Vergleich der Bewegungsgleichungen (klassisch vs. quantenmechanisch)
Ich möchte folgende Aufgaben lösen.
Folgende Gleichungen sind gegeben: Hamiltonoperator H = p^2/(2m) +1/2 m*w^2 * x^2 +alpha*x^4 zeitliche Entwicklung der quantenmechanischen Erwartungswert: dx/dt = i/h(quer) ([H, x]) dp/dt = i/h(quer) ([H, p]) "Betrachten sie den Spezialfall alpha = 0. Vergleichen sie die Bewegungsgleichungen für die Erwartungswerte <x> und <p> mit den klassischen Bewegungsgleichungen für den Ort x(t) und den Impuls p(t) = m d/dt x(t) eines Teilchens im Potential V(x) = 1/2 m*w^2 * x^2." Für die Kommutatoren habe ich folgende Ergebnisse: Für den Kommutator [H, x] = 0 Für den Kommutator [H, p] = -i/h(quer)(m * w^2 *x + 4 alpha * x^3) Folgende Erwartungswerte der Bewegungsgleichung habe ich ausgerechnet Für d<p>/dt = -mw^2 * xdt Integriert bekomme ich dann: <p> = -m * w^2 * x * t für den Ort bekomme ich <x> = 0 raus. Mir ist nicht ganz klar wie x(t) definiert ist. Ich sehe auch keinen Zusammenhang mit dem Potential. Könnt ihr mir helfen? |
AW: Vergleich der Bewegungsgleichungen (klassisch vs. quantenmechanisch)
Zitat:
[p^2,x] = ppx - xpp = = pxp - pxp +ppx -xpp = = pxp +p[p,x] -xpp = = xpp - xpp + pxp +p[p,x] -xpp = = xpp + [p,x]p + p[p,x] -xpp = [p,x]p + p[p,x] wegen [p,x]=-i*hquer = 2*i*hquer*p oder du setzt für p explizit d/dx ein und verwendest die Produktregel beim Durchschieben von x auf die linke Seite. Kommt natürlich dasselbe raus. ... die 2m im Nenner weggelassen. Wenn dieser Kommutator verschwände, dann wären Energie und Ort simultan scharf, oder - anders gesagt - dann hätten die Energieeigenfunktionen dieses Problems (harmonischer Oszillator) scharfe x-Werte. Die Energieeigenfunktionen des harmonischen Oszillators kennt man ja, siehe z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Harmoni...tenmechanik%29 Der Grundzustand z.B. ist http://upload.wikimedia.org/math/c/f...6074adb10f.png Man erkennt leicht, dass es eine endliche Breite in x gibt. x und E sind also nicht zugleich scharf! Den Rest habe ich mir nicht angeguckt, muss jetzt joggen bevor der nächste Regenguss kommt. :( |
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