AW: Extremwertproblem
 

Nimm die 30 (Maximum) und zieh davon 10 ab. 30-10=20 Da hast Du deine 20.;)

EMI

PS: Die 10 darfst Du von den 30 abziehen, um wieder auf der Glasplatte zu landen.

AW: Extremwertproblem
 

Auch fuer den Wert x=30 existiert ein Rechteck auf der Glasplatte.
Das habe ich im letzten Thread doch gezeigt.
Der "Fehler" ist, dass in dieser Grafik die Funktion y(x) nicht richtig dargestellt
ist.
http://www.quanten.de/forum/attachme...1&d=1225578482
Die Verlaengerung ueber den Wert x=20 existiert nicht.
Beim Wert 20 ist y(x) unstetig und folgt dann dem Verlauf der oberen Kante der Glasplatte.
Sie nimmt dann den festen Wert y=60 an :

y(x)=(30+30/20*x) fuer 20>x>0
y(x)=60 fuer 80>x>20

AW: Extremwertproblem
 

Hallo richy,

schon klar.
Das Rechteck für den Wert x=30 hat auch die maximale Fläche, aber der "Glasanteil" dieser Fläche ist halt nicht die maximal mögliche Glasfläche. Die ist 60².
In y(x)=(30+30/20*x) müsste x irgendwie bis 20 begrenzt werden.

Gruß EMI

AW: Extremwertproblem
 

Genau das habe ich doch oben getan !
Die Funktion ist abschnittsweise anzugeben.

Fuer x=0..20 lautet sie
y(x)=(30+30/20*x)
fuer x=20..80 lautet sie
y(x)=60

Das ist genau die Funktion dem die obere Kante der Glasplatte folgt.
Miniaturansicht der unstetigen Funktion y(x) :
.___
/

Nein. Die Verlaengerung der Funktion y(x)=(30+30/20*x) existiert nicht.
Aber sehr wohl ein Rechteck fuer x=30.
Und dessen Flaecheninhalt ist (80-30)*60
Und ich brauche gar nicht nachrechnen, dass dies kleiner ist als die Flaeche bei x=20.
Dort ist die Flaeche (80-20)*60
Ab da eben (80-x)*60

Schon klar was du meist. Es geht aber nicht um irgendwelche nichtexistierenden Glasanteile.
Was denn waere wenn die Funktion y(x) bei x=20 keinen Knick haette.
Sie hat da nun mal den Knick und ist von 0..80 abschnittsweise definiert.
Die geistige Verlaengerung des ersten Abschnittes spielt keine Rolle ausser dass ich damit argumentieren kann, dass die Flaeche von x=0..20 eine monoton steigende Funktion ist.

AW: Extremwertproblem
 

Ich würde vorschlagen George bricht noch etwas von der Ecke weg;) , so das P2 nicht bei x=20 sondern bei x= 262/3 ~ 26,6666667 ist.

Dann ist sein P2 auch der Maxwert für Delta x und y!
Dann braucht er auch mit dem Glasschneider nicht mehr in der Luft rumschneiden.:)

EMI

AW: Extremwertproblem
 

Wenn Du ein lokales Maximum für x=30 rausbekommst, das aber wegfällt, da es nicht im Definitionsbereich liegt und sich sonst rechnerisch kein lokales Maximum im Bereich ]0..20[ ergeben hat, dann muss sich bei einer der Intervallgrenzen das absolute Maximum befinden.
In dem Fall ist das die 20, sagt einem schon die Logik, aber man kann auch für x=0 und x=20 ausrechnen und das x nehmen, wo sich der grösste Wert ergibt.


Extremwertsatz:
"Wenn eine Funktion f in einem Intervall [ a; b] stetig ist, dann hat sie in diesem Intervall auch einen kleinsten und größten Wert."

Also wenn die Funktion f in [a,b] definiert und stetig ist und Du in dem Intervall kein lokales Maximum mittels der Ableitungen von f findest, muss also danach auf einer der Intervallgrenzen ein absolutes Maximum sein. Für das Minimum gilt natürlich das Gleiche.

P.S.: Denk gerade über die Stetigkeit nach. Unstetigkeit wäre für den Satz eigentlich nur ein Problem, wenn die Funktion an einem x innerhalb des Intervalls gegen unendlich streben würde. Im Definitionsbereich ist die Funktion aber für alle x definiert und somit automatisch nach oben und unten beschränkt, wenn der Definitionsbereich ein geschlossenes Intervall ist. Von daher ergibt sich in diesem Fall der Sachverhalt schon allein daraus. ( Wenn das nun zu formal war, dann ist die Uni schuld. Einmal eine "Kleinigkeit" in 'nem Beweis vergessen, schon wurden da 3 von 4 Punkten abgezogen. ;) )

AW: Extremwertproblem
 

hehe, genau! sich einfach das nehmen, was man braucht:D Ist immer ne gute Vorgehensweiße:)

Naja ich glaub ich hab es dann soweit verstanden. Da die Funktion stetig ist, muss sich das Extrema also am Rand des Definitionsbereiches befinden, also x= 20.

Grüße, George

AW: Extremwertproblem
 

Ja genau, also wenn Du kein lokales Maximum in dem Intervall mittels Ableitung findest, die Funktion stetig ist, und die Intervallgrenzen mit zum Intervall gehören, es also ein geschlossenes Intervall ist, dann muss eine der Intervallgrenzen ein absolutes Maximum sein.

Ich weiss ja nicht, wozu Du das rechnen musst, ob Schule, Ausbildung ...

Allgemein bei einer Kurvendiskussion:
Wenn man eine stetige differenzierbare Funktion hat, die auf einem geschlossenen Intervall definiert ist und dazu absolute Minima und Maxima bestimmen soll, dann schaut man erstmal mittels 1. und 2. Ableitung, ob innerhalb des Intervalls lokale Minima und Maxima sind und rechnet diese gegebenfalls aus.
Danach rechnet man die Funktionswerte an den 2 Intervallgrenzen aus und vergleicht die mit den lokalen Minima und Maxima.
Der grösste bzw kleinste Wert aus den ganzen Werten ist dann ein absolutes Maximum bzw. Minimum.


( Wenn ein oder beide Intervallgrenzen offen sind, weil die Funktion auf der Intervallgrenze selber nicht definiert ist, kann man da natürlich nicht direkt einsetzen. Dann muss man eine Grenzwertbetrachtung machen, also ein x innerhalb des Intervalls gegen die Intervallgrenze streben lassen und schauen, wogegen der Funktionswert strebt. f(x)=1/x²+10 im Definitionsbereich (0;1]. wäre so ein Fall. Die Funktion hat dann kein absolutes Maximum, weil für x->0 f(x) gegen unendlich strebt. Das absolute Minimum ist aber da und hat den Wert 11. )

Wenn Du das ganze öfter brauchst Klassenarbeit/Klausur/Übungsaufgaben ... dann würde ich mir nochmal durchlesen, wie man eine Kurvendiskussion macht und ein paar Übungsaufgaben rechnen.

AW: Extremwertproblem
 

Wenn wir gerade bei den Extrema sind, hätte ich auch eine einfache Aufgabe:

Es soll ein (rechteckiger) Hühnerhof angelegt werden. Dazu stehen 40 m Zaun zur Verfügung. Wie gross ist die maximale Fläche?

Gr. zg

AW: Extremwertproblem
 

Na ja, die größte Fläche ergibt ein Kreis. das ist aber nicht die Frage.
Als rechteckiger Hühnerhof sind es 100m² maximal. Hühnerhof als gleichseitiges Rechteck/Quadrat(geviert).

Gruß EMI

PS:Bei gegebenen Umfang ist die max.Fläche eines Rechtecks immer ein Quadrat!

Umfang = 4a
Rechteck Seiten a-x, a+x
Fläche = A = a² - x²
dA/dx = - 2x
=> x = 0
A = a²
A = (U/4)² mit U=40m folgt:
A = (40m/4)² = 100m²