AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 

Die lokale Krümmung nach der Inflation kommt aus den Fluktuationen des Inflatonfelds. Was vorher war, sollte keinen nennenswerten Einfluss darauf haben.
Bedingt Man kann natürlich lokal einen Schnittkrümmungsradius definieren und sogar messen - wobei der natürlich immer positiv wäre. Der kosmologische Krümmungsradius ist wieder was anderes, weil der nur in der FRW-Metrik vorkommt und für seine Definition die Gültigkeit des Hubblgesetzes voraussetzt. Um den zu bestimmen, muss man also über Regionen mitteln, die groß genug sind, dass man näherungsweise eine solche Metrik darüberlegen kann. Wenn man das macht, muss nicht zwangsweise überall dasselbe herauskommen.
Wenn man so will, ja. Eigentlich ist k eine Eigenschaft der FRW-Metrik, nicht des tatsächlichen Universums. Wenn das Universum auf den größten Skalen nicht homogen ist, dann gibt es auch kein vernünfitges globales k. Wenn aber die positive Krümmung überwiegt, dann ist die Topologie kompakt.
Allein schon für global k~=0 braucht man die Inflation, weil die Nullkrümmung instabil ist und irgendwie erzwungen werden muss. Wenn man von global k=0 ausgeht, ist immer noch nicht geklärt, wie das zustande kommen soll - die einzelnen Regionen des Universums waren ja nicht in kausalem Kontakt miteinander ohne Inflation.
Allgemein gilt natürlich: Wir wissen nur, wie unser beobachtbares Universum aussieht. Was auf millionenfach größeren Skalen (so es die gibt) passiert, entzieht sich unserer Kenntnis. Es gibt auch keine stichfesten theoretischen Argumente, warum das Universum als Ganzes genau so aussehen sollte wie unser beobachtbares Teilstück.

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Du meinst hier wohl mit lokal die Anisotropie des CMB bei ca. 1° Winkelausdehnung. Diese Dichteschwankungen führt man auf solche Fluktuationen zurück, wobei 1° annähernd flach ergibt.
Mit "Hat dann k lokal unterschiedliche Vorzeichen, vor und nach der Inflation jeweils dasselbe?" meinte ich das beobachtbare Universum. Mit lokal in diesem Sinne sollte die Krümmung gegen Null gehen, ihr Vorzeichen aber beibehalten.

Ja.

Spielt das eine Rolle?
Das beobachtbare Universum war vor der Inflation in kausalem Kontakt. Trotzdem geht man für es von k~=0 aus, nicht von k=0.

Ob in kausalem Kontakt oder nicht sollten nach der Inflation die anfänglich unterschiedlichen lokalen Krümmungen gegen Null gehen, bzw. Ω -> 1 aber nicht Ω = 1. Ich denke, wenn es so ist, sollte das auch global gelten.

Das Resümee dürfte sein, daß die Inflation weder lokal noch global k = 0 erzwingt.

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Das Thema hatten wir doch schon mal auf astronews.com. Dort hatte ich ein Beispiel für eine lokal negative Schnittkrümmung gezeigt. Wenn man lokale Abweichungen von der k=0-Geometrie betrachtet, sollten sowohl negative, wie positive Schnittkrümmungen möglich sein.

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Ohne Inflation würde ein solcher Bereich aber nicht das beobachtbare Universum füllen.
Es ist ja auch denkbar, dass unser Universum quasi aus einer Inflationsblase in einem viel größeren Universum hervorgegangen ist. Oder dass - siehe "Eternal Inflation" - die Inflation nicht in allen Bereichen des Universums zum Erliegen gekommen ist. Da kann man, momentan zumindest, nur spekulieren.
Nicht im mathematischen Sinne, nein.

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Wenn positive Energiedichte vorliegt, ist die Summe aller Schnittkrümmungen immer positiv. Wenn man über etwas größere Bereiche mittelt, gilt das auch für jede einzelne Ebene. Ansonsten können einzelne Ebenen auch negativ gekrümmt sein.
Und nochmal: Auch ein k=-1 - Universum hat positive Schnittkrümmung. Die kosmologische Krümmung ist, wenn man so will, ein Koordinatenartefakt und nicht lokal messbar.

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Dieser Satz ist mathematisch gelesen falsch, weil eben auch in diesem Fall das Vorzeichen der Schnittkrümmung von der Wahl der Schnittebene abhängt und diese Wahl ist per Definition erst mal frei wählbar.

Mag sein. Wenn man z.B. mit lichtartigen Geodäten misst, ist die Wahl der Ebenen natürlich entsprechend eingeschränkt.

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Der Satz ist richtig, weil das Vorzeichen der Schittkrümmung raumartiger Ebenen keineswegs von der Wahl der Schnittebene abhängt (*). Die Schnittebenen sind geodätisch, die kannst du nicht künstlich krümmen wie die Ebenen eines nichtgeodätischen Unterraums.
Die raumartigen Schnittkrümmungen jeder FRW-Metrik sind eine Funktion der Energiedichte allein, und damit unabhängig vom jeweiligen Hubble-Parameter. Du kannst messen, wie du willst, diese kosmologische Raumkrümmung ist einfach keine lokale Eigenschaft der Raumzeit, sondern von den Eigenschaften eines Bündels von gedachten Beobachter abhängig. Wenn das Bündel expandiert, dann ist der durch es aufgespannte Raum negativer gekrümmt als wenn es nicht expandiert. Das ändert aber natürlich nichts an den lokal tatsächlich vorhandenen Schnittkrümmungen.

(*)...mit den vorher genannten Einschränkungen: Wenn der Raum nicht isotrop genug ist, dann gilt das für die Summe der Krümmung orthogonaler Schnittebenen.

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Ich habe den entscheidenden Zusatz unterstrichen. Ohne diesen Zusatz ist obiger Satz falsch. Die gemischt raum- und zeitartigen Schnittkrümmungen K_01=K_02=K_03 tragen das andere Vorzeichen, das dann je nach Vorzeichenkonvention positiv oder negativ sein kann.

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Das k = 0 (oder +1 bzw. -1) ist ein Artefakt der hochsymmetrischen Friedman-Lösungen. Es ist strikt konstant, es kann nicht dynamisch erklärt werden. In einem inhomogenen Universum verliert es seinen Sinn.

Inflation ist ein Mechanismus, ein gekrümmtes Universum in ein Universum mit näherungsweise flacher Geometrie zu überführen.

Die Topologie eines 3-dim. raumartigen Schnitts ändert sich dadurch nicht; sie ist invariant unter der Dynamik bzw. Zeitentwicklung.

Ich sehe aber kein Problem darin, anschaulich verschiedene Teile verschiedener Friedmann-Universen zusammenzukleben.