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-   -   Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems (http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=3617)

Timm 01.05.19 18:03

Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Die Inflation löst das Flachheitsproblem dadurch, daß in

(1/Ω - 1)ρa² = -k*3c²/(8piG)

ρa² wegen der exponentiellen Expansion einen riesigen Wert erhält und deshalb (1/Ω - 1) -> 0 geht. (1/Ω - 1) = 0 bedeutet Ω = 1 und damit wäre das Universum räumlich flach und k = 0.

Nun schreibt Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Flatness_problem
Zitat:

Thus if |(1/Ω - 1)| initially takes any arbitrary value, a period of inflation can force it down towards 0 and leave it extremely small - around 10^-62 as required above, for example.
Demnach wird z.B. aus einem anfänglichen (vor Beginn der Inflation) Wert Ω > 1 (Universum hat sphärische Geometrie, k = +1) der Wert Ω = 0 (Universum hat euklidische Geometrie, k = 0).

Andererseits sollte sich das Vorzeichen des Krümmungsparameters k durch die Inflation nicht ändern, aus sphärisch nicht flach werden.
Wo liegt die Crux?

TomS 01.05.19 19:37

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Aus einer kompakten (z.B. sphärischen) kann auch keine offene (z.B. euklidische) Topologie werden (Geometrie in Klammern).

Bernhard 01.05.19 22:42

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 91327)
Wo liegt die Crux?

Solange man von einer homogenen und isotropen Materieverteilung ausgeht, gibt es auch den bekannten Zusammenhang zwischen den Omegas. Die globale Geometrie (=k) bleibt darin fest. Das Flachheitsproblem ist mMn erst dann zu lösen, wenn man über die Friedmann-Gleichungen hinausgeht.

Timm 01.05.19 22:56

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von TomS (Beitrag 91329)
Aus einer kompakten (z.B. sphärischen) kann auch keine offene (z.B. euklidische) Topologie werden (Geometrie in Klammern).

Eben, das Vorzeichen von k kann vor der Inflation nicht anders sein, als nachher. Andererseits läßt “arbitrary value” k = 1 zu.

Ich 02.05.19 07:58

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Aus Wikipedia:
Zitat:

k may be taken to have units of length−2, in which case r has units of length and a(t) is unitless. k is then the Gaussian curvature of the space at the time when a(t) = 1. r is sometimes called the reduced circumference because it is equal to the measured circumference of a circle (at that value of r), centered at the origin, divided by 2π (like the r of Schwarzschild coordinates). Where appropriate, a(t) is often chosen to equal 1 in the present cosmological era, so that d Σ {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } } \mathrm{d}\mathbf{\Sigma} measures comoving distance.
Alternatively, k may be taken to belong to the set {−1,0,+1} (for negative, zero, and positive curvature respectively). Then r is unitless and a(t) has units of length. When k = ±1, a(t) is the radius of curvature of the space, and may also be written R(t).
Wenn du mit k=1 arbeitest, dann ist k/a² die Krümmung, und die wird beliebig klein. Wenn da steht, die Krümmung werde gegen 0 getrieben, dann bezieht sich das auf k/a².

TomS 02.05.19 08:24

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Bernhard (Beitrag 91330)
Solange man von einer homogenen und isotropen Materieverteilung ausgeht, gibt es auch den bekannten Zusammenhang zwischen den Omegas. Die globale Geometrie (=k) bleibt darin fest.

Wenn du von dem k = 0, ±1 spricht, dann ja.

Zitat:

Zitat von Bernhard (Beitrag 91330)
Das Flachheitsproblem ist mMn erst dann zu lösen, wenn man über die Friedmann-Gleichungen hinausgeht.

Warum?

Die Friedmann-Modelle bieten für "gemischten Inhalt" = Materie, Strahlung, kosmologische Konstante oder für allgemeinere w-Parameter Dunkle Energie sowie (homogene und isotrope) inflationäre Modelle den geeigneten Rahmen.

Bernhard 02.05.19 08:37

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von TomS (Beitrag 91333)
Warum?

Ja, das ist ein Fehler meinerseits. Die passende Antwort stammt von 'Ich', siehe oben.

Timm 02.05.19 11:15

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Ich (Beitrag 91332)
Aus Wikipedia:
Wenn du mit k=1 arbeitest, dann ist k/a² die Krümmung, und die wird beliebig klein. Wenn da steht, die Krümmung werde gegen 0 getrieben, dann bezieht sich das auf k/a².

Dann habe ich eine riesige Sphäre und Ω wird gegen 1 getrieben. Ich hatte die Lösung des Flachheitsproblems so verstanden, daß Ω = 1 resultiert, mit k = 0. Und ich denke so müßten es diejenigen Kosmologen verstehen, die von einem unendlich großen Universum ausgehen, also keiner auch noch so große Sphäre.

Es ist überall die Rede davon, daß das Universum räumlich flach ist, was die Sphäre eigentlich ausschließt. Wenn das aber strikt gilt, müßte es schon vor der Inflation flach gewesen sein und damit die Inflation unnötig.

Ich 02.05.19 11:44

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 91335)
Dann habe ich eine riesige Sphäre und Ω wird gegen 1 getrieben. Ich hatte die Lösung des Flachheitsproblems so verstanden, daß Ω = 1 resultiert, mit k = 0.

Nein, eher wie in der von dir zitierten Quelle Ω-1~1e-62 oder so. 0 ist nur der Limes.
Zitat:

Und ich denke so müßten es diejenigen Kosmologen verstehen, die von einem unendlich großen Universum ausgehen, also keiner auch noch so große Sphäre.
Ich denke, dass solch Redeweisen noch Überbleibsel aus der Ära vor 30 Jahren sind, als man zwischen dem tatsächlichen Universum und einer einfachen FRW-Metrik sprachlich keinen Unterschied machte.
Zitat:

Es ist überall die Rede davon, daß das Universum räumlich flach ist, was die Sphäre eigentlich ausschließt. Wenn das aber strikt gilt, müßte es schon vor der Inflation flach gewesen sein und damit die Inflation unnötig.
Es gilt nicht strikt. Es gilt auch die FRW-Metrik nicht strikt: Lokal mag vor der Inflation positive Krümmung geherrscht haben, anderswo negative - das sagt nichts über die globale Topologie aus. Aber was immer die lokale Krümmung war, sie wurde gegen Null (aber nicht auf exakt Null) gebügelt.

Timm 02.05.19 15:18

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Ich (Beitrag 91336)
Es gilt nicht strikt. Es gilt auch die FRW-Metrik nicht strikt: Lokal mag vor der Inflation positive Krümmung geherrscht haben, anderswo negative - das sagt nichts über die globale Topologie aus. Aber was immer die lokale Krümmung war, sie wurde gegen Null (aber nicht auf exakt Null) gebügelt.

Hat dann k lokal unterschiedliche Vorzeichen, vor und nach der Inflation jeweils dasselbe? Macht ein Wert von k lokal überhaupt Sinn?

Ergibt sich der globale Wert von k aus einer Art Mittelung? Wenn etwa die lokal positiven Krümmungen überwiegen ist global k = 1?

Wenn ich das soweit richtig verstehe, ist nach der Inflation das Universum lokal nahezu flach, was aber nichts über die globale Geometrie aussagt, die ist heute so wie sie vor der Inflation war. D.h. wer heute von global k = 0 ausgeht, braucht dafür keine Inflation. Das würde aber alles bedeuten, daß in unserem beobachtbaren Universum lokal nahezu flach - wie derzeit angenommen - keineswegs global exakt flach nahelegt.

Ich 02.05.19 16:23

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 91339)
Hat dann k lokal unterschiedliche Vorzeichen, vor und nach der Inflation jeweils dasselbe?

Die lokale Krümmung nach der Inflation kommt aus den Fluktuationen des Inflatonfelds. Was vorher war, sollte keinen nennenswerten Einfluss darauf haben.
Zitat:

Macht ein Wert von k lokal überhaupt Sinn?
Bedingt Man kann natürlich lokal einen Schnittkrümmungsradius definieren und sogar messen - wobei der natürlich immer positiv wäre. Der kosmologische Krümmungsradius ist wieder was anderes, weil der nur in der FRW-Metrik vorkommt und für seine Definition die Gültigkeit des Hubblgesetzes voraussetzt. Um den zu bestimmen, muss man also über Regionen mitteln, die groß genug sind, dass man näherungsweise eine solche Metrik darüberlegen kann. Wenn man das macht, muss nicht zwangsweise überall dasselbe herauskommen.
Zitat:

Ergibt sich der globale Wert von k aus einer Art Mittelung? Wenn etwa die lokal positiven Krümmungen überwiegen ist global k = 1?
Wenn man so will, ja. Eigentlich ist k eine Eigenschaft der FRW-Metrik, nicht des tatsächlichen Universums. Wenn das Universum auf den größten Skalen nicht homogen ist, dann gibt es auch kein vernünfitges globales k. Wenn aber die positive Krümmung überwiegt, dann ist die Topologie kompakt.
Zitat:

Wenn ich das soweit richtig verstehe, ist nach der Inflation das Universum lokal nahezu flach, was aber nichts über die globale Geometrie aussagt, die ist heute so wie sie vor der Inflation war. D.h. wer heute von global k = 0 ausgeht, braucht dafür keine Inflation. Das würde aber alles bedeuten, daß in unserem beobachtbaren Universum lokal nahezu flach - wie derzeit angenommen - keineswegs global exakt flach nahelegt.
Allein schon für global k~=0 braucht man die Inflation, weil die Nullkrümmung instabil ist und irgendwie erzwungen werden muss. Wenn man von global k=0 ausgeht, ist immer noch nicht geklärt, wie das zustande kommen soll - die einzelnen Regionen des Universums waren ja nicht in kausalem Kontakt miteinander ohne Inflation.
Allgemein gilt natürlich: Wir wissen nur, wie unser beobachtbares Universum aussieht. Was auf millionenfach größeren Skalen (so es die gibt) passiert, entzieht sich unserer Kenntnis. Es gibt auch keine stichfesten theoretischen Argumente, warum das Universum als Ganzes genau so aussehen sollte wie unser beobachtbares Teilstück.

Timm 02.05.19 17:38

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Ich (Beitrag 91340)
Die lokale Krümmung nach der Inflation kommt aus den Fluktuationen des Inflatonfelds. Was vorher war, sollte keinen nennenswerten Einfluss darauf haben.

Du meinst hier wohl mit lokal die Anisotropie des CMB bei ca. 1° Winkelausdehnung. Diese Dichteschwankungen führt man auf solche Fluktuationen zurück, wobei 1° annähernd flach ergibt.
Mit "Hat dann k lokal unterschiedliche Vorzeichen, vor und nach der Inflation jeweils dasselbe?" meinte ich das beobachtbare Universum. Mit lokal in diesem Sinne sollte die Krümmung gegen Null gehen, ihr Vorzeichen aber beibehalten.

Zitat:

Zitat von Ich (Beitrag 91340)
Allein schon für global k~=0 braucht man die Inflation, weil die Nullkrümmung instabil ist und irgendwie erzwungen werden muss.

Ja.

Zitat:

Zitat von Ich (Beitrag 91340)
Wenn man von global k=0 ausgeht, ist immer noch nicht geklärt, wie das zustande kommen soll - die einzelnen Regionen des Universums waren ja nicht in kausalem Kontakt miteinander ohne Inflation.

Spielt das eine Rolle?
Das beobachtbare Universum war vor der Inflation in kausalem Kontakt. Trotzdem geht man für es von k~=0 aus, nicht von k=0.

Ob in kausalem Kontakt oder nicht sollten nach der Inflation die anfänglich unterschiedlichen lokalen Krümmungen gegen Null gehen, bzw. Ω -> 1 aber nicht Ω = 1. Ich denke, wenn es so ist, sollte das auch global gelten.

Das Resümee dürfte sein, daß die Inflation weder lokal noch global k = 0 erzwingt.

Bernhard 02.05.19 18:06

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Ich (Beitrag 91340)
Man kann natürlich lokal einen Schnittkrümmungsradius definieren und sogar messen - wobei der natürlich immer positiv wäre.

Das Thema hatten wir doch schon mal auf astronews.com. Dort hatte ich ein Beispiel für eine lokal negative Schnittkrümmung gezeigt. Wenn man lokale Abweichungen von der k=0-Geometrie betrachtet, sollten sowohl negative, wie positive Schnittkrümmungen möglich sein.

Ich 02.05.19 19:08

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 91341)
Spielt das eine Rolle?
Das beobachtbare Universum war vor der Inflation in kausalem Kontakt. Trotzdem geht man für es von k~=0 aus, nicht von k=0.

Ohne Inflation würde ein solcher Bereich aber nicht das beobachtbare Universum füllen.
Zitat:

Ob in kausalem Kontakt oder nicht sollten nach der Inflation die anfänglich unterschiedlichen lokalen Krümmungen gegen Null gehen, bzw. Ω -> 1 aber nicht Ω = 1. Ich denke, wenn es so ist, sollte das auch global gelten.
Es ist ja auch denkbar, dass unser Universum quasi aus einer Inflationsblase in einem viel größeren Universum hervorgegangen ist. Oder dass - siehe "Eternal Inflation" - die Inflation nicht in allen Bereichen des Universums zum Erliegen gekommen ist. Da kann man, momentan zumindest, nur spekulieren.
Zitat:

Das Resümee dürfte sein, daß die Inflation weder lokal noch global k = 0 erzwingt.
Nicht im mathematischen Sinne, nein.

Ich 02.05.19 19:12

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Bernhard (Beitrag 91342)
Das Thema hatten wir doch schon mal auf astronews.com. Dort hatte ich ein Beispiel für eine lokal negative Schnittkrümmung gezeigt. Wenn man lokale Abweichungen von der k=0-Geometrie betrachtet, sollten sowohl negative, wie positive Schnittkrümmungen möglich sein.

Wenn positive Energiedichte vorliegt, ist die Summe aller Schnittkrümmungen immer positiv. Wenn man über etwas größere Bereiche mittelt, gilt das auch für jede einzelne Ebene. Ansonsten können einzelne Ebenen auch negativ gekrümmt sein.
Und nochmal: Auch ein k=-1 - Universum hat positive Schnittkrümmung. Die kosmologische Krümmung ist, wenn man so will, ein Koordinatenartefakt und nicht lokal messbar.

Bernhard 02.05.19 21:01

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Ich (Beitrag 91346)
Und nochmal: Auch ein k=-1 - Universum hat positive Schnittkrümmung.

Dieser Satz ist mathematisch gelesen falsch, weil eben auch in diesem Fall das Vorzeichen der Schnittkrümmung von der Wahl der Schnittebene abhängt und diese Wahl ist per Definition erst mal frei wählbar.

Zitat:

Die kosmologische Krümmung ist, wenn man so will, ein Koordinatenartefakt und nicht lokal messbar.
Mag sein. Wenn man z.B. mit lichtartigen Geodäten misst, ist die Wahl der Ebenen natürlich entsprechend eingeschränkt.

Ich 02.05.19 21:55

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Bernhard (Beitrag 91347)
Dieser Satz ist mathematisch gelesen falsch, weil eben auch in diesem Fall das Vorzeichen der Schnittkrümmung von der Wahl der Schnittebene abhängt und diese Wahl ist per Definition erst mal frei wählbar.

Der Satz ist richtig, weil das Vorzeichen der Schittkrümmung raumartiger Ebenen keineswegs von der Wahl der Schnittebene abhängt (*). Die Schnittebenen sind geodätisch, die kannst du nicht künstlich krümmen wie die Ebenen eines nichtgeodätischen Unterraums.
Zitat:

Mag sein. Wenn man z.B. mit lichtartigen Geodäten misst, ist die Wahl der Ebenen natürlich entsprechend eingeschränkt.
Die raumartigen Schnittkrümmungen jeder FRW-Metrik sind eine Funktion der Energiedichte allein, und damit unabhängig vom jeweiligen Hubble-Parameter. Du kannst messen, wie du willst, diese kosmologische Raumkrümmung ist einfach keine lokale Eigenschaft der Raumzeit, sondern von den Eigenschaften eines Bündels von gedachten Beobachter abhängig. Wenn das Bündel expandiert, dann ist der durch es aufgespannte Raum negativer gekrümmt als wenn es nicht expandiert. Das ändert aber natürlich nichts an den lokal tatsächlich vorhandenen Schnittkrümmungen.

(*)...mit den vorher genannten Einschränkungen: Wenn der Raum nicht isotrop genug ist, dann gilt das für die Summe der Krümmung orthogonaler Schnittebenen.

Bernhard 03.05.19 06:57

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Ich (Beitrag 91348)
weil das Vorzeichen der Schittkrümmung raumartiger Ebenen keineswegs von der Wahl der Schnittebene abhängt (*).

Ich habe den entscheidenden Zusatz unterstrichen. Ohne diesen Zusatz ist obiger Satz falsch. Die gemischt raum- und zeitartigen Schnittkrümmungen K_01=K_02=K_03 tragen das andere Vorzeichen, das dann je nach Vorzeichenkonvention positiv oder negativ sein kann.

TomS 03.05.19 07:11

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 91341)
Das Resümee dürfte sein, daß die Inflation weder lokal noch global k = 0 erzwingt.

Das k = 0 (oder +1 bzw. -1) ist ein Artefakt der hochsymmetrischen Friedman-Lösungen. Es ist strikt konstant, es kann nicht dynamisch erklärt werden. In einem inhomogenen Universum verliert es seinen Sinn.

Inflation ist ein Mechanismus, ein gekrümmtes Universum in ein Universum mit näherungsweise flacher Geometrie zu überführen.

Die Topologie eines 3-dim. raumartigen Schnitts ändert sich dadurch nicht; sie ist invariant unter der Dynamik bzw. Zeitentwicklung.

Bernhard 03.05.19 08:09

Zitat:

Zitat von TomS (Beitrag 91351)
In einem inhomogenen Universum verliert es seinen Sinn.

Ich sehe aber kein Problem darin, anschaulich verschiedene Teile verschiedener Friedmann-Universen zusammenzukleben.

TomS 03.05.19 09:00

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Kann man tun, jeder Patch hätte dann zunächst "sein eigenes k". Dieses bleibt jedoch sicher nicht konstant, denn die Dynamik würde die Grenzen der Patches "verschmieren", wodurch wieder lokal variable Krümmung resultieren würde.

Auch dann wäre allerdings die globale Topologie festgelegt und würde sich im Zuge der Dynamik (Zeitentwicklung) nicht ändern.

Ich 03.05.19 09:30

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Bernhard (Beitrag 91350)
Ich habe den entscheidenden Zusatz unterstrichen. Ohne diesen Zusatz ist obiger Satz falsch. Die gemischt raum- und zeitartigen Schnittkrümmungen K_01=K_02=K_03 tragen das andere Vorzeichen, das dann je nach Vorzeichenkonvention positiv oder negativ sein kann.

Ich meinte tatsächlich die raumartigen Schnittkrümmungen, weil das Thema des Threads Raumkrümmung ist. Die gemischten Schnittkrümmungen hängen vom Bremsparameter ab, können gleiches oder entgegengesetztes Vorzeichen tragen.
EDIT: Ich sehe aber, dass ich das nicht dazu geschrieben hatte. Danke für die Korrektur.

Bernhard 03.05.19 12:41

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Ich (Beitrag 91355)
Die gemischten Schnittkrümmungen hängen vom Bremsparameter ab, können gleiches oder entgegengesetztes Vorzeichen tragen.

Yep. Ein lambda > 0 sollte, wie bei k=0, einen Wendepunkt in den Graphen des Skalenfaktors bringen.

Man könnte sich eventuell nochmal die Schnittkrümmung einer Ebene aus lichtartigen Geodäten ansehen. Das wäre dann auch ein "lokaler" Messwert.

TomS 03.05.19 14:38

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Bernhard (Beitrag 91356)
Yep. Ein lambda > 0 sollte, wie bei k=0, einen Wendepunkt in den Graphen des Skalenfaktors bringen.

Das verstehe ich nicht.

Bernhard 03.05.19 14:46

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von TomS (Beitrag 91357)
Das verstehe ich nicht.

Es gilt z.B. Schnittkrümmung K_01 = (d²a(t)/dt²) / a(t). Das Vorzeichen der Schnittkrümmung hängt in diesem Fall also ganz wesentlich von der zweiten Ableitung des Skalenfaktors ab.

BTW: Man findet den Ausdruck für K_01 auch hier wieder:
https://de.wikipedia.org/wiki/Friedmann-Gleichung
Siehe Bewegungsgleichung oder zweite Friedmann-Gleichung.

Timm 03.05.19 16:37

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von TomS (Beitrag 91351)
Inflation ist ein Mechanismus, ein gekrümmtes Universum in ein Universum mit näherungsweise flacher Geometrie zu überführen.

Die Topologie eines 3-dim. raumartigen Schnitts ändert sich dadurch nicht; sie ist invariant unter der Dynamik bzw. Zeitentwicklung.

Wenn also ein Kosmologe von einem unendlich großen Universum ausgeht und den Effekt der Inflation berücksichtigt, geht er implizit von k = 0 aus, denn die beliebig große Sphäre scheidet aus (und etwas wie die Pseudosphäre mit k = -1 dürfte er kaum im Sinn haben). Und damit hätte das Universum bereits vor der Inflation euklidische Geometrie.

Ersteres liest man öfter, Letzeres kam mir in diesem Kontext noch nicht unter.

TomS 03.05.19 17:08

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 91360)
Wenn also ein Kosmologe von einem unendlich großen Universum ausgeht und den Effekt der Inflation berücksichtigt, geht er implizit von k = 0 aus, denn die beliebig große Sphäre scheidet aus (und etwas wie die Pseudosphäre mit k = -1 dürfte er kaum im Sinn haben). Und damit hätte das Universum bereits vor der Inflation euklidische Geometrie.

Ersteres liest man öfter, Letzeres kam mir in diesem Kontext noch nicht unter.

Wenn also ein Kosmologe von einem unendlich großen Universum ausgeht, präzise formuliert und den Effekt der Inflation berücksichtigt, geht er implizit von einer nicht-kompakten Topologie aus (die beliebig große Sphäre scheidet aus; etwas wie die Pseudosphäre mit k = -1 könnte er im Sinn haben - warum nicht?) Und damit hätte das Universum bereits vor der Inflation eine nicht-kompakte Topologie jedoch nicht notwendigerweise euklidische Geometrie.

Bernhard 03.05.19 17:14

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von TomS (Beitrag 91361)
die beliebig große Sphäre scheidet aus

Das verstehe nun ich nicht. k=1 deckt sich bei sehr großem Skalenfaktor doch auch mit den Messungen.

Timm 03.05.19 18:22

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Bernhard (Beitrag 91362)
Das verstehe nun ich nicht. k=1 deckt sich bei sehr großem Skalenfaktor doch auch mit den Messungen.

Mit den Messungen schon, aber nicht mit der Annahme eines unendlich großen Universums.

Timm 03.05.19 18:55

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von TomS;91361
etwas wie die Pseudosphäre mit k = -1 [I
könnte[/I] er im Sinn haben - warum nicht?

Die hakt er schnell ab, denn er bevorzugt die triviale Topologie.

TomS 04.05.19 08:07

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 91365)
Die hakt er schnell ab, denn er bevorzugt die triviale Topologie.

Dazu gibt es keinen Grund

TomS 04.05.19 08:15

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 91365)
Die hakt er schnell ab, denn er bevorzugt die triviale Topologie.

Warum?

Generell: die Friedmann-Modelle sind eine recht eingeschränkte Klasse von Lösungen; warum sollten gerade sie realisiert sein?

Keine nicht-triviale Topologie kann phänomenologisch ausgeschlossen werden, wenn das Universum nur genügend groß ist.


Die Geometrisierung von geschlossenen = kompakten und unberandeten 3-Mannigfaltigkeiten - vermutet von Thurston und bewiesen von Perelmann - führt auf eine endliche Menge “irreduzibler Typen” geschlossener Mannigfaltigkeit. Für nicht-kompakte hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten ist keine vollständige Klassifizierung bekannt.

https://en.wikipedia.org/wiki/Geometrization_conjecture

https://en.wikipedia.org/wiki/3-manifold

https://en.wikipedia.org/wiki/Flat_manifold
https://en.wikipedia.org/wiki/Homolo...omology_sphere
https://en.wikipedia.org/wiki/Mostow_rigidity_theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_3-manifold
https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudosphere


Anbei ein Auszug von


https://arxiv.org/abs/1601.03884
The Status of Cosmic Topology after Planck Data
Jean-Pierre Luminet
(Submitted on 15 Jan 2016 (v1), last revised 17 Mar 2016 (this version, v2))
In the last decade, the study of the overall shape of the universe, called Cosmic Topology, has become testable by astronomical observations, especially the data from the Cosmic Microwave Background (hereafter CMB) obtained by WMAP and Planck telescopes. Cosmic Topology involves both global topological features and more local geometrical properties such as curvature. It deals with questions such as whether space is finite or infinite, simply-connected or multi-connected, and smaller or greater than its observable counterpart. A striking feature of some relativistic, multi-connected small universe models is to create multiples images of faraway cosmic sources. While the last CMB (Planck) data fit well the simplest model of a zero-curvature, infinite space model, they remain consistent with more complex shapes such as the spherical Poincare Dodecahedral Space, the flat hypertorus or the hyperbolic Picard horn. We review the theoretical and observational status of the field.

One could think that the whole universe is necessarily greater than the observable one, as it would obviously be the case if space was infinite, for instance the simply-connected flat or hyperbolic space. Then the observable universe would be an infinitesimal patch of the whole universe and, although it has long been the standard “mantra” of many theoretical cosmologists, this is not and will never be a testable hypothesis.

The whole universe can also be finite (without an edge), e.g., a hypersphere or a closed multi-connected space, but greater than the observable universe. In that case, one easily figures out that if whole space widely encompasses the observable one, no signature of its finiteness will show in the experimental data.

Surprisingly enough, the whole space could be smaller than the observable universe, due to the fact that space can be both multi-connected, have a small volume and produce topological lensing. This is the only case where there are a lot of testable possibilities, whatever the curvature of space.

The present observational constraints on the Ω° parameter favor a spatial geometry that is nearly flat with a 0.4% margin of error. Note that the constraints on the curvature parameter can be looser if we consider a general form of dark energy (not the cosmological constant), which leaves rooms to consider positively or negatively curved cosmological models that are usually regarded as being excluded. However, even with the curvature so severely constrained by cosmological data, there are still possible multi-connected topologies that support positively curved, negatively curved, or flat metrics.

Even if particularly simple and elegant models such as the PDS and the hypertorus are now claimed to be ruled out at a subhorizon scale, many more complex models of multi-connected space cannot be eliminated as such.



Zusammenfassend: nicht-triviale Topologien mit typischen Längenskalen im Bereich der Größe des sichtbaren Universums sind weiterhin nicht vollständig ausgeschlossen; nicht-triviale Topologien mit typischen Längenskalen deutlich größer als das sichtbare Universums können prinzipiell nicht - nie - ausgeschlossen werden.

Timm 04.05.19 09:48

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von TomS (Beitrag 91370)
Warum?

Generell: die Friedmann-Modelle sind eine recht eingeschränkte Klasse von Lösungen; warum sollten gerade sie realisiert sein?

Keine nicht-triviale Topologie kann phänomenologisch ausgeschlossen werden, wenn das Universum nur genügend groß ist.

Da must du jene Kosmologen fragen, Letzteres wissen die natürlich.

Nun hast du einen sehr interessanten link. Ich greife erst mal das heraus:
Zitat:

Zitat von TomS (Beitrag 91370)

https://arxiv.org/abs/1601.03884
[b]While the last CMB (Planck) data fit well the simplest model of a zero-curvature, infinite space model, ..

Da haben wir's wieder. Das klingt sehr strikt nach k = 0, oder nicht? Wir hatten jedoch eben festgestellt, daß eine hinreichend große kompakte Topologie (nahezu flach) ebenfalls möglich ist.

Mehr aus deiner Post schaue ich mir noch an.

TomS 04.05.19 10:18

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 91373)
“... simplest model of a zero-curvature, infinite space model“ klingt sehr strikt nach k = 0, oder nicht? Wir hatten jedoch eben festgestellt, daß eine hinreichend große kompakte Topologie (nahezu flach) ebenfalls möglich ist.

Nochmal: k = 0 ist die Charakterisierung eines speziellen Modells, so wie wenn du sagst „der Erdradius“; nun wissen wir aber alle, dass es den Erdradius nicht gibt. Die Erdoberfläche ist topologisch eine Sphäre, geometrisch näherungsweise ein Ellipsoid.

Genauso ist das sichtbare Universum in sehr guter Näherung euklidisch, jedoch nicht exakt (jede lokale Masse krümmt den Raum), und anders als Magellan hat noch niemand das Universum umsegelt.

Also lassen wir k = 0 besser komplett weg und bleiben bei „zero-curvature“, was „auf genügend großen Skalen mit Null verträgliche mittlere Krümmung“ bedeutet. Dann machen wir uns klar, dass dies zusammen mit „... infinite space model“ bedeutet,
- erstens „zero-curvature“ über das sichtbare Universum hinaus zu extrapolieren
- zweitens eine sehr spezielle Topologie anzunehmen

Ersteres entspricht der Annahme des kosmologischen Prinzips *). Letzteres ist eigtl. Willkür; ich denke, in den weiteren Ausführungen wird das auch klar. Ich sehe keinen physikalischen Grund, irgendeine Topologie auszuzeichnen, solange wir nicht klare Signale von Planck haben, die z.B. auf eine kompakte Topologie mit Ausdehnung im Bereich des sichtbaren Universums hindeuten.

Die Beobachtungsdaten schließen jedoch ein Universum mit i) kompakter Topologie mit Ausdehnung im Bereich des sichtbaren Universums und/oder ii) Geometrien mit Krümmung ungleich Null im sichtbaren Universum - mit soweit ich verstanden habe sehr guter Signifikanz - aus. Alles andere bleibt zulässig.

Die Mathematik der ART sagt nichts über die Topologie, sie lässt alle 4-dim. pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten zu. Unter der Voraussetzung der globalen Hyperbolizät = Abwesenheit geschlossener zeitartige Kurven bleiben immer noch beliebige 3-dim. „raumartige“ Riemannschen Mannigfaltigkeiten; diese können zu einem beliebigen Zeitpunkt als Anfangsbedingung angenommen und (vorwärts und rückwärts) in der Zeit entwickelt werden.

Das Friedmann-Universum mit k = 0 ist möglich, vieles andere auch, für negative mittlere Krümmung ist die Klassifizierung der Mannigfaltigkeiten noch nicht mal vollständig verstanden ...

*) bereits die Annahme der Isotropie wird in dem recht einfach erscheinenden homogenen, flachen Torus-Universum auf subtile Weise verletzt

Timm 04.05.19 14:03

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Verbesserungsvorschlag:

"“... simplest model of a zero-curvature, infinite space model“ läßt außer acht, daß eine hinreichend große kompakte Topologie (nahezu flach) ebenfalls möglich ist.

Darauf wollte ich eigentlich hinaus. Aber später schreibt er ja "The whole universe can also be finite".

Mea culpa, ich hätte zu ende lesen sollen.

TomS 04.05.19 14:07

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 91376)
Mea culpa, ich hätte zu ende lesen sollen.

Kein Thema.

Ich halte diese Diskussion für sehr spannend.

Bernhard 04.05.19 20:44

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Ich (Beitrag 91355)
Danke für die Korrektur.

Gern geschehen.

Ich verstehe daür jetzt auch die physikalische Bedeutung der Schnittkrümmungen noch besser. Sämtliche Schnittkrümmungen sind bei Verwendung der Friedmann-Gleichungen unabhängig von k und hängen (neben einigen Konstanten) nur von der Materiedichte, dem Druck und lambda ab.

Ich habe auch die Schnittkrümmung für die bereits genannte Ebene aus lichtartigen Geodäten ausgewertet. Die wird von Materie und Druck jeweils positiv und von lambda negativ gekrümmt.

Timm 05.05.19 14:20

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Bernhard (Beitrag 91382)
Die Beschleunigungsgleichung zeigt noch, dass es theoretisch auch ein Universum mit zeitlich konstanter Expansion gibt, falls die Materiediche und lambda entsprechend aufeinander abgestimmt sind.

Wie berücksichtigst du hier, daß die Materiedichte mit 1/a³ geht?

Bernhard 05.05.19 17:07

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 91388)
Wie berücksichtigst du hier, daß die Materiedichte mit 1/a³ geht?

Ja, Entschuldigung, das habe ich übersehen. Ich korrigiere es im Beitrag.

Timm 05.05.19 18:05

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Bernhard (Beitrag 91391)
Ich setze nur die zweite Friedmann-Gleichung (Beschleunigungsgleichung) gleich Null und erhalte

a-ddot = 0 => a-dot = const. => a = const1. * t + const2.

?

Wenn ich die Beschleunigung Null setze, komme ich auf

λ - ρ = 0 Konstanten = 1

Ich denke, das gilt für den Wendepunkt, wenn die gebremste in die beschleunigte Expansion übergeht. Wenn das generell gelten soll, muß sich die Materie wundersam vermehren, damit ihre Dichte erhalten bleibt.

Außerdem scheint mir lineare Expansion der Geodäten-Abweichung in gekrümmter Raumzeit zu widersprechen.

Bernhard 05.05.19 18:58

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 91394)
?

Deine Antwort bezieht sich auf einen Beitrag, den es so nicht mehr gibt. War Unsinn.

Timm 06.05.19 17:24

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Ich (Beitrag 91340)
Allein schon für global k~=0 braucht man die Inflation, weil die Nullkrümmung instabil ist und irgendwie erzwungen werden muss. Wenn man von global k=0 ausgeht, ist immer noch nicht geklärt, wie das zustande kommen soll - die einzelnen Regionen des Universums waren ja nicht in kausalem Kontakt miteinander ohne Inflation.

Je nachdem welche Zahlen man heranzieht, komme ich auf die Größenordnung Wasserstoffatom oder sogar Proton der Region vor der Inflation, aus der das beobachtbare Universum hervor ging. Mich würde interessieren, wie man die Größe einer Region vor der Inflation berechnet um thermisches Gleichgewicht annehmen zu können. Es sollte doch wohl hier der Zeitfaktor die entscheidende Rolle spielen.

Ich 07.05.19 16:18

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 91402)
Je nachdem welche Zahlen man heranzieht, komme ich auf die Größenordnung Wasserstoffatom oder sogar Proton der Region vor der Inflation, aus der das beobachtbare Universum hervor ging. Mich würde interessieren, wie man die Größe einer Region vor der Inflation berechnet um thermisches Gleichgewicht annehmen zu können. Es sollte doch wohl hier der Zeitfaktor die entscheidende Rolle spielen.

Das weiß ich nicht. Ich weiß auch nicht, ob die Physik dafür so wenig spekulativ ist, dass man diese Frage beantworten kann.
Wenn die Inflation lange genug dauert, dann kann das m. E. weniger als die Plancklänge sein, so dass alle Inhomogenitäten nur noch aus den Fluktuationen des Inflatonfelds stammen.

Timm 08.05.19 09:24

AW: Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems
 
Zitat:

Zitat von Ich (Beitrag 91419)
Wenn die Inflation lange genug dauert, dann kann das m. E. weniger als die Plancklänge sein, so dass alle Inhomogenitäten nur noch aus den Fluktuationen des Inflatonfelds stammen.

Ja, das klingt plausibel.


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