ART, Riemann Manigfaltigkeit, Anzahl Dimension
 

Hallo, ich habe eine prinzipielle Frage zur Dimensionalität der Riemann Mannigfaltigkeit der ART. Sie beschreibt m.W. mathematisch einen gekrümmten 4D-Raum bzw. eine 4D-Raumzeit. Ein gekrümmter 4D-Raum benötigt zur Anschauung eine zusätzliche Dimension, die ART müsste also letztlich von ihrer mathematischen Struktur (mindestens) 5-dimensional sein. Dies deckt sich auch mit dem Satz von Whitney, nachdem eine Mannigfaltigkeit der Dimension n in einen euklidischen Raum mit max. 2n Dimensionen eingebettet werden kann. Des weiteren führt auch die Möglichkeit eines Wurmlochs zu der Schlussfolgerung, dass es sich im Grunde um eine mehr als 4-dimensionale Struktur handeln müsste.

Ist meine Ansicht dazu korrekt oder habe ich hier einen Denkfehler?

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Du sagst es selber, die zusätzlichen Dimensionen braucht man vielleicht zur Anschauung. In der Mathematik kommen sie nicht vor, die Raumzeit ist eine vierdimensionale Struktur..

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Hallo future06,

lorentzsche Mannigfaltigkeiten müssen nicht zwingend Einbettungen in höherdimensionale Räume sein. Man kann sich das zwar so vorstellen, aber ohne Hinweise aus Experimenten sind das nur physikalische Spekulationen, bzw. rein mathematische Modelle.

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Danke für die Antworten.

Ich will meine Sicht der Dinge nochmal etwas präzisieren: ich meine nicht, dass die 4D-Raumzeit im physikalischen Sinne 5-dimensional sein müsste im Sinne eines 4D-"Hyperraums" + Zeitdimension. Sondern, dass die vollständige mathematische Beschreibung der gekrümmten 4D-Raumzeit letztlich mindestens 5-dimensional sein müsste. Es geht also um die Dimensionalität der mathematischen Objektes, d.h. des Vektorraums.

Anders u. evtl. mathematisch präziser formuliert: das mathematische Modell der ART (lorentzsche Mannigfaltigkeit) ist m.E. isomorph zu einer mindestens 5-dimensionalen Mathematik. Dies lässt sich auch noch ganz einfach auf einem anderen Weg begründen. Zur vollständigen Beschreibung eines Punktes P in der 4D-Raumzeit benötigt man einen 5D-Vektor: P =(x1,x2,x3,t,k), d.h. 3 Raumkoordinaten, die Zeit sowie die Krümmung k.

Sollte die vollständige mathematische Beschreibung (so meine Annahme) tatsächlich 5-dimensional sein, müsste diese 5-Dimension allerdings auch physikalisch irgendwie auftauchen. Nicht unbedingt als 4. Raumdimension aber in einem anderen Sinne, zB. "aufgerollt" analog zur Stringtheorie. Dies sprengt sicherlich die Vorstellungskraft, aber man muss m.E. davon ausgehen, dass sich die Struktur eines mathematischen Modells, das die Realität vollständig beschreibt, in der Realität auch irgendwie niederschlägt.

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Um zu verstehen, warum dem nicht so ist, müsstest Du Dich mit den Grundlagen der Differentialgeometrie beschäftigen. Ein erster Einstieg wäre die gausssche Flächentheorie.

Dort sieht man bereits sehr deutlich, wie der Einbettungsraum (den es dort immer gibt) zunehmend an Bedeutung verliert und die Fläche selbst mit ihren Eigenschaften, wie Krümmung, Länge, Fläche, Geodäte beschrieben werden kann.

Bei der riemannschen Geometrie verschwindet der Einbettungsraum komplett. Dafür ist der metrische Tensor zwingend erforderlich.

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Ok, der mathematische Background ist zwar einigermaßen da, aber lange her (hab vor einigen Jahrzehnten Informatik studiert), lässt sich ggf. mit viel Zeitaufwand wieder aktivieren :)

Wenn ich das richtig verstanden habe, ist der Tensor ein Maß für die Metrik, d.h. für die Krümmung. Man spricht ja hier auch von einem Tensorfeld, d.h. jedem Punkt der Raumzeit ist ein Tensor zugeordnet, der an diesem Punkt die Krümmung beschreibt (letzlich prinzipiell nichts anderes als eine Ableitung). Das meinte ich oben mit P=(x1,x2,x3,t,k).

D.h. die mathematische Beschreibung durch den Einbettungsraum müsste doch isomorph (bedeutungsgleich) zur Beschreibung über die Differentialgeometrie sein. Letzteres ist doch m.E. lediglich eine elegantere mathematische Methode aber kein Harry-Potter-Trick, um die zur vollständigen mathematischen Beschreibung notwendigen Eigenschaften zu verringern, oder? :)

Auf was ich eigentlich hinaus will: die nötige Zusatzdimension aus der math. Beschreibung durch den Einbettungsraum versteckt sich m.E. in der Riemannschen Differentialgeometrie im Tensorfeld.

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Man kann in einem N-dimensionsalen euklidischen Raum eine M-dimensionsale Untermannigfaltigkeiten einbetten.

Über eine saubere Definition läßt sich dann ein induzierter metrischer Tensor auf der Untermannigfaltigkeit berechnen.

Sobald das metrische Tensorfeld gegeben ist, kann man im Prinzip über verschiedene Krümmungstensoren die lokale Geometrie der Untermannigfaltigkeit untersuchen. Ein wichtiges Werkzeug ist dabei der riemannsche Krümmungstensor, der sich alleine aus dem metrischen Tensor berechnen läßt.

EDIT: Ein bekanntes Beispiel für ein solches Vorgehen ist übrigens das flammsche Paraboloid.

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Kann man dann umgangssprachlich bzw. "mathematisch unpräzise" sagen, dass die höhere Dimension (N) des euklidschen Einbettungsraums mathematisch in das Tensorfeld überführt wird und zwar im Sinne einer Isomorphie, d.h. beide mathematischen Beschreibungen wären im Grunde bedeutungsgleich? Denn ich verstehe es so, dass die mathematische Handhabung durch Verwendung der Differentialgeometrie verbessert wird bzw. erst ermöglicht wird. Aber prinzipiell wäre die Untersuchung der M-dimensionalen Mannigfaltigkeit (=Hyperfläche im N-dim. Einbettungsraum) auch im Einbettungsraum möglich (geeignete mathematische Methoden vorausgesetzt)?

Ich habe deswegen zu Beginn auch den Satz von Whitney erwähnt:
https://de.wikipedia.org/wiki/Einbet...tz_von_Whitney

Zitat daraus:
Die Kernaussage dieses Satzes ist also, dass es eigentlich nur Mannigfaltigkeiten im Euklidischen Raum gibt.

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Du brauchst den Satz von Nash, weil du isometrisch einbetten willst.

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Danke!

Ein Zitat aus dem Wiki-Artikel bringt es auf den Punkt:
"Man kann sich riemannsche Mannigfaltigkeiten also stets als Untermannigfaltigkeiten eines euklidischen Raumes vorstellen. Die Dimension des euklidischen Raums ist dabei im Allgemeinen allerdings deutlich größer als die der riemannschen Mannigfaltigkeit."

Dann lautet meine Sicht der Dinge in etwa so (mal etwas formaler, um Schreibarbeit zu sparen):
1. E = der euklidsche Einbettungsraum
2. U = die Untermannigfaltigkeit von E
3. R = die Riemann Mannigfaltigkeit
4. Dim(E) = n
5. Dim(U) = m (m<n)
6. Dim(R) = m

U wäre dann isomorph zu R, benötigt aber zur vollständigen Beschreibung E, d.h. zur mathematischen Isomorphie werden die zusätzlichen Dimensionen von E, d.h. n-m benötigt. R kommt, da es eine andere mathematische Struktur als U hat, ohne diese Zusatzdimensionen aus. Um die Isomorphie zu garantieren, müssen diese Zusatzdimensionen in der R-Beschreibung aber irgendwo versteckt sein, sie können nicht verloren gehen.

Anders fomuliert: wenn ein physikalisches Objekt O (in diesem Fall die gekrümmte 4D-Raumzeit der ART) gleichwertig durch U und durch R beschrieben werden kann, muss die tatsächliche Dimension von O der Dimension von U entsprechen, weil U die "natürliche bzw. "kanonische?" Beschreibung ist.

Ein Beispiel:
Die "natürliche" mathematische Beschreibung der 2D-Oberfläche einer 3D-Kugel benötigt einen 3D-Vektorraum. Wenn man diese Oberfläche mit Hilfe der Riemann-Geometrie beschreibt, reichen mathematisch 2 Dimensionen aus. Die Oberfläche dieser Kugel bleibt aber trotzdem weiterhin die Oberfläche einer 3D-Kugel, hat also dreidimensionalen "Charakter". Die Oberfläche selbst ist aber zweidimensional, weil sie als Fläche im 3D-Raum liegt.

Übertragen auf die 4D-Raumzeit würde das bedeuten, dass sie zwar 4-dimensional ist, in letzter Konsequenz aber 5-dimensionalen "Charakter" hat.

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Mir fällt auf Anhieb keine klarere Formulierung ein. "Charakter", "natürlich", "kanonisch" setze ich oben in Anführungszeichen, weil mir keine besseren Begriffe einfallen, möglicherweise läßt sich das aber präziser formulieren. Möglicherweise habe ich mich aber auch verrannt und es versteckt sich irgendwo ein Denkfehler. :)