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-   -   Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum (http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1482)

SCR 08.03.10 07:43

Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 
Hallo zusammen,

Bewegungen von Objekten erfolgen / beobachtet man in einem sogenannten Geschwindigkeitsraum.

Der Geschwindigkeitsraum weist eine hyperbolische Geometrie auf und kann nur in Einzelfällen und näherungsweise als euklidisch angenommen werden.

Die negative Krümmung des Geschwindigkeitsraums zeigt sich unter anderem in den Lorentz-Trafos:
Die speziellen Lorentz-Transformationen stellen in der vierdimensionalen Raum-Zeit keine Untergruppe dar.
Zeigen sich zwei Geschwindigkeiten hinsichtlich ihrer Richtungsvektoren nicht parallel, enthält ihr Produkt der speziellen Lorentz-Transformationen auf Grund der zugrundeliegenden hyperbolischen Geometrie stets eine Drehung.

SCR 08.03.10 09:15

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 
Sollten dem ein oder anderen gegebenenfalls Aussagen wie diese hier unterkommen ...
Zitat:

Denn die Riemannsche und die Lobatschewski'sche Geometrie schliessen sich aufgrund ihrer verschiedenartigen Krümmung gegenseitig aus.
... sollte man den Wahrheitsgehalt genau prüfen (Was man ja eigentlich immer und grundsätzlich tun sollte ;)).
Die Riemann-Geometrie liegt der ART zu Grunde, die Lobachewski-Geometrie dem Geschwindigkeitsraum der SRT
-> Die oben konkret zitierte Aussage ist somit als falsch anzusehen.

SCR 08.03.10 10:17

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 
Ein schönes Beispiel für das Zusammenspiel von elliptischer und hyperbolischer Geometrie in unserer Raumzeit stellen die dem hyperbolischen Exzess zugrundeliegende Wirkungsmechanismen dar.

(Hintergrund-Informationen bzw. weiterführend siehe
http://www.bernd-leitenberger.de/blo...lische-exzess/,
http://de.wikipedia.org/wiki/Swing-by,
http://www.bernd-leitenberger.de/swingby.shtml,
http://www.esa.int/esapub/bulletin/b...esbroek103.pdf)

Uli 08.03.10 18:02

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 
Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 49445)
Hallo zusammen,
Die speziellen Lorentz-Transformationen stellen in der vierdimensionalen Raum-Zeit keine Untergruppe dar.
Zeigen sich zwei Geschwindigkeiten hinsichtlich ihrer Richtungsvektoren nicht parallel, enthält ihr Produkt der speziellen Lorentz-Transformationen auf Grund der zugrundeliegenden hyperbolischen Geometrie stets eine Drehung.

Du willst vermutlich sagen, dass Lorentz-Boosts alleine keiner Gruppenalgebra genügen, denn 2 aufeinanderfolgende Boosts in unterschiedlichen Richtungen kombinieren nicht zu einem Boost, sondern zu einem Boost und einer Rotation (der sog. Wigner-Rotation). Aus diesem Grund sind auch die Rotationen Elemente der Lorentz- bzw. Poincare-Gruppe. (In der Poincare-Gruppe nimmt man auch noch die Translationen hinzu). Damit erhält man dann wieder Gruppeneigenschaften.

Das ist übrigens eine faszinierende und paradox anmutende Eigenschaft, die du da erwähnst: du beschleunigst kurz nach vorn und danach kurz nach rechts und als Folge davon hast du dich gedreht. Ich finde das nicht minder kontra-intuitiv als Längenkontraktion und Zeitdilatation.

Gruß,
Uli

SCR 08.03.10 18:24

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 
Hi Uli,

ja. Und um vielleicht einmal ein wenig die Brücke zum DS zu schlagen: http://www.desy.de/~jlouis/Vorlesung...vortrag_15.pdf
Zitat:

Mit der sog. Wigner-Rotation (diese Bezeichnung benutzt man insbesondere im massiven Fall)
Zitat:

Da wir uns im Ruhesystem des Teilchens befinden, können wir den Drehimpuls nur als Spin (Intrinsische Eigenschaft) des Teilchens interpretieren.
Zitat:

λ nennt man die Helizität. Sie entspricht der Projektion des Gesamtdrehimpulses auf die Bewegungsrichtung. Da bei masselosen Teilchen der Begriff Spin (Drehimpuls im Ruhesystem) keinen Sinn macht, dient die Helizität als Ersatz für diesen. Der Betrag der Helizität bei masselosen Teilchen ist lorentzinvariant, aus diesem Grunde ist es sinnvoll, ihn als Charakterisierung (wie oben) von Teilchen zu benutzen.
Nebenbei: Kennst Du eine gute Quelle bezüglich der Thomas-Präzession?
Zitat:

Zitat von Uli (Beitrag 49498)
Das ist übrigens eine faszinierende und paradox anmutende Eigenschaft, die du da erwähnst: du beschleunigst kurz nach vorn und danach kurz nach rechts und als Folge davon hast du dich gedreht. Ich finde das nicht minder kontra-intuitiv als Längenkontraktion und Zeitdilatation.

Und widerspricht deshalb meines Erachtens der Reversibilität von Bewegungen (sofern die Geometrie nicht auch gleichzeitig "umgekehrt" wird).

SCR 08.03.10 21:05

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 
Was Besseres/Kompakteres wie das hier habe ich bisher nicht gefunden:
Zitat:

Man sieht, dass die Spinänderung einerseits von der Beschleunigung und damit vom nicht-gravitativen Kraftfeld abhängt (Thomas-Präzession), andererseits aber auch von der Geschwindigkeit.
Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 49219)
Die Reversibilität von Bewegungen ist meines Erachtens grundsätzlich mit Vorsicht zu genießen:
Ausgangspunkt: Ein Planet umkreist auf einer Umlaufbahn ein Zentralgestirn.
Diese Bewegung ist nicht reversibel:
1. Bei Umkehrung würde die Gravitation abstoßend wirken -> Der Planet verlässt die Umlaufbahn.
2. Selbst wenn wir die Gravitation weiterhin als anziehend ansehen würden:
In der Regel rotiert ein Planet und die Rotationsachse weist eine Neigung gegenüber der Ebene der Umlaufbahn auf.
Selbst im Falle einer weiterhin anziehend wirkenden Gravitation müsste man nun IMHO zunächst auch seine Achsenneigung spiegeln um die Reversibilität sicherzustellen.
3. Übertragen auf Quantenobjekte sollte das IMHO näherungsweise dem Äquivalent der Thomas-Präzession entsprechen (Anmerkung: Die Rotationsachse eines Körpers beeinflusst u.a. ja auch die Richtung entsprechender Emag-Felder).
Das hat durchaus auch mit der negativen Krümmung des Einstein-Lobachevski-Geschwindigkeitsraums zu tun - Sieht man unter anderem auch bei Lorentz-Trafos in entgegengesetzten Richtungen an deren Drehungen.


Uli 08.03.10 22:02

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 
Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 49507)
Die Reversibilität von Bewegungen ist meines Erachtens grundsätzlich mit Vorsicht zu genießen:
Ausgangspunkt: Ein Planet umkreist auf einer Umlaufbahn ein Zentralgestirn.
Diese Bewegung ist nicht reversibel:
1. Bei Umkehrung würde die Gravitation abstoßend wirken -> Der Planet verlässt die Umlaufbahn.

Was bedeutet zeitliche Reversibilität ?

Man hat ein Problem, z.B. das Kepler-Problem der Umkreisung eines Planeten um die Sonne. Du kennst eine Lösung dieses Problems (z.B. Kreisbewegung im Uhrzeigersinn). Du fragst dich dann, wenn du in der Lösung t durch -t ersetzt, ob das dann immer noch eine Lösung ist. t -> -t bedeutet aber, dass der Planet seine Umkreisung nun im Gegenuhrzeigersinn macht, was natürlich eine genauso gute Lösung des Kepler-Problems ist.

SCR 08.03.10 22:26

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 
Hi Uli,
1. Du unterstellst auch bei -t eine weiterhin anziehend wirkende Gravitation.
Ist das korrekt? :rolleyes:
2. Nehmen wir die Gravitation weiterhin als anziehend an.
Der Planet habe eine Eigenrotation (sagen wir im Uhzeigersinn) . Bei -t rotiert er dann dazu entgegengesetzt (also gegen den Uhrzeigersinn).
Da sehe ich jetzt noch kein Problem.
Seine Rotationsachse sei aber geneigt, wodurch sie sich beim Wechsel von +t auf -t als invers darstellt und IMHO auch "gespiegelt" werden müsste, um tatsächlich Reversibilität zu gewährleisten.

Nebenbei:
Die Keplersche Zwei-Körper-Lösung widerspricht der RT.
Das zweite Keplersche Gesetz ist im Kern nichts anderes als der Eulersche Drehimpulssatz (Das gefällt mir sehr gut :D).
Das dritte kann mittels Hodogrammen direkt aus Newton abgeleitet werden - Und Hodos gibt's wiederum auch bei Lobachewski.

Uli 09.03.10 10:42

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 
Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 49515)
Hi Uli,
1. Du unterstellst auch bei -t eine weiterhin anziehend wirkende Gravitation.
Ist das korrekt? :rolleyes:

Unter Zeitumkehr versteht man in der Physik die Transformation

t -> -t

und sonst nichts: z.B. keine Annahmen, dass aus Anziehungen plötzlich Abstoßungen werden etc..

Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 49515)
Die Keplersche Zwei-Körper-Lösung widerspricht der RT.

Naja, ich würde so sagen: die Keplerschen Gesetze ergeben sich theoretisch aus der nichtrelativistischen Lösung des Kepler-Problems.

Bei Problemstellungen, für welche die nichtrelativistische Näherung unangemessen ist (z.B. extrem starke Gravitationsfelder, Black Holes oder relativistische Umlaufgeschwindigkeiten) macht man in Rahmen so einer Näherung natürlich Fehler - je wichtiger die relativistischen Effekte, desto größer der Fehler. Beim Kepler-Problem unseres Sonnensystems spielen relativistische Effekte ja zum Glück kaum eine Rolle; drum konnten die Keplerschen Gesetze auch schon vor Lösung des Kepler-Problems per Beobachtung gewonnen werden. Da machte sich besonders der Astronom Tycho Brahe verdient, falls mein Alzheimer mich nicht trügt.

Gruß,
Uli

SCR 09.03.10 12:18

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 
Hi Uli,

Zeitumkehr bedeutet:
- Impulse kehren sich um (inkl. Drehimpulse / Spins)
- Geschwindigkeiten kehren sich um
- einlaufende und auslaufende Teilchen werden vertauscht
- Beschleunigungen kehren sich nicht um (aus v/t wird -v/-t)

Wo ich ein ganz dickes Fragezeichen dahinter setzen würde: Kehren sich Geometrien (konkret: Krümmungen) um? :rolleyes:

1. Raumgeometrien:
Bei einer vorliegenden euklidischen Geometrie sehe ich keine Probleme -
Wie sieht das aber bei nicht-euklidischen Geometrien aus?
Die Eddington-Finkelstein-Lösung ist z.B. nicht zeitsymmetrisch.

2. Objektgeometrien:
Axial-Vektoren von Drehimpulsen/Spins ("Achsenneigungen") drehen sich nicht um, Polar-Vektoren schon ("Bewegungsrichtung") -> Auswirkungen?
Emag-Felder haben z.B. ihren Ursprung in den Pol-Koordinaten.

Und aus http://articles.adsabs.harvard.edu//...00165.000.html z.B.:
Zitat:

[...] schloß Riemann aus dem einen Vorzeichen der schweren Massen, daß die Differentialgleichung für das Gravitationsfeld selbst die Invarianz der physikalischen Gesetze gegenüber der Zeitumkehr brechen muß.
P.S.: Auch wenn der aktuell diskutierte Inhalt mit dem Threadtitel jetzt nicht mehr all zu viel zu tun hat interessantes Thema. ;)


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