AW: Frequenz eines Photon
 

Vielen Dank für die konkreten Formulierungen.

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Wer sich für den Zusammenhang zwischen Spin und Bewegungsrichtung eines einzelnen Photons interessiert, kann/sollte sich auch die Bargmann-Wigner-Gleichung anschauen, so wie bei W. Greiner ausführlich beschrieben. Ich habe mal für eine linear polarisierte em-Welle die Wellenfunktion in der Ortsdarstellung ausgerechnet. Die Deutung dieses Ergebnisses ist allerdings nicht ganz trivial, denn es handelt sich dabei scheinbar um zwei überlagerte Wellen. Die eigentlichen Grundzustände des freien Feldes sind die zirkular polarisierten Zustände. Diese haben scheinbar eine eindeutige Helizität mit den zwei möglichen Werten +1 und -1.

https://de.wikipedia.org/wiki/Photon#Spin

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Deine Formulierung "scheinbar" an dieser Stelle irritiert mich etwas; warum schreibst du das?
Es ist ja bekannt, dass ein masseloses Teilchen seinen Spin nur parallel oder antiparallel haben kann.

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Nur, weil ich die Rechnung dazu noch nicht selber durchgeführt habe.

EDIT: Ich habe nun gesehen, dass man das auch mit den maxwellschen Gleichungen direkt ausrechnen kann.

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Hallo Slash,

ich fasse die Ergebnisse dieses Themas noch einmal zusammen:

Wie es Hawkwind oben schon angedeutet hat, hängt die Frequenz eines Photons von seiner Entstehungsgeschichte ab, und da die Frequenz bei einem Photon proportional zu dessen Energie ist, kann man die heisenbergsche Energie-Zeit-Unschärfebeziehung benutzen, um das zu verdeutlichen:

Bei einem Photon aus einem kohärenten Laserstrahl ist der Zeitpunkt der Entstehung des Photons vergleichsweise ungenau. Das Energiespektrum des Photons wird hier durch einen schmalen Peak beschrieben. Bei einem Photon aus einer spontanen Emission zweier verschränkter Photonen, kann der Zeitpunkt der Emission dagegen vergleichsweise genau gemessen werden. Dementsprechend ist der Peak im Energiespektrum prinzipiell breiter.

Wegen E = p * c sollte die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten im Impulsraum, der Verteilung im Energieraum ähneln. Man kann also über die heisenbergsche Orts-Impuls-Unschärfebeziehung schlussfolgern, dass die Wellenfunktion in der Ortsdarstellung bei dem Beispiel Laser über einen größeren Bereich verteilt ist, als bei dem Beispiel mit der spontanen Emission.

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Hallo Bernhard,

danke für die Zusammenfassung.

Eine Frage hierzu: Muss man unterscheiden, wenn man
a) das ungemessene Photon betrachtet (Wahrscheinlichkeiten und Spektren, keine diskreten Frequenzen)
b) das gemessene / gewechselwirkte Photon betrachtet (eindeutige Frequenz, Ort bestimmt)

wobei die Eindeutigkeit erst bei b vorhanden ist (Eindeutig im Sinne von eindeutiger Frequenz, Energie, ...)?

Viele Grüße
Slash

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Hallo Slash,

a) und b) unterscheidet sich durch eine quantenmechanische Messung. Diese wird normalerweise eine vorher präparierte Wellenfunktion beeinflussen, was als Kollaps der Wellenfunktion bezeichnet wird.

Die zugängliche Information über ein betrachtetes Quantensystem (z.B. ein Photon) steckt also in der zugehörigen Wellenfunktion und den quantenmechanischen Operatoren.

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Es ist prinzipiell unmöglich, im Kontext einer Messung den Ort und die Frequenz eines Photons simultan genau zu bestimmen ("Heisenbergsche Unschärfe").

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Stimmt.

Lässt sich allerdings über die Frequenz (bzw. Energie = hf) aussagen, ob diese eine Frequenz ist oder ein Spektrum (bestehend aus mehreren Frequenzen) ist?

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Hmm, eine etwas verwirrende Frage: eine Frequenz ist eine Frequenz!?

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Also ich tendiere dazu, dass eine Frequenz eine Frequenz ist auch wenn sich aufdrängen mag, dass eine Frequenz dann doch eher sowas wie eine Frequenz ist. Klar, oder?

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Sobald es eine Wellenfunktion in der Ortsdarstellung und eine zugehörige Wellengleichung gibt, gibt es auch einen Energie-Operator, bzw. wegen E = hf auch einen Frequenz-Operator. Man kann dann die Wellenfunktion in den Energie-Raum transformieren und das zugehörige Energiespektrum, bzw. Frequenzspektrum der Wellenfunktion prinzipiell ausrechnen.

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Vielleicht hätte ich besser den Zwinker-Smiley nach meinem letzten Beirag gesetzt. ;)

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Genau das ist die Frage, kommt ein Spektrum heraus oder eine Frequenz.

Ich habe Probleme mit einer (einzelnen) Frequenz, denn müsste dies nicht bedeuten, dass das Photon über einen unendlichen Zeitraum wechselwirkt (zum Beispiel mit einem Elektron)?

Ich tue mir deshalb schwer, wenn man sagt, ein Photon hat (genau eine) Frequenz.

Aber so wie ich es verstehe ist ein Photon mehr ein Konzept und in Wirklichkeit finden permanent Überlagerungen statt, so dass es sich um ein Spektrum handelt.

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Hmm... eine (einzelne) Frequenz bedeutet im Zeitbereich einen unendlichen langen Sinus (s. Fouriertransformation), ansonsten handelt es sich um ein Spektrum.

Wie bringt man diesen (unendlichen langen) Zeitbereich in Zusammenhang mit der Frequenz eines Photons? Das ist mir nicht ganz klar.

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Nach dem bis hierher Erarbeiteten müsste diese Aussage auch falsch sein, weil wir ja gesehen hatten, dass ein einzelnes Photon aufgrund seiner Entstehungsgeschichte nur schlecht oder gar nicht durch eine ebene Welle beschrieben werden kann.

Ich denke, es fehlt eher noch eine Überlegung zur Teilchenzahl. Die Bargmann-Wigner-Gleichung beschreibt ja erst mal nur ein einzelnes Photon. Transformiert man die zugehörige Wellengleichung in den Energie-Raum erhält man die Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen, bzw. messbaren Energiewerte und das ist dann so etwas wie ein Energiespektrum.

Wegen E = n * h * f (mit n als Anzahl der Photonen) benötigt man zur Beschreibung des Frequenz-Spektrums dann noch die Anzahl der Photonen, die aus der Bargmann-Wigner-Gleichung nicht abgeleitet werden kann. Die Teilchenzahl muss also noch unabhängig davon bestimmt werden.

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Ein Photon - wie man es z.B. aus einem atomaren Spektrum kennt - hat in sehr guter Näherung eine scharfe Frequenz, d.h. die entsprechende Verteilung im Impulsraum ist zwar nicht beliebig scharf jedoch sehr schmal.

Ein Photon mit beliebig scharfer Frequenz ist zunächst eine theoretische Idealisierung, die jedoch praktisch in sehr guter Näherung realisiert ist.

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Hallo Tom,

danke für die Antwort.

Hierzu noch Fragen:

Ist die Bezeichnung der Frequenz eines Photons eigentlich nur ein Überbleibsel aus der klassischen Elektrodynamik?

Im Prinzip reicht es doch, man hat den Impuls oder die Energie eines Photons.
(?)

Wenn du dich auf ein atomares Spektrum beziehst, ist es dann die Frequenzverteilung mehrerer Photonen oder bezieht es sich auf ein Photon.
Ich kann mir aber vorstellen, dass das Konzept auf ein Photon wegen der Heisenbergschen Unschärferelation ohnehin schwer anwendbar ist.

Kann man denn nicht sagen, wenn man ein Photon gemessen hat, und dessen Energie bestimmt hat, dass man dessen _eine_ Frequenz über E = hf eindeutig kennt - nur was bedeutet in diesem Sinn dann die Frequenz, kommt es nicht einfach auf den Energiebetrag bzw. den Impuls an?

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Nein, sie ist auch für die Quantenphysik der Photons relevant: die Wellenfunktion des Photons oszilliert mit dieser Frequenz.

Für das Photon lässt sich das in der Tat leicht ineinander umrechnen.
In natürlichen Einheiten sind Energie und Kreis-Frequenz des Photons sogar exakt dasselbe. :)

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Ja, so etwas dachte ich mir .

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Zur Fourier-Transformation: Der Sinus von 0 bis Pi hat auch nur eine Frequenz, und nicht mehrere.

Ein Photon ist ein besonderer Zustand des elektromagnetischen Feldes, ein sogenannter Fock-Zustand oder "single photon state". Genau genommen ist es die stationäre Lösung der (quantenmechanischen) Amplitude einer elektromagnetischen Schwingung. Diese Schwingung kann in ihrer räumlichen Ausdehnung unendlich lang sein, aber auch nur ein halber Sinus sein, also die halbe Wellenlänge haben. Es geht nämlich um die Amplitude, nicht um die Frequenz!

Es gibt schon Ein-Photon-Zustände (single photon states), die nur exakt eine Frequenz führen (single-mode single photon state), aber die weitaus häufigeren single photon states führen mehrere Frequenzen oder sogar ein kontinuierliches Spektrum an Frequenzen (multi-mode photon states).

Der Übergang von einem angeregten Elektronenzustand in den Grundzustand in einem Atom regt einen single photon state an, der eine Unschärfe in der Frequenz (und damit Energie) hat. Man kann also mehrere Frequenzen beobachten, wenn man viele solcher Übergänge detektiert. Je kürzer die Halbwertszeit des angeregten Zustands ist, desto größer ist die Frequenzunschärfe, was an der Energie-Zeit-Unschärferelation liegt.

Es ist tatsächlich so, dass der Photonenzustand mehrere Frequenzen beinhaltet und nicht eine exakte Frequenz. Es ist eine Superposition von single-mode photon states. Ein Photon ist also ein Zustand elektromagnetischer Schwingungen mit einer exakt definierten Amplitude. Mit der Frequenz hat es zunächst einmal nichts zu tun.

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Hallo Benjamin,

danke für deine Erklärung.

Ausgangspunkt für meine Fragestellung war ja die Beziehung

E = h * f.

deshalb kam bei mir die Frage auf, wie diese zu verstehen ist.

Du schreibst auch ein halber Sinus hat nur eine Frequenz, allerdings verstand / verstehe ich es bisher so, dass dies doch eine Faltung ist (zwischen einem unendlich langen / andauernden Sinus und einem Rechteckfenster).

Durch diese Faltung müssten doch mathematisch auch weitere Frequenzanteiel hinzukommen.

Was mich an der Formel

E = h * f

verwirrt, ist dass es hier in der Tat nur eine Frequenz ist.

VG
Slash

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Wer sagt, dass es hier nur eine Frequnz ist? Das wäre in etwa so, wie wenn du sagst, bei der Proportionalität von thermischer Energie und Temperatur E=kB*T handle es sich um "nur eine Temperatur". Aber das gilt für alle denkbaren Temperaturen, genauso wie E=hf für alle Frequenzen gilt. Und es ist an keiner Stelle gesagt, dass es sich hier nur um exakt eine Frequenz handelt. Zumal es eine "exakte definierte Frequenz" so wenig gibt, wie eine exakt definierte Energie, oder einen exakt definierten Impuls. Dieser Vorstellung von Exaktheit mögen abstrakte Punktteilchen der klassischen Mechanik entsprechen, aber nicht der Realität.

Ein Photon ist nun einmal kein klassisches Teilchen. Es ist viel mehr ein bestimmter Schwingungszustand des em. Feldes. Die Proportionalität von Energie und Frequenz mit dem Faktor h ist meines Erachtens nur im Zusammenhang mit Wechselwirkungsprozessen zu verstehen, wie zum Beispiel zwischen Licht und Materie. Es können nur Energien mit dem Vielfachen von hf ausgetauscht werden. Das kann man mit Störungsrechnung aus der QED zeigen, ohne je die Vorstellungen eines Teilchens oder auch "Photons" zu benutzen. Man rechnet dort lediglich mit Feldern und Differentialgleichungen der QM.

Bei diesen Rechnungen zeigt sich, dass der energetische Austausch von Elketronenwellenfunktionen und dem elektromag. Feld immer in Vielfachen von hf geschieht. Ich begreife das mehr als ein Resonanzphänomen zweier miteinander gekoppelter Felder, die Schwingungsdifferentialgleichungen erfüllen, als den Stoß zweier Teilchen. Und vielleicht hätte das auch Einstein so gesehen, wenn es die Quantenmechanik vor seiner Photonenhypothese bereits gegeben hätte. Das war einfach ein bequemer Zugang, sich vorzustellen, dass da Stöße von winzigen Teilchen geschehen. Was ja auch nicht abwegig war, da die physikalischen Konsequenzen ident sind. Doch die Wirklichkeit ist komplexer. Und spätestens, wenn man versucht einen Ort auszumachen, wo das "Photon" sich befindet, muss man mit dieser Vorstellung scheitern.

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Ich hatte das aus Wikipedia so verstanden:

"Plancksche Wirkungsquantum, oder die Planck-Konstante h, ist das Verhältnis von Energie E und Frequenz f eines Photons"
https://de.wikipedia.org/wiki/Planck...irkungsquantum

Das heißt, hat man die Energie eines Photons bestimmt (weil es z.B. ein Elektron in ein höheres Niveau gehoben hat), dann kann man ihm die Frequenz f = E / h zuordnen - richtig?

Aber eigentlich ist das nur ein Hilfskonstrukt - richtig?

(Anm.: Es ginge nur um ein Photon - nicht ein Mittelwert über mehrere Messungen.)

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Die Anregung eines Atoms bestimmt die Frequenz weder eindeutig noch beliebig genau. Nur weil ein Atom angeregt wurde, und es die Energie hf aufgenommen hat, heißt das noch lange nicht, dass zum Beispiel ein einzelnes Photon mit einer exakten Frequenz (ein single-mode single photon state) vorher vorhanden war und nun absorbiert wurde.

In der Natur findest du so gut wie keine Ein-Photon-Zustände mit einer exakten Frequenz. Mathematisch jedoch kann man jede Lichtwelle als aus solchen Zuständen zusammengesetzt beschreiben. Und wenn man den Feldzustand so beschreibt, fehlt nach der Absorption genau ein Zustand mit der Frequenz f=E/h.

Aber der Schluss ist falsch, wenn du denkst, damit eindeutig sagen zu können, dass die Frequenz des einfallenden Lichtes genau E/h war. Sie könnte zum Beispiel auch um 5% von dieser Frequenz abweichen. Ein Laser, der exakt mit einer gewissen Frequenz strahlt, kann auch Zustände anregen, die nicht exakt E=hf erfüllen, soweit dies die Energie-Zeit-Unschärfe zulässt.

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So etwas in der Árt wollte ich auch gerade schreiben. Wenn ich deine letzte Anmerkung noch etwas ausführen darf: angeregte Zustände (eines Atoms z.B.) haben ja nur eine endliche Lebensdauer T. Diese impliziert eine Breite des Energieniveaus (wegen Unschärfe)
delta E = hquer / T
Man muss also nicht "genau treffen".
Zudem hat m.W. in der Praxis eine Laser auch ganz zwangsläufig eine gewisse Bandbreite in der Frequenz. Letztendlich ist die Ursache dieselbe. Mehr dazu z.B. hier
https://de.wikipedia.org/wiki/Linienbreite

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Genau. Es ist auch so, dass wenn ein einzelnes Atom (schwieiriges Experiment!) Licht abstrahlt, es dabei zwar ein Photon emittiert, dieses aber auch eine unscharfe Frequenz gemäß der Energie-Zeit-Unschärfe aufweist. Ich finde, besser verständlich wird das, wenn man es quantenmechanisch rechnet. Da zeigt sich, dass ein langsamer Übergang vom angeregten Zustand in den Grundzustand eine em. Welle mit einer schärferen Frequenz abstrahlt, als ein Übergang, der schneller verläuft. Dennoch sind in beiden Fällen die Frequenzen nicht ganz exakt definiert, sondern unscharf. Völlig scharf würde die Frequenz, wenn die Halbwertszeit unendlich lang ist, also der Übergang quasi gar nicht geschieht, der angeregte Zustand wäre stabil.

Der Begriff des Photons ist historisch aus Überlegungen entstanden, die man heute als falsch versteht. Auch der photoelektrische Effekt, der gerne als Beispiel für die Teilchennatur des Lichtes hergenommen wird, kann einwandfrei ohne die Vorstellung von Teilchen erklärt werden, und kann auch nur so korrekt beschrieben werden, nämlich mit quantenmechanischer Störungsrechnung, und die bedient sich Feldern und Diff-Gleichungen, die diese Felder und ihre Wechselwirkung beschreiben. Da kommt kein Teilchen vor.

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Hallo,

was die Unschärfe anbelangt, eine Frage:

Ein Photon (d.h. nur ein Energiequant) fliegt von seiner Quelle (die es emittiert hat) davon.

Typischerweise emittiert die Quelle im Mittel Photonen mit einer Wellenlänge von 640 µm.

Das Photon fliegt (in meiner Vorstellung) mit c von der Quelle.

Durch welche Funktion lässt sich die Unschärfe dann (für dieses eine Photon) beschreiben?

Ist es eine Art Gausssche Verteilung?

Gibt es hierzu Angaben?

VG
Slash

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Nach meinem Verständnis ist "Unschärfe" ein Konzept, das statistisch begründet ist. Die Interpretation der Wellenfunktion ist ja nun einmal statistischer Natur und bekommt erst ihre Bedeutung, wenn man ein Ensemble gleichartiger Experimente ausführt.
Ich denke, es ist so: du wiederholst das Experiment n-mal, beobachtest in jedem dieser Experimente ein Photon einer bestimmten Energie En. Diese Energien En streuen aber mit dieser Breite um den statistischen Erwartungwsert E herum; so äußert sich die Unschärfe.

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Hallo Benjamin,

ja, diese Abweichung vom Mittelwert über viele Messungen ist zu erwarten.

Was ich mich aber fragte: Nach der Messung oder Wechselwirkung (wenn E bekannt ist), könnte man, wenn man nur die Formel E = h * f sieht (und den Hintergrund nicht versteht), dem Photon eine (einzige) Frequenz zuweisen. Auch wenn E unscharf und damit f unscharf ist - d.h. entweder mit Unsicherheit behaftet sind oder über viele Messungen Schwankungen aufweisen.

Dem Photon wird / nie (?) ein Frequenzspektrum zugewiesen, da man ja, die Energie nicht weiter quanteln kann - richtig?

Ich fragte mich einfach, wie dies zu verstehen ist, da eine einzelne Frequenz ja nur über unendlich lange Zeit eine Relevanz haben kann (?)

Welchen Sinn macht diese Formel (für ein einzelnes Photon), wenn man nicht die von dir angesprochene statistische Betrachtung durchführt?

(Das war wohl meine Ausgangsfrage, die ich bestimmt nicht gut formuliert habe).

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Die Energieunschärfe folgt einer Cauchy-Verteilung. Das findest du auch in dem Link, den Hawkwind geteilt hat.

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Noch einmal: Der Begriff "Photon" beschreibt einen Schwingungszustand des elektromagnetischen Feldes, und dieser Zustand kann auch ein kontinuierliches Spektrum an Frequenzen aufweisen.

Das ist genau der Grund, warum nur eine unendliche lange Halbwertszeit eines angeregten Zustandes zu einer exakten Frequenz bei der Emission von Licht führen würde. Dann nämlich wäre die Welle unendlich lange. So eine Welle wird aber nicht abgestrahlt, weil der Zustand stabil ist, und nicht in einen niedrigeren Zustand übergehen kann. Reale Emission stellt eine abklingende (gedämpfte) Schwingung dar, und deren Fourier-Transformation ergibt die besagte Cauchy-Verteilung. Das ist der Grund der Energie-Zeit-Unschärfe, denn je schneller der Übergang geschieht, desto stärker gedämpft ist die Schwingung und desto breiter das Frequenzspektrum (=Energiespektrum) der Strahlung.

AW: Frequenz eines Photon
 

!

Jetzt kapiert* !

Danke!


*: Zumindest so, dass ich weiterlesen kann :-)

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Danke, den Link hatte ich gar nicht aufgemacht.
Hilft.

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E=hf entstand aus statistischen Beobachtungen, nämlich der durch UV-Strahlung angeregten Emission von Elektronen aus Metallen. hf ist die minimale Energie, die eine elektromagnetische Welle auf ein Elektron übertragen kann. Ich glaube, man kann auch sagen, es ist die minimale Energie, die zwischen Materie und dem eleketromag. Feld ausgetauscht werden kann. Wobei ich mir nur bei ersterer Aussage sicher bin.

AW: Frequenz eines Photon
 

Das hat nochmals viel geklärt.

AW: Frequenz eines Photon
 

Hallo Slash:
ich (als Laie) würde das eher so interpretieren:
1. Jedes Photon hat bei der Messung eine genau messbare Frequenz.
2. Je nach Entstehungsart, bekommen Photonen eher streuende oder gleichbleibende Frequenzen/Energien.

Das Beispiel oben mit den Halbwertszeiten würde ich eher so deuten, dass bei kurzen Halbwertszeiten das Elektron auf einem ziemlich instabilen und somit "ungenauen" Zustand sitzt und deshalb auch das emittierte Photon eine relativ ungenaue Frequenz mitbekommt, was dann zur "verschmierung" bei Mittelung von vielen solchen Messungen führt.

Ein optisches Gitter oder Frequenzkamm hat aber kein Problem damit jedem Photon eine extrem genaue Frequenz zuzuschreiben und das auch dann nicht wenn das Licht vom anderen Ende des Universums kommt.

Wegen der Fouriertransformation würde ich vermuten, dass ist nicht die Methode, wie die Natur die Frequenz ermittelt und deshalb ist es evtl. manchmal ungeeignet um Rückschlüsse auf die Frequenz zu ziehen. Eine FT braucht als Basis eine Reihe Messwerte und die Natur macht das quantisiert also eben "instantan"; qualitativ ganz anders, siehe zB Prisma oder Beugungsgitter.