Casimir-Effekt ohne Vakuumfluktuationen?
Hallo Leute!
Ich soll eine Facharbeit über den Casimir-Effekt schreiben und bin bei Recherchen auf eine Arbeit gestoßen, die mich irritiert hat. Darin steht, der Casimir-Effekt würde auch ohne die ganzen Vakuumfluktuationen existieren und wäre kein Beweis für irgendeine Vakuumenergie. Leider läuft mein Verständnis der ganzen Rechnungen gegen 0 und ich glaube ich habe nichts außer der Zusammenfassung der Arbeit verstanden. Nun weiß mein Lehrer aber schon von der Seite und meint, ich soll in meiner Facharbeit diskutieren, welche Theorie sinnvoller erscheint - was wohl nicht funktioniert wenn ich eine der beiden Theorien nicht verstehe. Auf keiner anderen Website oder in irgendeinem Buch ist ebenfalls die Rede von einem von Vakuumfluktuationen unabhängigem Casimir-Effekt. Zu meinem Leidwesen ist das ganze nun auch noch auf Englisch. Vielleicht könnte mir jemand zumindest die Grundlagen dieser Theorie erklären? Hier der Link: http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0503/0503158v1.pdf Gruß, Marie |
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Hintergrund: um das Papier verstehen zu können, muss man sich m.E. schon 4-5 Jahre mindestens auf Uni-Niveau sehr intensiv mit Hauptfach Physik/Theorie beschäftigt haben. Da du schreibst "mein Lehrer", klingt das als seist du auf der Penne ???? Wenn das so sein sollte, dann kann es aber nicht wahr sein, dass dein Lehrer meint, du könnest solche Publikationen beurteilen. Das könnten 99% der Physiklehrer an Gymnasien selber nicht. Gruß, Hawkwind |
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Danke, für die Antwort!
Ja, ich bin noch Schülerin und gehe in die 11. Klasse. Mein Seminarfach- "Lehrer" ist eigentlich kein Lehrer und arbeitet an der medizinischen Hochschule. Und er hat sich die Seite auch nicht so genau angeguckt, er meinte nur, ich könne ja dann prima bewerten, welche Theorie besser, einfacher und logischer wäre und war ganz stolz auf mich, dass ich was gefunden hab, von dem er noch nicht gehört hatte. Also besteht keine Möglichkeit, dass ich es verstehe? Was würdest du mir dann vorschlagen, jetzt zu tun?? Gruß, Marie |
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Ich will mal versuchen, in ein paar hoffentlich halbwegs verständlichen Worten zu beschreiben, worum es in dem Artikel geht. In der populärwissenschaftlichen Literatur liest man häufig, dass das Vakuum der Quantenphysik nicht wirklich leer sei. Es entstünden vielmehr ständig Elektron-Positron-Paare, die sich aber gleich wieder vernichten ("virtuelle Paare"). Dieses nennt man Vakuumfluktuationen oder auch Vakuumpolarisation. So erklärt man auch den Casimireffekt, siehe z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Casimir-Effekt und kann ihn auch entsprechend berechnen. Das genannte Papier verfolgt einen anderen Ansatz. Es nutzt den Formalismus der Quantenelektrodynamik (im Papier "QED" genannt) http://de.wikipedia.org/wiki/Quantenelektrodynamik - nämlich sog. Feynman-Diagramme http://de.wikipedia.org/wiki/Feynman-Diagramm um die Casimir-Kraft zu berechnen. In Abb. 1 in dem Papier sieht man die Feynmangraphen der "reinen" Vakuumfluktuation. Wenn du mit anderen Feynmandiagrammen (z.B. Wiki oder in dem Papier Abb. 3) vergleichst, so fällt auf, dass diese Diagramme "isoliert" sind; es fehlen Linien (=Teilchen), die aus dem Diagramm heraus- oder hereinführen - dieses Fehlen äußerer Linien zeigt an, dass diese Diagramme aus Abb. 1 allein das Vakuum beschreiben. In ihrer Rechnung weiter unten beschreibt der Autor Jaffe in Abb. 3 schematisch, was er tut: er berechnet die Beiträge zur Casimirkraft alleine aus Diagrammen mit äißeren Linien - die reinen Vakuum-Diagramme aus Abb. 1 werden ignoriert. Das soll das "-" Zeichen auf der linken Seite von Fig. 3 anzeigen (die Diagramme ohne äußere Linien nennt der Autor in der Beschreibung der Abb. "one-point function"). Die Schlussfolgerung ist, dass sich die Casimirkraft auch ohne spezielle Annahmen über das Vakuum zu machen, korrekt berechnen lässt. Ehrlich gesagt, mich überrascht das nicht, denn die reinen Vakuumdiagramme aus Abb. 1 sind m.E. unphysikalisch: Physik ist, was messbar ist und solche Diagramme brauchen, um messbar zu sein, äußere Linien (Teilchen oder Felder) die mit einer Messapparatur wechselwirken können. Vielleicht könnte man folgende Bewertung versuchen: der Ansatz aus dem Papier ist originell und folgt bewährten Standardverfahren der Quantenelektrodynamik. Diese Methode ist m.E. vermutlich exakter als die bis dahin vorgenommenen Summierungen über Nullpunktsenergien. Der Autor kritisiert die Standardmethode Zitat:
Ohne diese Kritik nun im einzelnen nachvollziehen zu wollen, unterstelle ich mal, dass der Autor Jaffe http://web.mit.edu/physics/people/fa...fe_robert.html - ein weltbekannter Theoretiker - mit Sicherheit weiss, worüber er spricht und seine Kritik berechtigt ist. Das alte Argument mit virtuellen Elektron-Positron-Paaren im Vakuum, die polarisiert werden, mag mehr der Anschauung dienen; es ist weniger exakt. Ich fürchte, das war keine wirkliche Hilfe ? Das Thema ist einfach zu schwierig. Gruß, Hawkwind |
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Wow, ich hab es sogar fast komplett verstanden. - Beste Vorraussetzungen für ein späteres Physikstudium :D
Vielen, vielen Dank, das war eine mega-Hilfe, vor allem die Infos zum Autor. Jetzt weiß ich sogar ungefähr, was ich in der Facharbeit schreibe. Habe nur noch ein paar Fragen: Was sind Feynman-Diagramme eigentlich? Ist das die gängige Form der Abbildung in der Physik? Sie erscheinen mir ein wenig seltsam... Zitat:
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Elektron + Positron -> Elektron + Positron ("Bhaba-Streuung") beitragen können (äußere Linien also 4 an der Zahl: eine einlaufendes Elektron, ein einlaufendes Positron, ein auslaufendes Elektron und ein auslaufendes Positron). http://www.solstice.de/grundl_d_tph/sm_ww/feyn_bhab.gif Zitat:
Würde ich auch nicht als "Gegentheorie" ansehen, sondern eher als eine Art Präzisierung der bestehenden Methoden. Die Diagramme, die Jaffe dann auswertet, enthalten die typischen Vakuumfluktuationen, aber eben nicht solche ohne äußere Linien, sondern als Elemente in Diagrammen mit äußeren Linien .. etwa so in der Art wie hier: http://upload.wikimedia.org/wikipedi...zation.svg.png Die äußeren Schlangenlinien stehen dabei für ein Photon; die inneren durchgezogenen Linien in der Schleife für ein virtuelles Elektron-Positron-Paar. Die Zeit fliesst von links nach rechts. Es kommt ein Photon, das ganz kurz in ein Elektron-Positron-Paar aufspaltet, das sich aber wieder umgehend in ein Photon annihiliert (also Photon -> Photon). Jaffes Aussage ist, dass so ein Diagramm ohne das äußere Photon (d.h. Vakuum -> Vakuum) keine Relevanz für den Casimireffekt hat. So verstehe ich ihn zumindest ... . Viel Erfolg für die Arbeit. |
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Soll das heißen, dass das Photon den Casimir-Effekt macht? Aber ist das nicht auch die Aussage der herkömmlichen Variante, dass wegen des begrenzten Wellenlängenspektrums (kann man das so sagen?!) ein Photonendruck von außen auf die Platten wirkt und sie zusammendrückt? Oder hab ich Wikipedia falsch verstanden? |
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Das von mir gepostete Diagramm wiederum ist sozusagen nur ein Ausschnitt aus den Diagrammen, die Jaffe rechnet. Letztlich enthalten seine Diagramem Elektronen als äußere Linien (die auf den Platten) und er berechnet die Kraft, die sie aufeinander ausüben. Das ist mehr symbolisch Abb. 2 in seinem Papier. |
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hervorhebung von mir. |
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Jetzt versteh ich gar nichts mehr...
Jaffe berechnet dann also die Wechselwirkung durch Photonen der äußeren Elektronen in den Metallplatten? Und aus den Photonen werden aber (irrelevanterweise?) Teilchen-Antiteilchen-Paare, die wieder zum Photon werden. Aber müssten sich dann die Platten nicht abstoßen? Ich komm mir echt vor wie ne kleine dumme Schülerin... |
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Ich würde mich an Wiki halten in deiner Arbeit, aber zum Schluss erwähnen, dass in einer neueren (Jaffes) Arbeit gezeigt wird, dass es nicht Vakuumpolarisationen des reinen Vakuums sind, die beitragen, sondern virtuelle e+ e- -Paare, die ein Photon entwickelt (im Prinzip mein Diagramm oben)
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...zation.svg.png Dieses Diagramm ist genau das, was in der QED als Vakuumpolarisation bezeichnet wird. |
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Wenn nichts mehr geht nehm ich einfach das als Grundlage :) |
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Warum sollten Elektron-Positron-Paare bewirken dass sich 2 Platten anziehen?
Das mit den Wellenlängen hat wenigstens Sinn ergeben... ist das jetzt so falsch, dass es als falsch auffällt wenn ich es in der Facharbeit so erklären würde? |
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so wie ich das unscharf sehe ("zu meinem Leidwesen"), meint der Autor wohl, dass der Casimir-Effekt nicht auf die Vakuumfluktationen zurück geht, sondern auf die van der-Waals-Kraft zwischen den Metallplatten. Davon ging EMI schon immer aus.;) Ok, korrigiert mich wenn ich da was falsch "übersetzt" haben sollte. Zum Casimir-Effekt kann ich Dir Marie gern was schreiben wenn Du es wünscht. Auch ein mechanisches Analogon zum besseren Verständnis dazu gibt es. Man sollte auch wissen, das die Erklärung mittels Strahlungsdruck nicht richtig sein kann, da bei 0° K die Casimir-Kraft nicht 0 wird! (Nullpunktenergie des el.mag.Feldes) Ich würde an deiner Stelle in der Arbeit den Casimir-Effekt so beschreiben wie Du ihn verstanden hast Marie. Dann gern noch den Hinweis, das Du vom Autor Jaffe gelesen hast, welcher die Casimir-Kraft als eine van der-Waals-Kraft auffasst und das EMI auch dieser Meinung ist. Gruß EMI |
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Also wenn ich mich schon damit beschäftige, würde ich es auch ganz gerne verstehen, keine halben Sachen!! Danke für eure Hilfe!! |
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deshalb sagte ich doch, das Du das schreiben solltest was Du auch verstanden hast. Ich ging halt davon aus, das du den Casimir-Effekt auf Basis der Erklärung mittels Vakuumfluktation (Strahlungsdruck) voll verstanden hast und dich halt nur darüber wunderst, dass es noch eine Erklärung ohne Vakuumfluktationen dazu gibt. 15 Seiten sollt ihr darüber schreiben?:confused: Was für Lehrer habt ihr denn, das Ganze passt doch auf einen Bierdeckel. Gruß EMI |
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Ich wohl noch 15 seiten vollkriegen... Hoff ich zumindest Also das mit den vakuumfluktuationen von wiki hatte ich ja soweit verstanden (war ja auch nicht allzu schwer) nur irgendwie scheint es ja nicht (ganz) richtig zu sein. Und das alleine reicht wahrscheinlich auch nicht für 15 seiten. Also noch was anspruchsvolleres und interessanteres dazu... Also wie war das mit der verbindung der van-der-waals-kräften und der casimir-kraft? |
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http://www.mitschriften.ethz.ch/main...&oid=104&eid=1 Seite 33: "Im Raum zwischen den Platten sind nur diskrete Feldmoden erlaubt" Man kann also auch mit Wellenlängen argumentieren: sorry für die Verwirrung ! Das Bild mit den virtuellen e+ e- -Paaren legt den Vergleich nahe zu der Situation, was passiert, wenn man ein polarisierbares Medium zwischen die Platten schiebt: das Vakuum verhält sich wie ein Dielektrikum. |
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Gut, dann ist mir das jetzt soweit klar..
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Und verhält sich dann das gesamte Vakuum um die Platten herum wie ein Dielektrikum? |
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http://quantumtheory.physik.unibas.c...anderwaals.pdf Man stellt sich vor, die virtuellen e+ e- Paare können sich ausrichten im Feld, polarisiert werden. |
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http://www.scienceblogs.de/hier-wohn...ndiagramme.php (Teil 1) http://www.scienceblogs.de/hier-wohn...arteilchen.php (Teil 2) |
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Gibts bestimmt in der bibliothek... |
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Hallo Marie!
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http://upload.wikimedia.org/wikipedi...olarni.svg.png Seine Moleküle richten sich aus. Plus zu Minus und Minus zu Plus. Und so kann man sich die Vakuumpolarisation bildlich (und vorsichtig) vorstellen. Vorsichtig, weill man jetzt meinen könnte, dass das Vakuum eben aus e- e+ Paaren besteht, ganz so wie die "gewöhnliche" Materie aus Atomen. So wäre das aber nicht korrekt. Und eben diese Vorstellung wird von Jeffe, wenn ich das richtig verstanden habe, kritisiert. Oder zumindestens, dass man diese nicht zu wörtlich nimmt. Gruss, Johann |
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Ähnlich ist es ja übrigens mit der elm. Kopplungskonstanten. Je weiter man sich von einer Ladung entfernt, desto schwächer wird sie ("running coupling constant"). Anschaulich kann man sich das dadurch erklären, dass die Vakuumpolarisation die Ladung zunehmend "abschirmt" je weiter man sich entfernt. Auch hier sind es "in Echt" die Vakuumpolarisationsbeiträge des Photons. http://de.wikipedia.org/wiki/Feinstrukturkonstante Zitat:
Das Bild mit dem polarisierbaren Vakuum ist also schon recht nützlich, um Sachverhalte, die auf theoretischem Wege extrem aufwändig erhalten werden, anschaulich gut zu erklären. |
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Das erscheint mir alles recht sinnvoll und einleuchtend.
Ich werde am Wochenende mal alle Infos zusammenfassen und anfangen zu schreiben. Dann seh ich ja ob ich wirklich alles verstanden habe... Danke an alle, die geholfen haben!! |
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http://en.wikipedia.org/wiki/Casimir_effect Allerdings geht es um die Atome der Platten. Auch in Verbindung mit intermolekularen anziehend wirkenden Kraeften (van der Waals) wird der Casimir-Effekt diskutiert. Leider habe ich das im Moment nicht gegenwaertig (bin unterwegs und kann nicht stoebern). Diese Thematik duerfte im Rahmen Deiner Facharbeit auch zu abseits liegen. |
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Hab noch eine winzige Frage dazu...
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Wie erklärt sich das? Mein Erklärungsversuch wäre jetzt, dass man bei jeder Messungen immer die Vakuumpolarisation mitmisst und sie nie ausschalten kann. Die Messgeräte würden dann nur Energieunterschiede messen. Stimmt das so? Nachtrag: Die Diagramme, mit denen Jaffe rechnet, haben ja äußere Teilchen. Kommen die Photonen, mit denen er rechnet, aus den Van-der-Waals-Kräften in den Platten (also den Kraftüberträgerteilchen der Van-der-Waals-Kräfte), so wie EMI es sagt (oder wie ich EMI verstanden habe) ? Jaffe erwähnt die Van-der-Waals-Kräfte nämlich (namentlich) gar nicht in der Publikation. |
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Über Van der Waals - Kräfte schreibt Wiki http://de.wikipedia.org/wiki/Van-der-Waals-Kr%C3%A4fte Zitat:
Laut Wiki haben VdW-Kräfte unterschiedliche "Bestandteile" Zitat:
Aber man liest ja manchmal, dass die Casimirkraft etwas mit VdW zu tun haben soll. Ich bin da leider überfragt. Gruß, Hawkwind |
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http://www.quanten.de/forum/showthre...2954#post42954 Die Rede ist von einer "erstaunlichen Analogie". Also nicht dasselbe, aber wohl trotzdem erwähnenswert in der Facharbeit ... Gruß, Marie |
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Hallo Marie!
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http://de.wikipedia.org/wiki/Van-der...er-Waals-Kraft Hier ist es im Grunde auch einbisschen aus QM Sicht sehr verständlich erklärt, finde ich. Zitat:
Jaffe schreibt: Zitat:
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@Hawkwind Im Diagramm 2 auf Sete 5, sind das die virtuellen raumartige Photone? Und im Diagramm 3 auf Sete 6, ist da schematisch die Überlagerung aller möglichen Wechselwirkungen dargestellt? Gruss, Johann |
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Gruß EMI Nach PS: Sorry, sehe gerade JoAx war schneller. Was verstehst Du denn (mit eigenen Worten) unter der "van der Waals-Kraft" Marie? Die Casimir-Kraft ist die "Summation" der van der Waals-Kräfte. IMHO Mehrkörperproblem ist das Stichwort.;) |
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Es sind jedenfalls virtuelle Photonen; nach den Feynmanregeln integriert man diese Beiträge über alle Impulse, die sie unter Berücksichtigung der Impulserhaltung in den Diagrammen transportieren können. I.a. wird es Beiträge zeitartiger, raumartiger und lichtartiger virtueller Photonen geben. Ich kann nicht sehen, warum es hier nur raumartige geben sollte. Zitat:
In höheren Ordnungen bekommt der ja Beiträge von Loops, Vakuumpolarisationen genannt; diese sind wesentlich für den Casimireffekt. Ich kann aber nicht so viel zu seinem Papier sagen -überschreitet meinen recht engen Horizont. :) Gruß, Hwkwind |
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Hallo Hawkwind!
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Meine naive Interpretation des Diagramms wäre, dass die eingehenden und die ausgehenden Linien zwei unpolarisierte Atome darstellen, die (zugestrichene) Ovale/Elipsen, wie auch immer - die Zeit, wenn diese polarisiert sind, und die Photone zwischen den "Ovalen" die elektrostatische Wechselwirkung zwischen diesen. In dem Fall nicht "mehr" vlt.? Wegen der Elektrostatik (und weil diese Photone horizontal verlaufen) bin ich dann zu "raumartig" gekommen. (?) Zitat:
Auch wenn ich die "Sachen" auf "meine" Weise zu beschreiben versuche, ist mir sehr wichtig, ob du dem zustimmen kannst. Und es freut mich auch immer unheimlich, wenn das hin und wieder der Fall ist. :) Gruss, Johann |
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Zitat:
Er hat mit diversen Co-Autoren aber auch eine ganze Reihe von Papieren über den Casimir-Effekt veröffentlicht, in denen sein Ansatz so langsam ausreifte. Wir haben also ein gutes Recht, nicht alles zu verstehen. :) http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0309/0309130v1.pdf http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0207/0207120v2.pdf http://arxiv.org/PS_cache/cond-mat/p.../0601055v1.pdf http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/...710.5104v1.pdf http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0503/0503158v1.pdf http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0207/0207205v3.pdf http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0201/0201148v1.pdf http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/...908.2649v1.pdf ... und noch viel mehr. Die beiden Letztgenannten scheinen am ausführlichsten zu sein und beschreiben genauer, wie Feynmandiagramme eingesetzt werden. |
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Also ich versteh darunter (und glaube nicht, dass das besonders richtig ist), dass sich Moleküle (/Atome/keine Ahnung) durch die Elektronen (die sich überall in der Atomhülle aufhalten können - Welle-Teilchen-Dualismus und so weiter) die Moleküle kurzzeitig zu Dipolen werden und sich so anziehen. Den Wikipediaeintrag (von JoAx gepostet) zur VdW-Kraft mit dem Absatz zur QM mit den ganzen Rechnungen versteh ich nicht. Hab halt nur Schulerfahrung (und wir sind in Physik nichtmal bei Quantenobjekten angekommen) Gibt es das auch in einfachen Worten? Zitat:
Aber ich seh keine Verbindung zur Casimir- oder vdW-Kraft. Also Stichwort alleine reicht wohl nicht. ;) |
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Interessant noch: Rechnungen von Stephen Fulling et al. 2007 haben ergeben, dass die Casimir Energie das Aequivalenzprinzip erfuellt. Eine erstaunliche Bruecke zur ART. Claus Kiefer ist Ordinarius fuer Theoretische Physik der Uni Koeln. Gruss, Timm |
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Hallo marie,
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Kurz: In Molekül A) entsteht ein zufälliges Dipolmoment. A induziert nun bei B ebenfalls ein Dipol. Ist z.B. A zufällig(!) Richtung B negativ geladen (A- B) – wird bei B eine positive Ladung in Richtung A induziert (A-+B). Die Positive Ladung bei B ist keine reine Wahrscheinlichkeitsverteilung der e- mehr – die Wahrscheinlichkeitsverteilung der e- bei B ist durch A beeinflusst. Zitat:
Gruß EVB Wenn mein bescheidener Beitrag zu den VWW aus der Erinnerung richtig ist – dann sollte (hier) der Casimir-Effekt Materialabhängig sein??? Soviel ich noch weis, ist die Fähigkeit zur VWW auch von der Anzahl der e- abhängig? |
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Hallo Timm!
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Anhang 242 Zitat:
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Gruss, Johann * @Marie: Ich weiss, dass dir das alles wahrscheinlich sehr schwammig vorkommt, was du von der Physik wohl nicht gewohnt bist. Warum das so ist? Schwierige Frage. Ich werde versuchen das im nächsten Beitrag etwas zu beleuchten. Kann aber dauern. Ansonsten hast du alles im Moment nötige gut erfasst, was die van der Waals Kraft betrifft. |
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Stichwort materialabhängig: Metallatome sind doch in Gitterform angeordnet. Kann es in Metallgittern dann überhaupt Van-der-Waals-Kräfte geben? Meine Chemie(LK)-Mitschüler sagen das geht nicht..... ?? |
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Hallo Johann,
ich kann mich in die Thematik momentan leider nicht einarbeiten, bin unterwegs. Zitat:
Im Moment zweifle ich nicht an dem, was Claus Kiefer schreibt. Gruss, Timm |
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Hallo zusammen!
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(Wie war das noch mit einem Schnitt in der QM? Ist mir entfallen.) Was muss man annehmen, um bei Casimir Kraft die Quantenfluktuationen im Vacuum angesiedelt zu sehen? Man muss die Apparatur als etwas klassischmechanisches ansehen. Das tut Claus Kiefer offenbar. Und nach einer bestimmten, aber nicht unumstrittenen Vorschrift (Sichwort - Zeh, Dekohärenz) ist das auch legitim. Wie kann man beweisen, dass die Quantenfluktuationen im Vacuum angesiedelt sind? Die Apparatur muss auch tatsächlich klassisch sein. Aber ist sie das? Besteht diese nicht etwa aus Atomen, die einzeln betrachtet definitiv nichtklassisch sind? Ist das jetzt ein Beweis dafür, dass die Quantenfluktuationen nicht im Vacuum angesiedelt sind? Nein! Denn ein schlaues Köpfchen könnte jetzt sagen, dass sich Atome deswegen nichtklassisch verhalten, weil es die Vacuumfluktuationen gibt. Und jetzt? Jetzt kann das Spielchen von Vorne beginnen. Schön! :D Das Anliegen von Jaffe war, aufzuzeigen, dass Casimir Kraft, entgegen vieler Behauptungen, keineswegs direkt auf die Vacuumfluktuationen zeigt. Dass man auch aufgrund anderer Überlegungen, die keine Vacuumfluktuationen als Ausgang beinhalten, zu gleichen theoretischen Vorhersagen kommen kann. "Nur" darum geht's, denke ich. Um die Frage definitiv beantworten zu können, müsste man imho quantenmechanische Vorgänge klassisch beobachten können. Und das geht nicht. Gruss, Johann |
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Hallo Marie!
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Ich habe den Eindruck, recht viel mehr laesst sich dazu nicht sagen. Gruss, Timm |
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Kann ich die Anziehung der Platten durch die Polarisation der Teilchen-Antiteilchen-Paare zwischen ihnen mit der Anziehung von Magneten vergleichen?
Soll ja "allgemeinverständlich" sein... |
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