ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Hallo, ich habe eine prinzipielle Frage zur Dimensionalität der Riemann Mannigfaltigkeit der ART. Sie beschreibt m.W. mathematisch einen gekrümmten 4D-Raum bzw. eine 4D-Raumzeit. Ein gekrümmter 4D-Raum benötigt zur Anschauung eine zusätzliche Dimension, die ART müsste also letztlich von ihrer mathematischen Struktur (mindestens) 5-dimensional sein. Dies deckt sich auch mit dem Satz von Whitney, nachdem eine Mannigfaltigkeit der Dimension n in einen euklidischen Raum mit max. 2n Dimensionen eingebettet werden kann. Des weiteren führt auch die Möglichkeit eines Wurmlochs zu der Schlussfolgerung, dass es sich im Grunde um eine mehr als 4-dimensionale Struktur handeln müsste.
Ist meine Ansicht dazu korrekt oder habe ich hier einen Denkfehler? |
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Zitat:
|
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Hallo future06,
Zitat:
|
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Danke für die Antworten.
Ich will meine Sicht der Dinge nochmal etwas präzisieren: ich meine nicht, dass die 4D-Raumzeit im physikalischen Sinne 5-dimensional sein müsste im Sinne eines 4D-"Hyperraums" + Zeitdimension. Sondern, dass die vollständige mathematische Beschreibung der gekrümmten 4D-Raumzeit letztlich mindestens 5-dimensional sein müsste. Es geht also um die Dimensionalität der mathematischen Objektes, d.h. des Vektorraums. Anders u. evtl. mathematisch präziser formuliert: das mathematische Modell der ART (lorentzsche Mannigfaltigkeit) ist m.E. isomorph zu einer mindestens 5-dimensionalen Mathematik. Dies lässt sich auch noch ganz einfach auf einem anderen Weg begründen. Zur vollständigen Beschreibung eines Punktes P in der 4D-Raumzeit benötigt man einen 5D-Vektor: P =(x1,x2,x3,t,k), d.h. 3 Raumkoordinaten, die Zeit sowie die Krümmung k. Sollte die vollständige mathematische Beschreibung (so meine Annahme) tatsächlich 5-dimensional sein, müsste diese 5-Dimension allerdings auch physikalisch irgendwie auftauchen. Nicht unbedingt als 4. Raumdimension aber in einem anderen Sinne, zB. "aufgerollt" analog zur Stringtheorie. Dies sprengt sicherlich die Vorstellungskraft, aber man muss m.E. davon ausgehen, dass sich die Struktur eines mathematischen Modells, das die Realität vollständig beschreibt, in der Realität auch irgendwie niederschlägt. |
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Zitat:
Dort sieht man bereits sehr deutlich, wie der Einbettungsraum (den es dort immer gibt) zunehmend an Bedeutung verliert und die Fläche selbst mit ihren Eigenschaften, wie Krümmung, Länge, Fläche, Geodäte beschrieben werden kann. Bei der riemannschen Geometrie verschwindet der Einbettungsraum komplett. Dafür ist der metrische Tensor zwingend erforderlich. |
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Zitat:
Wenn ich das richtig verstanden habe, ist der Tensor ein Maß für die Metrik, d.h. für die Krümmung. Man spricht ja hier auch von einem Tensorfeld, d.h. jedem Punkt der Raumzeit ist ein Tensor zugeordnet, der an diesem Punkt die Krümmung beschreibt (letzlich prinzipiell nichts anderes als eine Ableitung). Das meinte ich oben mit P=(x1,x2,x3,t,k). D.h. die mathematische Beschreibung durch den Einbettungsraum müsste doch isomorph (bedeutungsgleich) zur Beschreibung über die Differentialgeometrie sein. Letzteres ist doch m.E. lediglich eine elegantere mathematische Methode aber kein Harry-Potter-Trick, um die zur vollständigen mathematischen Beschreibung notwendigen Eigenschaften zu verringern, oder? :) Auf was ich eigentlich hinaus will: die nötige Zusatzdimension aus der math. Beschreibung durch den Einbettungsraum versteckt sich m.E. in der Riemannschen Differentialgeometrie im Tensorfeld. |
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Zitat:
Über eine saubere Definition läßt sich dann ein induzierter metrischer Tensor auf der Untermannigfaltigkeit berechnen. Sobald das metrische Tensorfeld gegeben ist, kann man im Prinzip über verschiedene Krümmungstensoren die lokale Geometrie der Untermannigfaltigkeit untersuchen. Ein wichtiges Werkzeug ist dabei der riemannsche Krümmungstensor, der sich alleine aus dem metrischen Tensor berechnen läßt. EDIT: Ein bekanntes Beispiel für ein solches Vorgehen ist übrigens das flammsche Paraboloid. |
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Zitat:
Ich habe deswegen zu Beginn auch den Satz von Whitney erwähnt: https://de.wikipedia.org/wiki/Einbet...tz_von_Whitney Zitat daraus: Die Kernaussage dieses Satzes ist also, dass es eigentlich nur Mannigfaltigkeiten im Euklidischen Raum gibt. |
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Zitat:
|
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Zitat:
Ein Zitat aus dem Wiki-Artikel bringt es auf den Punkt: "Man kann sich riemannsche Mannigfaltigkeiten also stets als Untermannigfaltigkeiten eines euklidischen Raumes vorstellen. Die Dimension des euklidischen Raums ist dabei im Allgemeinen allerdings deutlich größer als die der riemannschen Mannigfaltigkeit." Dann lautet meine Sicht der Dinge in etwa so (mal etwas formaler, um Schreibarbeit zu sparen): 1. E = der euklidsche Einbettungsraum 2. U = die Untermannigfaltigkeit von E 3. R = die Riemann Mannigfaltigkeit 4. Dim(E) = n 5. Dim(U) = m (m<n) 6. Dim(R) = m U wäre dann isomorph zu R, benötigt aber zur vollständigen Beschreibung E, d.h. zur mathematischen Isomorphie werden die zusätzlichen Dimensionen von E, d.h. n-m benötigt. R kommt, da es eine andere mathematische Struktur als U hat, ohne diese Zusatzdimensionen aus. Um die Isomorphie zu garantieren, müssen diese Zusatzdimensionen in der R-Beschreibung aber irgendwo versteckt sein, sie können nicht verloren gehen. Anders fomuliert: wenn ein physikalisches Objekt O (in diesem Fall die gekrümmte 4D-Raumzeit der ART) gleichwertig durch U und durch R beschrieben werden kann, muss die tatsächliche Dimension von O der Dimension von U entsprechen, weil U die "natürliche bzw. "kanonische?" Beschreibung ist. Ein Beispiel: Die "natürliche" mathematische Beschreibung der 2D-Oberfläche einer 3D-Kugel benötigt einen 3D-Vektorraum. Wenn man diese Oberfläche mit Hilfe der Riemann-Geometrie beschreibt, reichen mathematisch 2 Dimensionen aus. Die Oberfläche dieser Kugel bleibt aber trotzdem weiterhin die Oberfläche einer 3D-Kugel, hat also dreidimensionalen "Charakter". Die Oberfläche selbst ist aber zweidimensional, weil sie als Fläche im 3D-Raum liegt. Übertragen auf die 4D-Raumzeit würde das bedeuten, dass sie zwar 4-dimensional ist, in letzter Konsequenz aber 5-dimensionalen "Charakter" hat. ----- Mir fällt auf Anhieb keine klarere Formulierung ein. "Charakter", "natürlich", "kanonisch" setze ich oben in Anführungszeichen, weil mir keine besseren Begriffe einfallen, möglicherweise läßt sich das aber präziser formulieren. Möglicherweise habe ich mich aber auch verrannt und es versteckt sich irgendwo ein Denkfehler. :) |
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Zitat:
Beispiel: Eine (intrinsisch flache) Ebene kann auf beliebig viele Arten in drei Dimensionen gebogen werden, ohne sie zu verzerren. Kannst du jederzeit mit einem Blatt Papier ausprobieren. |
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Zitat:
|
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Der 2-Torus ist ebenfalls flach. Wie läßt er sich aus Papier ohne Zerreißen herstellen?
|
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Zitat:
|
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Beide Beispiele sind richtig, haben aber nichttriviale Topologie, also nicht R². Sie unterscheiden sich also von der Ausgangsebene.
Wichtig für mein Argument ist, dass man unendlich viele unterschiedeliche Einbettungen finden kann, die sich intrinsisch in gar nichts vom Original unterscheiden. |
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Zitat:
Zitat:
Es gibt also beliebig viele (laut Riemann-Geometrie) flache Objekte, zB. die Zylinderfläche, die zwar einen höherdimensionionalen Einbettungsram benötigen (in diesem Fall 3D), aber trotzdem intrinsisch 2D sind. Nicht flache, also laut Riemann-Geometrie gekrümmte, Objekte, die einen höherdimensionalen Einbettungsraum benötigen (zB. die Kugeloberfläche) müssten aber m.E. intrinsisch 3D sein, obwohl sie nur mit einer 2D-Riemann-Geometrie beschrieben werden. Weil sie nicht verzerrungsfrei auf die niedrige Dimension (in diesem Fall 2D) zurückgeführt werden können. Das ist der Punkt, auf den ich hinaus will. Denn dies würde bedeuten, dass die gekrümmte 4D-Raumzeit intrinsisch 5-dimensional ist. |
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Zitat:
Man kann die Kugeloberfläche ja z.B. auch in einen zehndimensionalen euklidischen Raum isometrisch einbetten, ohne dass sich an den Eigenschaften der Kugelfläche irgendetwas ändert. Die Dimension des Einbettungsraumes ist damit, abgesehen von N >= 3, frei wählbar. BTW: Bist Du Science-Fiction-Fan :rolleyes: ? |
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Zitat:
Schon klar, dass die Hyper-Raum-Analogie aus diversen Science-Fictions auf dieser Idee beruht, aber das ist nicht mein Motiv. Ich bin die letzten Jahre eher philosophisch interessiert, deswegen geht es mir um die grundsätzliche Frage nach der Ontologie von physikalischen Theorien. Zitat:
Rein formal ist mir schon klar, dass die Riemann-Mannigfaltigkeit der ART (im Sinne der mathematischen Formulierung) 4-dimensional ist. Aber ich denke halt, dass die 5. Dim. irgendwie versteckt bzw. implizit darin vorkommt. Viellleich nochmal eine Analogie: Man nehme ein reales physikalisches Objekt, zB. eine Billiardkugel. Dann läßt sich ihre Oberfläche mit einem 3D-Vektorraum mathematisch vollständig beschreiben. Alternativ kann man (m.E. mathematisch gleichwertig/gleichbedeutend) die Oberfläche mit einer 2D-Riemann Differentialgeometrie beschreiben. Es bleibt dann aber weiterhin die Oberfläche eines realen 3D-Objektes, d.h. die 3. Dim. verschwindet ja nicht, nur weil man mathematisch eine mögliche 2D-Beschreibung zur Verfügung hat. Man kann also m.E. nicht argumentieren, dass die gekrümmte Raumzeit 4-dimensional ist nur weil eine geeignete mathematische Struktur zur Beschreibung dieser Raumzeit 4-dimensionalen Charakter hat. |
AW: ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
Zitat:
In den einführenden Standardwerken und-schriften zum Standardmodell der Kosmologie findet man zumindest nichts von einer fünften Dimension. Darüberhinaus gibt es noch das etwas bekanntere RS-Modell: https://de.wikipedia.org/wiki/Randall-Sundrum-Modell |
Alle Zeitangaben in WEZ +1. Es ist jetzt 11:52 Uhr. |
Powered by vBulletin® Version 3.8.8 (Deutsch)
Copyright ©2000 - 2024, vBulletin Solutions, Inc.
ScienceUp - Dr. Günter Sturm