Formel(n)erkennung
 

Wem sagt die folgende Gleichung etwas?

∆v = c * ln(m_o/m_b)

In der Literatur findet sich auch folgende Schreibweise:

v(t) = v_g * ln(m_o/m(t))

Der Klammerausdruck wird gelegentlich als Massenquotient bezeichnet.

Die Gleichung wurde 1903 von einem nahezu tauben und visionären Autodidakten, Mathematiklehrer und Schriftsteller publiziert. Sie besitzt eine enorme Bedeutung für einen bestimmten Zweig der Hochtechnologie.

Gr. zg

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Hallo zeitgenosse,

es handelt sich um die Raketengleichung von Konstantin Ziolkowski. Sie gilt allerdings nur für Geschwindigkeiten << c.

Grüssle,

Marco Polo

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Völlig richtig (Hut ab)! Wie bist du darauf gekommen?

Dass die Gleichung nur für Geschwindigkeiten << c gilt, macht nichts; denn mir ist derzeit kein technisches Raumgefährt bekannt, welches sich in die Nähe von c beschleunigt.

Zum Umfeld der Gleichung (und darum geht es mir eigentlich):

Ziolkowski hat um das Jahr 1903 die obige Raketengrundgleichung entwickelt. Damit war er seiner Zeit weit voraus. Seine letzten Publikationen waren "Album der kosmischen Reisen" (1932) und "Die höchste Geschwindigkeit bei Raketen" (1935). Er dachte bereits an Mehrstufenraketen. Die Realisierung seiner Ideen erblickte er aber nicht mehr.

Ein Obelisk in Kaluga erinnert an diesen Visionär. Darauf finden sich die hehren Worte:

"Die Menschheit wird nicht ewig auf der Erde bleiben!"

Hohmann hat 1925 den Übergang von einer Kreisbahn in eine andere unter dem Aspekt der minimalen Energie berechnet. Die Hohmann-Transferbahn ist jene Ellipse, welche sich tangential an die die beiden Kreisbahnen anschmiegt.

Oberth übte durch seine zwei Bücher "Die Rakete zu den Planetenräumen" (1923) und "Die Wege zur Raumschiffahrt" (1929) einen grossen Einfluss auf die kommende Generation aus. Im selben Jahr führte er erste und erfolgreiche Versuche mit der "Kegeldüse" durch.

Ziolkowski, Hohmann und Oberth befassten sich mehr mit den theoretischen Aspekten der Raumfahrt, während Goddard, Paulet (liquid-fueled rocket engine), Winkler, v. Braun (V2, Mercury, Gemini, Apollo), Sänger (Hochdruckbrennkammern, Ramjet, Raumfähre), Stuhlinger, Gröttrup, Thiel und viele andere sich vorwiegend den technischen Aspekten zuwandten. Aber so scharf lässt sich das Ganze nicht trennen. Goddard besass 214 Patente. Er entwickelte und testete Raketen mit Flüssigtreibstoff.

Interessant ist, dass die phantasievolle Literatur des 19. Jahrhunderts einen nicht unbedeutenden Einfluss auf manche dieser Pioniere ausübte. Oberth wurde durch Jules Vernes Bücher "Von der Erde zum Mond" und "Reise um den Mond" angeregt. Bei Sänger war es der Roman "Auf zwei Planeten" von Kurd Laßwitz. Als Fritz Lang seinen Stummfilm "Frau im Mond" drehte, wurde er von Oberth beraten.

Viele der späteren Rakteningenieure in White Sands waren in die USA "emigrierte" Deutsche (Operation Paperclip). Man darf ohne Übertreibung sagen: Ohne deutsche Wissenschaftler wäre es nicht zum Mondflug von 1969 gekommen. Aber wirklich begonnen hatte alles mit der Ziolkowski-Raketengleichung.

Gr. zg

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Ohne das Fachwissen Marco Polos in Frage stellen zu wollen, aber alternativ hätte auch der Hinweis auf den "Massenquotienten" in Kombination mit einer Suchmaschine (google o.ä.) ausgereicht, um den "gordischen Knoten" zu lösen... Hut ab :D

Gr.
MCD

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Na ja, das war nicht sonderlich schwer, da ich die Formel kannte. Die Raumfahrt war das Steckenpferd meines damaligen Physikprofessors.

Er hatte immer gerne Aufgaben zu diesem Thema in die Klausuren eingeflochten. Über den Impulserhaltungssatz kommt man dann zur
Raketengleichung.

Das die aber überhaupt "Raketengleichung" heisst und von "Konstantin Ziolkowski" ist, musste ich mir auch erst ergoogeln.

Grüssle,

Marco Polo

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Ganz richtig. Ich habe bewusst ein paar Hinweise eingestreut, um die Sache nicht unnötig zu verkomplizieren.

Gr. zg

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Nun aber konkret. Die Raketengleichung ist das eine, Vis-Viva (Energiegleichung) das zweite:

E_kin + E_pot = const. --> (1/2)v^2 - my/r = eps = const.
{Koeffizient my := (G*M)}

Für eine Keplerellipse mit grosser Halbachse a gilt: v^2 = my((2/r) - (1/a))

Für eine Kreisbahn gilt: v = sqrt(my/r)

Nun soll von einer niedrigeren Kreisbahn auf eine geostationäre Bahn (GEO) gewechselt werden (Hohmann-Transfer). Welche Schubmanöver sind dazu sinnvoll?

Gr. zg

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Das ist ein sehr interessantes Gebiet. Wusste gar nicht, dass die GEO eine Bahnneigung zum Äquator von 0° hat und immer kreisförmig ist. Aber wenn man das weiss, weiss man auch, warum viele Satelliten genau auf diese Bahn geschossen werden.

Da Satelliten auf dieser Bahn die gleiche Winkelgeschwindigkeit wie die Erde haben, kann man z.B. bei einem Kommunikationssatelliten eine Antenne auf der Erde fest auf diesen ausrichten.

Zum Hohmann-Transfer zwei interessante Links:

http://www.bernd-leitenberger.de/orbits.shtml

http://www.de.wikipedia.org/wiki/hohmannbahn

Grüssle,

Marco Polo

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Die Hohmann-Transferbahn ist Teil einer Ellipse, welche sich an die zwei Kreisorbitale anschmiegt.

Deshalb werden prinzipiell zwei Schubmanöver benötigt, um den Satelliten auf die höhere Umlaufbahn zu bringen:

Zunächst wird im Perigäum auf die Keplerellipse eingeschwenkt (1. Schubmanöver); danach wird im Apogäum die Bahngeschwindigkeit nochmals verändert (2. Schubmanöver), um auf den GEO zu gelangen.

Es sind somit zwei Geschwindigkeitsänderungen nötig, um von der einen Kreisbahn auf die andere zu gelangen:

1) delta v1 (Kreisbahn --> Ellipse) := v_per - v_circ_1

2) delta v2 (Ellipse --> GEO) := v_cir_2 - v_apo

Mit den im Vorbeitrag angegebenen Gleichungen können Kreisbahngeschwindigkeit wie Momentangeschwindigkeit auf der Keplerellipse (im Apogäum und Perigäum) berechnet werden, wenn der entsprechende Bahnradius bekannt ist. Ein passendes Zahlenbeispiel findet sich im Wiki-Link "Hohmannbahn".

Gr. zg

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Genau. Auf der Wikiseite ist sehr schön zu sehen, wie sich die Keplerellipse im Perigäum und Apogäum an die beiden Kreisbahnen anschmiegt.
Die beiden Schubmanöver finden wie bereits erwähnt an diesen beiden Punkten statt.

Jetzt haben wir ja bei der GEO eine Inklination von 0 Grad. Welche Manöver wären denn jetzt nötig um eine Inklination von 90 Grad zu erreichen, der Satellit also die Pole überfliegen soll?

Natürlich wäre es am günstigsten, direkt mit der entsprechenden Inklination zu starten, wie bei unserem Ausgangsbeispiel. Dennoch würde mich interessieren, welche Manöver nötig sind um den Inklinationswinkel zu ändern und wie man diese berechnet.

Grüssle,

Marco Polo