Kopplungkonstante Gravitation
 

Schönen Abend!
Es heisst, das Gravitation unter anderem nicht renormierbar ist, weil die Kopplungskonstante nicht einheitenlos ist. (störungstheo. Entwicklung auf Basis der Einstein-Hilbert-Wirkung)
Äh, welches ist die KK und welche Einheit hat sie?
Ich dachte immer es sei
alpha(g) = y*m^2 / (h*c) (reduziertes h natürlich)
DANKE!!

AW: Kopplungkonstante Gravitation
 

Ich kenne keinen wirklichen Beweis der Nicht-Renormierbarkeit der Gravitation.
Es ist aber tatsächlich so, dass man nicht annimmt dass Powercounting noch zum
Ziel führt. Einen mathematischen Beweis gibt es dafür allerdings nicht.
Wenn man sich die Einstein-Hilbert-Wirkung hinschreibt, so sieht man den Ricci-Skalar R mit [m^2] und das Integral mit [m^-4], der Vorfaktor muss also Dimension [m^2] haben, was bei einem Vorfaktor von 1/K für K [m^-2] bedeutet.
In der Störungsreihe (um die Minkowski Metrik) führt dies für jede Ordnung zu immer noch mehr "Loop"-Termen, damit die Wirkung dimensionslos bleibt, was gleichzeitig bedeutet, dass man unendlich viele Counter-Terme einführen muss.
Das funktioniert so also nicht wirklich.

Zu der ganzen Thematik mit Renormierbarkeit der Gravitation. Das Standard-Modell beinhaltet Eich-Theorien, sog. Yang-Mills-Theorien. Vereinfacht ausgedrückt liefern die Yang-Mills-Gleichungen dir die Wirkung zu gegebener Symmetrie und Mannigfaltigkeit. Nimmt man zum Beispiel U(1) und flachen Minkowski-Raum, so liefern die Yang-Mills-Gleichungen die Maxwell-Gleichungen bzw. die dazugehöroge Wirkung. Nun konnte 1970 Gerardus ’t Hooft zeigen dass solche Yang-Mills-Theorien renormierbar sind. Es ist bisher allerdings noch niemandem gelungen die Gravitation als Yang-Mills-Theorie zu formulieren. Das heißt bisher ist die Gravitation nicht renormierbar, aber es konnte noch nicht gezeigt werden, dass dies prinzipiell unmöglich ist.

AW: Kopplungkonstante Gravitation
 

Hallo Ghostwhisperer,
Anstelle der Gravitationskonstante ist vielleicht die dimennsionslose Feinstrukturkonstante der Gravitation
α_G = G m²_Pr / ℏ c = (m_pr/m_p)² ≈ 5.91▪10^-39, wie sie beispielsweise von Kiefer (Kiefer, Claus; Quantentheorie; 2. Auflage, Fischer, Frankfurt 2003 oder Kiefer, Claus; Quantum Gravity; Oxford 2007) definiert wird, sinnvoll.
Diese kann auch mit der Plancklänge l_p und der Comptonlänge des Protons l_pr definiert werden:
α_G = 4 π² (l_p / l_pr)² = 5.906▪10^-39.
Daraus lässt sich die Gravitationskonstante leicht berechnen:
G := (5,91⋅10−39 (h / 2 π) c) / m_p^2 = 6,6742⋅10−11 m^3 kg^-1 s^-2 .
MfG
Lothar W.

AW: Kopplungkonstante Gravitation
 

Der Beweis der perturbativen Nicht-Renormierbarkeit ist einfach: bei höheren Loop-Ordnungen treten immer neue Counterterme auf. Das ist identisch mit der Definition der perturbativen Nicht-Renormierbarkeit.

Alles weitere dazu hast du bereits geschrieben.

Das gilt m.W.n. nicht für beliebige Wechselwirkungsterme in beliebigen Dimensionen.

Das ist sehr präzise formuliert. Gravitation kann tatsächlich als Eichtheorie formuliert werden:

https://arxiv.org/abs/1204.3672
Gauge Theory of Gravity and Spacetime
Friedrich W. Hehl (U Cologne and U of Missouri, Columbia)
(Submitted on 17 Apr 2012 (v1), last revised 4 May 2014 (this version, v2))
The advent of general relativity settled it once and for all that a theory of spacetime is inextricably linked to the theory of gravity. From the point of view of the gauge principle of Weyl and Yang-Mills-Utiyama, it became manifest around the 1960s (Sciama--Kibble) that gravity is closely related to the Poincare group acting in Minkowski space. The gauging of this external group induces a Riemann-Cartan geometry on spacetime. If one generalizes the gauge group of gravity, one finds still more involved spacetime geometries. If one specializes it to the translation group, one finds a specific Riemann-Cartan geometry with teleparallelism (Weitzenbock geometry).

Allerdings sind diese Eichtheorien keine Yang-Mills-Theorien.

Im Gegenteil, es wird vermutet, dass die Gravitation nicht-perturbativ renormierbar ist, d.h. dass eine endliche Anzahl an Termen angesetzt werden kann, dass keine weiteren Terme erzeugt werden und dass alle Parameter (Kopplungskonstanten) im UV endlich bleiben. Man spricht von Asymptotic Safety. Allerdings funktioniert dies nicht perturbativ, also nicht mittels einer Störungsreihe um G = 0.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Asym...uantum_gravity
http://www.scholarpedia.org/article/...uantum_gravity