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Also, für Elektronen (und überhaupt alle Fermionen) gilt
Psi(p1,p2) = - Psi(p2,p1).

Mit folgender eigentümlicher Konsequenz:
Wenn Psi(p1) = Psi(2), dann gilt außerdem Psi(p1,p2) = Psi(p2,p1). Daraus folgt dann Psi(p1,p2)=0, sprich: geht nicht. Zwei Fermionen können nicht im selben Quantenzustand sein.

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Ja danke - guter Hinweis: für Fermionen anti-symmetrisiert man, und dann ergibt sich daraus auch unmittelbar das Pauli-Prinzip.

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Gibt es auch Situation wo das anders ist? Z.B. wenn ich einen gemischten Zustand habe mit einem Elektron mit Spin Up und einem Elektron mit Spin Down?
:confused:

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Wenn das eine Elektron Spin-Up aufweist und das andere Spin-Down, dann ist ihr Zustand ja schon nicht mehr derselbe.
Tatsächlich war dies m.W. auch historisch der "Anreiz" gewesen, eine Spin-Quantenzahl mit Betrag 1/2 einzuführen (was ja zu 2 Basis-Zuständen führt). Man beobachtete eben jeweils 2 Elektronen in dem vermeintlich selben Zustand im Atom. Um mit dem Pauliprinzip verträglich zu bleiben, brauchte man eine zusätzliche Quantenzahl.

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Alles mysteriös! :D Ich dachte jetzt das wäre noch ähnlich wie beim Beispiel mit verschiedenen Impulsen.

Intuitiv hätte ich gemeint zwei verschiedene Elektronen mit zwei verschiedenen Impulsen wären auch in verschiedenen Zuständen. Oder wenn nicht, dass das dann beim Spin ähnlich ist. hmmmm

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Sind sie ja auch! Allerdings ist deine Formulierung "zwei verschiedene" unglücklich gewählt. Wir wissen, es sind insgesamt zwei; sie sind aber nicht verschieden.

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Ich glaub das steht gerade im falschen Kontext! Ich meinte das Beispiel noch in Bezug zur Ununterscheidbarkeit so wie hier erklärt:
ich wollte dann einen gemischte Situation kreieren mit zwei versch. Spins in der wir die Elektronen eindeutig identifizieren können. Bzw. fragen ob das möglich ist.

PS: Also so eine Situation gibt es nicht? Auch nicht in irgendeinem gemischten Zustand, wo ich genau die Elektronen identifizieren kann?

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Das ganze trifft immer dann zu, wenn es sich um den selben "Teilchentyp" handelt. Welche Zustände dieser tragen kann ist zweitrangig. Nehmen wir an, wir haben zwei Teilchen eines Typs, eines im Zustand A sowie eines im Zustand B. Dann gilt für Bosonen bzw. Fermionen die Symmetrisierung bzw. Antisymmetrisierung

Ψ = Ψ(A) Ψ(B) ± Ψ(B) Ψ(A)

A kann z.B. stehen für "Ort, Spin" oder "Impuls, Spin" oder "Energie, Drehimpuls" oder "Impuls, Spin, Flavor, Color" (letzteres bei Quarks).

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(vielleicht ergibt mein Beispiel auch keinen Sinn)
OK. Mir geht's noch darum, quasi einen gemischten Zustand zu betrachten, ohne Kohärenz, kein reiner Zustand wie oben, bei dem ich dann 2 Elektronen habe die sich fast klassisch verhalten. Und hier, so mein Gedankengang, kann ich die dann identifizieren. Klar?

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Du meinst einen Dichteoperator, der einem gemischten Zustand entspricht?

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Ja, AFAIK. (ich hab mal gelesen, solche inkohärenten Zustände z.B. aus 2 Teilchen würden sich quasi wie klassisch verhalten)

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Ich denke nicht, dass das etwas ändert.

Betrachte einen Zustand ψ (a,↑) mit eine Spin = up und einer weiterem nicht näher spezifizierten Quantenzahl a. Zwei Bosonen im Spin-Singulett Gesamtspin = 0 werden beschrieben als

ψ1(a,↑) * ψ2(b,↓) + ψ1(b,↓) * ψ2(a,↑)

Dies entspricht der Forderung der Symmetrisierung. Verwendet man den Fock-Raum-Formalismus mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, so ist diese Symmetrisierung automatisch garantiert. Mit anderen Worten: die Theorie enthält überhaupt keine anderen als diese symmetrisierten Zustände.

Nun wird ein Dichteoperator jedoch genau aus diesen Zuständen kosntruiert. Man kann demnach in einen Dichteoperator keine Unterscheidbarkeit einbauen, die nicht bereits in den Basiszuständen enthalten ware.

Die Unterscheidbarkeit wäre z.B. wieder von der Form "das bei a lokalisierte Teilchen hat Spin up, während das bei b lokalisierte Teilchen Spin down hat".

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Hmm, das ist keine "Symmetrisierung" sondern eine "Verdopplung" ... oder hab ich was verpasst? :)

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Sorry, der Index i = 1,2 für die beiden Teilchen hat gefehlt; hab's korrigiert.