Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Hallo richy,

könntest Du mir einmal ein wenig unter die Arme greifen?

Das hier z.B. ist doch richtig, oder?: i * (-i) = 1
Kannst Du mir etwas zu (i)^0,5 erzählen?
(Also am Besten erst einmal alle "ganz einfachen" Gesetzmäßigkeiten von i ... und insbesondere gerne alles bei dem i "irgendwie mit Pi zusammenhängt" ...)

Danke! :)

P.S.: Mich würde dann später voraussichtlich vorrangig das Rechnen in der Polarform interessieren - Da muß ich mich aber erst noch ein wenig einlesen.

P.P.S.: Und natürlich ist auch die Hilfe von jedermann anderem gerne willkommen!

Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
 

Das ist korrekt.

Eine gute Erklärung ohne Polarform fällt mir hierzu spontan nicht ein.

i ist definiert als i*i=-1. Es erweitert den "Raum" der reellen Zahlen. Du kannst dir das wie ein Koordinatenkreuz vorstellen, wo auf der x-Achse die reellen Zahlen aufgetragen sind, und auf der y-Achse die imaginären Zahlen.

Die Zahl i hat in diesem Koordinatenkreuz den Punkt bei x=0 und y=1. Die (komplexe) Zahl 1 + i entspricht in dem Koordinatenkreuz dem Punkt x=1 und y=1, die Zahl 3 + 2i dem Punkt x=3 und y=2, usw.
Du kannst jede komplexe Zahl aus einem reellen Anteil und einen imaginären Anteil zusammensetzen. Der x-Wert im Koordinatenkreuz steht für den reellen der y-Wert für den imaginären Anteil. Man spricht hier übrigens auch von der sogenannten komplexen Zahlenebene.
Anstatt den x- und y-Wert in Zahlen auszudrücken, kannst du das auch mit einem Winkel - sagen wir "phi" - und einem Radius r tun. Anschaulich wird das erst, wenn du dir das aufzeichnest. Du nimmst eine beliebige komplexe Zahl, z.B. 2 + 2i, und zeichnest sie in der komplexen Zahlenebene als Punkt bei x=2 und y=2. Nun ziehe eine Linie zwischen dem Koordinatenursprung (x=0,y=0) und diesem Punkt (x=2,y=2). phi ist nun definiert als der Winkel zwischen der x-Achse und dieser Linie, gemessen gegen den Uhrzeigersinn. In unserem Fall also 45° oder Pi/4 in Radiant. Mit Hilfe der Winkelfunktionen sin und cos kannst dies nun wie folgt ausdrücken:

x + y*i = r*cos(phi) + r*sin(phi)*i

wobei r = -/(x² + y²) (das soll ne Worzel sein vor der Klammer ;) )
r ist somit der Abstand vom Koordinatenursprung bis zu deinem Punkt (2,2).

Für die Winkelfunktionen gilt ja sin(phi)=y/r und cos(phi)=x/r. Das umgeformt ergibt x=r*cos(phi) bzw. y=r*sin(phi).

Wenn du cos(x) + i*sin(x) in einer Taylorreihe entwickelst, siehst du, dass die entstehende Reihe dieselbe Reihe ist die man erhält, wenn man die Exponentialfunktion e^(i*x) entwickelt. Das heißt es gilt allgemein:

cos(x) + i*sin(x) = e^(i*x)

Daraus folgt: r*cos(phi) + r*sin(phi)*i = r*e^(i*phi)

Womit die sogenannte Polarform einer komplexen Zahl entwickelt ist.

Für unser Bespiel gilt: 2 + 2i = -/(8)e^(i*Pi/4)

Damit kann man leicht i^0,5 berechnen. In Polarform schreibt sich i als

i = 1*e^(i*Pi/2) weil der Winkel zwischen der x-Achse und i (x=0,y=1) 90°, sprich Pi/2 entspricht.
Dann gilt weiters:

i^0,5 = [e^(i*Pi/2)]^0,5 = e^(i*Pi/2*0,5) = e^(i*Pi/4) = cos(Pi/4) + i*sin(Pi/4) = 0,707... + i*0,707...

und das wars. ;)

Als Hilfe zum Verständnis ist folgender Beitrag sehr dienlich:

http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Relation
oder
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplex...xe_Zahlenebene

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Hallo Benjamin,

herzlichen Dank - Das geht genau in die richtige Richtung und gefällt mir schon einmal super! :)

z.B.
Dann sehe ich nämlich ein Minkowski-Diagramm.
Und dergestalt kann man ein Minkowski-Diagramm dann ebenfalls darstellen ... bzw. in einer Polarform ... Muß 'mal darüber nachdenken / das ausprobieren. :rolleyes:

Ein paar Sachen von Dir werde ich mir wohl auf jeden Fall erst noch etwas näher zu Gemüte führen müssen ... Für mich hartes Brot eben. ;)
(Ich schaue mir z.B. gerade einmal in Verbindung mit Deinem Beitrag dieses Filmchen hier an: http://www.youtube.com/watch?v=FwuPXchH2rA)

Danke!

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Ich kann Benjamins Ausfuehrung wenig hinzufuegen. Eine Herleitung der Wurzel(i) ohne Polarform faellt mir ebenfalls nicht ein. Zunaecht solltest du dir Konventionen in der Gausschen Ebene merken :

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...anAndPolar.png

Die komplexe Zahl z wird somit durch ihren Radius=Betrag und Winkel=Argument in der Gausschen Ebene dargestellt. Der Winkel wird bezueglich der Realteil-Achse gemessen und mathematisch wie immer gegen den Uhrzeigersinn. Am besten merkt man sich auswendig :

********************************
phi=arg(z)=arctan(Imaginaerteil/Realteil) (Auf Quadranten achten !)
|z|=Wurzel(Realteil^2 + Imaginaerteil^2)
********************************
Vorsicht ! Beim arctan(Imaginaerteil/Realteil) ist die Bedeutung der Vorzeichen nicht mehr eindeutig. (Daher arg(Im,Re)) Den Quadranten von Phi muss man somit extra bestimmen.
Jetzt merkt man sich noch die erste schwarze Taste eines Klaviers CiS und kann damit eine komplexe Zahl nach Benjamins CiS Gleichung wieder als Relateil und Imaginaerteil darstellen :
Fuer i geht dies alles noch sehr einfach. Der Betrag ist eins und phi gleich 90 Grad also Pi/2. Benjamin hat das alles schon angegeben. i=exp(i*Pi/2)

Wie zieht man nun aber die Wurzel aus i ? Ueber (exp(a))^b=exp(a*b)
i^(1/2)=exp(i*Pi/2)^(1/2)=exp(i*Pi/4) Genau, das wars schon.
****************************

ZUSATZ :
Allgemeiner : Wie loest man die Gleichung z^2=i. Die Gleichung hat zwei Loesungen, Wurzeln. Folgendes soll die Mehrdeutigkeit im Komplexen zeigen. Man wendet den selben Trick an wie bei da^x/dx. ebbes=exp(ln(ebbes))
Damit kann man ueber den ln() die Potenz beseitigen. Somit :

i^(1/2)=exp(ln(i^1/2))=exp(1/2*ln(i))=exp(0.5*ln(i))
Naja, jetzt haben wir das Probem darauf abgewaelzt den ln() aus einer komplexwertigen Zahl zu ziehen. Aber fuer w=ln(z) gibt es eine "Loesungsformel" :

http://upload.wikimedia.org/math/5/4...986c51dc0a.png

i^(1/2)=exp(0.5*(ln|i|+i*(arg(i) + 2*k*Pi) ) k=0,1
ln|i|=ln(1)=0
arg(i)=Pi/2

i^(1/2)=exp(0.5*(i*(Pi/2 + 2*k*Pi) ) k=0,1
*********************************

Auch damit sieht man sehr schoen, wie denn die Teilung des Winkels von Pi/2 nach Pi/4 zustande kommt.

k=0 (Hauptwert)
i^(1/2)=exp(0.5*(i*Pi/2))=exp(i*Pi/4) ... mit CiS = Wurzel(2)/2*(1+i)
k=1
i^(1/2)=... exp(i*Pi/4+i*Pi) ... CiS = -Wurzel(2)/2*(1+i)
Aha. Bei der zweiten Losung wird der Zeiger um Pi weitergedreht. Waere die erste Losung nicht komplex, dann entspraeche dies einem negativen Vorzeichen. Negative Zahlen sind somit ein Spezialfall imaginaerer Zahlen.

Im Thread Phas-O-Mat hatte ich z^16=1 schon mal graphisch dargestellt :
Schwarz=Wurzel(i). Man sieht wie der Winkel phi=Pi/2 zu Pi/4 halbiert wird :

http://home.arcor.de/richardon/2010/wurzel1.gif

http://home.arcor.de/richardon/richy...omat/phaso.htm

Gruesse

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Ja Sch***eibenkleister - Ich sehe schon: Das wird ja wieder ein Heidenspaß für mich werden! :D
Danke auch Dir richy: Da sieht nämlich ("mit meiner verschmierten Brille" betrachtet ;)) auf den ersten Blick doch schon so einiges äußerst interessant/vielversprechend aus.
Noch dazu gibt's Worzeln, Klaviere ... Was will man denn mehr: Das wird bestimmt noch lustig.
Aber lasst mich bitte erst einmal Euren ersten Input verdauen - Ich melde mich dann wieder wenn ich soweit bin (bzw. doch schon zwischendrin Fragen auftauchen sollten)
Danke erst einmal bis dahin! :)

P.S.: @Benjamin: Deiner Signatur kann ich nur voll und ganz zustimmen! :)

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Ist, wie schon gesagt, richtig SCR,

da: 1/i = -i , daraus folgt:
i * (-i) = i * 1/i = i/i = 1



(i)^1/2 = √i , da i = √-1 ist folgt:
√i = √√-1, also 4. Wurzel aus -1.
√i = -1^1/4

W = √i = √√-1 = -1^1/4
W = cos(180° + k*360°)/n + i sin(180° + k*360°)/n

Mit n=4 (4. Wurzel) folgt:

W = cos(45° + k*90°) + i sin(45° + k*90°)

Die n-ten Wurzeln aus einer Zahl haben n Werte (k [0,1,2,...,(n-1)].
Für n=4 (4.Wurzel) also 4 Lösungen für W mit K[0,1,2,3]

Mit k=0 folgt W0 = cos 45° + i sin 45°
Mit k=1 folgt W1 = cos 135° + i sin 135°
Mit k=2 folgt W2 = cos 225° + i sin 225°
Mit k=3 folgt W3 = cos 315° + i sin 315°

Mit k=4 wäre der Winkel 405°=360°+45°, also wäre W4=W0, W5=W1...usw, immer im Kreis rum, rum, rum..., wie ein Hamster im Laufrad, halt Mut andrehen.:D

Gruß EMI

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Vielleicht sollte man hier nochmals erwaehnen :

Emi hat die 4 Losungen von z^4=-1 angegeben. Haupwert=Wurzel(i)
Ich hatte die 2 Loesungen von z^2=i angegeben. Haupwert=Wurzel(i)

Mit Wurzel(i) ist im Grunde der Hauptwert gemeint. Benjamins Loesung reicht hier somit aus :
Wurzel(i)=exp(i*Pi/4)=Wurzel(2)/2*(1+i)=cos 45° + i sin 45°=0,707... + i*0,707...

Das ist wie im Reellen :
Wurzel(4)=2
Aber die Gleichung x^2=4 hat zwei Losungen x1=2, x2=-2

Zusammenfassend :
Umrechnug z=Realteil+i*Imaginaerteil in Polarkoordinaten
************************************************** *
phi=arg(z)=arctan(Imaginaerteil/Realteil) (Auf Quadranten achten !)
|z|=Wurzel(Realteil^2 + Imaginaerteil^2)
************************************************** *
z=|z|(cos(phi)+i*sin(phi))
Das Neue und Praktische ist, dass fuer diese CiS Form (eulersche Formel) gilt :
|z|(Cos(phi)+i*Sin(phi))=|z|(exp(i*phi))
***************************************
Das ermoeglichte die Potenz in die Klammer der Exp Funktion zu schreiben.
Aus |z|(cos(phi)+i*sin(phi))^(1/2) geht dies nicht sofort hervor.

Die CiS Formel kann man ueber die Taylorreihe von exp(i*phi) herleiten.

http://upload.wikimedia.org/math/a/8...9c10106d2e.png

Genau. Das ist das Interessante der Gleichungen z^m=-1
Fuer z^Wurzel(2)=-1 lauft der Hamster z.B. ewig im Kreis herum ohne dass sich eine Loesung widerholt. Die Gleichung hat somit unendlich viele Loesungen.

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Hallo Richy,

ja.
Interessant finde ich auch den Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Winkelfunktionen und den Hyperbelfunktionen:

Man kann nämlich die Lorentz-Transformationen als Drehungen im Minkowski-Raum um den Winkel (phi) darstellen:
Der Winkel (phi) ist durch die Relativgeschwindigkeit v bestimmt:

tanh(phi) = v/c

Nachdem sinh(phi) = - i•sin(i•phi) und cosh(phi) = cos(i•phi) ist, ergeben sich die Lorentz-Transformationen durch eine
Drehung in der komplexen Ebene (x, i•c•t) um den imaginären Winkel (i•phi) mit

phi = Artanh(v/c)

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

P.S.
Ich habe die Herleitung hier nur angedeutet. Falls jemand die vollständige Herleitung sehen will, dann kann ich diese auch einstellen.

Das stimmt allerdings. Die Wurzel ein reellen wie auch komplexen Zahl liefert keine eindeutige Lösung.

So ist zum Beispiel 2*2=4 genauso wie (-2)*(-2)=4 ist. Daraus folgt das die Wurzel von 4 zwei Lösungen hat, nämlich 2 und -2.

Deshalb ist i streng genommen nicht als die Wurzel von -1 definiert, weil auch diese Wurzel zwei Lösungen hat, i und -i. Die mathematisch genaue Definition von der imaginären Einheit i ist: i*i=-1 ;)