Wasserstoff, Eigenfunktion x-->p
 

Hallo liebes Forum,

im Buch Quantenmechanik von Gerald Grawert

findet sich für die Eigenfunktion von Wasserstoff

Psi_{1,0,0}(Vektor x) = Wurzel(1/(Pi*r0^3)*exp(-r/r0)

Die Wahrscheinlichkeitsdichte des Impulses wird mit

PsiSchlange_{1,0,0}(Vektor p) = 2^(3/2)/Pi * (hquer/r0)^(5/2) * (p^2+(hquer^2/r0^2))^-2

angegeben. Um von Gleichung 1 auf Gl 2 zu kommen wurde die Fourier-Transformatiom genutzt.

Ich komme aber nicht auf das Ergebnis. Vielleicht kann mir jemand helfen?!

Vielen Dank für eure Antwort!

AW: Wasserstoff, Eigenfunktion x-->p
 

Hallo,
ich bins nochmal. Hat hier keiner eine Idee wie ich das oben beschriebene Problem lösen kann. Ich komme momentan wirklich nicht mehr weiter!

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Kannst Du Deinen bisherigen Rechenweg einfach mal posten? Gemeinsam geht's meistens besser!

Ærbødigst
-- Optimist

AW: Wasserstoff, Eigenfunktion x-->p
 

Also hier mal die komplette Aufgabe:
1. Berechne den mittleren Abstand (Erwartungswert)des Elektrons vom Atomkern.
2. Berechne die Wahscheinlichkeitsverteilung des (radialen) Impulses.
3. Finde den Erwartungswert des (radialen) Impulses.
4. Zeige:<r><p>=4hquer

Das ist ersmal die Berechnung des mittleren Abstandes des Elektrons vom Atomkern.
Für die 2. Aufgabe benötige ich eure Hilfe!
VIELEN DANK FÜR JEGLICHE HILFE IM VORAUS!!!

AW: Wasserstoff, Eigenfunktion x-->p
 

Hallo,

zunaechst sehe ich, dass der Vorfaktor in Deiner Loesung nicht mit der Funktion in Deinem ersten Post uebereinstimmt. Aber gut, das wird sich in der Rechnung dann auch nur im Vorfaktor des Ergebnisses bemerkbar machen. Ich gehe mal davon aus, dass die Funktion lautet:

psi(r) = alpha * e(-r/r0) (mit alpha = einer der beiden Vorfaktoren)

Die Fouriertransformierte dieser Funktion ist

PsiSchlange(p) = 1/sqrt((2*pi*h_bar)^3) * alpha
* Integral e(-r/r0) * e((-i/h_bar)*p*r) dr

Das Problem ist also ein eindimensionales.

Soweit einverstanden?

Ærbødigst
-- Optimist

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Seid ihr sicher, dass ihr nicht die 3-dimensionale Natur des Problems ungerechtfertigt vernachlässigt ?

Das Problem des Wasserstoffatoms ist ja nun einmal in 3 Dimensionen zu lösen. Dass man sich in 1. Linie für das radiale Verhalten der Eigenfunktionen interessiert, liegt ja allein in der Rotationssysmmetrie des Problems begründet.
Der Lösungsweg war ja
1,) Schrödinger-Gl. in Kugelkoordianten ausdrücken.
2.) Separationsansatz Psi(r,teta,phi) = R(r) * TETA(teta) * PHI(phi)

Analog würde ich bei der Fouriertransformation alle 3 Raumdimensionen berücksichtigen, d.h. das Skalarprodukt des Ortsvektors r und
des Impulsvektors p geht in den Exponenten der Exp-Funktion ein. Das führt dazu, dass im Exponenten ein Term wie
-i p r cos(teta)
auftaucht, wobei teta der Winkel zwischen p und r ist.
Und es muss über alle 3 Raumdimensionen integriert werden. Am besten in Kugelkoordinaten.
Das ergibt im Integranden zusätzliche Faktoren r^2 sin(teta) aufgrund des Volumenelements in Kugelkoordinaten (dx)(dy)(dz) = r^2 sin(teta) (dr)(dphi)(dteta).
Das ging doch so, oder ?

Das Integral wäre dann bis auf konstante Faktoren so etwas wie ein 3-fach Integral

Integral (0 bis oo) Int(0 bis pi) Int(0 bis 2 pi)
{ exp(-r/ro) exp(-ipr cos(teta) ) r^2 sin(teta)}
(d phi) (d teta) (d r)

Ich hoffe, man kann erraten, was ich meine ?
Macht das Sinn so ?
Denke doch.

Gruss, Uli

Nachtrag:
in dem pdf hier
http://www.physik.uni-oldenburg.de/f...5-Uebungen.pdf
sieht man z.B. wie die Fourier-Transformation in 3 Dimensionen geht.

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Hallo Uli,
vielen Dank für dein Ansatz!
Ich kann so weit alles nachvollziehen, aber eine Sache verstehe ich nicht.
Integral (0 bis oo) Int(0 bis pi) Int(0 bis 2 pi)
{ exp(-r/ro) exp(-ipr cos(teta) ) r^2 sin(teta)}
(d phi) (d teta) (d r).
Fourie Transformation beinhaltet den Term exp(-i*p(vektor)*x(vektor)). Dein xvektor hat nur eine komponente, nämlich z komponente, r*cos(teta).
Und das verstehe ich nicht.
Hast du vielleicht Antwort auf meine Frage.
Vielen Dank.

AW: Wasserstoff, Eigenfunktion x-->p
 

Das Skalarprodukt zweier beliebiger 3-Vektoren kannst du immer ohne Verlust der Allgemeinheit ausdrücken als

r . p = r * p * cos(teta)

wobei teta der Winkel ist, den die Vektoren miteinander einschließen.
Nun kann dich wiederum niemand daran hindern, deine Koordinaten so zu legen, dass dieser Winkel teta mit dem Polarwinkel teta deiner Kugelkoordinaten zusammenfällt. Letztlich integrierst du ja auch über alle teta, d.h. über alle möglichen Richtungskombinationen von r und p. Das heisst, du verlierst wiederum keine Allgemeinheit.

Ich denke, dass man so argumentieren kann. Habe mich allerdings das letzte Mal vor 30 Jahren mit der Schrödingergleichung beschäftigt und bin total raus aus all den Rechnereien. :)

Gruss, Uli

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hi, ich will da jetz nicht voll in die Rechnung einsteigen, aber:
Oft wird bei der 3d-Fouriertrafo vergessen, dass es auch einen anderen Vorfaktor gibt-der ist dann eben auch kubisch.
Außerdem gibt es tausendundeine Möglichkeit Fouriertrafo zu machen- was den Vorfaktor betrifft.
Ansonsten Raumintegral über Kugelkoordinaten berechnen ist der meist einfachste Weg.
p=hquer k (manche bücher rechnen direkt mir p, andere mit k)

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Ich denke Uli hat recht. Die dreidimensionale Darstellung der Fourier-Transformation kann über die Zusammenfassung der Wellenzahl k zu einem Vektor vec_k geschrieben werden:

exp(-i*k1*x1) * exp(-i*k2*x2) * exp(-i*k3*x3) = exp(-i*vec_k * vec_x),

wobei im Exponenten das Skalarprodukt vec_k*vec_x auftritt. Die dreidimensionale Fouriertransformierte ist demnach
f_Schlange = int(x=-∞,+∞, d³x / (2*pi)^1.5 * exp(-i*vec_k*vec_x) * f(vec_x)).

Nur wenn f_Schlange ausschliesslich von |vec_k| abhängt, hängt f nur von |vec_x| ≡ r ab und kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit eindimensional berechnet werden.

Grüsse, rene