Quanten.de Diskussionsforum

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-   -   Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit? (http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=2069)

JoAx 28.10.11 18:52

Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hallo zusammen!

Ausgehend davon:

Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 63491)
Das stimmt nicht: die Raumzeit besitzt hyperbolischen Charakter (siehe Einstein in der ART).

und (vermutlich) davon:

Zitat:

Zitat von {1} Seite 18 (bzw. 788)
Statt √g wird im folgenden die Größe √-g eingeführt, weiche wegen des hyperbolischen Charakters des zeiträumlichen Kontinuums stets einen reellen Wert hat.

würde ich gerne klären, was speziell Einstein unter dem "hyperbolischen Charakter des zeiträumlichen Kontinuums" gemeint hat.

@Alle:
Was/Wie versteht Ihr das?


Gruß, Johann

{1}: Einstein, Albert, Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie

Jogi 28.10.11 19:20

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hallo Johann, Hallo Alle, und vor Allem Hallo SCR!


Zitat:

Zitat von JoAx (Beitrag 64576)
[...]
würde ich gerne klären, was speziell Einstein unter dem "hyperbolischen Charakter des zeiträumlichen Kontinuums" gemeint hat.

@Alle:
Was/Wie versteht Ihr das?

Sagt euch der Begriff "Kennfeld" etwas?

Gruß Jogi

JoAx 28.10.11 19:35

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Zitat:

Zitat von Jogi (Beitrag 64577)
Sagt euch der Begriff "Kennfeld" etwas?

Hi und schiss los, Jogi!


Gruß

SCR 28.10.11 19:53

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hi JoAx, Hi Jogi,
Zitat:

Zitat von JoAx (Beitrag 64576)
und (vermutlich) davon:

1. Völlig korrekt.
Zitat:

Zitat von Jogi (Beitrag 64577)
Sagt euch der Begriff "Kennfeld" etwas?

2. Keinen Dunst -> Erzähl'

3. JoAx - Du fragtest: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?

Ich glaube, Du hattest irgendwo einmal geschrieben, "mit SCR wäre es immer spannend".
Nun - Da Du (fast ;)) immer Recht hast und ich Dich in dieser Beziehung schon einmal gleich gar nicht enttäuschen möchte:

Nach den logischen Überlegungen von SCR handelt es sich bei der Minkowski-Metrik um eine toroidiale Metrik - Und gerade bzw. nur deswegen ist sie flach.

Da sind doch alle mit einverstanden, oder? :D

Gruß
SCR

P.S.: Und Danke für das herzliche Willkommen, Jogi. Ich kann Dir sagen: Mir war die ganze Zeit über schon total langweilig. http://www.hausinfo-forum.ch/images/..._Smilie_34.gif ;)

Jogi 28.10.11 20:06

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Ein Kennfeld bezeichnet Parameterbeziehungen, häufige Anwendung:
Motorsteuerung.
Sensoren messen Eingangsgrößen wie Luftmengen, Temperatur, Drehzahl, Gaspedalstellung, etc..
Der Chip errechnet anhand des einprogrammierten Kennfeldes die zugeordneten Parameter für Zündzeitpunkt, Einspritzmenge und -zeitpunkt, Drosselklappenstellung, Öffnungs- und Schließwinkel der Ventile, etc..


Ich hab' hier einfach mal das erstbeste Beispielbild genommen, das mier hierzu in die Finger geriet:


http://i599.photobucket.com/albums/t...nnfeld_neu.jpg

Man kann hier eine Vorstellung davon bekommen, dass so ein Kennfeld verschiedene Topologien ("Charaktere") aufweisen kann.


Erst mal so viel, vielleicht kommt jemand drauf, woraus ich hinaus will.

Hermes 28.10.11 20:19

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hallo JoAx,

Zitat:

Zitat von JoAx
...würde ich gerne klären, was speziell Einstein unter dem "hyperbolischen Charakter des zeiträumlichen Kontinuums" gemeint hat.

ich bin mir ziemlich sicher daß Einstein von der Geometrie des vierdimensionalen RaumZeit-Kontinuums spricht.
http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbolische_Geometrie

Die 4-dimensionale Raumzeit hat hyperbolische Eigenschaften so wie der Hyperboloid:

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...eSheet.svg.png
oder Pringel-Kartoffelchips (gerne Sour Cream oder feurig-scharf)

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...gles_chips.JPG

Aber halt vierdimensional!
:)

Gruß Hermes

SCR 28.10.11 21:07

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Genau, Hermes!

Jetzt mußt Du nur noch "außen" die elliptischen Krümmungen aus der Gravitation der ART berücksichtigen (wie die Gravitation funktioniert ist dabei egal) ...
Zitat:

Zitat von SCR (woanders)
http://img836.imageshack.us/img836/8...mmunggfeld.gif
Frage:
In welchem Winkel müssen die Spiegel zur Flugbahn des Photons gestellt werden damit das Photon wieder zum Emitter zurückgelangt? Wie stark / in welche Richtung mußt Du (falls überhaupt) "vorhalten" um Dein anvisiertes Ziel (= den nächsten Spiegel) zu treffen?
= 60° : euklidische Geometrie
> 60° : elliptische Geometrie
<60° : hyperbolische Geometrie

... dann bekommst Du einen Torus raus - Der steht dann für unser gesamtes Universum:

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...70px-Torus.png

Ein Torus ist in Summe ungekrümmt ("innen" negativ, "außen" positiv).
Und genau das war auch das Ergebnis der WMAP-Messungen (siehe http://map.gsfc.nasa.gov/).
Zitat:

Zitat von Jogi (Beitrag 64580)
Erst mal so viel, vielleicht kommt jemand drauf, woraus ich hinaus will.

Äußerst interessant. Ich würde das jetzt einfach "dem Torus anziehen" ...
Aber erzähl' weiter.

Jogi 28.10.11 21:36

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hallo SCR.

Weil ich immer den Eindruck habe, du siehst die Minkowski-Metrik als ein "Ding", ein physikalisches "Etwas", eine "anfassbare" Entität, habe ich das Kennfeld in's Spiel gebracht.

Das kann, genau wie jede andere Topologie, parabolischen, hyperbolischen oder auch flachen Charakter haben, sogar alle drei Charaktere, nur eben lokal immer nur einen.

Es wirkt sich eben entsprechend auf die zusammentreffenden Parameter aus.
Ohne daß man das Kennfeld als etwas physikalisches bezeichnen könnte.

So auch die Minkowski-Metrik.
Sie stellt die Parameterbeziehungen zwischen Massen dar, ohne dass man ihr deshalb eine physische Existenz zuschreiben müßte.

Der Torus "steht für" ein endliches, aber randloses Universum, das ist aber nur das "Kennfeld", die topologische Beschreibung einer global flachen(?), endlichen aber randlosen Mannigfaltigkeit.

Physikalisch rührt sowohl die Endlichkeit als auch die Randlosigkeit unseres Universums von der Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit in Verbindung mit der Expansion her.
Und die globale Flachheit von der weitgehend homogenen Massenverteilung (auf kosmologischen Skalen, versteht sich).


Gruß Jogi

SCR 28.10.11 22:07

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Laß' mich 'mal drüber nachdenken ...

EDIT: Aber vielleicht doch erst noch kurz dazu:
Zitat:

Zitat von Jogi (Beitrag 64585)
Weil ich immer den Eindruck habe, du siehst die Minkowski-Metrik als ein "Ding", ein physikalisches "Etwas", eine "anfassbare" Entität, [...]

Nein, das trifft nicht zu: Die Minkowski-Metrik ist meines Erachtens eine Art - wie soll ich sagen - "künstliche Metrik".

Ansonsten hat Einstein IMHO schon Recht:
Wenn Du von der WMAP-Messung "~ euklidisch" die positiven Krümmungen der Gravitation abziehst (= "sämtliche Materie aus unserem Universum entfernst") bleiben negative Krümmungen übrig - Und die stehen für eine dann "leere Raumzeit".

Diese Raumzeit wiederum betrachte ich durchaus als ein "Ding" - An der Stelle hast Du schon Recht.

Hermes 28.10.11 23:34

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hallo Jogi,

wie siehst Du denn unser physikalisches "Etwas"-Universum? Als "Ding" oder Feld? Es geht hier ja um die Raumzeit an sich, nicht den mathematischen Minkowski-Raum als "Hintergrund". Oder was ist eine "Minkowski-RAUMZEIT" sonst?

Raumzeit ist kein abstraktes "Kennfeld", (falls Du auf sowas hinauswillst! ;-) sondern ein Feld mit physikalischen Wirkungen. Auch die "Dinge" an sich, das physikalische "Etwas", Materie selbst sieht die Physik heute viele eher als Feld denn als Ding an. Oder siehst Du das anders?

@JoAx: Meinst Du vielleicht mit der Frage nach dem Charakter der Minkowski-Raumzeit (auch) diesen Unterschied: Ist Raumzeit physikalisch oder nur "gedachtes Modell", eine Art Kennfeld?

Hermes

Jogi 29.10.11 00:16

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hi Hermes.

Zitat:

Zitat von Hermes (Beitrag 64588)

wie siehst Du denn unser physikalisches "Etwas"-Universum?

Wenn du gestattest, stelle ich meine persönliche Modellvorstellung erst mal noch ein bißchen zurück.

Johann's Frage zielte ja auf Einsteins Sichtweise ab, bzw. auf das, was wir heute davon halten sollen.

Zitat:

"Ding" oder Feld?
Feld ist durchaus auch "Ding",

Zitat:

Es geht hier ja um die Raumzeit an sich,
aber Raumzeit ist nun mal nicht zwingend Feld.

Zitat:

Raumzeit ist kein abstraktes "Kennfeld", (falls Du auf sowas hinauswillst! ;-)
Doch, will ich. Und ich behaupte jetzt mal ganz frech, auch Einstein sah das in diesem Sinne.

Zitat:

sondern ein Feld mit physikalischen Wirkungen.
Dazu wird es erst durch die "Krümmung".
Und die kommt erst durch eine Masse oder ein Energieäquivalent zustande.
Nicht die Raumzeit wirkt, sondern Massen wirken auf Massen.

So wie beim Kennfeld auch nicht das Kennfeld, sondern die sich ändernden Eingangsparameter ursächlich die Ausgangsparameter verändern.

Einsteins und Minkowskis Leistung bestand nun darin, die Bedingungen der Wechselwirkungen in eine mathematisch-topologische Form zu bringen, die die realen, physikalischen Verhältnisse exakt und konsistent in dieser Form abbildet.



Zitat:

Auch die "Dinge" an sich, das physikalische "Etwas", Materie selbst sieht die Physik heute viele eher als Feld denn als Ding an. Oder siehst Du das anders?
Ich bin da vielleicht sogar noch konsequenter.;)


Gruß Jogi

JoAx 29.10.11 03:24

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hi Leute!

Es freut mich, dass sich so viele und so oft gemeldet haben. : )
Ich möchte auch gleich sagen, dass ich keine Ahnung habe, wie das alles (speziell für mich persönlich) ausgehen wird.
Ich werde jetzt nicht chronologisch "korrekt" antworten, und versuchen auf alles, was mir persönlich wichtig erscheint, in dieser einer Antwort eingehen.

Also.

Zitat:

Zitat von Hermes (Beitrag 64588)
@JoAx: Meinst Du vielleicht mit der Frage nach dem Charakter der Minkowski-Raumzeit (auch) diesen Unterschied: Ist Raumzeit physikalisch oder nur "gedachtes Modell", eine Art Kennfeld?

Nein, Hermes. Ich habe die Raumzeit "damals" als pseudoeuklidisch charakterisiert, und SCR meinte, mit Berufung auf ART und Einstein selbst, dass das falsch wäre, und die Raumzeit hyperbolisch sei. Das möchte ich gerne klären.
a. Was meint Einsten mit - "hyperbolisch",
b. "beist" sich das mit "meiner" Formulierung, oder nicht.
Ich wäre auch echt erfreut, wenn es dabei etwas mathematischer zugehen würde. Ich verspreche auch, so lange dran zu bleiben, und nicht "weiter zu ziehen", bis ich die Formeln nachvollzogen habe. Wenn also jemand von den Experten im mathematischen Formalismus der diff. Geometrie sich dazugesellen würde, wäre ich persönlich sehr froh!!!

* und **

Weiter:
Zitat:

Zitat von Jogi (Beitrag 64580)
Ein Kennfeld bezeichnet Parameterbeziehungen, häufige Anwendung:
Motorsteuerung.

Ja! So etwas ist dann auch mir in den Kopf geschossen, Jogi! : )
Ich finde, dass es eine gute, vorgreifende Analogie ist. Wenn auch u.U. etwas "zu kompliziert" für den Anfang. Ich hoffe, meine Intuition hier ist korrekt, und dass wir irgendwann so weit sein werden, diese Analogie wieder zu erwähnen.

Zunächst soll aber (wenn möglich) nur die Raumzeit als solche "angedacht" werden.

==================

Was bedeutet - Geometrie???
  • Zum einen ist es einfach Ausmessen der Erde. geo - Erde, metrie - messen.
  • Zum anderen ist damit eigentlich eine bestimmte Form der Abweichung von einer, sagen wir Mal - "Null-Geometrie" (oder von mir aus "Eins-Geometrie") gemeint. Wobei keine Abweichung = flache Geometrie bedeuten würde. Ich hoffe es ist klar, was ich meine. Wenn nicht, bitte unbedingt ansprechen.

Das zweite ist nun für uns interessant, denke ich.
Um jetzt von einer Abweichung sprechen zu können, muss man zunächst eben die "Null-Geometrie" definieren. Dazu muss man bestimmte linear-unabhängige Parameter definieren, und in Beziehung zu einander setzen. Wenn wir vom 3D Raum sprechen, dann sind diese die "drei räumlichen Koordinaten" xi, mit i=1,2,3. Die Beziehung zwischen diesen wird am einfachsten durch den Pytagoras-Satz beschrieben (=euklidisch):

r² = x1² + x2² + x3²

Diese Formel ist zugleich die Formel für eine Sphäre.

Bei der Raumzeit haben wir nun vier linear-unabhängige Parameter xi, mit i=0,1,2,3 (vlt. besser Χi???).

Frage: Wie schaut die Beziehung zwischen diesen im Allgemeinen, nicht speziell in der SRT, aus?


Zumindest in der Raumzeit der SRT kann man eine der Koordinaten "zeitlich" nennen (i=0, z.B.), und wenn wir die restlichen drei in r vereinen (="räumlich", aus der Formel zuvor), dann lautet die Beziehung (=pseudoeuklidisch):

s² = x0² - r²

Welche Geometrische Figur beschreibt diese Formel? Das hat doch irgendetwas mit Hyperbel zu tun. Oder?

Dem nach ergibt sich folgendes:
Definieren wir r=1, und formen den Pytagoras in einem euklidischen Raum etwas um, bekommen wir die Formel für eine Sphäre. Z.B.:

x1 = ±√(1 - x2² - x3²)

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...717a53eff2.png

Ähnlich machen wir es mit pseudoeuklidischen Raum (s=1):

r=±√(x0² - 1)

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...75eb01a73a.png

Oder

- Ein Raum mit euklidischer Beziehung zwischen den Parametern könnte (/müsste) man "sphärisch" bezeichnen. Oder sagen - "es hat sphärischen Charakter".

- Ein Raum mit (zum Teil) pseudoeuklidischer Beziehung zwischen den Parametern könnte (/müsste) man "hyperbolisch" bezeichnen. Oder sagen - "es hat hyperbolischen Charakter". Beispiel von Hermes:

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...eSheet.svg.png

Der Hyperboloid hier ist eine Einheitskurve, so wie eine Sphäre eine Einheitskurve für ein euklidischen Raum ist.

Die Aussagen:

"sphärisch" <-> euklidisch
pseudoeuklidisch <-> "hyperbolisch"

wären schlicht äquivalent.

Das hätte imho aber nichts mit positiver (Sphäre) oder negativer (Hyperboloid, das andere Beispiel von Hermes)
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...gles_chips.JPG
Krümmung zu tun.

So weit vorerst. Muss auch mal schlafen :(.


Gruß, Johann

Um nicht den Faden zu reissen, hier "ausgecoursed":
* - Wäre echt klasse, wenn man die SRT mit den Werkzeugen der ART angehen könnte, um diese (besser) kennen zu lernen. So detailliert wie nur möglich.

** - Was "real" und "nur gedacht" ist, ist auch eine spannende Frage. Wobei diese in der Physik (objektiv betrachtet :D) wohl noch nicht geschlossen ist. Und so möchte ich persönlich das auch sehen - als eine offene Frage.

SCR 29.10.11 10:53

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Morgen JoAx,
Zitat:

Zitat von JoAx (Beitrag 64590)
pseudoeuklidisch <-> "hyperbolisch"
wären schlicht äquivalent.

IMHO Jein. Ich habe es gerade in einem anderen Forum geschrieben - Ausgehend von der oben abgeleiteten Torusform unseres Universums:
Zitat:

Zitat von Pathfinder
Aus http://de.wikipedia.org/wiki/Torus#Torustopologie:
Zitat:

Zitat von wikipedia
Im Gegensatz zur Oberfläche einer Kugel kann der Torus ohne Singularitäten auf einer ebenen, rechteckigen Fläche abgebildet werden.
Dabei wird die rechte Kante des Rechtecks oder Quadrates mit seiner linken Kante verheftet, und seine untere Kante wird mit seiner oberen Kante verheftet. Diese Topologie besitzen auch viele Computerspiele, zum Beispiel Pacman oder das Game of Life.

Exakt das ist dann ausgehend vom "Torus unseres Universums" die Minkowski-Metrik. IMHO.
Eine toroidiale, eine Art "künstliche" Metrik.

Die Metrik ist erst einmal flach - und nicht hyperbolisch.
Hyperbolisch wird sie IMHO erst zusammen mit dem Gamma-Faktor (weil dieser sich exponentiell darstellt und dadurch auf "alles" hyperbolisch "wirkt": Zusammen ergeben sich bei Beschleunigungen dann eben Bewegungsbahnen in Form von Hyperbeln: z.B. aus http://tph.tuwien.ac.at/~rebhana/ED-Skriptum/k08.pdf
Zitat:

Diese Weltlinie ist in der ct-x-Ebene eine Hyperbel, weshalb die gleichförmig beschleunigte Bewegung auch als hyperbolische Bewegung bezeichnet wird.
Btw.: Bei Beschleunigungen wird immer Zeit durch Raum oder Raum durch Zeit substituiert - Beides im Sinne "gegensätzliche Freiheitsgrade der Bewegung" eines Objekts; deshalb umgekehrtes Vorzeichen von Raum und Zeit; deshalb "Pseudo" in der Metrik; IMHO).

Schau Dir bitte auch einmal hier das Bild ganz oben (= Der de Sitter-Raum; vgl. http://christianblohm.de/files/deSitter.pdf; Seite 4) und das ganz unten an: Woran erinnert Dich das untere sofort?

Von daher hast Du IMHO grundsätzlich schon völlig Recht - Auch wenn ich jetzt nicht wie von Dir gewünscht dazu Mathematik betrieben habe / betreibe
(Ich denke doch gar nicht daran ;)).

Gruß
SCR

P.S.: bzw. analog aus http://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%B...chen_Geometrie:
Zitat:

Zitat von wikipedia
Bemerkenswert ist, dass man zum Beispiel auf der Oberfläche eines Torus eine Metrik definieren kann, die keine Krümmung aufweist. Dies lässt sich aus der Tatsache ableiten, dass man einen Torus aus einer ebenen Fläche bilden kann. Das Koordinatensystem, welches auf der Oberfläche benutzt wird, ergibt sich durch die Abbildung der ebenen Fläche, aus der der Torus gebildet wurde.


Bauhof 29.10.11 17:18

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Zitat:

Zitat von JoAx (Beitrag 64590)
Ich habe die Raumzeit "damals" als pseudoeuklidisch charakterisiert, und SCR meinte, mit Berufung auf ART und Einstein selbst, dass das falsch wäre, und die Raumzeit hyperbolisch sei. Das möchte ich gerne klären.

a. Was meint Einstein mit - "hyperbolisch",
b. "beißt" sich das mit "meiner" Formulierung, oder nicht.

Hallo Johann,

es "beißt" sich nicht. SCR hat recht und du hast auch recht.
Die Minkowski-Raumzeit ist hyperbolisch und sie kann man auch als pseudoeuklidisch charakterisieren. Im dreidimensionalen Ortsraum erfolgt die kugelsymmetrische Lichtausbreitung in Form einer Kugel mit einem zeitlich anwachsenden Radius R:

(1) x² + y² + z² = R = c²t²

Dieser Sachverhalt stellt ich vierdimensional wie folgt dar:

(2) x² + y² + z² ─ (ct)² = 0

Minkowski schlug nun vor, statt mit der reellen Größe (ct) mit einer imaginären vierten Koordinate, nämlich (ict) zu arbeiten. Dann ergibt sich:

(3) x² + y² + z² + (ict)² = 0

Das ist nun analog zum euklidischen Pythagoras. Ich denke, man nennt diese Art der Charakterisierung pseudoeuklidisch. Durch den Kunstgriff der Verwendung der imaginären Einheit i erreicht man, dass die Zeit scheinbar dieselbe Qualität wie der Raum bekommt. Damit konnte man dann formal die dreidimensionalen Drehungen auf vierdimensionale Drehungen verallgemeinern. Originalton Hermann Minkowski:
Dadurch wird alles noch viel anschaulicher!

Wie hängt nun diese pseudoeuklidische Charakterisierung mit "hyperbolisch" zusammen?
Für den Fall der Dreieckswinkelsumme kleiner als 180 Grad entdeckt der Mathematiker Lambert die Trigonometrie einer Kugel von imaginärem Radius i, deren geometrische Verhältnisse durch die hyperbolischen Funktionen (sinh, cosh, etc) beschrieben werden

Ein Raum, dem ein Skalarprodukt, das imaginäre Abstände (z.B. wie ict in Formel 3) zulässt, zugrundelegt, ist der pseudoeuklidische Raum. Der Ereignisraum der speziellen Relativitätstheorie ist ein vierdimensionaler pseudoeuklidischer Minkowski-Raum.

Der Mathematiker Felix Klein wies nach, dass die Gruppe der Lorentz-Transformationen die gleiche Struktur besitzt wie die Transformationsgruppe des hyperbolischen (Lobatschewskischen) Raumes.

Hans Jürgen Treder schreibt dazu in seinem Buch [1] auf Seite 19 folgendes:
Zitat:

Während in einem euklidischen Raum das Quadrat des Abstandes zweier verschiedener Punkte P1 und P2 stets größer als Null ist, kann es in der Minkowski-Welt auch kleiner oder gleich Null sein. Die Raumzeit-Union der SRT besitzt also keine euklidische Maßbestimmung. Vielmehr ist die Maßbestimmung die vierdimensionale Verallgemeinerung der pseudoeuklidischen Geometrie. Dies ist der mathematische Ausdruck dafür, dass die Zeitkoordinate eine andere Qualität als die 3 Raumkoordinaten besitzt.
Und schließlich bedeutet der Übergang von der SRT zur ART geometrisch den Schritt von einer pseudoeuklidischen Metrik zu einer pseudo-riemannschen Metrik.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[1] Treder, Hans Jürgen
Relativität und Kosmos.
Raum und Zeit in Physik, Astronomie und Kosmologie.
Braunschweig 1968

Timm 30.10.11 18:38

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Zitat:

Zitat von Jogi (Beitrag 64580)
http://i599.photobucket.com/albums/t...nnfeld_neu.jpg

Man kann hier eine Vorstellung davon bekommen, dass so ein Kennfeld verschiedene Topologien ("Charaktere") aufweisen kann.


Erst mal so viel, vielleicht kommt jemand drauf, woraus ich hinaus will.

Ich fürchte, Du verwechselst Topologie mit Geometrie, Jogi.

Gruß, Timm

Jogi 30.10.11 19:11

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hi Timm.

Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 64602)
Ich fürchte, Du verwechselst Topologie mit Geometrie,

Nicht unbedingt, aber im konkreten Fall hast du schon Recht.
Ich hätte besser "Topographie" geschrieben, das hätte es besser getroffen.

Aber auch Kennfelder sind nicht zwingend untereinander homöomorph, da kann es durchaus auch welche in der Form eines Doppeltorus geben, aber dies nur am Rande.

Worauf es mir eigentlich ankommt, hat Eugen so schön zitiert:
Zitat:

Durch den Kunstgriff der Verwendung der imaginären Einheit i erreicht man, dass die Zeit scheinbar dieselbe Qualität wie der Raum bekommt. Damit konnte man dann formal die dreidimensionalen Drehungen auf vierdimensionale Drehungen verallgemeinern. Originalton Hermann Minkowski:
Dadurch wird alles noch viel anschaulicher!
(Geänderte Hervorhebung durch mich.)

An dieser Stelle der Modellbildung geschieht nämlich etwas, was manchen Leuten beim Umgang mit der vierdimensionalen Raumzeit nicht bewusst ist.
Ich hab' das weiter oben ja schon angesprochen:
Modelliert man das Universum als Torus, erscheint seine Oberfläche randlos, was in diesem Falle aber ein rein topologisches (also räumliches) Phänomen ist.
Das würde dazu führen, dass man, egal in welche Richtung man einen Lichtstrahl startet, irgendwann das Licht an diesem Startpunkt wieder empfängt, u. U. "von hinten".
Das ist im realen Universum aber offensichtlich nicht der Fall (auch nicht am EH, das ist graue Theorie).
Denn hier hat die vierte Dimension rein zeitlichen Charakter.
Das Universum expandiert real, dynamisch.
Was der statische Torus nicht tut.


Gruß Jogi

Timm 31.10.11 16:59

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hi Jogi,

Zitat:

Zitat von Jogi (Beitrag 64603)
Modelliert man das Universum als Torus, erscheint seine Oberfläche randlos, was in diesem Falle aber ein rein topologisches (also räumliches) Phänomen ist.
Das würde dazu führen, dass man, egal in welche Richtung man einen Lichtstrahl startet, irgendwann das Licht an diesem Startpunkt wieder empfängt, u. U. "von hinten".
Das ist im realen Universum aber offensichtlich nicht der Fall (auch nicht am EH, das ist graue Theorie).
Denn hier hat die vierte Dimension rein zeitlichen Charakter.
Das Universum expandiert real, dynamisch.
Was der statische Torus nicht tut.

Von einem statischen Torus spricht aber niemand. Es ist ja erstaunlich, daß die WMAP Daten mit einem endlichen drei-Torus-Modell und expandierendem Raum sogar einen Tick besser übereinstimmen, als das Standard-Modell. Flach passt ohnehin für beides. Und um seinen Hinterkopf zu sehen, reicht die vergangegene Zeit bei weitem nicht. Insofern widerspricht die Annahme eines drei-Torus nicht dem "realen Universum".
Während man sich über die Geometrie weitgehend einig ist, ist die Frage nach der Topologie des Universums noch offen. Die Entscheidung sollte Planck bringen. Der ist schon oben und sammelt eifrig Daten.

Gruß, Timm

JoAx 03.11.11 15:53

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hi Leute!

Tut mir leid, dass ich mich da rar mache, aber ich stehe doch ziemlich auf dem Schlauch. (Schätze ich.)

Zuerst @SCR:
Ich muss gestehen - ich verstehe nicht, auf was sich deine Einschätzung, dass die Minkowski-Metrik eine "toroidale" Metrik sein soll, basiert. Nur weil es summa summarum (in Gänze) auch flach ist? Das wäre mir zu wenig.
==

Ich habe in den vergangenen Tagen auch etwas zu Topologie gelesen, was so im Netz auf die Schnelle zu finden ist, kann aber damit ehrlich gesagt nicht viel anfangen. Speziell, was diese in der SRT "zu suchen" hätte.
==

Thema - nichteuklidische Geometrie.
So wie ich das sehe, geht (/ging) es dabei ursprünglich darum, "Flächen" eingebettet im "Volumen" zu beschreiben, ohne die Sicht aus dem "Volumen" heraus einnehmen zu müssen. (Erdoberfläche z.B., Lobatschewski-, Riemann-Geometrie) Mein Problem ist nun, dass

1. das "Volumen" dabei euklidisch ist,
2. die infinitesimal kleine Stückchen der Oberfläche aber auch.

Die Minkowski-Raumzeit ist zwar flach, aber in keiner "Skalierung" euklidisch. Daraus schließe ich, dass der "hyperbolische Charakter" der Raumzeit durch keine geometrische Figur, eingebettet in einem euklidischen "Über"-Raum, dargestellt werden kann. Prinzipiell nicht. Unter der "Geometrie" ("Charakter") wird hier imho nicht die (innere) "Krümmung(-en)" gemeint. Die innere Krümmung ist hier auf beliebigen Abständen = Null. (?)
An dieser Stelle Fragen an Eugen:

- Was wird unter der gleichen Struktur der Transformationen gemeint?
- Ist der hyperbolische (Lobatschewski) Raum infinitesimal nicht auch euklidisch?

Und noch etwas weiter:

Zitat:

Zitat von Bauhof (Beitrag 64595)
Im dreidimensionalen Ortsraum erfolgt die kugelsymmetrische Lichtausbreitung in Form einer Kugel mit einem zeitlich anwachsenden Radius R:

(1) x² + y² + z² = R = c²t²

Dieser Sachverhalt stellt ich vierdimensional wie folgt dar:

(2) x² + y² + z² ─ (ct)² = 0

Speziell an dieser Stelle sehe ich zunächst keinen Unterschied zu einem "normalen" Raum. Ich meine - wenn man Radius als eine Funktion R(a) betrachtet, dann ist es ja ganz normal, diese Beziehung:

x² + y² + z² = R(a)²

woraus sich ganz zwanglos

x² + y² + z² - R(a)² = 0

ergibt. D.h. imho, dass diese Formeln für den "Charakter" zunächst ziemlich bedeutungslos sind. Erst die Invarianz dieses Ausdrucks unter bestimmten Transformationen kann da (vermutlich) das Licht in's Dunkle bringen.

Die müsste man sich anschauen. Hmmmm....


Gruß, Johann

Timm 04.11.11 16:08

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hallo Johann,

ich habe nicht alles verfolgt. Nur eine kurze Einschätzung, wenn es um die Geometrien geht:
Diese ist bei einem leeren FRW-Universum (ohne Masse und kosmologische Konstante) hyperbolisch. Eine solche Metrik läßt sich mittels hyperbolischer Winkelfunktionen in eine Minkowski Metrik transformieren. Dort gelten die Gesetze der SRT und eine solche Raumzeit ist flach.

Ich bin aber nicht sicher, ob das die Fragestellung trifft.

Gruß, Timm

JoAx 04.11.11 16:24

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hallo Timm!

Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 64660)
Diese ist bei einem leeren FRW-Universum (ohne Masse und kosmologische Konstante) hyperbolisch. Eine solche Metrik läßt sich mittels hyperbolischer Winkelfunktionen in eine Minkowski Metrik transformieren. Dort gelten die Gesetze der SRT und eine solche Raumzeit ist flach.

Ich bin aber nicht sicher, ob das die Fragestellung trifft.

Ich denke schon, dass das hilft. (Auch, wenn u.U. nicht sofort. :) )
Demnach ist ein leeres FRW-Universum nicht die Minkowski-Raumzeit. Man bekommt letztere aus der ART also nicht nur dadurch, dass man alle Materie "weg denkt", man muss die auch noch "gerade biegen". So könnte man es ausdrücken, denke ich.
Das FRW-Universum ist aber zugleich pseudo-euklidisch und hyperbolisch gekrümmt. Korrekt?


Gruß, Johann

Timm 04.11.11 20:58

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Zitat:

Zitat von JoAx (Beitrag 64661)
Demnach ist ein leeres FRW-Universum nicht die Minkowski-Raumzeit.

Ja, das ist definitiv so, Johann. Entsprechend unterscheiden sich die Raumzeitdiagramme.

Zitat:

Zitat von JoAx (Beitrag 64661)
Das FRW-Universum ist aber zugleich pseudo-euklidisch und hyperbolisch gekrümmt. Korrekt?

Nein, der Minkowski-Raum ist pseudo-euklidisch. Eugen hat das schon dargestellt. "Pseudo" soll wohl nur bedeuten, daß mit der Einführung einer imaginären Größe wieder der Phytagoras in seiner gewohnten (euklidischen) Form da steht.

Gruß, Timm

EMI 05.11.11 01:27

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 64669)
Eugen hat das schon dargestellt.
"Pseudo" soll wohl nur bedeuten, daß mit der Einführung einer imaginären Größe wieder der Phytagoras in seiner gewohnten (euklidischen) Form da steht.

Hmm Timm,

"Pseudo" wegen der imaginären Größe? Sorry, ich sehe das eher so:

Die geometrische Darstellung der Raumzeit in der SRT darf nicht mit einem Universum verwechselt werden in dem alles Geschehen eliminiert ist.
Eine der wichtigsten Invarianten der SRT ist das Linienelment ds.
Das Intervall der Raumzeit wird bekanntlich so dargestellt:

ds² = dx² + dy² + dz² -c²dt²

Ist dieses Raumzeitintervall positiv nennt man es zeitartig, ist es negativ nennt man es raumartig.

Die pseudoeuklidische Struktur des Minkowski-Raumes liegt in der einfachen Tatsache begründet, dass der letzte Summand im Linienelement ein negatives Vorzeichen besitzt.
Dieses erzeugt den grundsätzlichen Unterschied zwischen euklidischen und pseudoeuklidischen Raum.
In einem euklidischen Raum ist der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten immer eine Gerade. Dies gilt nicht in der pseudoeuklidischen Raumzeit.
Was in der euklidischen Geometrie die kürzeste Verbindung ist wird in der Minkowski-Geometrie zur längsten Linie.
Die längste Zeit wird immer dort gemessen wo nach der euklidischen Geometrie die kürzeste Verbindung ist.
Man muss diese andersartige geometrische Struktur der Raumzeit im Auge behalten und sich klar sein das gekrümmte Weltlinien(Beschleunigung) die zwei Punkte in der Raumzeit verbinden immer kürzer sind als gerade Weltlinien.

Gruß EMI

Timm 05.11.11 10:06

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Gut beschrieben, EMI, lediglich das lichtartige Null-Intervall hast Du vergessen.
Über die Bedeutung von pseudo in pseudoeuklidisch möchte ich nicht streiten. Gemeint ist die bis auf das Vorzeichen eines Terms der beiden Metriken formale Ähnlichkeit, wobei die formale Übereinstimmung durch die Einführung eines imaginären Einheitsvektors hergestellt werden kann.

Gruß, Timm

Bauhof 05.11.11 11:26

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Zitat:

Zitat von JoAx (Beitrag 64661)
Das FRW-Universum ist aber zugleich pseudo-euklidisch und hyperbolisch gekrümmt. Korrekt? Gruß, Johann

Hallo Johann,

das materielose Friedmann-Universum ist nach meinem derzeitigen Wissenstand nicht hyperbolisch, sondern positiv gekrümmt. Das heißt, das FRW-Universum ist (anschaulich) gesehen der endliche dreidimensionale Begrenzungsraum einer vierdimensionalen Kugel.

Ich habe aber dies aber noch nicht in der Literatur nachgeprüft. Vielleicht verwechsle ich es auch mit dem sog. "Einstein-Universum".

M.f.G. Eugen Bauhof

EMI 05.11.11 12:35

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Zitat:

Zitat von Bauhof (Beitrag 64672)
Hallo Johann,

das materielose Friedmann-Universum ist nach meinem derzeitigen Wissenstand nicht hyperbolisch, sondern positiv gekrümmt.

Ein materieloses Universum (was es nicht geben kann) "wäre" unendlich negativ gekrümmt Bauhof,

Materiedichte krümmt dieses dann in Richtung positiv.
Die Materiedichte, die in unersem Universum vorhanden ist, krümmt das Universum gerade flach.
Noch mehr Materie würde das Universum positiv krümmen.

Gruß EMI

SCR 05.11.11 14:24

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hi JoAx,
Zitat:

Zitat von JoAx (Beitrag 64645)
Zuerst @SCR:
Ich muss gestehen - ich verstehe nicht, auf was sich deine Einschätzung, dass die Minkowski-Metrik eine "toroidale" Metrik sein soll, basiert. Nur weil es summa summarum (in Gänze) auch flach ist? Das wäre mir zu wenig.

Ist sie denn flach?
Ich kann aus einem Blatt Papier ohne Schere und Klebstoff ehrlich gesagt keinen Torus bauen - Auch wenn in den Lehrbüchern etwas anderes steht (Mit den "Bastelanleitungen" dort komme ich anscheinend einfach nicht klar).

Was ich (nur) kann: Ich kann vom Torus mit zwei Schnitten die Oberfläche abschälen und lokal (= immer nur einen begrenzten Teil/Ausschnitt davon) flach auf den Tisch legen - Aber definitiv nicht "das ganze Stück auf einmal".

Das hier ist im Übrigen der Grenzfall zwischen einem ein- und einem zweischaligen Hyberboloiden:

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...DoubleCone.png (Quelle: wikipedia)

Irgendwie erinnert der mich an etwas ...

(Vergleiche http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid und http://de.wikipedia.org/wiki/Lichtkegel)

Zitat:

Zitat von EMI (Beitrag 64673)
Ein materieloses Universum (was es nicht geben kann) "wäre" unendlich negativ gekrümmt Bauhof,
Materiedichte krümmt dieses dann in Richtung positiv.
Die Materiedichte, die in unersem Universum vorhanden ist, krümmt das Universum gerade flach.
Noch mehr Materie würde das Universum positiv krümmen.

EXAKT so sehe ich das auch.

JoAx 05.11.11 15:48

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hallo SCR!

Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 64674)
Ist sie denn flach?

Ja. Der Grund dafür, dass es mit einem Blatt Papier nicht funktioniert, sind konkrete Materialeigenschaften. Die lokalen Krümmungen sind zu groß. Die molekulare Struktur kann das auf dem geringen Raum nicht "tragen". Das ist alles. Hättest du ein Blatt Papier, das bsw. 1 Meter breit wäre, und so lang, wie der Umfang der Erde am Äquator, dann würde dieses sich wunderbar zu einem Torus formen lassen.
Man kann auf der Oberfläche eines Torus nur eine gerade durch ein Punkt legen, genau wie auf dem (flach gelegten) Blatt Papier.

Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 64674)
...
Aber definitiv nicht "das ganze Stück auf einmal".

Auch daran sind konkrete Materialeigenschaften schuld.

Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 64674)
Das hier ist im Übrigen der Grenzfall zwischen einem ein- und einem zweischaligen Hyberboloiden:

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...DoubleCone.png (Quelle: wikipedia)

Irgendwie erinnert der mich an etwas ...

Selbstverständlich. Nur darf man das nicht falsch interpretieren.
Der Doppelkegel ist in einem euklidischen Raum eingebettet. Der Lichtkegel in einem pseudo-euklidischen. Ich bin ziemlich überzeugt, dass das wesentlich ist, und nichts mit Krümmungen zu tun hat. Denn ansonsten
http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Geometrie
Zitat:

Zitat von wiki
Entstehung

Die ersten Arbeiten der Differentialgeometrie gehen auf Carl Friedrich Gauß zurück. Er begründete die Theorie der gekrümmten Flächen, die im dreidimensionalen Raum eingebettet waren. Die riemannsche Geometrie erhielt ihren entscheidenden Anstoß 1854 in Riemanns Habilitationsvortrag mit dem Titel „Über die Hypothesen, die der Geometrie zugrunde liegen“. In dieser Arbeit führte er die riemannschen Metriken ein, die später nach ihm benannt wurden. Im Gegensatz zu Gauß betrachtete er nicht nur Flächen, sondern höherdimensionale, gekrümmte Räume. Diese Räume waren jedoch immer noch in einen euklidischen Raum eingebettet. Die abstrakte Definition von differenzierbaren und damit insbesondere von riemannschen Mannigfaltigkeiten wurde erst in den 1930er Jahren von Hassler Whitney entwickelt. Besonders bekannt ist die Aussage, dass jede differenzierbare Mannigfaltigkeit eingebettet werden kann. Dieses Resultat ist heute unter dem Namen Einbettungssatz von Whitney bekannt.

Albert Einstein machte sich Riemanns Theorie zu nutze und entwickelte die pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten, die eine grundlegende Rolle in der allgemeinen Relativitätstheorie spielen.

sehe ich nicht ein, warum man eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit erst hätte entwickeln sollen. Man hätte ja lediglich eine ganz normale, entsprechend gekrümmte riemannsche Mannigfaltigkeit nehmen können.

Nein! Die Raumzeit ist pseudo-euklidisch. Und das hat nichts mit Abweichung von der flachen euklidischen Geometrie zu tun (=Krümmung). IMHO!


Gruß, Johann

Bauhof 05.11.11 19:44

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Zitat:

Zitat von EMI (Beitrag 64673)
Materiedichte krümmt dieses dann in Richtung positiv. Die Materiedichte, die in unserem Universum vorhanden ist, krümmt das Universum gerade flach. Noch mehr Materie würde das Universum positiv krümmen.

Hallo EMI,
ja, du hast recht. Ich hätte in meinen Unterlagen nachsehen sollen. Auf das Gedächtnis sollte man sich ab einem bestimmten Alter nicht mehr allein verlassen. Ich verwechselte leider das Friedmann-Universum mit dem De-Sitter-Universum. Das De-Sitter-Universum ist die Oberfläche einer "Pseudokugel", der Begrenzungsraum einer vierdimensionalen Kugel.

Amir D. Aczel schreibt dazu in seinem Buch [1] auf Seite 170 bis 171folgendes:
Zitat:

Anfang des Jahres, in dem Einsteins Artikel über Kosmologie erschien – 1917 – hatte de Sitter bereits eine eigene Arbeit veröffentlicht, die Einstein größte Bauchschmerzen bereitete. Denn in dieser Arbeit legte deSitter eine andere Lösung der Einsteinschen Gleichung mit kosmologischer Konstante vor, eine Lösung, die ein Universum ohne Materie erlaubte – ein Universum des leeren Raums.
[...]
Doch nachdem Einsteins kosmologische Arbeit jetzt veröffentlicht war, ließ deSitters Lösung darauf schließen, dass die Masse im Universum nicht erforderlich war, um solche Inertialsysteme zu schaffen. Außerdem wies deSitters Lösung der Einstein-Gleichungen ein weiteres wichtiges Merkmal auf, das zunächst übersehen wurde, als deSitters Aufsatz erschien. Es enthielt eine Art kosmischer Abstoßungskraft, die auf alle Massen wirkte und sich bemühte, das Universum zu immer schnellerer Expansion anzutreiben. Daraufhin begann der scharfsinnige deSitter, nach astronomischen Berichten über eine kosmische Expansion zu suchen, fand aber keine.
Bringt man Materieteilchen (im Gedankenexperiment) in dieses De-Sitter-Universum, so entfernen sich diese Teilchen voneinander. Diese Bewegung erfahren die Teilchen "unwillkürlich", ohne die Annahme irgendwelcher Kräfte zwischen ihnen, die Bewegung der Teilchen (in unserer realen Welt sind diese Teilchen die Galaxien) ist Ausdruck der Ausdehnung des Raumes selbst. Das DeSitter-Universum ist ein leeres expandierendes Universum.

Dieses Sich-Voneinanderentfernen zweier Probeteilchen in einem deSitter-Raum, ist durch keine kosmische Materie bedingt, sondern kann als innere Struktur dieses Raumes aufgefasst werden. Die von Willem deSitter gefundene Lösung der Einsteinschen Gleichungen zeigte, dass in dieser Theorie beim Verschwinden aller Massen ein Raum übrigbleibt, der die Trägheit bestimmt.

Dierck-Ekkehard Liebscher schreibt dazu in seinem Buch [2] auf Seite 214 folgendes:
Zitat:

Die Minkowski-Welt zeigt einen Raum der Krümmung Null ohne Expansion Der Milne-Kosmos ist ein Raum negativer Krümmung in linearer Expansion. Er entsteht aus der Minkowski-Welt durch eine andere Wahl und Interpretation der Koordinaten, hat aber dieselbe abstrakte Metrik.

Der deSitter-Kosmos ist die Oberfläche einer Pseudokugel. Je nach Koordinatenwahl kann er als ungekrümmter exponentiell expandierender Raum, als positiv gekrümmter kontrahierender Raum oder als negativ gekrümmter explodierender Raum angesehen werden. Bei einer anderen Wahl der zeitartigen Richtung entsteht der Anti-deSitter-Kosmos, eine Raum mit negativer Krümmung, der sich aufbläht und wieder in sich zusammenstürzt.
Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[1] Aczel, Amir D.
Die göttliche Formel.
Von der Ausdehnung des Universums.
Reinbek bei Hamburg 2002. ISBN=3-499-60935-5

[2]Liebscher, Dierck-Ekkehard
Einsteins Relativitätstheorie und die Geometrien der Ebene.
Illustration zum Wechselspiel von Geometrie und Physik.
Leipzig 1999. ISBN=3-519-00278-7

Timm 06.11.11 10:38

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Zitat:

Zitat von Bauhof (Beitrag 64676)
Das DeSitter-Universum ist ein leeres expandierendes Universum.

Nur eine kleine Anmerkung, Eugen.
Das de-Sitter-Universum enthält keine Masse aber eine kosmologische Konstante, die positiv oder negativ sein kann. Wenn man also das Minkowski-Universum mit einer Einsteinschen Lösung vergleichen möchte, dann landet man beim FRW-Universum, das als Grenzfall die Energiedichte Null (Masse=0, lambda=0) enthält, wie ich das weiter oben schon erwähnt hatte. Dieser Grenzfall, der übrigens mit dem Milne-Universum koinzidiert, läßt sich per Koordinatentransformation in den Minkowski-Raum überführen. Und so lassen sich Vergleiche anstellen, zum Thema Geometrie etwa. Oder daß die Überlichtgeschwindigkeiten im FRW-Universum, eine Folge der Wahl der Koordinaten sind.

Gruß, Timm

JoAx 06.11.11 11:07

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hallo EMI!

Zitat:

Zitat von EMI (Beitrag 64670)
Eine der wichtigsten Invarianten der SRT ist das Linienelment ds.
...
Die pseudoeuklidische Struktur des Minkowski-Raumes liegt in der einfachen Tatsache begründet, dass der letzte Summand im Linienelement ein negatives Vorzeichen besitzt.
Dieses erzeugt den grundsätzlichen Unterschied zwischen euklidischen und pseudoeuklidischen Raum.

Sehe ich das richtig, dass auch du das "Pseudo-Euklidische" der Raumzeit (in der RT generell) nicht als eine Krümmung eines euklidischen Raumes verstehst?


Gruß, Johann

Marco Polo 06.11.11 17:34

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Möglicherweise hilft ja das hier weiter:

http://www-m10.ma.tum.de/bin/view/Ma...Cal/GeoCalE7x1

Grüsse, MP

EMI 07.11.11 01:57

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Zitat:

Zitat von JoAx (Beitrag 64679)
Sehe ich das richtig, dass auch du das "Pseudo-Euklidische" der Raumzeit (in der RT generell) nicht als eine Krümmung eines euklidischen Raumes verstehst?

Das siehst Du richtig JoAx,

Raumzeitmaterie -> Krümmung -> RIEMANN (GAUSS) -> ART
Raumzeit -> Euklidisch (Pseudoeuklidisch) -> SRT

Gruß EMI

JoAx 07.11.11 02:31

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hi EMI!

Zitat:

Zitat von EMI (Beitrag 64682)
Das siehst Du richtig JoAx,

Raumzeitmaterie -> Krümmung -> RIEMANN (GAUSS) -> ART
Raumzeit -> Euklidisch (Pseudoeuklidisch) -> SRT

Danke! Darum ging's mir.
Als Fazit muss ich aber zugeben, dass mir ein zusätzlicher Begriff fehlt, der sich vom Begriff der "Geometrie" deutlich absetzen würde, um in so einem Thema effizient (nicht so "verkrampft") zu Argumentieren. (Vlt. gibt's den ja, und ich kenne diesen nur noch nicht?)


Gruß, Johann

JoAx 07.11.11 02:56

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hi SCR!

Zitat:

Zitat von JoAx (Beitrag 64675)
Auch daran sind konkrete Materialeigenschaften schuld.

Nimm statt eines Blattes Papier einen Damenstrumpf. Oder eine andere Art elastischer Schlauch.


Gruß, Johann

SCR 07.11.11 08:26

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Morgen JoAx,
Zitat:

Zitat von JoAx (Beitrag 64684)
Nimm statt eines Blattes Papier einen Damenstrumpf. Oder eine andere Art elastischer Schlauch.

Ich denke, das sind jetzt genau die zwei Paar Stiefel, die wir brauchen:
a) Das unelastische, flache Blatt Papier
b) Eine dehnbare, flache Gummifolie
Denn:
Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 64674)
Ist sie denn flach?
Ich kann aus einem Blatt Papier ohne Schere und Klebstoff ehrlich gesagt keinen Torus bauen - Auch wenn in den Lehrbüchern etwas anderes steht (Mit den "Bastelanleitungen" dort komme ich anscheinend einfach nicht klar).

Mit der Gummifolie geht das natürlich problemlos. Mit der Folie gelingt aber auch folgendes:
http://img62.imageshack.us/img62/1540/spherez.gif
Und die kann ich dann flach auf den Tisch legen - Die Verwendung einer Gummifolie statt eines unelastischen Blattes Papier ist aber stets eine (Karten-)Projektion.
Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 64593)
Die Metrik ist erst einmal flach - und nicht hyperbolisch.

So wie jede typische Landkarte unserer Erde auch erst einmal intrinsisch flach ist. Dennoch bildet sie eine Sphäre ab - Und verfälscht deshalb (je nach Herangehensweise) bestimmte Aspekte der real vorliegenden Krümmung (Stichworte: Winkeltreue, Längentreue, ...).
Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 64593)
Hyperbolisch wird sie IMHO erst zusammen mit dem Gamma-Faktor (weil dieser sich exponentiell darstellt und dadurch auf "alles" hyperbolisch "wirkt": Zusammen ergeben sich bei Beschleunigungen dann eben Bewegungsbahnen in Form von Hyperbeln: z.B. aus http://tph.tuwien.ac.at/~rebhana/ED-Skriptum/k08.pdf

... bzw. in Verbindung mit den Lorentztrafos.

Aus http://de.wikipedia.org/wiki/Paralleltransport:

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...-on-sphere.png

Zwei Wanderer starten mit gleicher Blickrichtung am Nordpol (schwarzer Pfeil) und bewegen sich dann auf unterschiedlichen Wegen (blaue und rote Pfeile) in einem gekrümmten Raum zu einem gemeinsamen Zielort. Ergebnis: Sie haben sich zueinander gedreht.
So kommen IMHO die (Pseudo-)Drehungen bei der Anwendung Lorentztransformationen zustande:
Die Minkowski-Metrik ist eine konforme Abbildung eines hyperbolischen Raumes und als Projektion eben flach.
Will man in ihr "korrekt (= der Realität entsprechend) Rechnen" bedarf es Korrektur-Operanden (Gamma-Faktor, Lorentz-Transformationen).
In tatsächlich euklidisch-flachen Räumen würden keine Drehungen auftreten.

Zitat:

Zitat von Pathfinder (an anderer Stelle)
Nichtsdestotrotz ist sie in gewissem Sinne "künstlich"

In diesem Sinne genauso wie eine Landkarte: Es handelt sich in beiden Fällen um eine Projektion der Realität.

(Alles selbstverständlich IMHO).

JoAx 07.11.11 18:58

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hallo SCR!

Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 64685)
Die Minkowski-Metrik ist eine konforme Abbildung eines hyperbolischen Raumes und als Projektion eben flach.

Wann immer du von "Abbildung eines hyperbolischen Raumes" sprichst, habe ich das gefühl, dass du damit eben so etwas wie die "Landkarte" einer Hyperboloidschale, die im differenziellen Sinne euklidisch ist, auf einem euklidischen Blatt Papier meinst. Ist das korrekt?

Falls ja, würde ich das bitte gerne sehen. Mit räumlicher und zeitlicher Achse auf der Hyperboloidschale, hin zu diesen dann auf der Projektion.


Gruß, Johann

SCR 07.11.11 22:15

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hallo JoAx,

Konkret? keine Ahnung.

Vielleicht so ähnlich, wie man eben bei Kartenprojektionen vorgeht:

Man denke sich einen Leuchtglobus, stelle außenherum einen Papierzylinder, lösche das Licht im Raum und schalte den Globus ein: Dann wird die sphärische Kugeloberfläche auf den euklidischen Pappzylinder projeziert (mit entsprechenden "Verzerrungen").

Vergleiche eventuell auch Geometrie und Erfahrung; Albert Einstein; erweiterte Fassung des Festvortrages gehalten an der preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin; 27.01.1921; Abbildung 2 (+ die entsprechenden Erläuterungen):

http://wikilivres.info/w/images/thum...stein1921b.png

"Professionell" gibt es verschiedene Verfahren (mit unterschiedlichen Vor- und Nachteilen hinsichtlich der Verzerrungen): http://de.wikipedia.org/wiki/Kartennetzentwurf.

Wenn wir einmal unterstellen, die Raumzeit wäre hyperbolisch - Wir nehmen einen Torus und denken uns "dessen äußere Hälfte" (mit den durch Materie verursachten positiven Krümmungen) weg - Dann können wir z.B. einen Papierzylinder in das Loch stellen und von außen mit dem "Halb-Torus-Leuchtkranz" dessen hyperbolische Oberfläche auf die flache Papierzylinder-Oberfläche projezieren.
Oder wir stellen auch hier eine Lampe in das Loch in die Mitte und projezieren so den Halb-Torus auf einen Papp-Zylinder, der diesen außen umgibt.

Welches konkrete Projektions-Verfahren (siehe wikipedia-Link) dabei konkret die Minkowski-Metrik ergibt / ergeben könnte, weiß ich nicht.

Denn ich gelange zu meiner Einschätzung lediglich auf Basis folgender Überlegungen:
- Die Minkowski-Metrik bildet eine "leere" Raumzeit ab (im Sinne "G-Feld-frei")
- In den Lorentztrafos "stecken" (Pseudo-)Drehungen: Das lässt mich das Vorliegen einer nicht-euklidischen Geometrie vermuten
- Der Gamma-Faktor ist ein exponentieller Faktor: Das lässt mich das Vorliegen einer hyperbolischen Geometrie vermuten
- Die "leere" Raumzeit ist hyperbolisch - Das sehe ich exakt so wie EMI:
Zitat:

Zitat von EMI (Beitrag 64673)
Ein materieloses Universum (was es nicht geben kann) "wäre" unendlich negativ gekrümmt Bauhof,
Materiedichte krümmt dieses dann in Richtung positiv.
Die Materiedichte, die in unersem Universum vorhanden ist, krümmt das Universum gerade flach.
Noch mehr Materie würde das Universum positiv krümmen.

- Die Minkowski-Metrik ist im Gegensatz zur "realen Raumzeit" flach - Wenn alles logisch zusammenpassen soll müsste es sich bei der flachen Minkowski-Metrik deshalb um eine Projektion der hyperbolischen Raumzeit handeln (wobei IMHO eben der "hyperbolische Charakter der Raumzeit" im exponentiellen Gamma-Faktor und in den Lorentz-Transformationen steckt).

So würde das alles zumindest für mich einen gewissen Sinn ergeben ...

JoAx 08.11.11 02:21

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hallo SCR!

Eigentlich, bist du wieder nicht auf meine Frage eingegangen, sondern bist "woanders hin gewandert". Ich meine, ich habe doch eine einfache Frage gestellt. Oder nicht? :confused:

Ist folgendes richtig:
Du behaptest - dass die Minkowski-Raumzeit eine Projektion einer normalen Torusschale auf eine normale Fläche ist.

Wenn diese Unterstellung richtig ist, dann möchte ich von dir bitte 2 Bilder sehen:
1. Torusschale mit eingezeichneten Raum-/Zeitachsen,
2. Wie davon eine Projektion zu erstellen ist, die wie ein Minkowski-Diagramm ausschaut.


Gruß, Johann

SCR 08.11.11 09:30

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Morgen JoAx,
Zitat:

Zitat von JoAx (Beitrag 64692)
Eigentlich, bist du wieder nicht auf meine Frage eingegangen, sondern bist "woanders hin gewandert".

? Weiß ich nicht - Ich dachte eigentlich schon dass ich Dir präzise geantwortet hätte:
Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 64691)
Konkret? keine Ahnung.

Aber nachdem Du ja keine Ruhe gibst ;) - Versuchen wir es eben einmal:
Zitat:

Zitat von JoAx (Beitrag 64692)
1. Torusschale mit eingezeichneten Raum-/Zeitachsen,
2. Wie davon eine Projektion zu erstellen ist, die wie ein Minkowski-Diagramm ausschaut.

Dazu denke ich brauchen wir das hier von Dir, das Horn-Universum (Ich denke, das Modell ist doch zutreffend), eine zweite Zeitachse (und sei es nur als Hilfsdimension) und ein wenig "Projektions-Technik/-Equipment".

Irgendwelche Einwände, JoAx?

Denn dann wäre ich selbst einmal gespannt, was dabei rauskommt ... :)

JoAx 08.11.11 09:34

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 64693)
Irgendwelche Einwände, JoAx?

Mach bitte einfach, SCR.


Gruß

SCR 08.11.11 09:50

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Also gut, JoAx.

Legen wir los:

1. Wir gehen von einer hyperbolischen Raumzeit aus.

2. Die von Materie verursachten positiven Krümmungen unseres Universums interessieren uns erst einmal nicht -> Wir sehen uns "den Innenbereich" eines Torus an:

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...70px-Torus.png (Quelle:wikipedia)

3. Wir schneiden den Torus nun noch vertikal durch (Als wollten wir ihn mit Marmelade oder ähnliches beschmieren) und betrachten nur eine Hälfte (Hintergrund: Wir brauchen für 4. eine "Richtung").

4. Wir berücksichtigen die Urknalltheorie / die Expansion unseres Universums.
Dabei ist zu beachten, dass IMHO nicht nur der Raum sondern auch die Zeit expandiert (Begründung siehe hier)
-> Wir ziehen das aus 2. und 3. entstandene "Torus-Fragment" entlang einer gedachten zweiten Zeitachse in die Vergangenheit hinein in die Länge.

5. Ergebnis: Wir betrachten ein Horn-Universum, welches aus einer Ring-Singularität entstanden ist (Es ist hier nur "umgelegt" dargestellt):

http://4.bp.blogspot.com/_qbAozUJuid...n+universe.bmp (Quelle: http://4.bp.blogspot.com/_qbAozUJuid...n+universe.bmp)

Soweit erst einmal zur Ausgangsbasis? (Koordinaten etc. lege ich dann noch drauf)

JoAx 08.11.11 10:23

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hi SCR!

Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 64695)
1. Wir gehen von einer hyperbolischen Raumzeit aus.

Was meinst du jetzt mit "hyperbolischer Raumzeit"?
Konkret?
Genau das würde ich gerne sehen! Nicht das ganze Universum, und wie dieses u.U. "flach wird".


Gruß, Johann

SCR 08.11.11 11:14

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Nun - Ich denke, die Entwicklung unseres Universums mußt Du schon mit berücksichtigen:

Lege Dir links hochkant eine Ringsingularität (= Torus) hin, nach rechts einen Zeitstrahl.
Nun lasse die Ringsingularität auf Basis dieses (von mir aus virtuellen) Zeitstrahls von links nach rechts expandieren (= Urknall + Expansion).
Vergiss dabei die positiven Krümmungen -> Konzentriere Dich nur auf das "Innere" des Torus.
Der Torus enthält sowohl das Dich interessierende dt (Koordinatenausrichtung analog der zusätzlich gedachten Zeitachse) als auch dr (Koordinatenausrichtung senkrecht dazu):
Beide Dimensionen expandieren = Beide werden negativ gekrümmt.
Krümmung bedarf Dynamik.

Aber eigentlich dachte ich, wir setzen eine hyperbolische Raumzeit voraus und jetzt geht es darum, daraus die Minkowski-Metrik zu projezieren (?)

SCR 09.11.11 09:26

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Guten Morgen JoAx!

Zitat:

Zitat von JoAx
Was meinst du jetzt mit "hyperbolischer Raumzeit"? Konkret? Genau das würde ich gerne sehen!

Eine hyperbolische Raumzeit wäre eine materiefreie Raumzeit.
Zitat:

Zitat von EMI
Ein materieloses Universum (was es nicht geben kann) "wäre" unendlich negativ gekrümmt Bauhof,

Topologisch gesehen ein Loch (in einem Batzen).
Zitat:

Zitat von EMI
Materiedichte krümmt dieses dann in Richtung positiv.

Topologisch gesehen ein Batzen.
Zitat:

Zitat von EMI
Die Materiedichte, die in unersem Universum vorhanden ist, krümmt das Universum gerade flach.

Ein Batzen mit einem Loch ist ein Torus. Ein Torus ist flach (da sich seine positiven und negativen Krümmungen exakt aufheben). Die WMAP-Messungen weisen nun gerade auf ein global (nahezu) flaches Universum hin.

Die Anwendung der Minkowski-Metrik setzt G-Feld-Freiheit (bzw. die Vernachlässigbarkeit von G-Feldern) voraus -> Ziehen wir vom global flach gemessenen Universum deshalb die durch Materie verursachten positiven Krümmungen ab (indem wir die Materie aus dem Universum entfernen) bleibt rechnerisch eine leere, negativ gekrümmte Raumzeit zurück (siehe 1. Zitat EMI).

Gruß
SCR

P.S.: Ich stimme EMI weiterhin zu dass es kein materiefreies Universum geben kann.

P.P.S.: Auch wenn Du mich deshalb vermutlich für total bekloppt hälst:
Ich würde an der Stelle dann erst einmal wieder mit einem "normalen" Hyperboloiden weitermachen wollen ... :rolleyes:

JoAx 10.11.11 00:50

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hi SCR!

Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 64701)
Eine hyperbolische Raumzeit wäre eine materiefreie Raumzeit.

Topologisch gesehen ein Loch (in einem Batzen).

Topologisch gesehen ein Batzen.

Ein Batzen mit einem Loch ist ein Torus. Ein Torus ist flach (da sich seine positiven und negativen Krümmungen exakt aufheben). Die WMAP-Messungen weisen nun gerade auf ein global (nahezu) flaches Universum hin.

Ich fühle mich wegen dir mal wieder völlig durch den Wind. Ich weiß einfach nicht, wie/wo ich dein Verwenden der Begriffe einordnen soll. Echt! :confused:

Deswegen -->>

Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 64697)
Aber eigentlich dachte ich, wir setzen eine hyperbolische Raumzeit voraus und jetzt geht es darum, daraus die Minkowski-Metrik zu projezieren

Ich weiß nicht, was du unter "hyperbolischer Raumzeit" verstehst. Für mich bedeutet pseudo-euklidisch ("hyperbolisch") "das Gleiche" wie eiklidisch, nur mit einem Minus-Vorzeichen im "Pytagoras", anstatt eines Plus-Vorzeichens. Nicht weniger, aber auch nicht mehr. Völlig unabhängig von "inneren Krümmungen". Die kommen, oder auch nicht, erst später.

Da du aber das "hyperbolisch" besonderst herausstellst, habe ich keine Andere Wahl als zu denken, dass du darunter Krümmungen verstehst. Was ich halt für falsch halte. Irren kann ich mich selbstverständlich auch, aber was du so schreibst, bringt für mich kein Bisschen Licht in die Sache.

Jetzt das Wesentliche = das Eigentliche (das zuvor muss nicht beantwortet werden):

Wenn ich jetzt von einer pseudo-euklidischen Umgebung sprechen wollte, würdest du darunter zwangsläufig hyperbolische Krümmung(en) verstehen?


Gruß, Johann

EMI 10.11.11 04:17

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Zitat:

Zitat von JoAx (Beitrag 64702)
Wenn ich jetzt von einer pseudo-euklidischen Umgebung sprechen wollte, würdest du darunter zwangsläufig hyperbolische Krümmung(en) verstehen?

Nein JoAx,

ich zumindest nicht.... Krümmung kommt erst mit Materie ins "Spiel" (ART).

Gruß EMI

PS: Pseudo ist das "Minus" SCR.;)

SCR 10.11.11 11:51

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hallo JoAx,
Zitat:

Zitat von JoAx (Beitrag 64702)
Wenn ich jetzt von einer pseudo-euklidischen Umgebung sprechen wollte, würdest du darunter zwangsläufig hyperbolische Krümmung(en) verstehen?

Nein - Definitiv: Nein.
Die Minkowski-Metrik ist
1. pseudo-euklidisch und
2. (für sich / alleine betrachtet) flach (*).
Denke an das (leere) Innere einer Hohlkugel: Das ist ein 3D-Raum in welchem überall die Zeit identisch/synchron abläuft - Da gibt es keine Unterschiede zwischen den einzelnen Punkten der Raumzeit
-> Da liegen keine ("lokalen"/"relativen") Krümmungen zwischen den einzelnen Punkten der von der Hohlkugel umschlossenen Raumzeit vor - Eine flache Raumzeit eben.
Zitat:

Zitat von EMI (Beitrag 64703)
PS: Pseudo ist das "Minus" SCR.;)

Ja - Genau, EMI. :)
Zitat:

Zitat von JoAx (Beitrag 64702)
Ich fühle mich wegen dir mal wieder völlig durch den Wind. Ich weiß einfach nicht, wie/wo ich dein Verwenden der Begriffe einordnen soll. Echt! :confused:

Entschuldige bitte - Ich stelle da einmal was zusammen. Ich hoffe, das hilft. Ansonsten liegt es tatsächlich ausschließlich an mir.

Gruß
SCR

(*) Ich möchte an dieser Stelle aber auch nicht verhehlen dass es dazu auch andere Meinungen gibt: siehe "drüben".
Und:
Für mich ist ein Hyperboloid stets negativ gekrümmt. Der de Sitter-Raum ist ein Hyperboloid. Wenn mir jetzt jemand erzählt, ein Hyperboloid wäre flach oder positiv gekrümmt, dann sehe ich das als falsch an: Dann sollten wir uns ansehen, wieso/wie man zu so einem Ergebnis gelangen kann (Vor dem Hintergrund Erkenntnisgewinn: Was bedeutet denn eine Krümmung der Raumzeit tatsächlich?).
Genauso wie ein ZylinderMANTEL (Vorsicht: Ein Zylinder mit Deckel ist positiv gekrümmt!) flach ist (= Einstein-Universum) und eine Sphäre insgesamt immer positiv gekrümmt sein muß (egal ob "global innen" oder "außen" gemessen).

SCR 10.11.11 12:17

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 64704)
Entschuldige bitte - Ich stelle da einmal was zusammen.

-> <Klick mich!>

Timm 10.11.11 16:43

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hallo Johann und EMI,

Zitat:

Zitat von EMI (Beitrag 64703)
Zitat:

Zitat von Johann
Wenn ich jetzt von einer pseudo-euklidischen Umgebung sprechen wollte, würdest du darunter zwangsläufig hyperbolische Krümmung(en) verstehen?

Nein JoAx,

ich zumindest nicht.... Krümmung kommt erst mit Materie ins "Spiel" (ART).

Das ist erst die halbe Wahrheit, EMI. Es kommt m.E. schon darauf an, von welcher Krümmung die Rede ist, der des Raumes oder der der Raumzeit. Das beste Beispiel hierzu ist das bereits weiter oben im Thread erwähnte leere FRW-Universum. Dessen Raumzeit ist wie die Minkowski-Raumzeit flach, klar, beide enthalten ja keine Masse/Energie. Die Krümmung des leeren FRW-Universums ist jedoch negativ, die Geometrie des Raumes also hyperbolisch. Grund ist die Wahl mitbewegter Koordinaten.

In diesen Koordinaten erhält man das Raumzeit-Diagramm aus
http://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmo_02.htm#DH :

http://www.astro.ucla.edu/~wright/omega0.gif

Die Neigung der lokalen Lichtkegel verraten die Überlichtgeschwindigkeiten, die merkwürdige Tropfenform des Vergangenheitslichtkegels ist Ausdruck der Expansion dieses Universums.

In SRT-Koordinaten transformiert, sieht das dann so aus,

http://www.astro.ucla.edu/~wright/omega0sr.gif

c wird nicht überschritten und die Geometrie des Raumes ist pseudo-euklidisch.

Wie das Beispiel zeigt, ist die Krümmung des Raumes durchaus von der Wahl der Koordinaten abhängig. Oder anders, der Raum in einer flachen Raumzeit kann durchaus gekrümmt sein. Was natürlich nicht geht, ist die Transformation einer flachen in eine gekrümmte Raumzeit und umgekehrt.

Gruß, Timm

JoAx 11.11.11 12:04

AW: Welchen "Charakter" hat die Minkowski-Raumzeit?
 
Hallo Timm!

Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 64708)
Das beste Beispiel hierzu ist das bereits weiter oben im Thread erwähnte leere FRW-Universum. Dessen Raumzeit ist wie die Minkowski-Raumzeit flach, klar, beide enthalten ja keine Masse/Energie.

Ich denke, das ist so nicht korrekt. Wenn man die SRT aus der allgemeineren ART betrachtet, dann

a) fehlt in der SRT die Materie/Energie-Kopplung an die Raumzeit (und umgekehrt). Das ist nicht damit gleich zu setzten, dass in der Minkowski-Raumzeit keine Masse/Energie im Sinne der ART gibt.
b) die Komponenten des metrischen Fundamentaltensors wurden "willkürlich" (und global, über die ganze Raumzeit) auf gμν={diag}(-1,1,1,1) gesetzt. (Wird von Einstein in so einem Fall auch als ημν bezeichnet.)

Das alles ist imho nun keineswegs mit - "klar, beide enthalten ja keine Masse/Energie" - zu kommentieren (/zu verwechseln).

Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 64708)
Die Krümmung des leeren FRW-Universums ist jedoch negativ, die Geometrie des Raumes also hyperbolisch.

Hier ist mir nicht klar, was du unter "Universum" resp. "Raum" verstehst. Verwendest du es synonym?

Bis dahin.


Gruß, Johann


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