Quanten.de Diskussionsforum

Quanten.de Diskussionsforum (http://www.quanten.de/forum/index.php5)
-   Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. (http://www.quanten.de/forum/forumdisplay.php5?f=3)
-   -   Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit (http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=3237)

Bernhard 23.12.17 13:23

AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit
 
Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 86297)
Es wäre interessant zu sehen, wie man die Eigenzeit mit konstanter Beschleunigung erhält.

Man hat doch die Gleichungen 8, 9 , 14 und 15. Das sind vier Gleichungen für die vier Funktionen a^t, a^r, u^t und u^r. Kennt man die beiden Funktionen u^t und u^r, so kann man über eine Integration prinzipiell die Eigenzeit dieser Weltlinie berechnen.

Bernhard 23.12.17 13:38

AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit
 
Zitat:

Zitat von TomS (Beitrag 86295)
Aber da sie bei rS singulär werden, hat die Namensgleichheit der Koordinaten keinerlei Bedeutung.

Für t mag das so sein. Für r, theta und Phi gilt das angeblich aber nicht.

Timm 23.12.17 16:03

AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit
 
Zitat:

Zitat von Bernhard (Beitrag 86298)
Man hat doch die Gleichungen 8, 9 , 14 und 15. Das sind vier Gleichungen für die vier Funktionen a^t, a^r, u^t und u^r. Kennt man die beiden Funktionen u^t und u^r, so kann man über eine Integration prinzipiell die Eigenzeit dieser Weltlinie berechnen.

Ich kann mit diesen Gleichungen nicht umgehen. Die Integration ergibt dann wohl die Eigenzeit als Funktion der Beschleunigung. Dann sollte man daraus die Beschleunigung für die maximale Eigenzeit erhalten. Vielleicht macht es Dir Spaß, die zu berechnen?:)

Rechnen ist die eine Sache. Siehst Du die grundsätzliche Überlegung, die zur Annahme eines Maximums führt? Was sagt die Intuition?

Bernhard 23.12.17 17:11

AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit
 
Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 86300)
Vielleicht macht es Dir Spaß, die zu berechnen?:)

EDIT: Sorry, aber es zeigt sich sehr schnell, dass diese Rechnung schnell recht kompliziert wird und zudem unvollständig ist, weil die konkrete Geodäten-Gleichung auch noch benötigt wird. Ein Blick in das Paper zeigt aber, wie die ganzen Kurven berechnet wurden. Es ist eine numerische Integration der Gleichung 11. Mit Papier und Bleistift kommt man hier also nicht besonders weit. Man müsste das Maximum numerisch berechnen, müsste dazu aber erst mal odepack aufsetzen oder etwas programmieren und das ist mir momentan eigentlich zu aufwendig.

Zitat:

Siehst Du die grundsätzliche Überlegung, die zur Annahme eines Maximums führt?
Fig 2 zeigt, dass es so ein Maximum gibt. 'Ich' hat es bereits erklärt, dass man sich mit Hilfe der Triebwerke prinzipiell möglichst nahe an den freien Fall mit r0 = rS annähern muss und dann die Triebwerke abschalten kann. Bei konstanter Beschleunigung bekommt man ein entsprechendes Optimierungsproblem.

Timm 23.12.17 19:36

AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit
 
Zitat:

Zitat von Bernhard (Beitrag 86301)
Mit Papier und Bleistift kommt man hier also nicht besonders weit. Man müsste das Maximum numerisch berechnen, müsste dazu aber erst mal odepack aufsetzen oder etwas programmieren und das ist mir momentan eigentlich zu aufwendig.

Verstehe ich natürlich. Immerhin ist der Weg aufgezeigt.


Zitat:

Zitat von Bernhard (Beitrag 86301)
Fig 2 zeigt, dass es so ein Maximum gibt. 'Ich' hat es bereits erklärt, dass man sich mit Hilfe der Triebwerke prinzipiell möglichst nahe an den freien Fall mit r0 = rS annähern muss und dann die Triebwerke abschalten kann. Bei konstanter Beschleunigung bekommt man ein entsprechendes Optimierungsproblem.

Mit Start bei r = 3 M hat man mit konstanter Beschleunigung (rote Linie in Fig 2.) nach Passieren des EH die unter diesen Umständen erreichbare maximale Eigenzeit, die größer ist als die mit freiem Fall ab r = 3M bis zu r =0. Mit Start bei r = rS sind die Voraussetzungen anders.
Die Tatsache, daß es dieses Maximum gibt, spricht sicherlich für ein Optimierungsproblem, erklärt dieses aber nicht, zumindest sehe ich das nicht. Eine heuristische Erklärung, nach der ich suche, wäre vielleicht die, daß mit extrem hoher Beschleunigung eine asymptotische Annäherung an die Null (sprich Null Eigenzeit) Geodäte verbunden ist. Aber ob das wirklich Sinn macht, weiß ich nicht.

Bernhard 23.12.17 22:18

AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit
 
Zitat:

Zitat von Timm (Beitrag 86302)
Verstehe ich natürlich. Immerhin ist der Weg aufgezeigt.

Mal sehen. Man könnte es auch mit einer numerischen Runge-Kutta-Integration von Gleichung 5 probieren. Vielleicht findet sich ja noch jemand, der das mal austesten will.

Zitat:

Eine heuristische Erklärung, nach der ich suche, wäre vielleicht die, daß mit extrem hoher Beschleunigung eine asymptotische Annäherung an die Null (sprich Null Eigenzeit) Geodäte verbunden ist. Aber ob das wirklich Sinn macht, weiß ich nicht.
Die ideale Strategie bei r0 = 3M ist ein starkes Beschleunigen unmittelbar nach dem Überqueren des EH, um möglichst nahe an die Bahn mit r0 = 2M zu kommen und ein anschließendes Abschalten der Triebwerke. Die rote Kurve erfüllt die Abschaltungs-Bedingung wesentlich besser, als die blaue Kurve, was meiner Meinung nach die deutlich höhere Eigenzeit erklärt.

Bernhard 24.12.17 08:29

AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit
 
Zitat:

Zitat von Bernhard (Beitrag 86282)
Man erhält dann die Formel:
dt = dtau * E / (mc²) * (1 - (2*rS / (3 *c * tau))^(2/3))^(-1)

Ich habe hier leider übersehen, dass diese Formel nur unter der Bedingung E=mc² gilt, d.h. für r0 = infty. Das oben Beschriebene bleibt aber gültig. Man sieht unmittelbar aus der zweiten Formel von https://en.wikipedia.org/wiki/Schwar...test_particles , dass aus E=0 auch dt = 0 folgt.

Bernhard 24.12.17 08:37

AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit
 
Zitat:

Zitat von Bernhard (Beitrag 86303)
Mal sehen. Man könnte es auch mit einer numerischen Runge-Kutta-Integration von Gleichung 5 probieren.

Dazu würde ich allerdings auf Gullstrand-Painleve-Koordinaten gehen. Dort ist die Metrik nochmal etwas einfacher, wodurch sich die Rechnungen vereinfachen sollten.

Man kann über die oben angegebene Formel für E und den Wikipedia-Link auf die Schwarzschild-Geodäten als Startbedingung auch noch u^r = 0 ableiten. Das gilt dann sowohl für die Eddington-Finkelstein-, als auch für Gullstrand-Painleve-Koordinaten, weil das r für alle drei Koordinatensysteme gleich bleibt.

Timm 24.12.17 11:31

AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit
 
Zitat:

Zitat von Bernhard (Beitrag 86303)

Die ideale Strategie bei r0 = 3M ist ein starkes Beschleunigen unmittelbar nach dem Überqueren des EH, um möglichst nahe an die Bahn mit r0 = 2M zu kommen und ein anschließendes Abschalten der Triebwerke. Die rote Kurve erfüllt die Abschaltungs-Bedingung wesentlich besser, als die blaue Kurve, was meiner Meinung nach die deutlich höhere Eigenzeit erklärt.

Fig. 4 zeigt, daß nach Überqueren des EH bei einer bestimmten gewählten Beschleunigung hier a = 2 die Eigenzeit bis r = 0 bei nicht abschalten kürzer ist (rote Linie). Diese Eigenzeit ist mit a = 0,5 maximal s. Fig. 2. Von daher ist dieses "Suboptimum" klar. Wie kann man ohne Einbeziehung der Abschaltvariante und ohne auf die Rechnung zu verweisen die Behauptung widerlegen, daß kontinuierlich zunehmende konstante Beschleunigung die Eigenzeit kontinuierlich erhöht?

Timm 26.12.17 10:54

AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit
 
Zitat:

Zitat von Ich (Beitrag 86277)
Also: Das Killingvektorfeld besteht in jedem Punkt aus einem Vektor, der eine Koordinateneinheit in t-Richtung lang ist. Die Bedeutung des Feldes ist: Wenn du irgendein physikalisches Geschehen in Koordinaten beschreibst, und dann in jedem Punkt die t-Koordinaten um ein überall gleiches Vielfaches des Killingvektors verschiebst, dann ändert das nichts an dem beschriebenen Geschehen.
Wenn du stattdessen z.B. überall um eine Sekunde Eigenzeit (also entsprechend mehr Koordinatenzeit) verschieben würdest, dann wäre die Situation nicht mehr die gleiche.

Sind die Vektoren, die das Killingvektorfeld beschreiben, Zeit- und Ortsvektoren, oder beliebige Vektoren?

Ein paar Beispiele für "physikalisches Geschehen" wären super. Etwa Vektoren wie Vierergeschwindigkeit oder Viererimpuls? Oder Dinge wie freier Fall, Orbit, Beschleunigung ... ?

Wenn ich mich richtig erinnere, ist das zeitartige Killingvektorfeld einer statischen Raumzeit Null. Falls richtig, ist das so, weil alle Vektoren null sind? Gibt es andere typische Aussagen, die sich auf das Killingvektorfeld beziehen?


Alle Zeitangaben in WEZ +1. Es ist jetzt 06:47 Uhr.

Powered by vBulletin® Version 3.8.8 (Deutsch)
Copyright ©2000 - 2024, vBulletin Solutions, Inc.
ScienceUp - Dr. Günter Sturm