-Wurzel(1)
1=-1 oder -1=1

In deinem Beispiel wuerde ich -2 als Loesung ansehen. Es kommt auf die Aufgabenstellung an. Du hattest diese formuliert als:
x^2-4=0
Ein Polynom zweiten Grades hat zwei Nullstellen.
Aber wenn ich lediglich anschreibe x=Wurzel(4), dann ist das ein Polynom vom Grad eins und es gibt nur eine Nullstelle. Ok, du koenntest auf beiden Seiten quadrieren. Damit erzeugst du aber eine Loesung, die es zuvor nicht gab. So ganz schluessig ist das auch nicht, aber es entspricht dem Hauptsatz der Algebra.

Zu sqrt(-2)*sqrt(-3).
Ich wuerde sicherlich bei einer Rechnung hier auch manchmal reintreten. Bei der Loesung verwende ich Wurzel(-1)=i. Das ist wackelig. Es gibt ein Mathe-Raetsel in dem man in aehnlicher Form zeigt 1=-1. Vielleicht koennte dies weiterhelfen.

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Hi SCR
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_..._Wurzelgesetze
m und n. Nicht a und b. Der Wiki Eintrag ist aber soundso nicht so doll.

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Hallo Johann,

ähnlich wie du wollte ich soeben auch argumentieren.

± sqrt(─2)•sqrt(─3) = ? war eben nicht die Aufgabenstellung, sondern sqrt(─2)•sqrt(─3) = ?

Die Lösung der Aufgabe vollständig ausgeschrieben lautet wie folgt:

[+sqrt(─2)]•[+sqrt(─3)] = ─ sqrt(6).

Wenn bei einem Wurzelausdruck kein Vorzeichen angegeben ist, dann ist in der Mathematik stillschweigend das Pluszeichen vereinbart. Die vermeintliche Lösung +sqrt(6) ist deshalb falsch, wie es bereits Needham notierte.

M.f.G Eugen Bauhof

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Hallo SCR,

das heißt für dich "in Summe", dass das Ergebnis + sqrt(6) falsch ist und das Ergebnis ─ sqrt(6) richtig ist. Obwohl es Richy und EMI bereist hinreichend erklärt haben, scheinst du es noch nicht ganz zu akzeptieren. Deshalb will ich es dir Schritt für Schritt herleiten:

[+sqrt(─2)]•[+sqrt(─3)] = ? Die Pluszeichen können vereinbarungsgemäß weggelassen werden, also kommt:

sqrt(─2)•sqrt(─3) = ?

sqrt[(─1)•2]•sqrt[(─1)•3] = ?

[sqrt(─1)•sqrt(2)]•[sqrt(─1)•sqrt(3)] = ? ; Nachdem sqrt(─1) = +i ist, ergibt sich:

[i•sqrt(2)]•[i•sqrt(3)] = ?

i²•sqrt(2)•sqrt(3) = ? ; Nachdem i² = ─1 ist , ergibt sich:

(─1)•sqrt(2)•sqrt(3) = ─ sqrt(6).


M.f.G. Eugen Bauhof

Okay, Eindeutigkeit ist ein gutes Argument.
Soweit ich mich aber erinnere, war es immer selbstverständlich, dass beide Wurzellösungen angeschrieben werden mussten. Zumindest auf der Uni war es so. In Erinnerung habe ich da noch deutlich die Lösung von Eigenwertproblemen. Das liegt aber auch wahrscheinlich daran, dass die Probleme in der Physik grundsätzlich Polynome als Lösungen haben, und hier werden Ergebnisse nicht aufgrund von Definitionen ausgeschlossen, sondern aus physikalischen Argumenten.

Ja, ich zweifle nicht an, dass dem in der Mathematik so ist. Ich möchte nur ausdrücken, dass ich das ein wenig inkonsistent finde. Aber gut, das Argument mit der Eindeutigkeit hat mich ein wenig besänftigt.
Ich bin es halt gewohnt, die Mathematik naturwissenschaftlich zu nutzen und da existiert neben den beiden Lösungen der Wurzel auch die Division durch null als Lösung, nämlich unendlich.

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Hallo Benjamin,

die Division durch Null ist in der Mathematik mit gutem Grund streng verboten. Was in der Naturwissenschaft eine Division durch Null nützen würde, ist mir schleierhaft. Man kannn eine Variable, die im Nenner steht, nur gegen die Null streben lassen. Aber sie darf niemals den Wert Nulll annehmen. Wenn doch, dann ist etwas faul.

M.f.G. Eugen Bauhof

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Hallo zusammen!

Da scheinen wir ja alle was gelernt zu haben. :)

Dann werde ich versuchen dazu was zu finden.

Da fällt mir noch eine Möglichkeit ein:

[±sqrt(─2)] • [∓sqrt(─3)] = ?

mit 4 Lösungen, von denen 2 identisch sind. :D


Gruss, Johann

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So, wie Tachyonen. (?)
Ja, da muss man wohl zwischen Physik und Mathe etwas differenzieren.


Gruss, Johann

AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Vielleicht noch ein Beispiel, das zeigt , dass die Aufgabenstellung ausschlagebend ist.

Lautet diese
1) x-3=0
dann hat diese Aufgabenstellung genau eine Loesung.
Wenn ich nun umforme und auf beiden Seiten quadriere erhalte ich :
2) x^2=9
Diese Gleichung hat 2 Loesungen
Es ist somit die Quadratur, die nun zu einer zweiten Loesung fuehrt.
x =+-Wurzel(9)
x1=3 und x2=-3
Waere die Aufgabe nach 2) formuliert waeren dies die Loesungen.

Die Ausgangsaufgabe war aber die Gleichung 1)
Und diese hat ganz klar lediglich die Loesung x=3

Ob man +-Wurzel() oder nur den Hauptwert +Wurzel() betrachtet haengt damit von der Aufgabenstellung ab. Auf welchem Weg sich die Wurzel ergibt. Und die Vereinbarung ist, dass mit dem Wurzelzeichen stets nur der Hauptwert also + gemeint ist. Andernfalls muss ich dies extra kennzeichnen, explizit anschreiben.

x^3=-1 hat drei Loesungen
Verstehe ich unter x=(-1)^(1/3) nicht nur den Hauptwert muss ich das irgendwie kennzeichnen.

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Ein quadratischer Garten hat die Flaeche 9 qm,
Wie gross ist die Seitenlaenge des Gartens ?
Ich meine die Antwort -3 m waere falsch :-)

Ja, weil Abstände definitionsgemäß positiv sind.

Du könntest zB. fragen, welche Energie nötig wäre, ein Teilchen zu beschleunigen, sodass die Eigenzeit desselben stehen bleibt, sprich null ist. Ein radioaktives Präparat wäre in diesem Zustand nicht mehr radioaktiv, weil es nicht mehr zerfällt.

Wie sich jedoch zeigt, führt diese Rechnung zu einer Division durch null und liefert damit als Ergebnis einen unendlichen Energieaufwand. Wir lernen daraus, dass wir den Zerfall von radioaktiven Teilchen nicht durch Beschleunigung stoppen können, es sei denn wir hätten unendlich Energie zur Verfügung.

Wenn du nun argumentierst, dass eine solche Rechnung nicht erlaubt sei, sondern lediglich im Limes zu einem schlüssigen Ergebnis führe, halte ich dagegen, dass der Limes gar nicht notwendig ist. Er ist eine mathematisch definierte (und damit willkürliche) Vorschrift. Physikalisch gibt es keinen Grund diesen Limes zu fordern. Die Aussage "Eine endliche Zahl durch null dividiert, ergibt unendlich" reicht völlig aus.

AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Hallo Eugen,

Definitionen und Vereinbarungen zu kennen, sind sicher unabdingbar, um überhaupt zu verstehen...

Von der Logik her gesehen, habe ich aber bei dieser Rechnung ein Problem.
So wie sich aus

[+sqrt(─2)]•[+sqrt(─3)]
─ sqrt(6) ergibt,

müßte sich logischerweise aus
[+sqrt(-1)•[+sqrt(-1)]
─ sqrt(1) ergeben

Da nun aber sqrt(-1) = i ist, ergäbe sich, dass
i*i = ─ sqrt(1) :confused:
und das passt dann nur, wenn man -1 als Lösung für sqrt(1) ausschließt.

Bitte prüfe, ob bei diesem Schritt

sqrt[(─1)•2]•sqrt[(─1)•3] = ?

[sqrt(─1)•sqrt(2)]•[sqrt(─1)•sqrt(3)] = ?

nicht etwas passiert, was lt. Wiki ungleich ist.

http://upload.wikimedia.org/math/8/0...5c1cd1bfce.png



mfg
quick

AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Upps! :o Jetzt seh' ich's auch! :D Danke!
Ja.

Aber wenn richy im Ursprung eines Koordinatensystems stehen würde könnte er mittels der Vorzeichen der Seitenlängen vier gleich große (identische?) Gärten von 9m², die zusammen ein Quadrat bilden, auseinanderhalten ...

Aber bei einer entsprechenden Multiplikation der Seitenlängen würde ihm immer eine Information verloren - Er erhält nur noch je zwei (identische?) "Gartenflächen-Pärchen" ...

Wenn man dann noch eine Dimension höher gehen würde verliert man wieder eine Information (oder?) ... Irgendwie finde ich das sonderbar. Mal nachdenken ...
(Sorry aber bei mir trifft oft zu: Je simpler die Beispiele umso größer die Grübeleien ;))

Plus und Minus ... in der Physik haben die doch eigentlich nur die Bedeutung von "entgegengesetzt" - Oder? (Wobei keines der beiden ausgezeichnet wäre?)
Entgegengesetzte Richtung, Wirkung, Ladung, ...

Mit Bezug auf richys Einschätzung: Bei der Frage nach einem Abstand ist die Richtung unerheblich ... Da wäre es tatsächlich unpassend, eine "Richtung" mitzugeben. Obwohl streng genommen ein Abstand physikalisch doch auch immer einen Richtungsbezug hat ... Hmm

Kann irgendetwas Physikalisches denn im wahrsten Sinne des Wortes "ins Negative" gehen? Auf Anhieb fällt mir da nichts ein ... :rolleyes:

P.S.:
Interessehalber (weiß aber gar nicht ob das hierher passt): Siehst Du einen Unterschied zwischen
0 und "nicht definiert"
0 und Nichts
Nichts und "nicht definiert"?
(Gerne "abstrakt" beschrieben - und Antwort auch gerne von anderen)

AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Hallo,

eigentlich befürchte ich, mit meinem Beitrag wieder die leidige Diskussion loszutreten, ob denn die Division durch Null erlaubt sei.

In der Algebra ist die Division durch Null definitiv nicht erlaubt, da x/0 nicht definiert ist. Wäre 1/0=y dann müsste y*0=1 sein. Es ist leicht einzusehen, dass das Unsinn ist.

In der Analysis, also der Infinitesimalrechnung sieht das wieder anders aus. Wenn ich eine Grenzwertbetrachtung durchführe, dann erhalte ich für

lim(x ---> 0)(1/x)=unendlich

Gruss, Marco Polo