Kombinatorik-Rätsel
Folgendes aktuelles und sehr intelligentes Wettbewerbsrätsel gefunden:
Bei einer Professorenwahl werden – fast wie im „Basler System“ anno 1727 – die 12 Wahlberechtigten durch Auslosung in zwei Gruppen zu je sechs eingeteilt. Jede der Gruppen bestimmt mit einfachem Mehr einen Kandidaten; wenn innerhalb der Gruppe mehrere Kandidaten gleich viele Stimmen bekommen, wird zwischen ihnen gelost. Falls beide Gruppen für denselben Kandidaten votieren, ist er gewählt; falls sie verschiedene Kandidaten vorschlagen, entscheidet zwischen ihnen das Los. Man weiss, dass von den zwölf Wahlberechtigten sieben für Ben, einer für Dan und vier für Leo sind. Wie gross ist Leos Chance, zum Professor gewählt zu werden. Die Lösung könnt ihr hierher posten (eine Zahl genügt vorerst) – oder per privater Nachricht –, wie ihr wollt. Nach 14 Tagen werde ich die Lösung und den Lösungsweg veröffentlichen. Grüsse, rene |
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Ist null ne Zahl??:confused: |
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Gefragt ist - um spitzfindigen Antworten entgegenzuwirken - nach der Wahrscheinlichkeit, mit der Leo zum Professor gewählt wird. Ob als Prozentangabe oder als Verhältniszahl zur Totalwahrscheinlichkeit 1 (eins) spielt keine Rolle. Grüsse, rene |
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Dann schreib ich mal ->(0)<- als Zahl und Ziffer.:D |
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Nicht aufgeben, rene |
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Zur Info:
Es gibt 10 verschiedene Möglichkeiten der Gruppenauslosung. Ben=B Dan=D Leo=L 1. Gruppe A: 6xB Gruppe B: 1xB;1xD;4xL 2. Gruppe A: 5xB;1xD Gruppe B: 4xL;2xB 3. Gruppe A: 5xB;1xL Gruppe B: 3xL;1xD;2xB 4. Gruppe A: 4xB;1xD;1xL Gruppe B: 3xB;3xL 5. Gruppe A: 4xB;2xL Gruppe B: 3xB;2xL;1xD Für die restlichen 5 Möglichkeiten muss man nur die Gruppen A und B vertauschen. Bei Punkt 4 Gruppe B und analog dazu Punkt 8 Gruppe A muss zwischen B und L ausgelost werden. Ausserdem wäre bei Punkt 5 und analog dazu Punkt 10 B direkt gewählt. Soweit erst mal richtig? |
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Ich komme auf 35 Prozent Gewinnchance für Leo. Bestimmt falsch oder?
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Wenn du willst kann ich dir die Lösung per privater Nachricht zukommen lassen - oder du willst noch ein bisschen weiter daran knobeln... Danke dass ihr euch dessen annehmt!, rene |
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Leider habe ich mich noch nie mit Wahrscheinlichkeitsrechnung befasst. Ich war davon ausgegangen, dass alle 5 Kombinationen gleich wahrscheinlich sind. Ein Trugschluss. Grüssle, Marco Polo |
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Hi
Marco Polos Vorarbeit ist ja schon sehr viel Wert. Fuer die waere ich zu faul gewesen, aber da knuepfe ich mal an. Muss man tatsaechlich beruecksichtigen, dass jede Gruppierung durch verschiedene Individuen repraesetiert wird ? Dann wuerde ich vermuten, dass dies nur Bedeutung hat, wenn ein Kandidat in beiden Wahlgruppen A,B vorkommt. Beispiel: 1. *** Gruppe A: B2,B3,B4,B5,B6,B7 Gruppe B: B1;1xD;4xL Gruppe A: B1,B3,B4,B5,B6,B7 Gruppe B: B2;1xD;4xL Gruppe A: B1,B2,B4,B5,B6,B7 Gruppe B: B3;1xD;4xL e.t.c Hier gaebe es dann also 7 Moeglichkeiten M=7 2. *** Gruppe A: 5xB;1xD Gruppe B: 4xL;2xB, Anhand Gruppe B: (B1,B2),(B1,B3) .... 6 Moeglichkeiten (B2,B3),(B2,B4) .... 5 Moeglichkeiten ... etc 6+5+4+3+2+1=21 Moeglichkeiten oder kuerzer 7 ueber 2 = 7!/5!/2! = 6*7/2=3*7=21 M=21 3. *** Gruppe A: 5xB;1xL Gruppe B: 3xL;1xD;2xB B und L ueberlappen sich An der Stelle koennte ich falsch liegen (grad zu faul zum Nachdenken) : B: 7 ueber 2 = 21 L: Anhand Gruppe A koennen das nur 4 L Moeglichkeiten sein Man kann 4 aber auch vornehm als 4 ueber 1 bezeichnen :-). Und das muss ich wohl multiplizieren: 84 Moeglichkeiten ? Huch so viel ? M=84 4. Gruppe A: 4xB;1xD;1xL Gruppe B: 3xB;3xL Auch hier wieder Denkfaul : 7 ueber 3 = 7!/4!/3! = 5*6*7/(2*3)=5*7=35 Das wieder mal 4, 4*35=140 M=140 5. Gruppe A: 4xB;2xL Gruppe B: 3xB;2xL;1xD Puh .... (7 ueber 3) mal (4 ueber 2) ? Das waere ja irre viel :-) 35* 4!/2!/2! = 35*3*4/2=35*6=210 M=210 Nun fleissig addieren :-) 7+21+84+140+210=462 (addieren ist net meine Staerke) Die jeweilige Gruppierungswahrscheinlichkeit waere dann M/462 Nun guggen wo Leo gewinnt 1. Gruppe A: 6xB Gruppe B: 1xB;1xD;4xL LOS 1/2 M=7 2. Gruppe A: 5xB;1xD LOS 1/2 Gruppe B: 4xL;2xB M=21 3. Gruppe A: 5xB;1xL LOS 1/2 Gruppe B: 3xL;1xD;2xB M=84 4. Gruppe a: 4xB;1xD;1xL Gruppe b: 3xB;3xL Falls das LOS innerhalb Gruppe b=B dann ist B direkt gewaehlt Falls das LOS innerhalb Gruppe b=L enstscheidet das LOS beider Gruppen a,b Die Chance fuer B direkt gewaehlt zu werden ist somit 1/2 Dazu nochmal die Chance 1/2 von der Nicht Direktwahl 1/2 also (1/2*1/2) macht zusammen 1/2+1/4=3/4 Bleiben fuer den armen Leo 1/4 M=140 5. Gruppe A: 4xB;2xL Gruppe B: 3xB;2xL;1xD B direkt M=210 Summe aller Moeglichkeiten war 462 Sodele Leo hat die Chance (1/2*7+1/2*21+1/2*84+1/4*140)/462=13/66=0.1969 Kann um die Uhrzeit ja nur falsch sein :-) Sorry das ich es angepinselt habe, aber ich hatte kein Blatt Papier zur Hand. Ich bin mir aber recht sicher, dass Dan nicht Professor wird. Frage mich dazu : Warum mag den keiner und welche Rolle spielt der in der Rechnung ? |
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