Energie in der ART und Lokalität
 

Hallo! Will mich auch endlich mal wieder äußern.
Diesmal zu einem Problem, das anscheinend der Unitarität von ART und QM entgegensteht:
In der ART ist Energie und Impuls wohl nicht allgemein lokalisierbar..

Ehrlich gesagt verstehe ich nicht, warum das ein Problem sein soll. Denn der Schwerpunkt dieser Behauptung liegt in dem Wörtchen ALLGEMEIN.
Tatsache ist: Energie ist sehr wohl lokalisierbar.
Im Prinzip wird jede spezielle Lösung mit dazu passenden Koordinaten beschrieben. Damit ist etwa die Masse der Erde in der Schwarzschildlösung genauso lokal, wie eine bestimmte Wellenfront bestimmter Phase einer Gravitationswelle in dieser GW-Lösung.
Die Koordinatensysteme sind lediglich nicht absolut sondern ineinander umrechenbar.

Oder irre ich mich?

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Es geht zunächst nur darum, den Begriff “Energie” physikalisch sinnvoll zu definieren. Das ist insbs. mathematisch nicht ganz trivial.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Mass...ral_relativity
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC5255888/

Aber warum soll gerade daraus ein Problem für die Unitarität der Quantenmechanik folgen?

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So hab ichs gehört.. Die Quantenmechanik ist koordinatengebunden, der Energie-Begriff auch - die ART im Kern nicht.. Oder?

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Das ist zunächst richtig, aber nicht das eigentliche Problem.

Wenn man die ART kanonisch quantisieren, führt das auf eine Schrödingergleichung

Hψ = 0

Dabei liefert der Hamiltonian H weder die Energie noch direkt eine Zeitentwicklung.

Das ist aber bereits aus der relativistischen Quantenmechanik bekannt. Hier liefert die entsprechende Gleichung gerade die Klein-Gordon-Gleichung

(☐ + m²)ψ = 0

die der Beziehung

P² - m² = 0

entspricht; P ist der Viererimpuls.

Damit kann man aus diesen Gleichungen durch Einführung von Zeitkoordinaten auch Energien herauspräparieren.

Es gibt dabei ‘zig Probleme, aber die Unitarität gehört m.W.n. nicht dazu.

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Das sind ja interessante Links! Besonders das Paper über die Quasi-Lokalität.
Diese 4 Gleichungen in dem Paper erinnern ja extrem an die Maxwellgleichungen.

Warum braucht man zur "Herauspräparierung" der Energien denn die Zeit? Und wie geht das?
Energie ist doch in den Feldgleichungen schon "einpräpariert"?

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Oben war ein Fehler; hab das korrigiert.


Im Rahmen der ART ist das sehr kompliziert.

Betrachte stattdessen den Klein-Gordon-Hamiltonian

H = ☐ + m²

Er führt offensichtlich nicht auf eine Schrödingergleichung

Hψ = i d/dt ψ

sondern auf

Hψ = 0

D.h. der Hamiltonoperator H entspricht hier nicht dem Energie-Operator!

Nun wünschen wir uns jedoch, dass wir aus

(☐ + m²)ψ = 0

eine Energie herauspräparieren können.

Dazu zerlegen wir ☐ in den Orts- und den Zeitanteil.

Analog zerlegen wir

P² - m² = 0

mit dem Viererimpuls P in Orts- und Zeitanteil

P = (E, p)

mit dem Dreierimpuls p und erhalten

(E² - p²) - m² = 0

Dabei haben wir Koordinaten (t,x) eingeführt, und für diese Koordinaten auch (E,p). Andere Koordinaten (t’,p’) führen auf (E’,p’), wobei diese über eine Lorentz-Transformation zusammenhängen.

Entsprechend können wir nun Operatoren (h,p) und somit

[(h² - p²) - m²] ψ = 0

einführen, d.h.

h² ψ = (p² + m²) ψ

und für diesen Operator h² die Energie-Eigenwerte E².

So lernt man das nicht bei der Einführung der Klein-Gordon-Hamiltonian. Das ganze läuft unter dem Stichwort Dirac Constraint Quantization; habe das nur sehr grob skizziert. Diese Prozedur funktioniert auch für gekrümmte Raumzeiten und andere Felder, d.h. auch für Dirac- und Maxwellsche Gleichungen. Jedenfalls folgt eine unitäre Theorie auf einer gekrümmten Raumzeit sowie ein spezieller Energieoperator h. h kann auch als klassische Hamiltonian verstanden werden und liefert damit einen klassischen kanonischen Energiebegriff - einen von mehreren möglichen in der ART - siehe das Paper. Aber durch diese Prozedur wird keine nicht-Unitarität eingeführt. Letzteres resultiert erst aus Anwesenheit von Horizonten.

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Was ist denn das Quadrat?

Und wie kommst du von
H=Quadrat +m2 auf
HPsi =0?

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Der Hamilton steht faktisch für die Gesamtenergie. Dies ist aber relativistisch korrekt gerechnet die Quadrat-Summe von Ruhmasse und Impuls
Deswegen gilt
H-p^2=m^2
H^2-p^2-m^2=0

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Das ist der d'Alembert Operator. Schau mal bei Wiki.

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Nein, genau das ist hier eben nicht der Fall!

Der Hamiltonian steht nicht immer für die Gesamtenergie.

Der Hamiltonian für das relativistische Teilchen lautet klassisch

H = P² - m² ~ 0

und nach Quantisierung

H = ☐ + m² ~ 0

(☐ + m²)ψ = 0

Letzteres ist die Klein-Gordon-Gleichung.

Der Energieoperator h mit

h² ψ = (p² + m²) ψ

entspricht offensichtlich nicht dem Hamiltonoperator H.

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Kapitel 1.5 ff in https://www.liverpool.ac.uk/~mohaupt/Strings07.pdf
Kapitel 4.4 ff in http://152.84.50.234/fisica/atividad...019.pdf#page44

Nochmal zur Intention: es ging um den Energiebegriff in der ART und den Zusammenhang mit der Quantenmechanik. Ein Problem in der ART ist die Einführung eines Energiebegriffs an sich - es gibt mehrere nicht immer äquivalente Konzepte - das zweite Problem ist der Zusammenhang der Energie mit einem Hamiltonian H. Letzteres erkennt man bereits für das klassische relativistische Teilchen; hier führt die übliche Methode zwar auf ein H und die korrekte Klein-Gordon-Gleichung, jedoch entspricht H nicht dem Energieoperator, von mir als h bezeichnet.

Derartige Probleme treten bei der Quantisierung der ART selbst ebenfalls auf. Wiederum liefert die Quantisierung ein H ~ 0 und damit weder eine Energie noch eine Zeitentwicklung. Umgekehrt wüsste ich nicht, dass andere Methoden zur der Definition von Energie auf einen für die Quantisierung geeigneten Hamiltonian H führen.

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Bei beiden Themen gibt es einen Energie-Impuls-Vierervektor für einzelne Teilchen. In der Quantenmechanik ist das ein Vektor-Operator, weil man ja etwas messen will.

In der ART gibt es dann noch den Energie-Impuls-Tensor. Die Divergenzfreiheit dieses Tensors entspricht dem eigentlichen (lokalen) Erhaltungssatz für die Energie.

EDIT: Kompliziert wird es, wenn man dann in der ART Integrale über Gebiete betrachtet.

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@Tom
Aber bei der Ursprungsfrage zu diesem Thread geht es ja gar nicht um Quantisierung sondern um den Energiebegriff in der klassischen ART. Deshalb kommen mir deine Ausführungen zur relativistischen Quantenmechanik doch etwas abwegig (wenn auch interessant) vor.

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Hi, aber die Frage war doch diese:
Wir können das Quantisierungsthema ja jetzt verlassen.

Es gibt jedoch einen Berührungspunkt, nämlich den Energiebegriff aus dem klassischen Hamiltonian zu entwickeln.

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Sorry, du hast natürlich recht.
Ich dachte, es ginge allgemein um die Definition der Energie in der klassischen ART, schon da ist ihre Definition ja auch nicht so ganz offensichtlich.

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Kein Thema.