Schwarzschildmetrik, Tangentialkomponente
 

Hallo allerseits!
Ich versuche, die Herleitung der Schwarzschildmetrik zu verstehen.
In Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Deriva...child_solution
stellen sie dazu zunächst die allgemeine Form einer Metrik ohne Mischterme auf:

$ds^2=g_{11}dr^2+g_{22}d\theta^2+g_{33}d\phi^2+g_{ 44}dt^2$

Dann setzen sie allerdings $g_{22}$ und $g_{33}$ gleich den Koeffizienten der flachen sphärischen Metrik, so dass es dann

$ds^2=g_{11}dr^2+r^2d\theta^2+r^2 sin^2 \theta d\phi^2+g_{44}dt^2$

wird. Kann mir jemand erklären, wieso man das macht? Ich verstehe speziell nicht, wieso $g_{22}$ und $g_{33}$ nicht irgendeine beliebige _andere_ Abhängigkeit von r haben können? Dann wäre die ganze Metrik doch auch sphärisch symmetrisch, oder nicht?

Oder kann man das irgendwie ineinander umrechnen?

Ist zum Beispiel
(I) $ds^2=A'(r)dr^2+A'(r)(r^2d\theta^2+r^2 sin^2 \theta d\phi^2)+B'(r)dt^2$

eigentlich das gleiche wie

(II) $ds^2=A(r)dr^2+r^2d\theta^2+r^2 sin^2 \theta d\phi^2+B(r)dt^2$

und lässt sich das durch eine Koordinatentransformation ineinander überführen? Wenn dem so ist sehe ich leider nicht, wie.

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Das ist eigentlich die Definition der Koordinate r. Man könnte da irgendwas reinschreiben, hat aber OBdA einfach ein "r" so gewählt, dass 2pir dem echten Umfang entspricht.

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Bin mir nicht sicher wie Du die Koordinaten schreibst.

Ich habe die Frage so verstanden: Warum werden die Winkel nicht beachtet?

Die Schwarzschild-Metrik ist direkt aus Kugelkoordinaten abgeleitet. Da die Gravitation nur vom Abstand abhängt und nicht vom exakten Ort auf einer Kugeloberfläche, kann man diese Winkelangaben auch weglassen. Hier bleibt die Metrik immer auf normale Kugelkoordinaten hängen.

Und ja, die Metrik ist sphärisch symmetrisch. Aus Kugelkoordinaten und die Gravitation ist nur vom Abstand abhängig, genau daher nimmt man Kugelkoordinaten. Die Gleichungen der ART sind alle nicht linear und schwer zu lösen. Nur mit dem Ansatz der Symmetrie in den Koordinaten kann man dafür überhaupt eine Lösung angeben.
Ale anderen Varianten von Koordinaten z.B. Kerr nutzen diese Symmetrie auch aus.

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Ok, danke (@ Ich)

Inzwischen hab ich es auch gefunden. In Eddington, Methematische Theorie der Relativität, steht es zum Beispiel besser drin als in Wikipedia:
Die allgemeine sphärisch symmetrische Metrik ist tatsächlich
$ds^2=Udr^2+V(r^2d\theta^2+r^2 sin^2 \theta d\phi^2)+Wdt^2$

Dann führt er neue Koordinaten ein: r1^2=Vr^2 und schwupps, ist V verschwunden. r hat einen neuen Namen, r1, aber das ist ja egal. Hauptsache ist, dass r immer nur wächst, nie kleiner wird.

@Cossy: Es war halt die Frage, ob sich eine Ausdehnung in tangentialer Richtung mit diesen "generellen" Koordinaten beschreiben lässt. Oder nur eine in radialer Richtung. Aber das hat sich jetzt geklärt: Sie ließe sich beschreiben. Man wählt einfach r so, dass es passt.

Zum Beispiel hatte ich mich gefragt: Es gibt ja Gezeitenkräfte, tidal forces, also wenn entlang eines ausgedehnten Körpers die Gravitationskräfte an unterschiedlichen Enden unterschiedlich sind. Aber es wird immer gesagt, dass diese tidal forces eigentlich _normal_ nicht so stark sind, erst, wenn der Raum _sehr_ gekrümmt ist. Nun gibt es aber z. B. in der Schwarzschildlösung _nur_ einen Vorfaktor vor der Radialkomponente, nicht vor der Tangentialkomponente. Das hat mich gewundert, weil das ja zu bedeuten scheint, dass ein Körper nur radial
eine Längenkontraktion erfahren würde, nicht tangential. Aber das stimmt wohl nicht / bzw. _muss_ nicht stimmen, denn man wählt einfach die r-Koordinate so, dass sich der Körper tangential auch ausdehnt....

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Du soltlest nicht in der Terminologie "Längenkontraktion/-dilatation" denken. Das ist es nicht, was die Koordinaten sagen. Es geht um Krümmung, und eine der Messgröößen dafür ist das Verhältnis von Umfang zu Radius. Ob du dazu am Radius oder am Umfang drehst, hat keine physikalische Bedeutung.
Siehe auch:
https://en.wikipedia.org/wiki/Friedm...General_metric

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Tatsächlich ist die Gravitation bei der Schwarzschild-Metrik nur in radialer Richtung.
Die Gezeitenkräfte ergeben sich aus der Kugelgeometrie von selbst. Da ja für jede radiale Komponente die Richtung etwas anders ist.
Je ausgedehnter ein Körper, desto stärker.

Der Körper erfährt in einer Gravitation mit Sicherheit keine Längenkontraktion! Ein Körper erfährt, wenn überhaupt eine Dehnung. Tangential kommt da eigentlich nichts zusammen. Da passiert erst was, wenn Du Kerr-Koordinaten mit einer Drehung verwendest.

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Nein, die Gezeitenkräfte bewirken tangentiale Kontraktion, halb so groß wie die radiale Dehnung. Das Volumen bleibt gleich.

Hier geht es aber nicht um Kräfte, sondern um die räumliche Geometrie.

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Die Frage ist auch: Wird ein Körper _verzerrt_ wenn er sich von außen in Richtung Massezentrum bewegt?
Also wirken auf Radialkomponente und Tangentialkomponente verschiedene Kräfte, weil doch die Gravitation nur radial wirkt?

Es gibt ja diesen Effekt der "Spaghettification": Findet das eigentlich _immer_ statt im Gravitationsfeld und man merkt es nur normal nicht?

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Jetzt geht es um Kräfte.

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Was passiert, lasst sich mit Testpartikeln veranschaulichen.

Des Abstand zwischen zwei radial frei fallenden Testpartikeln wächst ("Spaghettification"), während er zwischen zwei tangentialen schrumpft (sie fallen Richtung Massenzentrum). Aus zunächst kugelförmig angeordneten Testpartikeln wird ein Ellipsoid, wobei wie von Ich erwähnt das Volumen gleich bleibt.