Basen der Loop QGT
 

Hallo! Ich beschäftige mich gerade verschärft mit Spin-Netzwerken und der Loop-Quantengravitation. Jetzt habe ich eine Frage, da bei mir das Verständnis an einer Stelle leider ziemlich hakt.
Die Loop verwendet doch holonome Basen, richtig? Holonom heißt doch dann, daß die Basis-Vektoren aus Koordinaten ableitbar sind und dass sie nur in einfach zusammenhängenden Umgebungen gelten. Die kovarianten Basis-Vektoren sind dann die Tangenten an die krummlinigen Koordinaten und kontravariant die Normal-Vektoren.
Ich kann mir diese Basen gut vorstellen.
Aber was ist dann eine anholonome Basis?? Ich hab nur gelesen, daß diese eben nicht aus Koordinaten ableitbar ist. Wie kann man das veranschaulichen?
Wann ist eine Umgebung nicht einfach zusammenhängend?
DANKE, ghosti !

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Ich kenne mich mit dieser Quantisierung nicht besonders gut aus. Meinst Du einen Wilson-Loop?

So wird das in der ART generell benutzt.

mag sein. Bin mir aber nicht sicher, ob das zwingend so sein muss.

Eine Tetrade: https://en.wikipedia.org/wiki/Frame_...ral_relativity

Das kommt aus der Topologie: https://de.wikipedia.org/wiki/Zusamm...enh%C3%A4ngend

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Danke dir.
Ich habe nur den Namen der Theorie abgekürzt.. ;)
Das mit dem einfach zusammenhängend hab ich inzwischen raus.
Ob der Tetradenformalismus generell gilt war mir nicht ganz klar..
Kann man das über die Formel für die Metrik identifizieren?
Du weißt schon, der Zusammenhang zwischen Metrik, geradlinigen und krummlinigen Koordinaten über partielle Ableitung.
Dann ist Metrik außerdem noch als bijiektive affine Abbildung definierbar, wenn ich das gerade so richtig nenne. In dem Fall kann ich zwischen nichtzusammenhängenden Gebieten einen Zusammenhang herstellen, wenn ich nicht ganz falsch liege.

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Die Metrik ist letztlich quadratisch in den Vierbeinen; und das gilt immer in der Riemann- sowie der Riemann-Cartan-Geometrie.

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In dem link stand etwa, daß man n-beine wie eine Quadratwurzel der n*n-Matrix sehen kann.

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ich würde das eher umgekehrt sehen

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Gemeint ist das hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Frame_...ordinate_basis . Du kannst aus dem Tetradenfeld also jederzeit die Metrik rekonstruieren. Und so gesehen ist das Tetradenfeld fundamentaler als die Metrik. Der große Vorteil des Tetradenformalismus zeigt sich bei der Berechnung des Krümmungstensors mit Hilfe der Krümmungsform, weil man dann anstelle von 20 nur noch 6 unabhängige Komponenten hat. Im Ricci-Kalkül schleppt man also unnötigerweise immer auch die Eigenschaften der Koordinaten mit und genau das fällt bei den Tetraden weitgehend weg. Im MTW wird das alles (übrigens auch formal) sehr gut erklärt. Wenn Du diesen Formalismus erlernen willst, würde ich an erster Stelle dieses dicke Buch empfehlen. Dort wird pratkisch nur damit gerechnet und argumentiert.

Kennt man den "Cartan-Kalkül", kann man sich auch noch den Newman-Penrose-Formalismus anschauen. Bei dem liegen die Feldgleichungen dann in erster Ordnung vor. Allerdings wird der NP-Formalismus innerhalb der LQG (was ich bisher so gesehen habe) eher selten verwendet.

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Für die LQG sind die Palatini-Formulierung sowie die selbst-duale Palatini-Formulierung interessant.

Ashtekar verwendet dann den ADM-Formalismus für eine 3+1 dimensionale, kanonische Formulierung.

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Bevor du dich in den Formelkram stürzt, solltest du dir darüber klar werden, wozu das Unternehmen LQG gut sein soll.

Zunächst stellt man fest, dass eine perturbative Quantisierung von Fluktuationen der Raumzeit auf dieser als Hintergrund zu einer nicht-renormierbaren Theorie sowie weiteren konzeptionellen Problem der Hintergrundabhängigkeit führt. Dann hat man in der üblichen Formulierung der Relativitätstheorie eine hochgradig nicht-lineare Lagrangedichte, verziert mit Wurzeln der Metrik usw., woraus im Zuge der Quantisierung nicht-triviale Divergenzen folgen.

Also sucht man nach einer klassischen Umformulierung der Lagrangedichte, die eine sinnvolle Quantisierung der gesamten Raumzeit ermöglicht.

Zunächst stellt man fest, dass eine Lagrangedichte L[x] mit höheren Potenzen einer dynamischen Variablen x auch als Lagrangedichte L[x,y] mit niedrigeren Potenzen mehrerer Variablen x,y geschrieben werden kann. In letzterer kann man eine Variable y formal als Funktion der anderen x auffassen, d.h. formal als y(x) lösen und wieder in L[x,y(x)] einsetzen; man erhält das ursprüngliche L[x] zurück.

Dies entspricht dem Formalismus erster Ordnung, in der neben den n-Beinen eine zusätzliche Zusammenhangsform auftritt.

Das Einführen der n-Beine entspricht dem Einführen einer Basis im Tangentialraum. Offenbar ist man bzgl. der Wahl dieser Basis in jedem Punkt der Raumzeit frei; dies entspricht einer lokalen Eichsymmetrie, nämlich der lokalen Rotation der Basis. In der 4-dim. Raumzeit ist dies gerade die SO(3,1) als lokale Lorentzinvarianz. Das Eichfeld entspricht der o.g. Zusammenhangsform. D.h. man erweitert die Anzahl der dynamischen Variablen, jedoch zugleich die Anzahl der Symmetrien. In 3+1 Dimensionen mit Ashtekar-Variablen ist die Vorgehensweise ähnlich, diese Variablen sind jedoch sehr speziell.

In den vergangenen Jahren wurden diverse Variablen zur Ableitung der LQG untersucht. Klassisch sind diese äquivalent, die Quantisierung kann subtile Unterschiede aufweisen.

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Dass man in der Wahl der Basis frei ist, wundert mich eigentlich nicht.
Letztlich ist die Metrik eine relative Größe. Mann kan immer Koordinaten wählen, in denen die Metrik lokal der Minkowski- Metrik entspricht. Zumindest nach meinem Wissensstand.
Daher rührt auch mein Leitspruch..
LG ghosti

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Mal eine Frage nebenher..
Wie äussert sich die Unschärfe in der LoopQGT?? Ich hab bisher den Eindruck, sie äussert sich gar nicht. Ich lese immer nur, wenn sich der Raum (diskret) umknüpft, dann macht die lokale Uhr ein diskretes Tick.
Ich vermisse an der Stelle Herrn Heisenberg.

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Wenn du Zusammenhangsform und 3-Beine oder später Spins als fundamentale Entitäten ansiehst, dann folgt die Unschärfe direkt auf dieser Ebene.

Viel schwieriger - und bis heute m.E. nicht wirklich verstanden - ist die Fragestellung, welche zumindest prinzipiell beobachtbaren Konsequenzen dies hätte. Zusammenhangsform und 3-Beine sind nicht eich- bzw. diffeomorphismus-invariant und daher nicht beobachtbar.

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Müsste man nicht im Grunde tiefer gehen?
Letztlich ist das wirklich relevante in der ART die Krümmung
oder etwa nicht? Und selbst dann ist der Tensor
in den Komponenten nicht eindeutig sondern eher insgesamt, als Entität.
Das wäre dann allerdings weit jenseits
der Linearität der Quantenmechanik....

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Man geht ja tiefer.

Der Aufbau lautet im Wesentlichen:

Tetraden+Zusammenhangsform => (Metrik) => Krümmungstensor

Man kann letzteres auch ohne Metrik darstellen

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Sorry, dann hab ich das mit der Beobachbarkeit vorhin fehlinterpretiert :)

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Sorry, ich war unpräzise:
Aus der mathematischen Formulierung der Theorie müssen ja prinzipiell beobachtbare Größen, d.h. Observablen abgeleitet werden. Die Zusammenhangsformen entsprechen Eichfeldern; diese sind bekanntlich nicht eichinvariant und somit auch nicht direkt beobachtbar. Die 3-Beine entsprechen in etwa Feldstärken; auch diese haben noch eine SO(3) Eichfreiheit und sind demnach - anders als in der Elektrodynamik - ebenfalls nicht beobachtbar.

Im Übrigen ist auch der Krümmungstensor nicht beobachtbar.

Beobachtbare Größen müssen eichinvariant und diffeomorphismen-invariant sein. Das trifft in der ART z.B. auf die Eigenzeit entlang einer Weltlinie zu.

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Ich weiß, ich bin unbelehrbar.. :D
Ich möchte nur einmal ins Blaue fabulieren, dann gehe ich zurück zu harter Mathe:
Angenommen eine Geodäte setzt sich stückweise aus der Plancklänge zusammen. Dann wäre ihr Längenquadrat einer Wirkung proportional. Dann hab ich einen direkten Zusammenhang zwischen einer physikalischen Vierer-Invarianten und einer geometrischen Invarianten.
Dabei ist nicht zu vergessen: eine bestimmte Koordinate auf der Geodäten wäre nach wie vor relativ.

Ich werde in ein paar Monaten darauf zurückkommen.

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Ja, das bestreite ich nicht, das war ja auch mein Beispiel einer Observablen in der ART. Es ist nur leider so, dass derartige Konstruktionen in der LQG nicht funktionieren.

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Dann hab ich bisher mehr mißverstanden als ich dachte. Ich hab angenommen, daß dies eine Grundlage der Theorie ist. Haben die Linien zwischen den Knoten nicht Plancklänge? Warte.. entsprechen die Linien eher den Basen und die Ashtekar-Variablen der Konnexion? Ich glaub ich brauch ein besseres Buch... :( Und mehr englisch :) die englische Wiki ist viel ausführlicher zB
Es gab übrigens schon sehr ausführliche Arbeiten die mit quantisierten Geodäten argumentierten. Zumindest grundsätzlich

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Die Linien “haben” zunächst gar keine Länge. Sie tragen einen Spin als dynamisches Objekt. Eine “Länge” folgt als abgeleitetes Objekt.

Hier ein Paper, das sich ausführlich mit der Problematik befasst, den Begriff “Länge” im Rahmen der LQG überhaupt zu definieren.

https://arxiv.org/abs/0806.4710
The length operator in Loop Quantum Gravity
Eugenio Bianchi
(Submitted on 28 Jun 2008 (v1), last revised 11 Sep 2008 (this version, v2))
The dual picture of quantum geometry provided by a spin network state is discussed. From this perspective, we introduce a new operator in Loop Quantum Gravity - the length operator. We describe its quantum geometrical meaning and derive some of its properties. In particular we show that the operator has a discrete spectrum and is diagonalized by appropriate superpositions of spin network states. A series of eigenstates and eigenvalues is presented and an explicit check of its semiclassical properties is discussed.

AW: Basen der Loop QGT
 

Welches Paper? Link vergessen ? :)

So langsam verstehe ich glaub ich, warum die Macher vom E-Feld sprechen. Ist hier das analog gemeint , so wie die Metrik zum e-Potential steht,steht die Ashtekar-Variable zur Feldstärke?

Ich war inzwischen fleißig, auch wenn mir noch Grundlagen fehlen. Nur eine Fingerübung. Koordinaten definiert, Vierbein über kov. Ableitung, dann Metrik.
Dann gings ans Eingemachte. Nur die Determinante ganz allgemein hinzuschreiben war eine Herausforderung. Da jeder Term in vierter Potenz der metrischen Komponenten ist, ist die Aufdröselung nach den Basis-Vektor-Komponenten in achter Potenz (pro Summand meine ich). Und da hab ich noch nichtmal alles ausmultipliziert. Wenn man alle höheren Potenzen streicht bleibt nur eine Hauptdiagonale.
Und die ist dann summarisch wie -1*(1+ Summe über 4lineare de + summe über 6 de^2 + summe über 4 de^3 + 1 de^4)
Eigentlich logisch denke ich.

PS: geht hier eigentlich LaTex und wo kann man nachlesen wie?

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Link ergänzt ;-)

Metrik und e-Potential??

Zusammenhangsform A und 3-Bein E stehen - bis auf algebraische Komplikationen - im selben Zusammenhang wie Vektorpotential A und elektrisches Feld E.

AW: Basen der Loop QGT
 

Siehe das hier: http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1949 . Eventuell gibt es dieses Jahr ein Update der Forensoftware, allerdings ohne konkreten Termin.

inverse der vierbeine
 

Hallo und schönen Abend ;) !
Ich habe ein Problem bei der Berechnung der Christoffel-Chips äh Symbole :D
Hier steht Vier-Bein und Inverse ergeben das Kronecker-Delta.
Ich hatte eher erwartet es ist die Metrik nü.
Dann ist das Produkt der Beine (meine "gestörte" Metrik) allerdings negativ in der Ränderung tx, ty, tz bzw xt, yt, zt.
Leider finde ich aktuell keine andere Quelle.

Von allgemeinen Vektoren kenne ich es so, daß die Anwendung der Minkowski-Metrik nur X0 negiert.
Was stimmt den nu.. ?

Schon korrigiert!! Ist ja logisch. Wenn die g Kronecker ergeben, dann auch die Basen-Vektoren im einzelnen?

Ich möchte nur kurz erläutern. Um die Mathe wirklich zu verstehen, habe ich mir die Aufgabe gestellt von Basis-Axiomen an alles durchzurechnen. Aktuell bin ich bei der Konnexion. Da fehlte mir noch die kontravariante Metrik um das Gesamtverhalten zu bestimmen.
Dann versuche ich Riemann, Ricci- und Einstein-Tensor. Ev. versuche ich auch den Einfluß der Axiome auf die EH-Wirkung zu bestimmem.
Ist aba wirklich nur eine Übung, da mir die Axiome der Loop noch nicht ganz klar sind.

AW: inverse der vierbeine
 

Für welche Metrik möchtest Du die "Chips" denn berechnen oder geht es eher um das prinzipielle Verständnis ;) ?

AW: Basen der Loop QGT
 

Ich mache bei Gelegenheit ein Bild.

Zur Loop nochmal: Es gibt das Spin-Netzwerk mit Knoten und Linien, die Größe Spin tragen.
Dann gibt es die Duale Darstellung. Zu den Linien gehören jetzt (Grenz)-Flächen, zu den Knoten Volumina.
Ich hatte daher nicht erwartet, daß die Berechnung von Längen solche Probleme bereitet.
Ich verstehe die Dualraum-Darstellung der ART.. Ist der Zusammenhhang zumindest ähnlich?

Ps: bevor ich etwas offen stelle. Gibt es in Word das Symbol für Tensorprodukt? Ich kann es leider nicht finden. Danke!

Nachtrag. Da ich meinen Vierbein-Ansatz ursprünglich in Bezug auf eine ottonormale Minkowski-Metrik definiert habe, dürfte sich zwischen kovariant und kovariant prinzipiell nix ändern oder ? Ausser der Schreibweise, also Zeilen- oder Spalten-Vektor.

AW: Basen der Loop QGT
 

EDIT: In Word gibt es Sonderzeichen und hier im Forum gibt es das Html-Sonderzeichen: ⊗. Ich persönlich bevorzuge außerhalb des Forums LaTeX.

AW: Basen der Loop QGT
 

Ganz so einfach ist das nicht. Man muss die Diskretisierung geeignet einführen, ansonsten geht die Dualität verloren. Ich bin mir nicht sicher, ob das bei der LQG bereits vollständig verstanden ist.

Zur Erklärung: zu jeder Triangulation mittels Simplizes (Volumina, Flächen) gehört ein Graph, aber nicht zu jedem Graph gehört eine Triangulation; Graphen sind allgemeiner. Probier’s mittels Graphen auf einer Fläche selbst aus.

Nun, man muss erst mal auf Basis der fundamentalen Freiheitsgrade (Ashtekar-Variablen) ein mathematisches Objekt konstruieren, das eine Länge repräsentiert.

Was meinst du damit?

Superposition
 

Hallo zurück!
Ich bin inzwischen mit meinem Selbst-Studium relativ weit gekommen.. glaub ich.
Ich habe jedoch eine Frage. Was mich brennend interessiert:
Gibt es eine allgemeine mathematische Beweisführung dafür, ob eine neue Funktion superpositions-fähig ist? DANKE!!

AW: Superposition
 

Die Lösungen linearer Differentialgleichungen sind "superpositionsfähig". Will sagen, wenn
x(t) eine Lösung ist und y(t) auch, dann ist ganz allgemein

a*x(t) + b*y(t)

ebenfalls eine Lösung (aber nur, wenn die Dgl linear ist!)

Siehe z.B.
http://www.math.purdue.edu/~krotz/te...erposition.pdf

Nichtlokalität in der Loop QGT
 

Ich werde auf Superposition nochmal zurück kommen...

Eine Frage, die uns wieder zum Leit-Thema führt :)

Die Mathematik der ART bedingt meines bisherigen Wissensstandes nach eine kausale Struktur der Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit.
Veränderungen in einem Punkt hängen nur von der direkten Umgebung ab.

Ist das in der Loop so noch eins zu eins gegeben?
Wenn ich nur "geometrisch" drüber nachdenke, dürften die Erzeuger- und Vernichter-Operatoren nur ganz bestimmte rein lokal definierte Umverknüpfungen bedingen.
Andererseits soll das ganze die QM implementieren. Und da kommt der Wahrscheinlichkeitsaspekt, ausgedehnte Wellenfunktion, Nichtlokalität ins Spiel..

Ich bin mir nicht sicher...

DANKE! ghosti

AW: Nichtlokalität in der Loop QGT
 

Man weiß ja fast seit den Anfängen der Quantenmechanik, wie sich allgemeine Raumzeiten auf quantenmechanische Modelle auswirken, dagegen bis jetzt sehr wenig darüber, wie sich die Grundlagen der QM auf allgemeine Raumzeiten auswirken.

Das spiegelt auch die Situation der Experimente wieder, da wir technisch (meines Wissens nach) nicht in der Lage sind Gravitationsfelder mit so großer Präzision zu vermessen, dass Quanteneffekte wichtig werden. Es ist sogar schwierig derartige Experimente prinzipiell zu konstruieren. EDIT: MMn muss man sich dabei auch darauf einstellen ganz neue Effekte zu finden. Spin-Netzwerke deuten es in gewisser Weise an, dass man sich hier eventuell von lieb gewordenen Denkschemata verabschieden muss.

AW: Nichtlokalität in der Loop QGT
 

Ja.

Genauer: von einer Hyperfläche, die den Verhangenheitslichtkegel vollständig schneidet.

Klassisch ja, nach Quantisierung und Regularisierung ist dies noch unklar, da der Hamiltonoperator noch nicht eindeutig konstruiert werden konnte.

Ja, in gewisser Weise schon. Es kann irgendwie keine beliebigen neu entstehenden Links im Spinnetzwerk geben.

Andererseits ist ein von Thiemann konstruierter ultra-lokaler Hamiltonoperator unbefriedigend, da er nur um einen existierenden Vertex herum neue Links erzeugt, jedoch dadurch keinen „neuen Raum erzeugt“.

Die Konstruktion des Hamiltonians ist mehrdeutig und noch nicht vollständig verstanden.

AW: Nichtlokalität in der Loop QGT
 

Es gibt ein paar interessante differentialgeometrische Aspekte, die die globale Struktur der Raumzeit mit lokalen Eigenschaften in Verbindung bringen. Z.B. hängen quantenfeldtheorerische Anomalien klassischer Erhaltungsgrößen von der Topologie ab; ein Beispiel ist die Masse des eta-prime-Mesons. Bestimmte Raumzeiten sind ausgeschlossen, z.B. lassen nicht-orientierbare Raumzeiten = höherdimensionale Verallgemeinerungen der Kleinschen Flasche keine Spinorfeldee zu.

Es gibt seit einigen Jahren Interferenzexperimente mit Neutronen, die die lokale Schwerebeschleunigung g vermessen. Das sind jedoch Experimente mit Quantenobjekten in einer klassischen Raumzeit.

Sicher.

Und das trifft auch auf andere Ansätze zu.

AW: Nichtlokalität in der Loop QGT
 

Da es sich hier wohl eher um ein Modell zur Berechnung der Masse handelt, wäre eine weiterführende Literaturangabe interessant.

S.a.: https://de.wikipedia.org/wiki/%CE%97-Meson

Yep. Astronews.com hat darüber berichtet.

AW: Nichtlokalität in der Loop QGT
 

BTW: Die kleinsche Flasche beruht ja angeblich auf einem Übersetzungsfehler. Der englischsprachige Übersetzer hatte dabei angeblich "Fläche" mit "Flasche" verwechselt. Ob das stimmmt weiß ich nicht und ist auch nicht wirklich wichtig. Es gibt aber immerhin eine recht plausible Erklärung für den etwas ungewöhnlichen Namen dieser Fläche ab :) .

Ein deutlich einfacheres Beispiel einer nicht-orientierbaren Fläche ist das einfach verdrehte Möbiusband.

Darüberhinaus bin ich mir nicht sicher, ob der Satz so in der vollen Allgemeingültigkeit stimmt. Man könnte z.B. ein Spinorfeld auf einem "aufgeschnittenen" Möbiusband definieren und das Feld zum Rand hin exponentiell auf Null abfallen lassen. Anschließend "klebt" man das Band zusammen mit dem Feld wieder zu einem einfach verdrehten Möbiusband und hat damit ein stetiges Spinorfeld definiert.

AW: Nichtlokalität in der Loop QGT
 

Doch, das stimmt:

https://en.wikipedia.org/wiki/Spin_structure

... necessary and sufficient conditions for the existence of a spin structure on an oriented Riemannian manifold (M,g). The obstruction to having a spin structure is a certain element [k] ... the second Stiefel–Whitney class ...

Sie auch hier:

https://mathoverflow.net/questions/8...spin-manifolds

A surface is orientable if and only if it contains no Moebius bands -- a regular neighbourhood of any simple closed curve must be a cylinder ... a surface admits a spin structure if and only if it is orientable.

AW: Nichtlokalität in der Loop QGT
 

Es handelt sich - leider - nicht um ein Modell zur Berechnung der Masse sondern lediglich um einen Ansatz, die Massendifferenz zu verstehen:

η : 547.862 ± 0.018 MeV
η′ : 957.78 ± 0.06 MeV

Aufgrund des höheren s-Quarks-Anteils sollte das η etwas schwerer sein; es ist jedoch deutlich leichter.

Beide Mesonen sollten Pseudo-Goldstone-Bosonen zur SU(3)-Flavor sein; das η′ ist jedoch der skalare Partner entsprechend der axialen U(1), die nichts spontan sondern durch eine Anomalie direkt gebrochen ist, weswegen, der Goldstone-Mechanismus nicht greift und das Meson schwer bleibt. Die Anomalie kann mittels Feynman-Diagrammen berechnet werden.

Der eigentlich spannende Aspekt ist jedoch, dass sie mit der Topologie des Faserbündels über der Riemannschen Mannigfaltigkeit zusammenhängt:

https://en.wikipedia.org/wiki/Fujikawa_method
https://en.wikipedia.org/wiki/Chern_class

https://pdfs.semanticscholar.org/f2b...f97c2d1117.pdf

AW: Nichtlokalität in der Loop QGT
 

Ja, das ist interessant, bedeutet aber mMn vor allem, dass die Massendifferenz über die Bindungsenergien der Quarks erklärt wird. Dass dabei differentialgeometrische Methoden verwendet werden können, liegt an der Struktur der QCD. Die verwendete Raumzeit ist dabei aber (so weit ich weiß) immer gleich der Minkowski-Raumzeit.

Ich wollte oben lediglich erwähnt haben, dass man den Einfluss der unquantisierten Gravitation auf die Felder der Elementarteilchenphysik auch für sehr starke Gravitationsfelder bereits relativ gut beschreiben kann.

AW: Nichtlokalität in der Loop QGT
 

Ja, natürlich.

Ja.

Mir ging es um
Z.B. folgt aus der Existenz von Spinorfeldern, dass die Raumzeit global orientierbar sein muss.

Fraktale Massen ;)
 

Wo wir gerade über Massen reden.. Ich frage mich, ob es
irgendwann Berechnungen gibt, die Massen bzw. allgemein Ladungen (und damit WW-Konstanten) irgendwie iterativ über Nichtlineare Gleichungen berechnen,
wie in der Fraktalen Geometrie. Wie ich darauf komme?
Weil sämtliche bek. Werte so unrund ausfallen, sowohl absolut wie auch im Verhältnis. Eben zb. kommt im Verhältnis ziemlich genau Wurzel von Drei raus.
Solche Verhältniszahlen finde ich oft.. Wurzel von 3, von Pi, von e.
Seltener Quadrate von solchen Werten.
Aber solche Verhältnisse sind nie exakt erfüllt.. egal. Zahlenmystiker gibt es genug..

AW: Nichtlokalität in der Loop QGT
 

Besser gesagt bedingt das Eine scheinbar das Andere, um kein "Henne-Ei-Problem" zu bekommen.

Möglicherweise kann man dazu aber und wie bereits gesagt lokale Ausnahmen (*) finden, die dann prinzipiell eher spekulativer Natur sind, weil das Standardmodell der Kosmologie sowieso eine orientierbare Raumzeit fordert.

(*) Auf nicht-orientierbaren Mannigfaltigkeiten gibt es normalerweise zumindest lokale Orientierungen (= geordnetes System von Basisvektoren), auf denen dann auch lokale Spinorfelder existieren sollten.

AW: Fraktale Massen ;)
 

Im Rahmen des Standardmodells können wir das nicht; die Kopplungskonstanten der fundamentalen Teilchen miteinander sind freie Parameter.

Für nicht-elementare Teilchen wie Mesonen (Pionen, ...) sowie Baryonen (Proton, Neutron, ...) ist das möglich, jedoch numerisch sehr aufwändig.

AW: Nichtlokalität in der Loop QGT
 

Ich sehe hier kein Henne-Ei-Problem: wir beobachten Spinor-Felder, also muss dir Raumzeit bestimmte Bedingungen erfüllen; umgekehrt kann das nicht funktionieren, da die Bedingungen globaler Natur und damit nicht experimentell beobachtbar sind.

AW: Fraktale Massen ;)
 

Eben.. du hast übersehen, dass ich nichtlinear gesagt habe.
Irgendwer hat mal vermutet, daß sich das strikt lineare Verhalten der Quantenmechanik approximativ aus etwas nicht-linearem ergeben muss. Das wäre eine Theorie, die über Stdt-Physik hinaus geht.
Aber um so etwas überhaupt in Betracht zu ziehen, müssten Axiome der Quantenphysik hinterfragt werden..
Und dafür gibt es keinerlei Anlass..

Aber eigentlich will ich auf so etwas gar nicht hinaus. Die Unrundheit der Ladungs-Stärken wundert mich nur immer wieder. Dazu gehören alle fermionischen Massen.
ZB Kaluza-Klein-Theorie: es ist möglich Elektromagnetismus in ihrem Rahmen geometrisch zu deuten. Vielleicht könnte man hier EM-Wellen beschreiben. Vielleicht sogar Photonen. Es ergibt sich aber keine Möglichkeit die Größe der el. Ladung abzuleiten. Die Quantisierung durch Kompaktifizierung nach Klein musste dieser mit einem passrnden Radius in die Theorie geben. So eine Art Analogie zu einem Gravitationsradius, welcher dann aussieht wie Planklänge dividiert durch die Wurzel von 137

AW: Fraktale Massen ;)
 

Habe ich nicht.

Die wesentlichen Gleichungen der Quantenfeldtheorien sind nicht-linear.

AW: Fraktale Massen ;)
 

Sorry, mein Missverständnis.

AW: Basen der Loop QGT
 

Nochmal zur Erklärung. Auch in der Quantenchromodynamik erhält man die Zustände und deren Massen letztlich aus der Lösung der Schrödingergleichung. Dieses lautet formal

(H - E) |ψ> = 0

H steht dabei für den Hamiltonoperator, der von den Quark- und Gluonfeldern abhängt:

H = H[q,A]

|ψ> steht für die Eigenzustände, also Baryonen (Proton, Neutron, ...) und Mesonen (Pionen, ...).

Die Schrödingergleichung ist linear bzgl. der Wirkung von H auf |ψ>, d.h. du kannst wie üblich Superpositionszustände bilden. Das können z.B. Wellenpakete als Superposition von Protonzuständen mit unterschiedlichem Impulsen sein.

Die Schrödingergleichung ist jedoch nichtlinear bzgl. Felder in H[q,A].

Das ist ganz analog zur nichtrelativistischen Quantenmechanik.

Inverse einer Metrik
 

Tut mir leid, wenn ich nerve ..
Ich komme bei einer grundlegend wichtigen Formel einfach nicht weiter..
Metrik mal Inverse ist Kronecker ok.
Aber wie löst man nach der Inversen auf?
Ich finde einfach kein Beispiel wo man es wirklich Schritt für Schritt sieht.
Ich kriege es nicht mal mit einzelnen Basisvektoren hin ☹
Muss ich die Tensoren in ein Gleichungssystem umschreiben?
Anders kann ich es mir nicht erklären.
Tatsächlich könnte ich es mir mit Metrik sogar einfacher vorstellen: 3 Matrizen gleicher Größe solange umstellen, bis die Eins-Matrix links steht. Aber Vektor zu dualem Vektor??
Ich hätte zu gern mal ein Beispiel in zwei Dimensionen
DANKE!

AW: Inverse einer Metrik
 

siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Matrix