Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
Hallo zusammen,
Bewegungen von Objekten erfolgen / beobachtet man in einem sogenannten Geschwindigkeitsraum. Der Geschwindigkeitsraum weist eine hyperbolische Geometrie auf und kann nur in Einzelfällen und näherungsweise als euklidisch angenommen werden. Die negative Krümmung des Geschwindigkeitsraums zeigt sich unter anderem in den Lorentz-Trafos: Die speziellen Lorentz-Transformationen stellen in der vierdimensionalen Raum-Zeit keine Untergruppe dar. Zeigen sich zwei Geschwindigkeiten hinsichtlich ihrer Richtungsvektoren nicht parallel, enthält ihr Produkt der speziellen Lorentz-Transformationen auf Grund der zugrundeliegenden hyperbolischen Geometrie stets eine Drehung. |
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Sollten dem ein oder anderen gegebenenfalls Aussagen wie diese hier unterkommen ...
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Die Riemann-Geometrie liegt der ART zu Grunde, die Lobachewski-Geometrie dem Geschwindigkeitsraum der SRT -> Die oben konkret zitierte Aussage ist somit als falsch anzusehen. |
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Ein schönes Beispiel für das Zusammenspiel von elliptischer und hyperbolischer Geometrie in unserer Raumzeit stellen die dem hyperbolischen Exzess zugrundeliegende Wirkungsmechanismen dar.
(Hintergrund-Informationen bzw. weiterführend siehe http://www.bernd-leitenberger.de/blo...lische-exzess/, http://de.wikipedia.org/wiki/Swing-by, http://www.bernd-leitenberger.de/swingby.shtml, http://www.esa.int/esapub/bulletin/b...esbroek103.pdf) |
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Das ist übrigens eine faszinierende und paradox anmutende Eigenschaft, die du da erwähnst: du beschleunigst kurz nach vorn und danach kurz nach rechts und als Folge davon hast du dich gedreht. Ich finde das nicht minder kontra-intuitiv als Längenkontraktion und Zeitdilatation. Gruß, Uli |
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Hi Uli,
ja. Und um vielleicht einmal ein wenig die Brücke zum DS zu schlagen: http://www.desy.de/~jlouis/Vorlesung...vortrag_15.pdf Zitat:
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Was Besseres/Kompakteres wie das hier habe ich bisher nicht gefunden:
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Man hat ein Problem, z.B. das Kepler-Problem der Umkreisung eines Planeten um die Sonne. Du kennst eine Lösung dieses Problems (z.B. Kreisbewegung im Uhrzeigersinn). Du fragst dich dann, wenn du in der Lösung t durch -t ersetzt, ob das dann immer noch eine Lösung ist. t -> -t bedeutet aber, dass der Planet seine Umkreisung nun im Gegenuhrzeigersinn macht, was natürlich eine genauso gute Lösung des Kepler-Problems ist. |
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Hi Uli,
1. Du unterstellst auch bei -t eine weiterhin anziehend wirkende Gravitation. Ist das korrekt? :rolleyes: 2. Nehmen wir die Gravitation weiterhin als anziehend an. Der Planet habe eine Eigenrotation (sagen wir im Uhzeigersinn) . Bei -t rotiert er dann dazu entgegengesetzt (also gegen den Uhrzeigersinn). Da sehe ich jetzt noch kein Problem. Seine Rotationsachse sei aber geneigt, wodurch sie sich beim Wechsel von +t auf -t als invers darstellt und IMHO auch "gespiegelt" werden müsste, um tatsächlich Reversibilität zu gewährleisten. Nebenbei: Die Keplersche Zwei-Körper-Lösung widerspricht der RT. Das zweite Keplersche Gesetz ist im Kern nichts anderes als der Eulersche Drehimpulssatz (Das gefällt mir sehr gut :D). Das dritte kann mittels Hodogrammen direkt aus Newton abgeleitet werden - Und Hodos gibt's wiederum auch bei Lobachewski. |
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t -> -t und sonst nichts: z.B. keine Annahmen, dass aus Anziehungen plötzlich Abstoßungen werden etc.. Zitat:
Bei Problemstellungen, für welche die nichtrelativistische Näherung unangemessen ist (z.B. extrem starke Gravitationsfelder, Black Holes oder relativistische Umlaufgeschwindigkeiten) macht man in Rahmen so einer Näherung natürlich Fehler - je wichtiger die relativistischen Effekte, desto größer der Fehler. Beim Kepler-Problem unseres Sonnensystems spielen relativistische Effekte ja zum Glück kaum eine Rolle; drum konnten die Keplerschen Gesetze auch schon vor Lösung des Kepler-Problems per Beobachtung gewonnen werden. Da machte sich besonders der Astronom Tycho Brahe verdient, falls mein Alzheimer mich nicht trügt. Gruß, Uli |
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Hi Uli,
Zeitumkehr bedeutet: - Impulse kehren sich um (inkl. Drehimpulse / Spins) - Geschwindigkeiten kehren sich um - einlaufende und auslaufende Teilchen werden vertauscht - Beschleunigungen kehren sich nicht um (aus v/t wird -v/-t) Wo ich ein ganz dickes Fragezeichen dahinter setzen würde: Kehren sich Geometrien (konkret: Krümmungen) um? :rolleyes: 1. Raumgeometrien: Bei einer vorliegenden euklidischen Geometrie sehe ich keine Probleme - Wie sieht das aber bei nicht-euklidischen Geometrien aus? Die Eddington-Finkelstein-Lösung ist z.B. nicht zeitsymmetrisch. 2. Objektgeometrien: Axial-Vektoren von Drehimpulsen/Spins ("Achsenneigungen") drehen sich nicht um, Polar-Vektoren schon ("Bewegungsrichtung") -> Auswirkungen? Emag-Felder haben z.B. ihren Ursprung in den Pol-Koordinaten. Und aus http://articles.adsabs.harvard.edu//...00165.000.html z.B.: Zitat:
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V - A (= Polarvektor minus Achsialvektor) Struktur des schwachen Stromes, der für die maximale Paritätsverletzung des schwachen Wechselwirkung verantwortlich ist. Mit Zeitumkehr hat das allerdings nichts zu tun. Zitat:
Elektromagnetische Felder gibt es nicht nur in polaren sondern auch in kartesischen Koordinaten. Gruß, Uli |
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Hi Uli,
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Wenn Du einmal ein bißchen die *****backen zusammenkneifst, dann geht das schon! ;) Anders mache ich es doch auch nicht. Zitat:
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Und zwischendurch: Was ist ein Hodogramm bzw. Hodograph?
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http://www.wetteran.de/soundings/exp.../hodograph.htm http://www.skywarn.de/estofex_de/guide/1_4_5.html Und siehe da - Da ist sie wieder, nur in einem bißchen einen anderen Kontext: Die Helizität. |
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Mit deinem letzte Satz wolltest du vielleicht sagen, dass das 4-Vektorpotential des elm. Feldes ein polarer Vektor ist und deshalb - im Gegensatz zum schwachen Feld - symmetrisch unter Spiegelungen ist. Aber ich will es mit meinen Gedankenleseversuchen nicht übertreiben. :) Gruß, Uli |
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Die Riemannsche Geometrie ist nach Einstein die Geometrie der makroskopischen Welt. Die im sog. Geschwindigkeitsraum anzuwendende hyperbolische Geometrie ist lediglich ein mathematischer Kunstgriff, um die Lorentztransformation elegant über den 'tangens hyperbolicus' auszudrücken. Diese Geometrie ist nicht die Geometrie der realen Welt. Der Geschwindigkeitsraum ist vergleichbar mit dem in der Hamiltonschen Mechanik verwendeten Impulsraum. Es handelt sich nicht um den begehbaren Ortsraum, sondern - wie ich schon sagte - um einen Darstellungsraum zur Vermittlung physikalischer Prozesses. Vergleichbare Räume sind der Phasenraum und der Zustandsraum. Auch der Hilbertraum ist kein physisch observierbarer Raum. Solches muss man strikte auseinanderhalten können. Dann kommts's auch richtig heraus. Gr. zg |
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Hi Uli,
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Hi zg, das freut mich jetzt wirklich! Aber damit auch schon genug der Floskeln gewechselt :p : Zitat:
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Das wäre IMHO im Falle einer unterstellten euklidischen Geometrie aber erforderlich. Ich komme deshalb zu dem Schluß: Der Lobachewski-Raum ist genauso real wie der Riemann-Raum. Er ist die (eigentliche) Geometrie der SRT. Zitat:
Ich halte den euklidischen Raum für das eigentliche "Kunstprodukt" - Er macht einem das Leben leichter, ist aber nicht real. Zitat:
WMAP hat ein nahezu ungekrümmtes Universum ermittelt - Wenn's alleine Riemann wäre hätte das Ergebnis IMHO ausfallen müssen "Das Universum ist positiv gekrümmt". In meinen Augen halten sich die realen Riemannschen und die realen Lobachewskischen Krümmungen unseres Universums ziemlich exakt die Waage - Und DAS führt in Summe zu dem WMAP-Ergebnis. |
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Und in diesem Kontext einmal so nebenbei, zg:
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Anschließend macht AE dazu noch ein paar Erläuterungen und setzt dann den Wert von √-g "aus Vereinfachungsgründen" zu 1. Auszug: Zitat:
Ich überblicke das aber letztendlich leider nicht :( : Welche Auswirkungen hat diese bewußte Koordinatenwahl? :rolleyes: Kannst Du mir das erläutern, zg? "Low-Level", versteht sich - Alles andere wäre Perlen ... Du verstehst. :D Ich wäre Dir sehr verbunden. :) |
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Und noch was anderes (PDF Seite 22 / Dokument Seite 304):
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Man kann es auch so ausdrücken: Um eine Transformation durchzuführen, welche die Eigenzeit invariant lässt, sind die trigonometrischen durch hyperbolische Funktionen zu ersetzen. Der Tangens hyperbolicus der Rapidität entspricht folglich einer dimensionslosen Geschwindigkeit. Physisch jedoch ist die Welt fast euklidisch. Eine verschwindende positive Krümmung wird man ihr zubilligen müssen. Das wird durch die Empirie gefordert, so dass allgemein mit einer Riemannschen Geometrie zu rechnen ist. Gr. zg |
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Gruß, Lambert |
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Wenn die physische Welt von hyperbolischer Struktur wäre, müsste man eigentlich Dreiecke mit Winkelsummen < Pi ausmessen können. In unserer näheren Umgebung zumindest ist dies nicht der Fall, wie bereits Gauß feststellen musste. Ich versuche den Unterschied zwischen Mathematik und Physik bezüglich der Kontinuumsgeometrie wie folgt zu verdeutlichen: Im euklidischen (Orts)-Raum besitzt die Drehmatrix folgende Gestalt (der Einfachheit wegen beschränken wir uns auf die Ebene): http://www.systemdesign.ch/images/ma...47b3eda309.png Bei einer raumzeitlichen Drehung im Minkowskiraum hingegen nimmt die Drehmatrix diese Form an: http://www.systemdesign.ch/images/ma...2b0e5f44f2.png Man erkennt unschwer, dass nun der Hyperbolicus dominiert. Wir können es in Worten mittels weiterer Beispiele auch so formulieren: Bezüglich einer vierdimensionalen Raumzeit bewegen sich frei fallende Beobachter auf Geraden. Aber aufgepasst! Die dabei räumlich durchlaufenen Bahnen sind keineswegs Geraden des dreidimensionalen Raums. Vielmehr handelt es sich physisch um Kegelschnitte wie Wurfparabel und Keplerellipse. Anders wiederum bedeutet dies, dass sich im Minkowskiraum Ereignisse gleicher zeitlicher Entfernung vom Ursprung auf Hyperbeln befinden müssen. Alles klar? Gr. zg |
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Es ist meines Erachtens Unsinn, aus einer Bewegungsgleichung (oder Beschleunigungsgleichung) eine Raumbeschaffenheit zu folgern. Die eine Bewegung ist grade, die andere parabolisch, eine Dritte hyperbolisch. Der Raum ändert sich deswegen nicht.
Weswegen sollte man so was tun? Ist doch nur Semantik, keine Realität. Ich denke wohl zu simpel? Oder andere zu kompliziert? Kompliziert denken sollte man, wo es sich anbietet. Nicht dort, wo einfaches Denken ausreicht. Gruß, Lambert |
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Hi zg,
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Ich denke Du hattest mir das damals schon einmal gezeigt, dass es geht, indem Du Fähnchen in die Raumzeit gesteckt hattest ... http://www.schweinchenforum.de/image...es/declare.gif Zitat:
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P.S.: Schau' bitte einmal hier, etwa in der Mitte (beim Poincaré-Modell): Der Wanderer - Das ist doch eine verbale Beschreibung des Gamma-Faktors. Oder siehst Du das anders? :rolleyes: |
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Im Inversionsweltbild ist es genau umgekehrt, dort erreicht der Beobachter nie das Zentrum seiner Welt. Wie auch immer - ich selbst bin bereits froh, dass ich abends jeweils wieder nach Hause zurück finde. Gr. zg |
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Weist Du, wie oft ich schon mein geparktes Auto suchen musste? Aber Psst: Bleibt unter uns! ;) EDIT: Im Übrigen IMHO gute Seite zg, kannte ich bisher noch nicht: http://www.systemdesign.ch/index.php...Transformation |
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Würde man dagegen direkt von A nach C beschleunigen, würde man eine davon abweichende Drehung aufweisen. Die Differenz zwischen beiden Drehungen bildet meines Wissens die Thomas-Präzession. Und diese Aussage findet man auch nur im englisch-sprachigen wiki: Zitat:
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P.S.: Nebenbei ein womöglich noch in anderer Hinsicht lesenswertes Zitat aus der ART: Zitat:
- Das "Eine" zählt AE zur Materie - Da die WW über Teilchen erfolgt? - Das "Andere" nicht - Da hier die WW ohne Teilchen (= direkt zwischen Materie und Raum) stattfindet? :rolleyes: |
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Hypothese:
Ausgangspunkt: Die Aussage des englisch-sprachigen wiki zur Geometrie des Minkowski-Raums: - Unser dreidimensionale Raum ist/wäre euklidisch, sofern a) man die Dimension Zeit außen vor ließe (= es die Zeitdimension nicht gäbe) und b) wir ihn (in Ergänzung zum wiki-Artikel) zudem als masselos unterstellen. - Erst durch die Dimension Zeit ergibt sich eine grundsätzlich hyperbolische Geometrie. 1. Was ist am Raum nun anders bei der Berücksichtigung der Dimension Zeit? Es kann sich IMHO nur um Veränderungen des Raumes an sich handeln - Veränderungen benötigen Zeit. 2. Welche Art von Veränderungen des Raums können von einer euklidischen zu einer hyperbolischen Geometrie führen? Da wir den Raum masselos unterstellt haben kann es sich nur um Veränderungen des Raumes selbst handeln. Diese speziellen Veränderungen müssen IMHO a) eine bestimmte Richtung aufweisen und b) konstant sein. - nur dann handelt es sich um homogene Veränderungen die sich in einer zeitlichen Betrachtung homogen auswirken und nur dadurch kann sich eine quasi-statische, homogene hyperbolische Geometrie ausprägen. IMHO kann dies nur Auswirkung eines konstanten und homogenen RaumWACHSTUMS sein (Ich habe das an anderer Stelle auch schon am Beispiel zweier parallel losgesandter Photonen beschrieben, die sich mit zunehmendem Abstand vom Emitter zunehmend voneinander entfernen: Jedes Photon folgt dabei einer eigenen Hyperbel). Meinungen? :rolleyes: P.S.: Den potentiellen Umkehrschluß zu ziehen, welcher physikalischer Vorgang angenommen werden könnte/müsste, um unserem ursächlich euklidischen Raum lokal eine quasi-statische elliptische Geometrie (= Die Geometrie der ART) aufzuprägen, überlasse ich Euch. |
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Nachtrag:
Schräg von vorne "einwirkendes" Raumwachstum bewirkt im Übrigen IMHO die bereits diskutierten Drehungen: Das betreffende Objekt wird nicht nur "zur Seite geschoben" (wie beim Raumwachstum im 90°-Winkel zur Bewegungsrichtung) oder bezüglich der Erreichung seines Ziels "abgebremst" (wie beim Raumwachstum im 0°-Winkel zur Bewegungsrichtung) - Es wird je nach "Einwirkungsrichtung" hinsichtlich seiner Orientierung im Raum stärker oder schwächer abgelenkt ("gedreht"). |
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Auf Quantenebene ist die Thomas-Präzession aber mit diesem Effekt verwandt - eine Folge davon. Gruß, Uli |
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Wenn man den Raum (oder die Länge) quantisiert, wird die Gaussche Fläche lebendig. Die Achsen x und jct bekommen einen physikalischen Sinn und gegenseitigen Bezug.
Die Quantisierung in (kleinstmöglichen) Länge-Elementen und die Bezugnahme auf Unendlichkeit der Menge jener Elemente definiert die Raumzeit und ein extrem kleine Krümmung. Es ist die einzige wahre Krümmung, vermutlich für uns gar nicht direkt wahrnehmbar. Eine Beschleunigungsgleichung krümmt nicht den Raum sondern beschreibt die Beschleunigung eines Objektes und folglich dessen Bewegung. Kann irgendjemand das im Ansatz Verstehen?? Oder ist jemand anderer Meinung? Gruß Lambert |
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Hi Uli,
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Maßstabsparadoxon auf wikipedia: http://upload.wikimedia.org/wikipedi...aradoxon_6.jpg Zitat:
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Ja klar; wir reden hier über Drehungen in 3 Dimensionen (Drehgruppe O(3)) und nicht über irgendwelche Pseudorotationen im Minkowskiraum. Ein Lorentzboost alleine erzeugt keine Drehung; die kommt erst zustande, wenn man 2 aufeinanderfolgende Boosts in unterschiedlichen Richtungen hat. Habe das sogar mal gerechnet. Es ist eine ganz andere Geschichte, dass es gewisse formale Ähnlichkeiten zwischen Drehungen in 3 Dimensionen und Lorentz-Boosts gibt, wenn man die trigonometrischen Funktione durch ihre entsprechenden Hyperbelfunktionen ersetzt etc.. zeitgenosse hatt da schon was zu diesen "Pseudo-Rotationen" im Minkowski-Raum gesagt. Die Wigner-Rotation aber ist eine ganz normale Drehung in 3 Dimensionen. Auch die Thomapräzession ist eine normale Präzession, wie man sie vom Kreisel her kennt. Gruß, Uli |
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Hi Uli,
dann müsstest Du mir folgendes erklären können - 1. Du sagst: 1.1 Der Weg verläuft von A über B nach C: Drehung 1.2 Der Weg verläuft von A nach C: keine Drehung 2. Das hieße in meinen Augen: 2.1 Der Weg verläuft von A nach B: analog 1.2 keine Drehung 2.2 Der Weg verläuft von B nach C: analog 1.2 keine Drehung Woher rührt in Deinen Augen dann die Drehung im Fall 1.2? :rolleyes: In einer dafür erforderlichen "instantanen" Richtungsänderung am Punkt B? Was ist, wenn ich an Punkt B mit der zweiten Bewegung etwas warte - Habe ich dann zwei einzelne Lorentz-Trafos ohne Drehung wie in Fall 2 beschrieben? Nach meinem Verständnis enthält jede Lorentz-Trafo eine Translation und eine Rotation - Die jeweils individuell vorliegende Rotation ist abhängig von Richtung und Länge des jeweils betrachteten Raumzeit-Vektors. Aber ich lasse mich an dieser Stelle gerne eines Besseren belehren. :) |
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Ich glaube nicht. Es geht um Lorentztransformationen und nicht um Fahrten zu irgendwelchen Punkten A, B und C. Ich hatte eigentlich gedacht, das sei klar gewesen. :( |
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http://en.wikipedia.org/wiki/File:Hy...cAnimation.gif Gruss, Marco Polo |
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Hi Uli,
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Davon rede ich (Und wollte dann auch über Aberration, Doppler-Effekt des Lichts, Lorentzkraft etc. reden - schließlich müssen die sich auch irgendwo wiederfinden ...) - Das dachte ich zumindest :( . Muß ja aber nicht der Fall sein: Zitat:
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http://www.quanten.de/forum/showpost...45&postcount=1 Du hattest doch selbst darauf hingewiesen, dass Lorentz-Boosts alleine keiner Gruppenalgebra genügen. Ich habe lediglich konkretisiert, was dieser Effekt bedeutet. Es geht darum, dass 2 aufeinanderfolgende Lorentz-Boosts in unterschiedlichen Richtungen in Kombination kein Lorentz-Boost in einer Richtung dazwischen ergeben (wie man es nichtrelativistisch erwarten würde, d.h. bei Galilei-Transformationen), sondern einen Boost und eine Drehung. Du selbst hattest geschrieben http://www.quanten.de/forum/showpost...45&postcount=1 Zitat:
Gruß, Uli |
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Hi Uli,
jetzt weiß ich nicht ob ich a) Dir Böses unterstellen soll oder b) Dir darlegen soll, wie ich auf einen Gedanken wie a) komme ... :rolleyes: |
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das wäre unangebracht. Uli hat mit seiner Äusserung Zitat:
Du hast da irgendwas aufgeschnappt und ziehst dann deine Schlussfolgerungen daraus, ohne die blasseste Ahnung von der Thematik zu haben. Die höherdimensionalen Lorentz-Boosts könne wir gerne mal besprechen. Diese sind aber alles andere als trivial. Ich kann mir, ohne dir zu nahe treten zu wollen, nicht vorstellen, dass du dich mit dieser Thematik auskennst. Überhaupt waren diese meines Wissens hier in diesem Forum noch nie ein Thema. p.s. ich könnte kommende Woche mal ein paar Seiten aus der Fachliteratur im pdf-Format einscannen, die diese Thematik behandeln. Du wirst dann schnell erkennen, dass das nicht ganz so einfach ist. Gruss, Maro Polo |
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Hi Marco Polo,
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Hallo Uli,
In meinem Eingangspost sprach ich von speziellen Lorentz-Transformationen - Völlig korrekt. Deine Antwort lautete: Zitat:
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Das muß wohl an mir liegen, da war ich wohl auf dem falschen Dampfer. :( |
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Ein Wanderer startet bei 0°N 0°W mit Blickrichtung Norden zum Nordpol. Von dort bewegt er sich dann 90° seitlich zur Position 0°N 90°W. Ein zweiter Wanderer begibt sich direkt von 0°N 0°W zur Position 0°N 90°W - Beim Start ebenfalls mit Blickrichtung Norden -> Der zweite Wanderer bewegt sich gleich seitlich. Folge: An der Position 0°N 90°W weisen beide unterschiedliche Drehungen auf obwohl beide beschwören können, sie hätten sich auf ihrer Reise nie gedreht. Zitat:
Und ob man diese Drehung nun mit Wigner-Rotation oder Thomas-Präzession bezeichnet - Faktisch sind sie das gleiche. Ansonsten dürfte der Maßstab auch nicht "schräg" durch das Loch fliegen (insbesondere in der inversen Betrachtung "Das Loch bewegt sich"). |
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So lernt man hier aber nix. :rolleyes:
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Oder was verstehst du unter "faktisch" (faktisch ist eh alles wurscht ?) ? |
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Hi Uli,
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1. Ist das falsch? 2. Nachdem Du ja offensichtlich meiner Einschätzung nichts abgewinnen kannst: Wie passt das Deiner Meinung nach zusammen? Zitat:
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In einem mitbewegten Bezugssystem würdest Du in unserem Beispiel nichts von einer Drehung mitbekommen. Was ist mit den von Dir beschriebenen "klassischen" Präzessions-Aspekten - Bemerkst Du davon als als lokaler Beobachter etwas oder "torkelst" Du da auch "ständig mit" - Wie siehst Du das? ;rolleyes: Zitat:
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Gruß EMI |
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Meinst Du, EMI? :rolleyes: ;)
Dann dreht er mich aber zumindest für den Rest durch den Wolf. :D |
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So eine Drehmatrix ist antisymmetrisch und nicht "asymmetrisch". "Asymmetrisch" würde bedeuten "ohne Symmetrie"; antisymmetrisch dagegen bezeichnet eine spezielle Art von Symmetrie, nämlich die, die mit einem Vorzeichenwechsel einhergeht. Ein Beispiel für eine Drehmatrix um einen Winkel Phi um die x-Achse ist http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/qft/img45.png Wie man sie, bekommt man die Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen aus den entsprechenden unterhalb, indem man ihr Vorzeichen flippt ("Antisymmetrie"). Die Boost-Matrizen dagegen sind symmetrisch, z.B. http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/qft/img46.png beschreibt einen drehungsfreien Lorentz-Boost in Richtung der x-Achse. Wie man sieht, bekommt man die Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen aus den entsprechenden unterhalb, indem man sie ohne Vorzeichenwechsel übernimmt ("Symmetrie"). Ich habe aber keine Lust und Zeit, darüber eine Vorlesung zu halten. Das war ja dein Thema und nicht meins; siehe z.B. http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/qft/node4.html Das ist die Seite, von der ich diese Formeln ausgeborgt habe. Gruß, Uli |
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Hi Uli,
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