Addition von Drehimpulsen
 

Hallo,

ich lerne momentan für eine Klausur an der Uni und irgendwie macht mir die Addition von Drehimpulsen in der Quantenmechanik ein bißchen Probleme.

Nehmen wir mal ganz simpel an ich habe einen Spin mit Quantenzahl S = 1/2 und einen Bahndrehimpuls mit Quantenzahlen L = 1

Dann gibt es ja für den Gesamtdrehimpuls die möglichen Quantenzahlen J = 3/2 und 1/2

Gut...nun wird diese Addition in Lehrbüchern meistens durch eine Vektoraddition illustriert (z.B. Demtröder, Experimentalphysik 3).
Damit habe ich aber meine Probleme.

Der Vektor eines Drehimpulses j hat ganz allgemein den Betrag Sqrt[j*(j+1)]*h_quer

In diesem Fall hat der Bahndrehimpulsvektor L also den Betrag Sqrt(2)h_quer und S den Betrag Sqrt[1/2*(3/2)]*h_quer


In der erwähnten Vektoraddition wird der Fall daß sich die Drehimpulse zu J = 3/2 addieren dargestellt als die Addition zweier paralleler Vektoren (also L || S).
Wenn das stimmen würde, müßte man die Beträge aber direkt addieren können und damit den Betrag von J erhalten. Das geht aber nicht!
Denn: Sqrt(2)h_quer + Sqrt[1/2*3/2]h_quer ist nicht gleich
Sqrt[3/2*(5/2)]h_quer ! Und Letzteres wäre eben der Betrag von J.

Also kurz: Von zwei parallelen Vektoren kann ich normalerweise direkt die Beträge addieren. Bei der Addition von Drehimpulsen haut das aber nicht hin, da sich die Beträge aus den Quantenzahlen berechnen.

Steh ich hier irgendwie auf dem Schlauch oder ist die Darstellung durch Vektoraddition in den Büchern einfach Murks :confused:

Ich habe vage im Gedächtnis daß auch unser Prof mal was in dieser Richtung gesagt hat, aber ich kann mich nicht mehr wirklich erinnern.

Kann da irgendwie jemand für Aufklärung sorgen?

Gruß,
Amiga-Freak

AW: Addition von Drehimpulsen
 

Die Addition von Drehimpulsen durch Vektoren darzustellen, halte ich für irreführend, da Drehimpulse in der Quantenmechanik keine Vektoren sind.

Naja, nee, das kann man so nicht sagen.
Richtig wäre: Es gibt Eigenfunktionen von j² zum Eigenwert j*(j+1)*ℏ².

Und auch hier wieder, es gibt Eigenfunktionen ...

Und hier ist das Problem. Wenn ich die Eigenfunktionen zu L² und S² kombiniere, also eine Funktion auf dem Produktraum erhalte, dann ist das leider keine Eigenfunktion von J².
Da J ein Drehimpulsoperator ist, gibt es natürlich wieder Eigenfunktionen von J², die sehen aber komplizierter aus. Ich verweise da mal auf die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

Ich hoffe das hilft ein wenig.

AW: Addition von Drehimpulsen
 

Das ist eigentlich eine ganz gute Eselsbrücke, finde ich.


Eigentlich geht es dabei mehr um den Erwartungswert des Operators L^2. Dieser ist wichtig bei der Festlegung einer eindeutigen Basis von Eigenfunktionen; man kann simultane Eigenfunktionen zu L^2 und einer ausgewählten Komponente (meist Lz) finden (die sog. Kugelflächenfunktionen Ylm). Wendet man auf diese den Operator L^2 an, so bekommt man merkwürdigerweise l*(l+1) statt l^2.

Nach meinem Verständnis hat der Operator L^2 aber kaum physikalische Bedeutung - er dient mehr oder weniger nur dazu, eine eindeutige Basis zu finden und sonst nichts. In Problemen des Physik (z.B. Spin eines geladenen Teilchens im homogenen Magnetfeld) spielt immer die Komponente des Drehimpulses in einer ausgewählten Richtung die wesentliche Rolle.

Ich würde vorschlagen, lass dich nicht von der merkwürdigen absoluten Länge des Drehimpulsvektors in der Quantenmechanik irritieren; sie ist eine Hilfsgröße ohne allzu viel Bedeutung.

So hat mein altersschwaches Gedächtnis das zumindest in Erinnerung. :)

AW: Addition von Drehimpulsen
 

So wird es halt leider immer dargestellt...

Wie gesagt, so liest man es nur in zig Büchern - oder auch auf Webseiten wie hier: http://www.pci.tu-bs.de/aggericke/PC...V/Addition.htm
(Abbildung 1, gleich ganz oben links).

Also kann man im Prinzip sagen, was ich bereits in meinem ersten Posting vermutet habe: "Die Darstellung durch Vektoraddition in den Büchern ist einfach Murks" ?
(bzw. eine Eselsbrücke bestenfalls ?)

Gruß,
Amiga-Freak

AW: Addition von Drehimpulsen
 

Interessant was die Theoretischen Chemiker dazu meinen.
Sieht man sich die ersten Zeilen so an, ist da zumindest noch der Versuch es richtig zu machen.
Es gibt ein y, das offenbar Eigenfunktion zu den z-Komponenten zweier Drehimpulse und deren Quadrat ist. Das gleiche y soll anscheinend Eigenfunktion zu der z-Komponente der Summe der Drehimpulse und dem Quadrat der Summe sein.
Ich behaupte mal, da ist was faul, so einfach ist die Berechnung der Clebsch-Gordan-Koeffizienten dann doch nicht.

AW: Addition von Drehimpulsen
 

Sicherlich nicht Amiga-Freak,

es handelt sich dabei ja um quantenmechanische Vektoren und deshalb können gleichzeitig nur das Quadrat des Drehimpulses und eine Projektion z.B. auf eine physikalisch ausgezeichnete Achse eindeutig bestimmbar sein.

Gruß EMI

PS: Ich habe, aus alten Zeiten, im Archiv auch noch einige 3,5 Zoll Disketten mit Amigaspielen rumliegen.;)

AW: Addition von Drehimpulsen
 

Hmm...also irgendwie haben mir die bisherigen Antworten nicht so wirklich weitergeholfen. Vielleicht erkläre ich nochmal genauer was mein Problem ist.

Die folgenden Abbildungen stammen aus "Experimentalphysik 3" von Wolfgang Demtröder

http://img233.imageshack.us/img233/4180/foto0c.jpg

http://img213.imageshack.us/img213/1782/foto2vu.jpg


Man hat da also zwei Elektronen mit der Spinquantenzahl 1/2.
Im Fall Ms = 0 steht da, der Betrag der Summe der beiden Vektoren sei Sqrt(2)*h_quer. Also eben Sqrt(S (S+1))h_quer mit dem Gesamtspin S = 1

Allerdings ist auch in den beiden Fällen (oben drüber) mit Ms = +1 und Ms = -1
der Gesamtspin ja S = 1 und der Betrag damit ebenfalls Sqrt(2)*h_quer.

Das passt aber ja einfach nicht mit der Darstellung als Vektoraddition zusammen.
Die einzelnen Vektoren sollen angeblich den Betrag Sqrt(3/4)*h_quer haben und die Summe dann den Betrag Sqrt(2)*h_quer.
Das ist halt einfach falsch. Denn Sqrt(3/4) + Sqrt(3/4) ist nicht gleich Sqrt(2).


Ich hab den Eindruck man hat mit gutem Grund in der Grafik, nur im Fall Ms = 0 den Betrag tatsächlich hingeschrieben und bei den beiden anderen Fällen nicht. Sonst wäre das gar zu auffällig.

Also: Ich würde sagen diesen Vektoren die "Länge" Sqrt(s(s+1))*h_quer "anzudichten" kann nicht richtig sein.

Schönen Gruß,
Amiga-Freak

AW: Addition von Drehimpulsen
 

Ich hab einen A1200, der an meinem DSL-Router hängt. Unten ein Screenshot von meiner Workbench und dem Forum hier in "IBrowse 2.4" ;)

http://img88.imageshack.us/img88/7663/testmrp.jpg

AW: Addition von Drehimpulsen
 

Ist schon witzig. Selber habe ich noch einen A500 in meinem Mottenschrank. Der liegt da seit gefühlten 25 Jahren. :)

Ich kann mich noch sehr gut an die durchgezockten Nächte mit der Weltraumhandelssimulation "Elite" erinnern. Das waren noch Zeiten.:rolleyes:

Da ist man von Planet zu Planet mit illegalen Waren geflogen. Ständig auf der Hut vor dem Militär. War man erfolgreich, dann gabs Kohle für Extraausrüstung wie Andockcomputer und seitlichen Laser. Hahahaha...

AW: Addition von Drehimpulsen
 

Ich kann mich noch sehr gut an die durchgezockten Nächte mit der Weltraumhandelssimulation "Elite" erinnern.
Das war eins der besten Spiele überhaupt!:cool: Marco mach dich bereit zur Ladung Augen zu machen.:D

Nur noch „The Bard’s Tale“ hatte mich noch mehr gefesselt:rolleyes:

Gruß
EVB

AW: Addition von Drehimpulsen
 

Das passt doch alles Amiga-Freak,

schauen wir mal bei Ms=0 und S=1:

Mit Spin s=1/2 ist |s|=√(s(s+1))ħ = √(1/2(1/2+1))ħ = √(3/4)ħ. Die Vektoren s1 und s2 haben den Betrag √(3/4) ħ.
Da ms1 und ms2 nicht parallel sind ist hier √((√(3/4))² - (1/2)²) zu addieren.
√((3/4) - (1/4)) = √(1/2) das 2 mal (Addieren) = 2√(1/2) = √(4/2) = √2
Ergo |S| = √2 ħ

nun schauen wir bei Ms=+1/-1 und S=1:

Da ms1 und ms2 hier parallel sind ist √(3/4) zu addieren.
2√(3/4) = √3
√((√3)² - (1)²) = √2 , ergo |S| = √2 ħ
Natürlich kann man auch hier √((√(3/4))² - (1/2)²) addieren.


Wo ist das Problem?

Gruß EMI

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Mein erster(1985) war ein Commodore Plus 4, der steht in der Originalverpackung mit Datasette und Programmen auch im Archiv.

Da mit dem Teil immer der Fernseher blockiert war, musste ich mir kurz drauf einen Amiga 1000 mit eigenem Bildschirm! zulegen.

So 1988 folgte dann mein erster IBM PC AT ein schneller 80286 mit sagenhaften 8 Mhz und DOS 3.0!:cool:

Gruß EMI

AW: Addition von Drehimpulsen
 

Pah. Lächerlich. :D Zunächst hatte ich ein ZX Spektrum. Danach kam ein Texas Instruments TI 994A nebst Datasette.

Darauf folgte ein Commodore C64 mit Diskettenlaufwerk (Brotkasten).

Danach kam dann der Amiga 500 ins Haus. Verschiedene Ausbaustufen folgten darauf.

Mit Studienbeginn kaufte ich mir dann ca. 1989 meinen ersten PC. Die Schrottmühle hatte eine 80386 Prozessor. Mit Windows 32, glaube ich.

Man muss sich das vorstellen: 4000 DM für den PC und nochmal jeweils 1500 DM für den Monitor NEC 4FG (damals sagenhafte 15 Zoll) und den Farbtintenstrahldrucker HP Deskjet 500c, der eine Weltneuheit darstellte.

Das machte zusammen doch tatsächlich 7000 DM. Es war noch eine spezielle Spezialgrafikzusatzkarte am Start. Wie hiess die doch gleich? Kann mich nicht mehr erinnern. Ah doch. Es war die erste Voodooo-Zusatzgrafikkarte.
Und ja: Die Festplatte hatte 250 MB (Aufpreis 400 DM), sonst war eher 120 MB üblich. Hihihiiii....

Kinder, das waren noch Zeiten.:)

AW: Addition von Drehimpulsen
 

Kacke auch. Man den hab ich ja glatt vergessen.:o Hoffentlich nimmt er mir das nicht übel.
ZX81, genau das war mein Erster, da konnte man Basic noch auswendig!

Gruß EMI

AW: Addition von Drehimpulsen
 

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Danke, allerdings steh ich da schon noch etwas auf dem Schlauch.

Soweit kann ich das nachvollziehen, ja.

Wie du auf die letzte Zeile kommst bzw. was du da rechnest, verstehe ich nicht so ganz.
s1 und s2 sind doch parallel. Damit kann ich ihre Beträge doch einfach addieren und erhalte |S|=|s1|+|s2| =√3 ħ

Ich kann momentan irgendwie meinen Denkfehler nicht erkennen, wenn da einer ist...

Gruß,
Amiga-Freak

AW: Addition von Drehimpulsen
 

Meine letzte Zeile:
√((√3)² - (1)²) = √2 , ergo |S| = √2 ħ

Was ich da rechne? Satz des Pythagoras.;)

Gruß EMI

Nach PS: |S| sind die waagerechten, schwarzen Strichellinien.

AW: Addition von Drehimpulsen
 

Gut, dann ist damit schonmal die Ursache gefunden warum ich dein Posting nicht nachvollziehen konnte ;)

Im Fall Ms= 0 ist das ja klar. Aber bei Ms= +/- 1 ist |S| doch einfach |S|=|s1| + |s2| (die gucken doch in diesselbe Richtung!)
Und falls nicht, warum nicht?

AW: Addition von Drehimpulsen
 

|S| sind NICHT die roten Linien! sondern die schwarzen, waagerechten Strichellinien.

Gruß EMI

AW: Addition von Drehimpulsen
 

:( Das hast du doch schon geschrieben. Nur das Warum verstehe ich nicht.
s1 und s2 sind doch die roten Pfeile, oder etwa nicht?
Die sind im ersten Fall doch parallel bzw. kollinear. Und damit lassen sich ihre Beträge doch direkt addieren.

AW: Addition von Drehimpulsen
 

Ja das sind die Beträge des Spins.
Es geht hier aber nicht um die Addition der Beträge des Spins sondern um die Projektion auf die ausgezeichnete Z-Achse.

Gruß EMI

AW: Addition von Drehimpulsen
 

Äh...das seh ich aber anders.
Die Projektion auf die z-Achse ist doch Ms bzw. ms1 und ms2.
Wir reden doch aber die ganze Zeit über |S|.

Ich fürchte ich verstehe mit jedem Posting weniger...

EDIT:
Also, ich werde wohl am Montag nochmal das Büro des Profs stürmen (falls sich die Sache bis dahin hier nicht geklärt hat).
Falls ich danach schlauer sein sollte, poste ich es hier.

Gruß,
Amiga-Freak