Math - Zahlenspielerei
 

Was passiert eigentlich wenn man statt der Fib Folge :
y[k+2]=y[k+1]+y[k]
das Produkt verwendet
y[k+2]=y[k+1]*y[k]

Ueber den ln erhaelt man eine Art Fib Folge :
ln(y[k+2])=ln(y[k+1]*y[k])
ln(y[k+2])=ln(y[k+1])+ln(y[k])
ln(y[k+2])/ln(y[k+1])=1+ln(y[k])/ln(y[k+1])

Substituiert man s=[k+1]=ln(y[k+2])/ln(y[k+1])
s[k+1]=1+1/s[k]
Diese Iteration konvergiert bekanntlich gegen den goldenen Schnitt
D.h. ln(y[k+2])/ln(y[k+1])=goldener Schnitt fuer n->00

Die Erklaerung ist relativ einfach. Das Produkt besteht aus Potenzen deren Exponent die Fib Reihe darstellen. Durch das Logarithmieren entsteht der Fib Quotient und die Basis kuerzt sich zu eins
x[1]=a, x[2]=b

ln(x[k+1])/ln(x[k])=ln(b^(fib(k+1)*a^(fib(k))/ ln(b^(fib(k)*a^(fib(k-1))=
[ln(b^(fib(k+1))+ln(a^(fib(k)]/[ ln(b^(fib(k))+ln(a^(fib(k-1)))]=
[fib(k+1)*ln(b)+fib(k)*ln(a)]/[fib(k)*ln(b)+fib(k-1)*ln(a)]=
(limit k->oo)
fib(k+1)*[ln(b)+fib(k)/fib(k+1)*ln(a)]/[fib(k)*[ln(b)+fib(k-1)/fib(k)*ln(a)]]=
g*[ln(b)+ln(a)/g][ln(b)+ln(a)/g]
=g=0.5*(1+Wurzel(5))
****************
Kann man die Eigenschaft fuer Primzahlen anwenden ?
Ich vermute der Quotient zweier Primzahlen ist meist eine schlechte Naeherung des goldenen Schnittes.
3,2 sind natuerlich Ausnahmen.
D.h. Zwei aufeinanderfolgende Fib Zahlen sind selten zwei Primzahlen.
EDIT
Danach habe ich gerade gegoogelt. Naja auch ich habe auch mal eine gute Nase :-)
http://www.thorstenreinecke.de/infor...00000000000000
Zwei aufeinanderfolgende Fib(n) Zahlen, n>4 sind niemals zwei Primzahlen
Denn n und n+1 sind niemals zwei ungerade Zahlen.

ANM:
Eiigentlich betraf meine Vermutung den ln[] der Primzahlen
und
Kann man den Operator f{} einer DZGL x[k+1]=f{x[k],x[k-1]} in eine Summe zerlegen, so dass gilt f(x[k+1])=f(x[k])+f(x[k-1]) oder ein Produkt f(x[k])*f(x[k-1]) so laesst sich der Grenzwert des Quotienten zweier Glieder der Folge bestimmen.

AW: Zahlenspielerei
 

Hallo Richy,

ich denke man darf zerlegen, so lange die Summe endlich bleibt.

M.f.G. Eugen Bauhof

AW: Zahlenspielerei
 

Hi Bauhof
Ich wollte damit nur festhalten, dass diese Reduzierung der DZGL 2 ter Ordung speziellen Form auf die DZGL 1 ter Ordnung :
s[k+1]=1+c/s[k]
die dann den Grenzwert einer Funktion zweier folgender Glieder der DZGL 2 ter Ordung angibt eventuell auch mit anderen Operatoren statt dem ln() moeglich ist.

Hier war das einfach :
y[k+2]=y[k+1]*y[k]
ln(y[k+2])=ln(y[k+1]*y[k])
Der Logarithmus fuehrt auf die gewuenschte Summe :
ln(y[k+2])=ln(y[k+1])+ln(y[k])
Und ich kann sofort angeben, dass ln(y[k+2])/ln(y[k+1])
gegen den goldenen Schnitt konvergiert.
Ist auch so wenn man das ausprobiert.

Faell dir noch ein anderer Operator auf eine Funktion ein der diese von mir bischen schwammig formuliert Eigenschaft hat ?

Im Moment interessiert mich aber auch was anderes zu der Fib DZGL.
Ist fib(n) eine Primzahl ist n eine Primzahl
fib(13)=233 (prim)
Aber fib(233)=22112364063039145456994129697448739933879 56988653
nicht prim
denn der Satz gilt leider nicht umgekehrt.
fib(2211236406303914545699412969744873993387956988 653) waere eine gigantische Zahl.

Im Prinzip ist das doch aehnlich wie bei den Mersenne Primzahlen.
Wenn 2^p-1 eine Primzahl ist ist auch p eine Primzahl.
Und ich kann eine Fibonacci DZGL fuer 2^n formulieren:
y[0]=1,y[1]=2
y[k+2]=y[k+1]+2*y[k]
hat die Loesung
y[k]=2^k
Da muss doch ein Zusammenhang bestehen. Blos das minus 1 fehlt mir
Hast du eine Idee ?

Zwischen Fib DZGL und Primzahlen gibt es einen Zusammenhang und sicherlich auch zu Quadratzahlen.
Es lassen sich auch ander Loesungen y[k]=n^k konstruieren
Das sieht man ueber
s[k+1]=1+a/s[k]
Der Attraktor ist
s[k+1]-s[k]=
1+a/s[k]-s[k]=0
s1=1/2+1/2*(1+4*a)^(1/2)
s2=1/2-1/2*(1+4*a)^(1/2)

EDIT HAT SICH ERLEDIGT
Der Attraktor kann nur ganzzahlig sein wenn git (1+4*a) ist eine Quadratzahl also (1+4*a)=m^2
a=(m^2-1)/4
Hier (b3) hab ich mal (recht schnelll und unkonventionell) bewiesen dass m^2+4 keine Quadratzahl sein kann :
http://home.arcor.de/richardon/richy...lytic/frac.htm
Das hillt mir gerade aber nicht weiter

Dann muss man noch bischen die Anfangswerte anpassen und erhaelt z.B :

f(0):=1;f(1):=3;
f(n) = f(n-1)+6*f(n-2)
f(n)=3^n

f(0):=1;f(1):=5;
f(n) = f(n-1)+20*f(n-2);
f(n)=5^n

allgemein :
f(0):=1;f(1):=m;
f(n) = f(n-1)+((2*m-1)^2-1)/4*f(n-2)
f(n)=m^n

so ganz blicke ich das noch nicht ..
((2*m-1)^2-1)/4 scheint immer ganzzahlig. Warum das denn ? Sogar geradzahlig. kratz kratz.
ciao

AW: Zahlenspielerei
 

Hallo richy,
löse einmal die enthaltene binomische Formel auf (s.o.) - Dann kommt raus:
((2*m-1)^2-1)/4 = m² - m

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Danke :-)
Habs eben auch grad bemerkt :-)
Und daher ist (1+4*a) immer eine Quadratzahl wenn gilt a=m^2-m denn
1+4*a=4*m^2-m+1=(2*m-1)^2
Das sind die Quadrate ungerader Zahlen.
(Gibt es eine Ausgangsgleichung fuer gerade Zahlen ?)

EDIT HAT SICH ERLEDIGT
Aehem.... vielleicht kannst du mir jetzt auch erklaeren wie wir da drauf gekommen sind ?
Fuer welche ganzahligen a ist 1+4*a immer eine Quadratzahl ?
Ohne das Aussenrum wuerde ich nicht gleich auf a=m^2-m kommen

Schreibt sich nun auch schoener :
allgemein :
f(0):=1;f(1):=m;
f(k) = f(k-1)+(m^2-m)*f(k-2)
f(k)=m^k

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Gerne: Du hattest eine Frage gestellt und ich habe Dir geantwortet.

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Ich meinte eher wie sich die ganze Loesung jetzt ergab. Ich hab naemlich den roten Faden verloren.

Anders gefragt. Wie wuerdest du folgende Aufgabe loesen :
Gegeben ist die Gleichung
1+a/s-s=0

Fuer welche ganzzahligen Werte von a ergeben sich ganzzahlige positive Werte der Loesung s ?
Ui ich Seggel, jetzt sehe ich es selber.
Das mit den Quadratzahlen kriegt man dann als kostenlose Zugabe.
Will ich dennoch nochmal mit ner anderen Methode probieren.

Die DZGL funktioniert im Grunde voellig billig.
f(0):=1;f(1):=m;
f(k) = f(k-1)+(m^2-m)*f(k-2)
f(k)=m^k

Man kennt den aktuellen und vorherigen Wert.
Mit dem vorherigen Wert fuehrt man zwei Operationen durch (m^2-m):
ueber den Term -m loescht man den aktuellen Wert
ueber den Term m^2 erzeugt man den neuen aktuellen Wert
Thats all
Nur wie komme ich jetzt auf f(n)=(2^k)-1 (Mersenne Primzahlen) statt f(n)=(2^k)

AW: Zahlenspielerei
 

Ich versuchs mal :
Im aktuellen Wert steht 2^k-1
im vorherigen Wert steht 2^(k-1)-1
Aus dem moechte ich alle Operationen durchfuehren :

aktuellen Wert loeschen :
-2* (2^(k-1)-1)= -2^(k)+2. Da hab ich eine eins zu viel
neuen Wert hinzufuegen :
2*2*(2^(k-1)-1)=2^(k+1)-4. Da hab ich 3 zu wenig

eins minus drei hmmmm MOMENT ich starte mal MAPLE :D
1-3=-2, ja genau das dachte ich mir
Ich muss also 2 wieder dazuzaehlen

Die Anfangswerte noch anpassen :
f(0):=0;f(1):=1;

f(k+1) = f(k)+(4-2)*f(k-1)+2
******************
f(n)=2^k-1
*********
Traerae die Mersenne Primzahlen ueber die Fib DZGL dargestellt !

Die Saetze
Ist Fib(n) eine Primzahl, so ist n eine Primzahl sowie
Ist 2^n-1 eine Primzahl, so ist n eine Primzahl
basieren somit sicherlich auf dem selben oder aehnlichen Prinzip.
Und man koennte fuer beide Saetze die Beweismethoden vertauschen.

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Hallo Richy,

was steht für den Buchstaben "g" in der Gleichung

g=0.5*(1+Wurzel(5)) ?

M.f.G. Eugen Bauhof

P.S.
Deine Herleitungen erinnern mich an meine Verzweiflung, wenn ich in Mathematik-Bücher reinsehe, die zu hoch für mich sind und der Autor kündigt eine Herleitung an mit den Worten:

Wie man leicht sieht...

Ich habe zwar auch Interesse an mathematischen Spielereien, aber meine Mathematik-Ausbildung an der Ingenieurschule liegt rund 45 Jahre zurück. Also Nachsicht...

AW: Zahlenspielerei
 

Hi Bauhof

Das ist phi, ich schreibe vereinfacht meist g. Das ist die boese Zahl der Esoteriker Bildhauer Maler Musiker Dichter .... :D
Und natuerlich meine Lieblingszahl : Der goldene Schnitt phi=1.618033989..
(Bilde davon mal den Kehrwert und betrachte die Nachkommastellen :-) Daraus habe ich ein Schnellkriterium fuer die Identifikation irrationaler Zahlen hergeleitet. (Nur hinreichend nicht notwendig)

phi ist Loesung der quadratischen Gleichung Gleichung 1+1/s-s=0
Ich merke mir die GL in der Form, weil das der Attraktor folgender DZGL ist :

Wenn du diese Iteration als verkettete Funktion anschreibst, Also fuer f[k] immer wieder die rechte Seite einsetzt, was ja so eine Iteration aussagt ...dann ist Phi der spezielle Kettenbruch [1,1,1,1,1,1...]

http://upload.wikimedia.org/math/5/e...660b6a9449.png

http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch
und darueber laesst sich zeigen, dass phi die als Bruch am schwersten approximierbare und daher "irrationalste" aller Zahlen ist.
Das hat ganz konkrete physikalische Auswirkungen. So findet sich phi nicht nur in platonischen Koerpern sondern auch in Verhaeltnissen im Sonnensystem. phi ist ein Antiresonator und nur daher kann unser Sonnensystem ueberhaupt stabil sein.
Phi kommt neben Pi auch als einzigste mathematische Konstante in der Heim Theorie vor.

Eine der wichtigsten Eigenschaften duerfte sein :

Satz1
Substitution
Das siehst du am elegantesten wenn du fuer s(k)=y(k+1)/y(k) substituerst. Darauf beruhen meine ganzen Ueberlegungen hier.
Der erste Thread erscheitkompliziert benutzt aber nur Satz 1 und die Substitution.

(1+1/s = (s+1)/s =1/s/(s+1) ist der Kehrwert der alternierenden Reihe s-s^2+s^3-s^4+s^5 ... Man koennte phi auch so noch verkettet darstellen.)

Man koente natuerlich hunderte Buecher ueber das Thema schreiben.
oder zeichnen :rolleyes:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...uc_Viatour.jpg

[
Bin auch "nur" Ingenieur.
Na immerhin hattest du den entscheidenden Tipp mit der Summe(1/primzahl). Hatte ich nicht mehr im Kopf. Und ohne den Tipp wuesste Timm immer noch nicht ob sein Produkt divergiert.

Was ich jetzt noch Vorhabe :
Ist Fib(n) eine Primzahl, so ist n eine Primzahl sowie
Ist 2^n-1 eine Primzahl, so ist n eine Primzahl
Beide Beweise versuchen Nachzuvollziehen.
Hast du den mit den Mersenne Pimzahlen in etwa parat ? Oder ne verstaendliche Quelle.

Dann wuerde ich gerne noch paar frac() Gesetze herleiten.
frac() = Nachkommastellen einer Zahl.
Vielleicht ergibt sich auch etwas voellig anderes.

ciao

AW: Zahlenspielerei
 

He he. Bei mir grad das Gegenteil. Gedaechtnis wie ein Sieb. Oder merke mir immer das Unwichtige.

Geschichte das Horrorfach.
Wann und wo wurde Otto der 12 te zum Koenig gekroent ? Meine Antworten in der Pruefung :
zu wo :
Im Hauptsaal eines Domes auf einem Thron.
zu wann :
Im Rahmen einer feierlichen kirchlichen Veranstaltung.

Gab sogar nen halben Punkt !
Ich meine die Antworten waren ja richtig. Die Frragen waren gluecklicherweise nicht exakt..
In der Grundschule hatten meine Erinnerungsluecken noch Vorteile. Wenn der Pfarrer im Reliunterricht fragte ob man denn am So in der Kirche war. Da konnte mich meist an letzten So nicht mehr so richtig erinnern. War ich denn dort ?
Mensch was war denn da ? Ja es gab eine Predigt ! Ach so von was die handelte ? Ich glaube es ging um Schafe.
Irgendwann hat er mich dann der Pfarrer vor der Befragung verschont.

AW: Zahlenspielerei
 

Na kein Wunder wie sollte ich dann wissen wann so ein Phantom zum Koenig gekuert wird !:D
Ausserdem sah die Geschichtslehrerin wirklich top aus. Wenigstens etwas Positives an dem Unterricht, das mich fachlich aber nicht weitergebracht hat. Im Gegenteil die Zahlendreher nahmen durch diese Ablenkung eher zu.
Und diese Typen in ihren Gewaendern mit ihren Peruecken und Staeben im Geschichtsbuch ...Mit solchen Schwuchteln gibt sich ein 17 jaehriger doch nicht ab. ( Lange her )
Die hier ist breiter als hoch :
http://home.arcor.de/richardon/2009/carlota.jpg
Ist das ne Dia Leinwand ? *fg
Dazu staendig Tafeln mit hunderten von Pfeilen. Andauernd sind Voelker durch die Gegen gewandert. Von Ost nach West. Sued nach Ost. Wieder zureuck.
http://home.arcor.de/richardon/2009/vw.jpg

Die Asterix Baende waren da sehr viel lehrreicher.
Mich haette interessiert wie die Leute damals gelebt haben. Nicht deren Politik und Kriege.

AW: Zahlenspielerei
 

Hallo Richy,

ja da habe ich Quellen. Ich suche sie dir morgen heraus. Denn für Nachtarbeit bin ich schon ein bischen zu alt. Sonst ergeht es mir so wie EMI mit seinem "Herzkasper"...

M.f.G. Eugen Bauhof

AW: Zahlenspielerei
 

Ok dann lass ich das auch mal bis morgen ruhen.
Koennte durchaus interessant werden.
ciao

AW: Zahlenspielerei
 

Naja, eigentlich wollte ich mich mit der Primzahlgeschichte nicht mehr infizieren.
Fuer einen Schnelleinstieg eignet sich uebrigends das Video hier von Prof. Terence Tao
http://www.youtube.com/watch?v=PtsrAw1LR3E
Allerdings sollte man dazu schnelles englisch verstehen (Kopfhoerer)
zu Tao
http://de.wikipedia.org/wiki/Terence_Tao
Die groesste bekannte Primzahl :
http://www.stern.de/wissen/natur/neu...-1-552436.html
Oha 100.000 Dollar Preisgeld stehen noch offen :-)

fib(233)=
2211236406303914545699412969744873993387956988653 ist keine Primzahl.
Wieviele Stellen haette fib(2211236406303914545699412969744873993387956988 653) in etwa ?
http://upload.wikimedia.org/math/0/1...86f60af170.png
Das ist etwa 1.618^n/2.24
Eine Fibonaccizahl Fib(n) hat etwa
log10(1.618^n/2.24) (Die 2.24 kann man sich sparen ...)
n*log10(1.618) =n*0.21 Ziffern

13*0.21 = 2.73 [233]
fib(13)*0.21=233*0.21 =48.93 [2211236406303914545699412969744873993387956988653]
fib(fib(13)) hat 49 Ziffern falls ich mich nicht verzaehlt habe. Die Naeherung der Anzahl Ziffern passt also.
fib(fib(233))*0.21=hat etwa 0.5*10^48 Ziffern !
Etwa Wurzel(Anzahl) der Atome im Universum.

Diese Zahl fib(fib(fib(13))) nuetzt uns leider nichts. Sie hat etwa "fast" so viele Ziffern ! wie Atome im Universum. Ich habe keinerlei Vorstellung ueber diese Zahl. Aber eines kann man sicher sagen :

fib(2211236406303914545699412969744873993387956988 653) ist keine Primzahl ! :)

Weil fib(fib(13))=2211236406303914545699412969744873993 387956988653 keine Primzahl ist. (Ueber Maple bestimmt)
Aber zwischen 2 und exp(1) gibt es vielleicht noch andere Moeglichkeiten :-)
Daher diese Fib DZGL

AW: Zahlenspielerei
 

# O.K. #

AW: Zahlenspielerei
 

Ja, aber mein Interesse betreffs Primzahlen liegt ganz wo anders. Nicht in der Spielerei. Wenn diese auch zweifellos sehr lehrsam und unterhaltend ist. :)

Gruß,
Lambert

AW: Zahlenspielerei
 

Wenn die Primzahlen tatsaechlich die Atome der Zahlen sind, dann gibt es keine ihnen untergeordnete Menge. Dann waere es unmoeglich diese ueber die natuerlichen Zahlen und eine Rechenvorschrift vollstaendig zu beschreiben. Das wuerde ganz deutlich zeigen, dass die Zahlen kein Produkt des menschlichen Geistes sind. Woher kommen die Primzahlen ?
Ich finde das ein spannendes Thema.
Aber es gibt auch rein praktische Aspekte.
Die moderne Verschluesselung basiert auf den Primzahlen. Und das ist natuerlich eine sehr handfeste Anwendung. Ich gehe aber dennoch lieber selbst auf die Bank :-)

AW: Zahlenspielerei
 

Hab grad gesehen, dass der Grundgedanke fuer die Mersenne Primzahlen recht einfach ist.
M=2^n-1
Wenn n zusammengesetzt ist n=m*k
M=2^m*k-1
so laesst sich die allgemeine dritte Binomische Formel anwenden :

http://upload.wikimedia.org/math/e/2...bf3c113769.png

M=(2^m)^k-1^k=(2^m-1)*(2^(k-1)+2^(k-2)....+1)
Damit ist auch M zusammengesetzt.

Beispiel :
2^4-1=15
4^2-1^2=(4-1)*(4+1)=3*5

AW: Zahlenspielerei
 

Hallo Richy,

die Mersenne Primzahlen sind lückenhaft, welchen Beweis meinst Du? Vermutet wird, daß es unendlich viele Mersenne Primzahlen gibt. Dieser Beweis steht aber aus.

Gut nachvollziebar ist Deine fettgedruckte Aussage, so ist die Mersenne Zahl ja definiert,

Gruß, Timm

AW: Zahlenspielerei
 

Hi Timm
Ist M(p) eine Primzahl, so ist p prim. Aber die Umkehrung folgt daraus nicht zwingend.
Alle Beweise, Zusammenhaenge die man ueber Mersenne und Fibonacci finden kann.
Alleine schon das Argument ueber zusammengesetzte Zahlen, dritte binomische Formel s.o. Das zieht bei den Fib Zahlen nicht direkt, da der goldene Schnitt keine ganze Zahl ist.
Formel von Binet :Fib(n)=(PHI^n-phi^n)/sqrt(5)
(Sehe gerade, Fib muesste langsamer wachsen als Mersenne !)
Ansonsten sieht man auch hier die Verwandtschaft :
mit phi=1-PHI, phi ist also negativ.
1) PHI^n-phi^n
2) 2^n-1^n
Wende ich dir dritte binomische Formel auf 1) an, so kann ich kein Beweis fuehren wie bei Mersenne. Es ergibt sich eine Summe von Potenzen des goldenen Schnittes mal einer Fib Zahl. Da ich auf anderem Weg zeigen kann, dass die Zahl zusammengesetzt sein muss, muss die Summe ganzzahlig sein.
sum((P**k)^(M-n)*(p**k)^n,n=0..M-1)
So habe ich einen neuen Zusammenhang fuer PHI gefunden, angeregt durch Mersenne.
Zum Beispiel kann ich nun die Fib zahlen selbst als eine Summe von PHI Potenzen darstellen :
Fib(M)=sum(P^(M-n)*p^n,n=0..M-1)

Das Gegenstueck zu Mersenne fuer Fib laeuft ueber eine Argumentation mit dem mod Operator.
BTW: Ein Gesetz fuer Fib(a*b) habe ich bisher ueber Googel nicht gefunden. Lediglich fuer Fib(a+b)
GL ADD:
http://upload.wikimedia.org/math/b/f...e1980adc96.png

Ich hab ich Forum auch mal vergeblich versucht eine Fib Reihentransformation herzuleiten. Dazu haette ich auch eine neue Idee. Man muesste Fib mod n betrachten !

http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/formeln/img263.png

Die Gleichunge gelten fuer Fib mod n und Perioden von n
Und ich meine diese Spektrum Betrachtung gibt es schon. Meine Idee damals war kein Quatsch.

Ich betrachte gerne solche Verwandtschaften.
ZWEI und PHI sind ueber die Primzahlen verwandt. Ebenfalls 1-PHI=-1/PHI und die Zahl EINS.
Gruesse

AW: Zahlenspielerei
 

Mit Gleichung ADD kann ich auch mal fib(fib(k)) versuchen zu erfassen :

y[k]=y[k-1]+y[k-2]

Auf beiden Seiten den Fib Operator :
FIB(y[k])=FIB(y[k-1]+y[k-2])
FIB(y[k])=FIB(y[k-1]+1)*FIB(y[k-2]) + FIB(y[k-1])*FIB(y[k-2]-1)
... das fuehrt gerade aber zu weit.
Ich will erstmal den mod Beweis nachvollziehen.
Allerdings nach den Gigs am Wochenende

AW: Zahlenspielerei
 

Hallo Richy,

wie ich aus deinen zahlreichen Folgebeiträge sehen kannn, ist dein Wissen über die Mersenne-Primzahlen viel größer als mein Wissen. Damit ich nicht etwas für dich an Quellen hersuche, was du schon längst kennst, schildere mir doch ein (und nur ein! :) ) Problem übert die Mersenne-Pimzahlen, das du noch nicht gelöst hast. Vielleicht kann ich dir anhand meiner Quellen weiterhelfen.

Wie definierts du genau die Menge der Mersenne-Primzahlen?

Folgende Defintion erscheint mir verständlich: Nur dann, wenn in Gleichung (1) die natürliche Zahl n eine Primzahl ist, dann ist die natürliche Zahl n eine Mersenne-Primzahl:

(1) n = 2^p - 1

n = Mögliche Mersenne-Primzahl
p = Primzahl 2, 3, 5, 7, 11,...

Stimmen wir da in der Definition überein? Oder definierst du sie anders?

M.f.G. Eugen Bauhof

AW: Zahlenspielerei
 

H Bauhof
So viel weiss ich ueber die Mersenne Primzahlen nicht.
Ich konnte mit dieser Summe die auch bei Wiki als Begruendung angegeben wird bisher nichts anfangen. Da habe ich gestern nochmals intensiver nachgeschaut. Das folgt aus der allgemeinen dritten binomischen Formel. (Ueber zwei verschobene Summen)
Der Beweis bei den Fib Zahlen verlauft wie erwaehnst anders :
http://www.thorstenreinecke.de/infor...00000000000000
Ein induktiver Beweis ueber den mod Operator. Raffiniert.
BTW: Er erwaehnt dass er Fib(a*b) so leider nicht herleiten kann. Scheint ein groesseres Problem zu sein.

Hier ist jemand die formelle Aehnlichkeit zwischen Fib und Mersenne auch schon aufgefallen :
http://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Helmut_Rasinger

Ja, die Definition ist zutreffend. Denn waere p in dem Fall zusammengesetzt koennte M(p) keine Primzahl sein .

Wegen der Zweierpotenz gilt auch :
Eine Mersenne Primzahl weist in binarer Darstellung nur Einsen auf, denn 2^n weist nur eine Eins auf.

Wie ist deine Einschaetzung zu folgender Frage :
M(n)= 2^n-1
Wenn n =(a*b) zusammengesetzt ist kann man schreiben
M(n)= 2^(a*b)-1
Und fuer (2^a)^b oder (2^b)^a die dritte allgemeine binomische Formel anwenden.
Daraus muesste doch folgen dass 2^(a*b)-1 sowohl durch (2^a -1) als auch durch (2^b -1) teilbar ist.
Es ist doch willkuerlich wie ich die Exponenten a,b anordne.
Stimmt das ?

EDIT : FOLGENDES IST NUR EINE VERMUTUNG
Dann muesste auch gelten Fib(a*b)=Fib(a)*Fib(b)*k, k=ganze Zahl
Wobei ich fuer k eine Summendarstellung kenne.
Beispiel in dem es passt :
fibonacci(5*7)/fibonacci(5)=1845493
fibonacci(5*7)/fibonacci(7)=709805

fibonacci(5*7)/fibonacci(5)/fibonacci(7)=141961
fibonacci(10*6)/fibonacci(10)/fibonacci(6)=3518201718
fibonacci(10*11)/fibonacci(10)/fibonacci(11)=8900260727038783399

DAS FATALE FUER DEN SPAETEREN VERLAUF:
DIE VERMUTUNG TRIFFT FUER DEN GOLDENEN SCHNITT ALS BASIS RECHT OFT ZU !


Hier gibt es eine Gleichug fuer Fib(a*b) die dies aber nicht direkt bestatigt :
http://www.thorstenreinecke.de/infor...00000000000000

AW: Zahlenspielerei
 

Hi ! Sollte man sich wieder einschalten ?

Letztlich sind Bausteine auf dem Wege , die nicht zum Erfolg
führen vielleicht kontraproduktiv.
Richy sollte veröffentlichen , die einzig sichere Methode ,
Beachtung zu finden.

Jedenfalls hat sich Richy sehr intensiv mit Fibonacci beschäftigt.

Ich erinnere mal an einen alten Beitrag über Begleitzahlen. So hat
2 exp n , n natürliche Zahl die nat. Zahl 3 als > Begleitzahl<

So werden für alle ungeraden Exponenten die Folgezahl (2 hoch n )+ 1
und für alle geraden n , der Vorläufer durch 3 geteilt. (2 hoch n ) -1



MfG regeli :eek:

AW: Zahlenspielerei
 

Hallo Richy,

scheint zu stimmen, denn ich habe kein Gegenbeispiel gefunden.
Bei deinen Fibonacci-Überlegungen kann ich leider nicht mitdiskutieren, denn mit den Fibonacci-Zahlen habe ich mich kaum beschäftigt. Ich kenne bei diesem Thema nur den geschlossenen Ausdruck für die n-te Fibonacci-Zahl, mehr nicht. Aber diesen Ausdruck kennst du sicherlich auch schon.

Nur mit Primzahlen habe ich mich (vor längere Zeit) etwas beschäftigt. Da berechnete ich mal für einen Amateur-Mathematiker mit Hilfe eines Fortran-Programms etwas, das er dann auf seiner Homepage dargestellt hat. Falls es dich interessiert, dann siehe hier:

http://www.c-eagle.com/index.php?con...zahlzwillinge2

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

AW: Zahlenspielerei
 

Hi ! Obwohl der Beitrag nicht direkt an mich gerichtet ist,
ging es wohl um prime und nichtprime Exponenten. Hier wohl
zur Basis 2.

Begleitzahlen könnten verschiedene Zahlen sein , die einen
Vorgang begleiten. Hier sind es Teiler der Nachbarn von aufsteigenden
Potenzen . Mit n ---> aufsteigend gegen unendlich.( zur Basis a)


Nehmen wir mal 2^6 (2 hoch 6)

So sollten die Nachbarn teilbar sein durch die Nachbarn von 2^2 und 2^3
Diese werden normal im Zahlenstrahl festgestellt.

Diese sind 3 und 5 , da 2 hoch 2 =4 ist und analog dazu 7 und 9 da die
dritte Potenz 8 ist.

Also muß diese Teilerschar bei 2 hoch 6 = 64 auftauchen.

9x7 = 63 und der Teiler von 65 ist die 5. Die hier neu aufgenommene 13 wird
nicht wieder abgegeben , sondern erscheint wieder bei 2^12.


So müssen die Zahlen 31 und 33 die 2^5 = 32 flankieren ,wieder als
Teiler bei 2 ^ 10 (als Teiler einer Nachbarzahl )erscheinen.

Wichtig ist, dass der Exponent im Exponentenprodukt eines höheren n
erscheint. regeli



Ich hab das mal früher hier veröffentlicht , vor der Umgestaltung des
Forums.

Es ist eine allgemeingültige Eigenschaft , auch für andere a Basis mit
a natürliche Zahl.


Gruss regeli :D :cool:

AW: Zahlenspielerei
 

Hi regeli
Berechnungen die ich fuer besonders interessant halte stelle ich auf meine Homepage. Abgesehen von der Loesung der logistischen Gleichung halte ich dort sicherlich auch Dinge fest, die nichts Neues sind. Das reicht mir als Veroeffentlichung. Jeder der interesse am Thema hat kann es lesen.
Man muss sich stets vor Augen halten wie lange die Menschen sich schon mit den Prim und Fibonaccizahlen beschaeftigen. Nicht nur Amateure. Lediglich die Zipf Verteilung der Primfaktoren der Fib Zahlen koennte vielleicht wenigstens ein neuer Aspekt sein.

@Bauhof
Hab mir das noch einmal ueberlegt.
Meine Annahme, dass beide Faktoren, die die dritte binomische voraussagt, Faktoren des Ausdrucks 2^n-1 sind muss zutreffen.
Denn die Faktorisierung besagt nicht dass dies Faktoren sein koennen sonder sein muessen. Also muessen beide Varianten Teiler der Zahl sein.
Das ist die Form von Moivre Binet. An der siehst du die Verwandtschaft zu den Mersenne Zahlen.
Und noch deutlicher ueber die "Mersenne Differenzengleichung" die ich hergeleitet habe.
y(k+2)=y(k+1)+2*y(k)+2
Dies DZGL hat die Loesung y(k)=2^k-1

@regeli
"Begleitzahlen" ist sicherlich ein von dir gepraegtes Kunstwort. Nachbarn von Potenzen bedeutet B^n -1 und B^n +1. Vermutlich folgen deine Beobachtungen aus der dritten binomischen Formel. Jedenfalls fuer den Vorgaenger. Ebenso fuer den Nachfolger wenn man beachtet dass fuer den Ausdruch B^n+1 gilt :
B^n+1=B^n-(-1)^n fuer ungerade n

Kannst du das hier kurz nachvollziehen ? Und dann angeben welche Zusamenhaege NICHT aus der verallgemeinerten dritten binomischen Formel folgen ?

Beispiel:
b) Ist n gerade, so kann man schreiben n=2*m
2^n-1 = 2^(2*m) -1 = (binomische Formel)
(2^2-1^2)*ganzzahliges Restpolynom =
3*ganzzahliges Restpolynom

Deine Vermutung ist somit richtig, aber nicht geradezu sensationell.
Man kann sofort fuer eine beliebige Basis B angeben:

Fuer alle geraden Exponenten n ist (B^2-1) ein Teiler der Zahl B^n-1
************************************************** *

Aussage a) ist etwas unhandlicher :
Bei Wiki ist eine Faktorisierung fuer (B1^n+B2^n) fuer ungerade n in der Form (B1+B2)*ganzahliges Restpolynom angegeben.
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formel
Damit ist erklaert dass (2^n+1) fuer ungerade n durch (2+1) teilbar ist.

Wie bist du auf diese Zusammenhaenge gekommen ? Auch ueber Faktorisierung ?

AW: Zahlenspielerei
 

Rein interessehalber nochmal zum Ausdruck Fib(a*b) den man auch ueber die Formel von Moivre Binet anschreiben kann.
Wendet man hier die dritte binomische Formel an, so sieht man, dass sowohl Fib(a) als auch Fib(b) Teiler von Fib(a*b) sind.

EDIT :
FOLGENDES IST EIN TRUGSCHLUSS !
Daher ist auch Fib(a)*Fib(b) ein Teiler. Fib(a*b) hat die Form Fib(a)*fib(b)*G, wobei G eine ganze Zahl ist.
ES FOLGT NICHT DASS AUCH DAS PRODUKT EIN TEILER IST.
DAS FATALE : DER TRUGSCHLUSS IST BEI DEN FIBONACCIZAHLEN DENNOCH OFT GUELTIG !

Es waere interessant zu bestimmen ob es ene relativ einfache Form fuer G gibt.

AW: Zahlenspielerei
 

EDIT
SIEHE ANMERKUNG OBEN. DENNOCH IST DAS BEISPIEL RICHTIG

Mal als Beispiel :
Fib(3*5)=610
Fib(3)=2
Fib(5)=5
610 ist durch 2*5 teilbar
Fib(3*5)=Fib(3)*Fib(5)*61
61 waere der Wert des Restpolynoms, das ich analytisch erfassen moechte. Prinzipiell laesst sich dies ueber die 3 te binomische Formel erreichen :
Fib(a*b)*Fib(a)*Restpolynom_a*Fib(b)/Fib(b)
Restploynom_ab=Restpolynom_a/Fib(b)

Restpolynom_a=61*5=305
Restpolynom_b=61*2=122

http://upload.wikimedia.org/math/e/2...bf3c113769.png

Die entsprechende Summe in Maple waere :
P=goldener Schnitt
p=1-P oder -1/P

> a:=3;b:=5;
A)
> (sum((P**a)^(b-n-1)*(p**a)^n,n=0..b-1));

oder vereinfacht :
B)
> ( (P**a)**(b-1)*sum((p**a)^n/(P**a)^n,n=0..b-1));
passt beides

Vereinfachungen :
(P**a)^(b-1)=P^(a*b-a)
In der Summe von B laesst sich ausnuetzen das gilt p=-1/P
und man erhaelt vereinfacht
Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 )

Das ist schonmal ein schoenes Ergebnis :
Fib(a*b)=Fib(a)*P^(a*b-a)*Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 )
************************************************

In P^(a*b-a)*Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 ) muss der Teiler Fib(b) enthalten sein.
Die naechste Aufgabe waere somit
P^(a*b-a)*Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 ) / Fib(b) zu vereinfachen

Wobei man die Summe geschlossen angeben kann :
Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 )=[(-1/P^2)^(a*b)-1]/[(-1/P^2)^(a)-1]
Fib(a*b)=Fib(a)*P^(a*b-a)*[(-1/P^2)^(a*b)-1]/[(-1/P^2)^(a)-1]
**************************************************

AW: Zahlenspielerei
 

Hi ! Muss zugeben , dass in der Schnelle nicht zu durchschauen , weil
ich hatte jetzt immer Probleme. Nach meiner Meinung gibt es einen
math.Satz , der vielleicht mehr Klarheit bringt.

Zuerst will ich nochmals meine Sache darstellen.

Für a hoch n wird für n eine Primteilerprodukt angenommen, Gegenbeispiel
wäre n ist prim.

Da n Primteilerprodukt wird nach dem Gesetz des Potenzierens , so gibt es mehrere
Darstellungen einer solchen Potenz, mehrere darstellbare Potenzen zu a .

Beispiel
Für 64 gibt es z.B. 4 ^3 mit 4= 2² Die Nachbarn sind hier 3 und 5. Diese Zahlen sind im Zahlenstrahl
neben der 4.


Für ungerade nat.Zahlen ( auch Primzahlen ) als Exponent gilt der untere
Teiler teilt unten und der obere teilt oben.

die 3 teilt 64 -1 und die 5 teilt 64 +1.

Die andere mögliche Darstellung ist 8² mit 8 = 2³ = 64

7 und 9 sind die Nachbarn von 8 und bei geradem Exponenten teilen beide unten bei 64 ist das nach der 3.Binomischen Formel 64-1 , das geteilt wird. (8+1)x(8-1)

Unten teilt unten ( Vorläufer teilt Vorläufer ) Oben teilt oben bei ungeradem
Exponenten und unten bei ungeradem Exponenten.

In dem Fall hier sind die Teiler richtig platziert und es ist erklärt , wie es
geht. Man muss wohl etwas üben.

Für den Fall dass der Exponent eine Primzahl ist ,schreibe ich noch etwas.

Gruss regeli :D :cool:

AW: Zahlenspielerei
 

Bischen weiter bin ich gekommen.
Hier das Ergebnis :
http://home.arcor.de/richardon/2009/fibAB.gif

P=goldener Schnitt
Die drei Klammerausdruecke konvergieren fuer grosse a,b,gegen -1, so dass man auch naeherungsweise anschreiben kann:
Fib(a*b) etwa fib(a)*fib(b)*PHI^(a*b-a-b+1)*(PHI^2+1)/(PHI^2)
Fib(a*b) etwa fib(a)*fib(b)*PHI^(a*b-a-b+1)*(PHI+2)/(PHI+1)

AW: Zahlenspielerei
 

Hi ! Wahnsinnstolle Formel , vorallem der Näherungstrick
an und mit dem Grenzwert. :D




Da fühlt man sich mit seinen einfachen Zahlenspielereien doch
etwas zu einfach aufgestellt.


Trotzdem noch eine kl. Fortsetzung , weil man ja nie weiß....

Man kann also z. B . die Zahl 64 durch verschiedene Potenzen
darstellen.

2^6 ,4^3 , 8 ^2 .

Die Basiswert 2,4,8 haben die Vorgänger 1,3,7 und die Nachfolger
3,5,9
Diese Vorgängerzahlen und Nachfolger teilen
die Nachbarn des Zahlenwertes der Potenz 64.

Dabei gelten zwei Regeln. Die Vorgänger der Basiswerte (1,3,7) teilen (Vorgänger teilen immer nur den Vorgänger)
den Vorgänger des Potenzwertes 64-1 (63) unabhängig davon ,ob der Exponent geradzahlig oder ungeradzahlig ist.

Die Nachfolger (3,5,9) teilen abhängig vom Exponenten entweder
die Vorgängerzahl der Potenz , bei geradzahligem Exponenten , oder
den Nachfolger bei ungeradem Exponenten.

Ist der Exponent primzahlig , so liegt ein ungerader Exponent vor.
Ist der Exponent primzahlig , so hat die Potenz nur eine Basis , ( Man kann die Ptenz nicht auf mehrere
Arten darstellen) Für Mehrfachdarstellungen ist die zerlegbarkeit des Exponenten in Primfaktoren
Voraussetzung.
Hier in der Diskussion
hatten wir ja die 2 als Basis , wegen Mersenne.

Die 2 hat den Vorgänger 1 und den Nachfolger 3.

Der Nachfolger 3 teilt die Folgezahl der Potenz ( des Zahlenwertes der
Potenz) Die Zahl 1 teilt den Vorgänger . Die 1 schränkt den Vorgänger-
wert der Potenz nicht ein. Verbietet den primen Charakter der Vorgänger-
zahl der Potenz nicht.

Da das Gesetz für alle a (Basiszahl) gilt , kann man eigentlich nur
sagen ob eine Teilbarkeitsaussage vorliegt oder keine Aussage gemacht
werden kann. Und wenn ja , so kann man Teiler angeben , wie in vor-
beschriebener Weise angegeben.

Also an die Primzahlen kommt man da nicht heran. Trotzdem ist es ein universales Zahlengesetz , mit dem ich Teiler auch für sehr große Potenzen
bzw. deren Nachbarn direkt vorherbestimmen kann.

Gruss regeli

AW: Zahlenspielerei
 

Hi regeli

Es ist normal, dass man dem was man so herleitet selbst immer am besten folgen kann. Aber auch nur solange man sich noch intensiv mit dem Thema befasst. Die Ascii Schreibweise ist natuerlich auch sehr unanschaulich. Ich schreibe ganz gerne in Maple Code. Dann kann ich mir die Gleichungen jederzeit wieder in Maple reproduzieren.

Es gibt bereits recht komplizierte Zusammenhaenge fuer Fib(a*b). Zur Erinnerung. Der Ausdruck hat Bedeutung wenn man wie bei den Mersenne Primzahlen die dritte binomische Formel anwenden moechte um die Fibonacci Primzahlen zu begruenden. Das leistet mein Ausdruck leider nicht. P ist darin der goldene Schnitt (1+Wurzel(5)), irrational. Dennoch ist neben fib(a) und fib(b) der restliche Ausdruck ganzzahlig.
Das kann ich nur indirekt beweisen. Es ist ja eher wie ein Wunder :-) (Im Grunde ist die Begruendung einfach. Weil fib(a) und fib(b) Teiler von fib(a*b) sein muessen ! )

Dennoch bin ich zum Teil zufrieden, da in meinem Ausdruck die Zahlen a und b voellig gleichberechtigt sind. Der Ausdruck ist symetrisch. Immerhin.
Nachdem ich nun weiss wie man dieses Zwischenziel einfach erreicht, will ich dies auch nochmal auf die Mersenne Primzahlen anwenden. Da wird die Vorgehensweise wohl am klarsten. Und dann nochmal allgemein fuer x^(a*b)-y^(a*b) herleiten. Der Genaue Zweck ist mir noch unklar. Mal sehen was sich ergibt.
Dein ganzen Zusammenhaenge will ich dann nachvollziehen. Wie kommst du auf diese ? Wahrscheinlich haengen die meisten mit der dritten binomischen Formel zusammen. Hast du einen anderen Weg fuer die Herleitung ? Es waere interessant dies einmal gemeinsam zusammenzustellen.

ciao

AW: Zahlenspielerei
 

Symetrische Darstellung des Mersenne Arguments
*************************************

Wiederholung der uebliche Vorgehensweise :
Man setzt in 2^(n)-1 fuer n eine zusammengesetzte Zahl n=a*b ein :
Mers(a*b)=2^(a*b)-1
Und wendet ein Exponentilagesetz und die dritte allgemeine binomische Formel an, sowie den Sachverhalt : 1^(a*b)=1 :
2^(a*b)-1^(a*b)=(2^a)^b-(1^a)^b
*****************************
ebenso gilt aber auch
2^(a*b)-1^(a*b)=(2^b)^a-(1^b)^a
*****************************
Fuer die dritte binomische Formel kann man aber zunaechst nur einen der beiden Ausdruecke verwenden : Zum Beispiel :
(2^a)^b-(1^a)^b=(2^a-1^a)*Restpolynom_a
***********************************
Mers(a*b)=Mers(a)*Restpolynom_a
Das genuegt als Begruendung, dass die Zahl Mers(a*b) zusammengesetzt ist.

Hier nochmals die allgemeine dritte binomische Formel :
http://upload.wikimedia.org/math/e/2...bf3c113769.png
a ud b wird hier anders verwendet. In unserem Fall gilt :
a=2^a
b=1^a
n=b
Wir koennen somit direkt (in Maple Code zum Testen) anpinseln :
2^(a*b)-1=(2^a-1)*2^(a*(b-1))*sum(1/2^(a*k), k=0..b-1);
**********************************************
passt :-)
Nun ist die Summe eine geometrische Reihe und laesst sich geschlossen Darstellen :

sum(1/2^(a*k), k=0..b-1)=2^a*((1/(2^a))^b-1)/(1-2^a)
(Wobei diesere Vereinfachungsschritt vielleicht kontraproduktiv ist)
Bis jetzt ist das alles nichts Neues.

Der optische Trick
besteht nun darin aus dem Ausdruck 2^(a*(b-1))*sum(1/2^(a*k), k=0..b-1);
den enthaltenen Faktor (2^b-1) zu extrahieren. Das muss ein Faktor dieser Summe sein !
Aber so einfach will dies nicht gelingen :-(
Mers(a*b)=Mers(a)*Rest_a
Mein erster Ansatz ist zunaechst eine Erweiterung um Mers(b)/Mers(b)
Mers(a*b)=Mers(a)*Mers(b) * (Rest_a/Mers(b))
Naja ... das ist noch nicht ganz die angestrebte Symetrie.
Und ich (oder Maple) bekomme (Rest_a/Mers(b)) nicht faktorisiert, so dass man etwas kuerzen koennte. Rest_a/Mers(b) liefert natuerlich in Beispielen den gewuenschten Restfaktor, aber das gefaellt mr so nicht.
Was tun ?

Der eigentliche "Trick" :
************************
Ich stelle Mers(b) so dar, dass es der Form von Rest_a entspricht.
Und das geht ganz einfach denn :
Mers(1*b)=Mers(1)*Rest_1
Und da gilt Mers(1)=1 ergibt sich Rest_1=Mers(b)

Mers(b)=2^(1*(b-1))*sum(1/2^(1*k), k=0..b-1);

Damit haben wir auch kostenlos eine geometrische Reihe der Mesenne Zahlen erhalten. Die wir wie oben auch geschlossen angeben koennen :
Mers(b)=2^(b-1)*(-2*(1/2)^b+2);
Und wenn man dies aufloest, sieht man, dass die ganze Maßnahme eher nur ein optischer Trick ist.
Dennoch laesst sich nun wenigstens der Ausdruck so vereinfachen, dass eine Symetrie vorliegt.
Das schreibe ich im naechsten Beitrag in allgemeiner Form an

ciao

AW: Zahlenspielerei
 

Symetrische allgemeine Form plus Beispiel Mersenne

http://home.arcor.de/richardon/2009/mersenne1.gif

Was passiert wenn man (y/x)^(a*b)-1 genau so nachmals entwickelt ?

AW: Zahlenspielerei
 

Ja klar. Was denkst du wie ich drauf brenne das (y/x)^(a*b) zu entwickeln. Man sieht doch, dass dann der ganze Nenner gekuerzt wird. Leider gibt es dafuer nen neuen Nenner *fg

Na dann ist schon was faul an der Sache :-)
Du meinst mit 1*2*3*5...(p-1) = (p-1)! die Primzahlfakultaet auch Primorials genannt ? Offizielles Zeichen p#
Der haben regli und ich schon viele Winterabende gewidmet. :-)
Oder 1*2*3*4*5 ? Die einfache Fakultaet ? Wobei dies 1*(2^3)*3*5 ist,
Sollte ich zunaechst wissen.

AW: Zahlenspielerei
 

Kommt mir bei deinen Berechnungen aber nicht so vor .

wenn (p-1)!+1 / (p) ohne Rest teilbar ist, dann ist p ne Primzahl
...
Nagut nehmen wir mal eine etwas groessere Primzahl :
Wobei das Problem ist, dass die Fakultaet natuerlich irre gross wird.
frac((1986!+1)/1987)=0
Da stimmt deine Vermutung also

1987 ist die 300. te Primzahl und mit 4 Ziffern noch recht harmlos.
Von 1986! kann man das weniger behaupten. Denn das ist eine Zahl mit 5690 Stellen. Fuer den Heimgebrauch schon grenzwertig.

Deine Vermutung, die mich natuerlich naeher interessiert erzeugt keine Primzahlen, sondern ist ein Primzahltest.
Das schoene daran.
Man muss nur wenige Operationen durchfuehre. Aber als Beispiel ....

Bei diesem 100 000 $ Wettbewerb wird eine Primzahl mit ueber 10 Millionen Stellen gesucht !
http://www.computerbase.de/news/allg...kord-primzahl/
"Deine" Testzahl (10^(10^7)) ! waere da .. hmm.. wie soll man sagen. Recht lang ! :D

Wie koennte man deren Stellenzahl abschaetzen ?
*************************************
Statt der Fakultaet wurde ich vorschlagen die Gamma Funtion zu betrachten. Das ist deren nichtdiskrete Form :
http://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion
Und hier findet man die Sterling Naeherung fuer Gamma, also der Fakultaet:
http://upload.wikimedia.org/math/e/e...4d9a08da90.png
Fuer die Stellenzahl bilden wir den Log10(Sterling) und wenden die ln Regeln an :
Log10(sterling(x))=log10(2*Pi*x^(x-1/2)*exp(-x));
Testen wir das mal mit 1986!
Log10(sterling(1986))= 5686.4.. das passt.
Mit der Zahl 10^(10^7) kann der Heimwerker PC natuerlich nichts anfangen. log10(sterling(10^(10^7))) laesst sich aber leicht abschaetzen, indem man die ganzen Peanuts vernachlaessigt.
log10(sterling(x)) etwa log10(x^x)=x*log10(x)
Jetzt setzen wir x=10^(10^7) ein
Stellenzahl = 10^(10^7) * 10^7
Die 10 hoch 7 kann man natuerlich auch vergessen.

10^(10 Millionen) Faklulatet ist somit eine Zahl mit 10^(10 Millionen) Stellen !
************************************************** *******

Die Anzahl der Atome in Universum (10^80) ist schon gegen die groesste bekannte Primzahl laeppisch. Deren Fakultaet .....


Aber natuerlich interessiert mich dieser Primzahltest.
Warum besteht der von dir vermutete Zusammenhang ?

Das sind sie auch so. Du musst nur auf jede fortlaufende Zahl als einfacheren Primzahltest das Sieb von Eratosthenes anwenden.
Unendlich mal.
Dein Primzahltest koennte aber von theoretischer Natur aus interessant sein.

AW: Zahlenspielerei
 

Beweis fuer deine Vermutung :

(p-1)! +1 ist stets groesser gleich p (Nur als Voraussetzung fuer Teilbarkeit, sonst unwichtig)
Da (p-1)! als Fakultaet bereits alle moeglichen Primteiler enthaelt gilt wegen (richies) Summensatz:
(p-1)! +1 kann keinen Primteiler des Intervalls [2..(p-1)] aufweisen.
Alle Primteiler von (p-1)! +1 sind somit groesser als (p-1)

Der kleinste dieser Primteiler ist p (Falls p ein Teiler ist)
Der kleinste zusammengesetze Teiler ist p^2

Wie kann man deine Aussage anders formulieren ?
Das ist der Widerspruchs Beweis, dass deine Aussage allgemein gueltig ist.

Entscheidend ist der Fett hervorgehobene Satz. Aus dem kannst du dir auch selbst alles weitere herleiten.
Nochmal in einfachen Worten
Man stelle sich die Primfaktorzerlegung von (p-1)! + 1 vor.
Alle Primfaktoren muessen groesser als (p-1) sein. Dass (p-1)! + 1 durch p teilbar ist, kann gerade noch erfuellt werden. (Vorausgesetzt p ist als Primfaktor enthalten.)
Denn p>p-1
Waere p aber keine Primzahl, so waere es das Produkt mindestens zweier der Primfaktoren von (p-1)! + 1.
Das kleinste Uebel waere p^2. Aber selbst dies ist zu gross.
Also kann p hoechstens ein Primfaktor von (p-1)! + 1 sein und nicht ein Produkt mehrerer seiner Primfaktoren.
Zwei Zahlen. Beide groesser gleich p. Deren Produkt soll gleich p sein. Des geht net :-) (Ausser fuer eins)


EDIT: elegantere genauere Verifikation hier :
http://www.quanten.de/forum/showthre...1644#post61644
ciao
BTW:
Dass p der kleinste Primteiler sein muss koennte man vielleicht geschickt ausnuetzen.
Dein Test muss auch fuer die Primfakultaet gelten. Diese ist etwas kleiner als die Fakultaet.
So koennte man tatsaechlich rekursiv alle Primzahlen erzeugen. Mit den in vorherigen Beitrag genannten Komplikationen.

AW: Zahlenspielerei
 

Hallo EMI,

das ist der Primzahlsatz von Wilson und der ist bereits bewiesen:

Ist p eine Primzahl, dann ist [1+(p-1)!] / p eine ganze Zahl.

Anders formuliert:
Die Zahl p ist dann und nur dann eine Primzahl, wenn 1•2•3•4• ... •(p - 1)+1 durch p ohne Rest teilbar ist.

Anders als beim Fermatschen Test ist der Wilsonsche Test notwendig und hinreichend dafür, dass eine Zahl prim ist. Diesen Satz hat John Wilson Armiger (1741 - 1793) entdeckt. Den Beweis dafür erbrachte Joseph Louise Lagrange (1736 - 1813). Praktisch hat der Satz jedoch keine große Bedeutung für die Primzahlforschung, denn schon für kleine p-Werte ergibt der Ausdruck (p-1)! riesige Zahlen.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

AW: Zahlenspielerei
 

War der auch so kurz wie mein Beweis ?

EDIT: elegantere genauere Verifikation hier :
http://www.quanten.de/forum/showthre...1644#post61644

AW: Zahlenspielerei
 

Hab nochmals kurz nachgedacht. Mit der Primfakultaet 1*2*3*5*7... funktioniert der Ansatz leider doch nicht. Denn findet man keine neue Primzahl kann man nicht die naechste Primfakultaet bilden. Bei der Fakultaet kann man die naechte Fakultaet dagegen immer bilden.

Man koennte auf die Idee kommen stattdessen nun (p-1)#+n zu testen.
Das geht aber schief, denn in (p-1)#+n koennen (p-1)# und n nun gemeinsame kleine Primteiler haben, der/die dann auch ein Primteiler von (p-1)#+n ist/sind. Damit bricht die Argumentationskette zusammen.

Um gemeinsame Teiler zu vermeiden waere eine weitere Idee daher (p-1)#/n +n zu testen, wobei n eine Primzahl kleiner p ist. Das nuetzt aber nur etwas wenn gilt :
(p-1)#/n +n > (p-1)#
Man will ja schliesslich eine groessere Zahl als der Vorgaenger erzeugen.
(p-1)# +1 > n*(p-1)#
Das laesst sich fuer n>1 leider auch nicht erfuellen :-(

Keine 100 000 $ Preisgeld !
Keine Fields Medallie !
Nichtmal HartzIV

Es ist zum Verzweifeln :D

Ist "riesig" nicht untertrieben ? :D ( p Fakultaet waechst etwa mit p hoch p ) und ist daher fuer grosse p eine Zahl mit p Stellen. (Sterling Naeherung)

AW: Zahlenspielerei
 

Hallo Richy,

mein Beileid, ich hätte es dir gegönnt. :) Mit Langrage und Wilson können wir leider nicht mithalten. Ich noch weniger als du. Es gibt aber noch das Preisgeld für den Beweis der Riemannschen Vermutung. Aber das ist dir vermutlich nicht neu.

Ja, riesig ist untertrieben. Ich verbessere auf gigantisch :cool:

M.f.G. Eugen Bauhof

AW: Zahlenspielerei
 

Na Danke :-)
Das ist anzunehmen :-) Mich wuerde noch interessieren wo Emi den Test aufgegabelt hat.

AW: Zahlenspielerei
 

Hi ! Prinzipiell haben wir zwei Potentiale --- das des Unbekannten.

Und natürlich halten wir unser Wissen für ein geeignetes Potential.

Soweit ich Richy verstanden habe , strebte er bewußt nach Symmetrie.

( Wegen Riemann ? )

Eine gewisse Metakommunikation , die nicht unbedingt an einer
konkreten Form zwanghaft hängen muss, kann uns viellwicht weiter-
bringen.


Hartz IV kennzeichnet unseren Standort Deutschland. u.a.

Im Moment scheint Primzahlwettbewerb durch Computer- Ausrechnen noch
finanziell die günstigste Variante zu sein .:D


Gruss regeli: cool:

AW: Zahlenspielerei
 

Wenn ich fuer den Exponenten der Mersenne Zahlen ein Produkt schreibe n=a*b so stellt dies nun mal eine Symetrie bezueglich a,b dar. Denn a*b=b*a
Und warum ich solch eine symetrische Darstellung anstrebe hat ganz praktische Gruende. Dann wuerde man sofort erkennen, dass sowohl (x^a-y^a) als auch (x^b-y^b) Teiler der Zahl (x^ab-y^ab) sind.
Um dies zu sehen muss man bisher die binomische Formel zwei mal anschreiben. Allerdings ist meine Umformung bisher noch keine Loesung des Problems
http://home.arcor.de/richardon/2009/mersenne1.gif
Denn man erkennt nicht sofort, dass dieser Restfaktor ganzzahlig ist. Zufrieden kann ich daher noch nicht sein.

EDIT
ES IST "ZUFALL", DASS IM BEISPIEL DIE ZAHL DURCH DAS PRODUKT TEILBAR IST
Beispiel :
2^(2*3)-1=63=3*21
2^(2*3)-1=63=7*9

Dieser Restfaktor ist in dem Fall 21/7 oder 9/3 also 3.
Aber wie du siehst weigert sich dieser doofe Faktor sich allgemein anschaulich darstellen zu lassen. Wobei die ganzen Mersenne Primzahlforscher diese Aufgabe sicherlich schon geloest haben. Falls dies ueberhaupt moeglich ist.

AW: Zahlenspielerei
 

Hi !

Ich dachte , ich müßte mir tiefere Sorgen machen , aber ich vertraue
Bauhof , dass es bisher keinen Beweis dafür gibt , dass es unendlich
viele Mersenneprimzahlen gibt.

Symmetrien sind ein eigenes Forschungsthema und vor allem auch
von Biologen gern behandelt. Man kommt wieder --- auch ---
auf die großen Namen.

Ansonsten hatte ich schon einen kleinen Nutzen . Wie Du schon sagst
, : Jeder bewegt sich am liebsten in den eigenen Vorstellungen.

Auf jeden Fall werde ich mich weiterhin melden. :cool: Gruss regeli

AW: Zahlenspielerei
 

Ich habe mich im Kreis gedreht :
Wenn ich in der obigen Gleichung den Zaehler Term mit x^ab erweitere und die Nennerterme mit x^b und x^a dann steht da
(x^ab - y^ab)=(x^ab - y^ab)
Das ist durchaus lobenswert, denn es ist eine wahre Aussage :-)
Aber es zeigt, dass ich die Vereinfachungen der Summen wohl etwas zu weit getrieben habe und mich damit wieder dem Ausgangsterm naehere.
Wahrscheinlich an der Stelle als ich diese geschlosssen dargestellt habe.
Ich hatte dies schon geahnt :
Dort muesste man also nochmals neu ansetzen. Aber das ganze deutet darauf hin, dass eine geschlossene Faktorisierung beider Terme in der Form wohl gar nicht moeglich ist.

AW: Zahlenspielerei
 

Die geometrische Reihe hat mir nicht nur eine lange Nase gezeigt, sondern auch wie man mit ihrer Hilfe sehr schnell die allgemeine dritte binomische Formel herleiten kann :

Beispiel mit y^n=1
q^n-1 = ? erweitern mit (q-1)/(q-1)
q^n-1 = (q-1)*(q^n-1)/(q-1)
Voila das wars auch schon :-)

http://upload.wikimedia.org/math/7/4...179e1bbc1d.png=>http://upload.wikimedia.org/math/a/1...2b5c65bfb4.png

Funktioniert auch mit y<>1

AW: Zahlenspielerei
 

@Bauhof, Emi
Satz 1) Ist p eine Primzahl, dann ist [1+(p-1)!] / p eine ganze Zahl.
Satz 2) Wenn (p-1)!+1 / p ohne Rest teilbar ist, dann ist p eine Primzahl

Ich habe nur Satz 2) bewiesen.
Satz 1) zu beweisen ist erheblich schwerer und fuer Primfakultaeten (Primorials) gilt er nicht.