Informationserhaltung beim Wellenkollaps
 

Hallo,
ich möchte von einer Idee berichten, die ich schon ein paar Jahre habe. Sie bezieht sich auf die Viele-Welten-Theorie und lässt erstmal die ART komplett außen vor. Ich betrachte dabei einen "inneren" und "äußeren" Beobachter des Universums.

Nach Everett kollabiert die Wellenfunktion gar nicht, sondern es gibt, bei einer Beobachtung, die zwei Ergebnisse A und B zulässt, nach der Messung den Beobachter A und Beobachter B. Ist es nicht so, dass man das Messergebnis A oder B als Information auffassen kann?


Meine Idee ist, dass die ganze Information, die ein innerer Beobachter über das Universum hat, aus solchen Kollapsen hervorgeht. Die Idee geht dahin, dass ein äußerer Beobachter gar keine Information feststellen würde.


Veranschaulichen will ich das an einem 0-1 String. Der innere Beobachter A würde vielleicht die Information über das Universum haben: 00110101. Der Beobachter B dann die Information: 11001010. Ein äußerer Beobachter hätte dann die Information: 11111111, wenn man beide Strings zusammen legt. Bzw er würde die Überlagerungen aus 0 und 1 wahrnehmen.


Es heisst, dass die Strukturen im Universum aus kleinen Quantenfluktuationen hervorgegangen sind. Wie ist das aus der Viele-Welten-Theorie zu erklären, wo ja gar kein Kollaps stattgefunden hat, und somit keine Quantenfluktuationen.


Ich würde zuerst gerne klären, was genau die Informationserhaltung in der Quantenmechanik heißt. Ich habe gelesen, dass die Kontinuität der Wellenfunktion gerade die Informationserhaltung ausmacht. Meiner Idee folgend, wäre das nicht so. Sondern, dass bei jeder Messung erst Information entsteht. Aber getrennt für Beobachter A und B.

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Der Informationsbegriff ist viel einfacher.

Die Information über eine Quantensystem ist vollständig in seinem Zustandsvektor kodiert. Dabei handelt es sich um einen eindimensionalen Vektor in einem unendlich-dimensionalen Hilbertraum. Diese Struktur alleine trägt jedoch zunächst überhaupt keine Information!

Vergleiche das mit dem Zeiger auf einer Uhr: die Information resultiert erst aus der Tatsache, dass du die Position des Zeigers bzgl. des Zifferblatt betrachtest.

In der Q; ist das analog: die relevante Information besteht aus der Position des Zustandsvektors bzgl. verschiedener Basensysteme, die ihrerseits wiederum durch verschiedene Operatoren (Observablen) definiert werden. Im Zuge der Viele-Welten-Theorie erfolgt eine Auswahl bevorzugter Basen aufgrund der sogenannten Dekohärenz; dies entspricht letztlich der spezifischen Konstruktion eines Messgerätes.

Information steckt also in der Position des Zustandsvektors bzgl. dieser Basis.

Und Informationserhaltung bedeutet lediglich, dass dieser Zustandsvektors immer einer unitären Zeitentwicklung unterliegt, d.h. insbs. keine stochastischen Sprünge durchführt. Die Sprünge würden die Informationserhaltung verletzen.

Im Rahmen der Everettschen Quantenmechanik ist Informationserhaltung immer gewährleistet.

Dies bezieht sich dabei immer auf einen hypothetischen Beobachter, der prinzipiell Zugang zum gesamten Hilbertraum hat, nicht auf einen konkreten Beobachter, der subjektiv tatsächlich eine Kollaps wahrnimmt

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Zustimmung.

Würde ich eher so formulieren: Dabei handelt es sich um einen Vektor in einem Hilbertraum. Die Dimension des Hilbertraumes kann im Rahmen der üblichen Quantenmechanik je nach System entweder endlich oder unendlich sein.

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Außer in Übungsgruppen zur QM1 ist der Hilbertraum eigtl. immer unendlichdimensional ;-)

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Ich bins nochmal.

Ich habe hier einige Threads gestartet und sehe jetzt, dass ich mir den Hilbertraum zunächst erstmal genau anschauen muss.

Ich sehe meine Idee hier noch nicht widerlegt. Mir geht es gerade um das Verhältnis der zwei "Beobachter". Einer, der die Gesamtwellenfunktion von außerhalb des Universums "sieht" und ein innerer Beobachter, der in genau einem Zweig der Möglichkeiten lebt.


Hierbei betrachte ich die Wellenfunktion (Zustandsvektor im Hilbertraum) vom Anfang des Universums (ohne die ART zu berücksichtigen). Ich stelle mir vor, dass der Zustandsvektor im Hilbertraum am Anfang "trivial" ist und jegliche Struktur nur in einem Zweig existiert.


Hierbei definiere ich anders, was mit Information gemeint ist. Für mich ist in diesem Gedankenexperiment Information das, was in einem Zweig beobachtbar ist.


Damit das überhaupt Sinn macht, wüsste ich gerne genau, was mit der Informationserhaltung beim Wellenkollaps passiert?

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Das ist so ziemlich die Sichtweise Everetts.

Die Struktur steckt nicht im Zweig, wenn überhaupt, dann definiert sie die Zweigstruktur.

Wenn du eine eigene Definition von Information einführen möchtest, dann musst du diesbezüglich Fragen selbst beantworten.

Nach der orthodoxen QM verletzt der Kollaps die Unitarität; Information geht dahingehend verloren, dass der Augangszustand vor dem Kollaps aus dem Zustand nach dem Kollaps nicht mehr rekonstruiert werden kann.

Aber wenn du eine Zweigstruktur nach Everett diskutieren möchtest, dann gibt es keinen Kollaps.

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"Nach der orthodoxen QM verletzt der Kollaps die Unitarität; Information geht dahingehend verloren, dass der Augangszustand vor dem Kollaps aus dem Zustand nach dem Kollaps nicht mehr rekonstruiert werden kann."


Das ist der Punkt. Durch den Kollaps kann der Ausgangszustand nicht mehr rekonstruiert werden. Aber auch umgekehrt gilt, dass der Zielzustand nicht unitär aus dem Ausgangszustand hervorgeht.


Meine Idee ist simpel. Ich sage: Durch den Kollaps geht nicht Information verloren, sondern es wird Information erzeugt. Was identisch ist, dass ich Information als den Zustandsvektor im Hilbertraum definiere.


Hinzu kommt, dass ich postuliere, dass der "Anfangszustand" im Hilbertraum trivial ist (ich betrachte hierbei keine ART). Nur für den inneren Beobachter, der einen konkreten Zweig sieht, gibt es konkrete "Strukturen". Ich will sagen, wenn der Anfangszustand trivial ist, so ist auch jeder Zustand trivial, der unitär aus diesem hervorgeht. Bzw. ein "äußerer" Beobachter, der "alle" Zweige sieht, würde einen trivialen Zustand des Universums sehen.


Das Ganze ist nur eine kleine Idee. Ich muss erstmal die Mathematik genauer verstehen. Die Idee beruht darauf, dass Informationsverlust auch als Informationsgewinn (in einem Zweig) gedeutet werden kann.

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Du musst zunächst mal deine Definitionen klar formulieren.

Was ist “Information”? Was ist ein “trivialer Zustand”? Was unterscheidet ihn von anderen Zuständen?

Evtl. solltest du dich nicht so sehr auf den Begriff Information versteifen; zur Formulierung der Problematik des Kollapses und zur Lösung des Problems gemäß Everett benötigst du ihn nicht.

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Ich denke, du bist auf dem richtigen Weg. Wobei TomS natürlich auch recht hat, wenn er schreibt:
TomS meint dabei die 'Information' aus Sicht des äusseren Beobachters. Für den äusseren Beobachter geht natürlich keine Information verloren und es entsteht auch keine.

Aus Sicht des inneren Beobachters entsteht aber tatsächlich Information. Etwas sehr Ähnliches passiert beim Unruh-Effekt oder bei der Hawking-Strahlung. Dabei meint die 'Information' die von Neumann Entropie, die das Äquivalent zur Shannon Entropie ist, nämlich in der Quantentheorie.

Ein Vakuumzustand eines Quantensystems in einem Gebiet O hat von Neumann Entropie null, enthält also null Information. Wird das Quantensystem aber in zwei Teilsysteme A und B geteilt, so enthalten diese beide eine Information, die grösser als null ist. Die so entstehende Information ist proportional zum Flächeninhalt der Trennfläche.

Die Trennung geschieht bei der Hawking Strahlung durch den Schwarzschildradius des schwarzen Loches. Beim Unruh-Effekt wird eine Rakete gleichmässig durch ein Vakuum beschleunigt. Dadurch entsteht hinter der Rakete ein Horizont, was dazu führt, dass der Pilot in der Rakete nicht mehr ein Vakuum um die Rakete herum sieht, sondern ein Bad von thermischen Teilchen. Damit haben Unruh und Hawking gezeigt, dass die Informationsmenge vom Beobachter abhängt.

Bei der Herleitung dieser Effekte sieht man, dass der Vakuumzustand zusammengesetzt ist aus verschränkten Zuständen. Durch den Horizont werden die Verschränkungen getrennt, so dass jeder Teilbereich Information enthält. Übrigens zeigt eine Berechnung von C.F. von Weizsäcker und Thomas Görnitz, dass der Rand des Universums gerade so viel Information enthält, wie zur Beschreibung aller Teilchen des Universums benötigt wird.

Ich denke, wir sollten Verschränkungen als Grundelemente der Information anschauen. Wenn ich nur einen Teilbereich des verschränkten Systems sehe, habe ich Information über den anderen Bereich. Wenn ich das System als Ganzes sehe, habe ich aber keine Information über die Teilbereiche.

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Naja, für Spinoren ist er doch recht überschaubar. :)

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Ich bin da skeptisch.

Man findet oft die Analogie zwischen der von-Neumann- und der Shannon-Entropie. Dabei bleibt jedoch unklar, wie die Information konkret kodiert sein soll.

Lassen wir in der Quantenmechanik mal die - spannende - Frage weg, wie die in einen Quantenzustand enthaltene Information wieder extrahiert werden kann.

Betrachten wir dann QBits in einem reinen Produktzustand, also

|ψ> = |ψ₁> ⊗ |ψ₂> ⊗ ...

|ψ₁> = a|0> + b|1>

Damit trägt jedes QBit die Information, die in (a,b) modulo globale Phase kodiert ist. Natürlich kann man auch verschränkte Zustände zulassen. Diese Information kann man durch Quantenlogik weiterverarbeiten oder durch Messung = Projektion als klassische Information extrahieren.

Dieser reine Zustand wird beschrieben durch den Dichteoperator

ρ = |ψ><ψ|

Betrachten wir nun stattdessen einen thermischen Zustand. Dieser wird beschrieben durch einen Dichteoperator für β = 1/kT

ρ(β) = exp[-βH] / Z(β)
Z(β) = tr exp[-βH]

mit der Spur

tr exp[-βH] = ∑ <N|exp[-βH]|N>

|N> läuft über die Zustände

|0...0>, |10...0>, |010...0>, ... |110...0>, |101...0>, ... |111...1>

nun ist offenbar

S(β) = - tr(ρ ln ρ) > 0

Aber - welche Information ist denn nun in diesem Zustand tatsächlich kodiert und kann ausgelesen werden?! Man stellt doch offfenbar fest, dass außer der Temperatur T alle thermischen Zustände keine weitere verwertbare Information tragen. Anders gesagt: welche Information ist in einer Folge von QBits gespeichert, über die man nichts weiß, außer dass sie thermisch sind?

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Danke für die schönen und kompetenten Ausführungen! - Leider bedeutet 'Information' auch unter Wissenschaftlern völlig unterschiedliche Sachen. Du verstehst Information, in der obigen Beschreibung zumindest, als vom Menschen verwertbare Information. Für einen Informationstheoretiker, der Nachrichten übermitteln will, hast du vollkommen recht.

Ich denke aber, hier müssen wir eine ganz andere Art von Information betrachten. Wenn du zwei gleichartige und gleich grosse Kasten mit einem gleichartigen und gleich heissen Gas darin hast, sind diese Kasten aus Sicht des Informationstheoretikers gleich. Mit so einem Kasten kannst du keine Information übermitteln, die über die Kastengrösse, Druck, Temperatur und Art des Gases hinausgeht. Aber aus Sicht der Natur sind die Kasten überhaupt nicht gleich. Das erkennst du, wenn du in beide Kasten einen Sensor stellst, der die Zeit bis zum ersten Stoss eines Gasteilchens messen soll. Diese Wartezeit kann sehr unterschiedlich sein. Die Information, die im Kasten enthalten ist, muss auch reichen, um diese Wartezeit zu berechnen.

Diese Art von Information entsteht an Horizonten. Man könnte natürlich sagen, die thermischen Teilchen seien in einer Superposition aller Zustände und es ist in der Natur noch gar nicht festgelegt, wann der erste Sensor anspricht. Dann aber entsteht die Information spätestens beim Stoss durch das Teilchen, also bei der Beobachtung. So wie Simon_St. dies etwa erwartet.

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Möglicherweise.

Ja.

Wenn du diese Information kodieren möchtest, dann darfst du den Kasten nicht als statisches Gemisch betrachten, sondern als quantenmechanisch reinen Zustand; dann hat er keine Temperatur, dafür jedoch einen definierten Mikrozustand, aus dem dies alles folgt.

Nein, an Horizonten entstehen - wenn Hawking et al. Recht haben - thermische Zustände, die diese Information nicht tragen. Wenn du annimmst, dass Hawking’s Berechnungen durch eine exakte Berechnung ersetzt werden müssen - wovon heute die meisten ausgehen - dann wäre diese Information kodiert, aber dann läge eben kein thermischer Zustand vor.

Ein statistisches Gemisch mit Entropie größer Null ist kein Superpositionszustand.

Gemäß unserer Beschreibung ist es das nicht.

Das ist wieder etwas anderes: im Zuge einer Messung erhalte ich - nach der orthodoxen Interpretation - einen reinen Zustand als Eigenzustand der Messgröße. Ja, dadurch entsteht in gewisser Weise Information. Das hat nun aber erstens nichts mit Horizonten und Thermodynamik zu tun, sondern mit dem Projektionspostulat. Fakt ist aber, dass die vor der Messung vorhandene und im Zustand kodierte Information zum Teil zerstört wird.

Einfaches Beispiel: du wirfst eine Zeitung weg, sie wird recycelt wodurch der Text zerstört wird, am nächsten Tag erhältst du eine neue Zeitung mit neuem Text; offenbar ist die alte Information verloren gegangen.