Diskrete/kontinuierliche Basis
 

Hallo!
Ich hoffe ich bin hier richtig! :)
Ich bereite mich gerade auf eine Quantentheorie-Prüfung vor und stehe vor folgender Aufgabe:

Gegeben seien eine diskrete Basis {|φ_{n}> } n∈N und eine kontinuierliche Basis {|k> } k∈R .
Entwickle einen allgemeinen Hilbertraum-Vektor |ψ> in der jeweiligen Basis.
Welche Form nimmt das Skalarprodukt <ψ|ψ> in der jeweiligen Basis an?

Hat da jemand eine Idee dazu? Mir fällt nur der Entwicklungssatz ein, aber der gibt ja als Antwort auch nicht recht viel her...

Wäre toll wenn mir da jemand helfen könnte!

lg,

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Im diskreten Fall hast du eine Summe (Linearkombination) der diskreten Basiszustände vorliegen und im kontinuierlichen Fall ein entsprechendes Integral ... so in der Art Fourier.
Für letzteres siehe z.B. Kap 3.6 hier https://www.itp.uni-hannover.de/~dra...ehenge/qm2.pdf

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Danke für die Antwort!

Also würde das im diskreten Fall so aussehn:

|φ>=SUM(c_{n}|u_{n}>) wobei die Menge der |u_{n}> ein passendes Orthonormalsystem bilden.

Die Entwicklungskoeffizienten sehen so aus:
c_{n}=<u_{n}|φ>

Das Skalarprodukt sieht so aus:

<φ|φ>=SUM(<u_{n}| <φ|u_{n}> SUM(|u_{m}> <u_{m}|φ>)=SUM(<φ|u_{n}> <u_{n}|φ>)=|c_{n}|^2

Da ich keine Unterstützung für Latex gefunden habe hoffe ich das die Rechnung halbwegs leserlich ist! :o

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Ich finde, das sieht ganz vernünftig aus: die gemischten Terme fallen aus dem Skalarprodukt aufgrund der Orthogonalität der Basis heraus und es bleibt, was du geschrieben hast.

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Und wie würde das ganze kontinuierlich aussehen?

Muss ich da über 2 verschiedenen Bereiche integrieren (also analog zu den 2 Summen die dann zusammengefasst werden?

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Ja genau: Orthonormalität der Basis drückt man dann über die Delta-Funktion statt das Kronecker-Delta aus, d.h.

statt: < ai|aj > = δi,j

nun: < a′|a > = δ(a′ −a)

Die Deltafunktion in dem Doppelintegral bewirkt, dass die gemischten Terme rausfliegen und eine einfache Integration übrigbleibt.

In deiner letzten Formel oben fehlt m.E. übrigens die Summe über n vor dem Term

|c_{n}|^2

Im Falle des kontinuierlichen Spektrums würde dann ein entsprechendes Integral über die Koeffizientenbetragsquadrate resultieren.

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Ja stimmt, da fehlt die Summe!

Kontinuierlich also so:

|φ>=Integral[dk c(k) |k> wobei |k> eine kontinuierliche Basis bildet

c(k)=<k|φ>

Daraus folgt:

<φ|φ> = Integral[ dk <φ|k> <k| ] mal Integral[ dk' <k'|φ> |k'>
=Integral[ Integral[ dk dk' <φ|k> <k| <k'|φ> |k'>
=Integral[ Integral[ dk dk' <k|k'> <φ|k> <k'|φ> ]]
=Integral[ Integral[ dk dk' δ(k-k') <φ|k> <k'|φ> ]]
=Integral[ dk <φ|k> <k|φ> ] = Integral[ dk |c(k)|^2 ]

Ich verstehe nur nicht was ich damit gezeigt habe, das Skalarprodukt haben wir schon einige Seiten vorher so definiert!?

P.S: Wie machst du griechische Buchstaben? :)

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Copy & Paste ... bin leider ein Latex-Dilletant. :)

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Wenn du Windows hast, einfach Zeichentabelle ausführen lassen. Dort wählst du dann "Gruppieren nach:" "Unicode-Unterbereich" und in dem zusätzlichen Fenster kann man Griechisch auswählen. Falls dort nicht alles sein sollte, musst du noch eine andere Schrift-Art ausprobieren. Ab da kommt das copy&paste zum Einsatz.

Oder, falls es für dich nicht zu umständlich ist, kannst du das ausprobieren:
LaTeX & Co.

(Leider geht's bei uns noch nicht anders.)

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Ich habe deine Gleichung mal mit "Zeichentabelle" umgeschrieben:

Aber, ob das wirklich besser ist? :)