AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit
 

Meinst du raumartig oder zeitartig? Sie können beides sein, das häng von der Symmetrie ab. Sie bezeichnen aber keine Punkte in Raum und Zeit, falls du das meinst, sondern Verschiebungen.
A und B stationär in der Schwarzschildmetrik. B hat Zeitdilatationsfaktor 1/2, A ist weiter drinnen mit Faktor 1/4.
A sendet zur Koordinatenzeit t=0 einSignal Richtung B, das der bei t=1 reflektiert, so dass es zu t=2 wieder bei A ist. Wir können das Ganze um Koordinatenzeit t=5 in die Zukunft verschieben, dann lauten die Zahlen eben 5,6 und 7, aber es ist immer noch genau dasselbe. Die jeweiligen Eigenzeiten lauten A 0, B 0.5, A 0.5.
Wenn ich hingegen um Eigenzeit tau=5 verschiebe, dann sind die Eigenzeiten bei A 5, B 5.5, A 5.5 und die entsprechenden Koordinatenzeiten sind A 20, B 11, A 22. Das ist nicht dasselbe, sondern totaler Käse. Also ist eine Verschiebung um konstante Koordinatenzeit eine Symmetrieoperation, eine Verschiebung um konstante Eigenzeit aber irgendein Mist. Deswegen ist ein Vektor konstanter Koordinatenzeitverschiebung (dt,0,0,0) ein Killingvektor. Diese Vektoren sind in echt überall unterschiedlich lang, und ihre Gesamtheit bildet ein Vektorfeld, eben besagtes Killingfeld.
Nö, das zeitartige Killingfeld einer solchen Raumzeit ist (1,0,0,0), wenn die erste Koordinate die Zeit bedeutet, unter der die Metrik zeitunabhängig ist.

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Danke, das ist ein super Beispiel. Dann ist es wohl so, daß die durch den Metriktensor festgelegten Längen unverändert bleiben müssen als Voraussetzung für einen zeitartigen Killingvektor, denn sonst wären die Differenzen der Koordinatenzeiten nicht konstant. Was ja eigentlich eine statische Raumzeit, wie die Schwarzschild Raumzeit erfordert.

Welche Translationen neben der Zeit sind denn noch von Bedeutung?

Hat eine nicht-statische Raumzeit gar keine Killingvektoren oder nur keine zeitartigen?

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Am zweitwichtigsten sind wohl die räumlichen Verschiebungen und die Drehungen. Aus denen folgen die Erhaltungssätze für Impuls und Drehimpuls.
Wenn sie rotiert, könnte sie auch zeitartige Killingvektoren haben. Eine solche Metrik heiß stationär. Wenn auch das nicht gegeben ist, dann können durchaus noch verschiedene Killingvektoren vorhanden sein. Ein Beispiel sind Verschiebungen um eine bestimmte mitbewegte Länge in kosmologischen Koordinaten. Verschiebungen um eine bestimmte echte Länge wären keine.
Deshalb ist in kosmologischen Koordinaten auch nicht der Impuls p erhalten, sondern dessen Produkt mit dem Skalenfaktor a*p. Ein Beispiel dafür ist die kosmologosche Rotverschiebung.

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Aha, man muß also zwischen stationärer und statischer Metrik unterscheiden. Ist dann stationär übergeordnet, also eine stationäre Metrik immer auch statisch aber nicht umgekehrt?

Ok, das scheint zu bedeuten, daß Killingvektoren nicht oder nicht immer invariant sind, oder?

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Um mal die Begriffe zu klären: Statisch (zeitunabhängig) ist ein Spezialfall von stationär. Jede statische Metrik ist also stationär, aber scheinbar nicht umgekehrt.

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Ok, dann scheinst Du meiner Vermutung "Ist dann stationär übergeordnet, also eine stationäre Metrik immer auch statisch aber nicht umgekehrt?" zuzustimmen.

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Die Frage verstehe ich nicht. Die Metrik ist invariant, wenn man global jedes Ereignis um ein Vielfaches des Killingvektors verschiebt. Das ist auch hier der Fall.

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Eines der Beispiele für Killingvektoren waren "Verschiebungen um eine bestimmte mitbewegte Länge in kosmologischen Koordinaten." Das erschien mir bezogen auf FRW-Koordinaten, also koordinatenabhängig. Aber die Überlegung macht wohl keinen Sinn, entscheidend ist die Invarianz der Metrik.
Was verwechsle ich da?

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Die Koordinaten sind ja so gewählt, dass sie diese Symmetrie widerspiegeln. Sie wäre auch da, wenn man andere Koordinaten gewählt hätte.
Das ist auch eine Symmetrie auf einem Teilgebiet der leeren Raumzeit (Milne). Ganz allgemein hat man aber nichts davon, wenn nicht auch irgendwelche Dinge entsprechend symmetrisch angeordnet sind.

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Ok, Milne ist ein gutes Beispiel. Symmetrien sind koordinatenunabhängig und damit sind das auch Killing Felder, die Symmetrien ausdrücken.

Danke, Du hast mir eine Vorstellung vermittelt um was es da überhaupt geht.