Extremwertproblem
 

Hallo Allerseits,

Ich muss eine Extremwertproblem Aufgabe lösen, bei der ich nicht weiterkomme:

Bei einer Rechteckigen Glasplatte ist eine Ecke abgebrochen. Aus dem Rest soll eine rechteckige Scheibe mit möglichst großen Inhalt herausgeschnitten werden.

http://www1.minpic.de/bild_anzeigen_...?img=34941.jpg

a) wie ist der Punkt P zu wählen :confused:

Also an die Mathefreaks im forum: Bitte um Hllfe. Für zahlreiche Antworten danke schon mal im voraus

Mit Grüßen, George

AW: Extremwertproblem
 

Hi
Der Link funktioniert leider nicht.

Allgemeine Vorgehensweise.
Dieser Punkt P wird von den Koordinaten x,y abhaengen.
(Wenn man das Rechteck auch drehen kann einem Winke phi.)
Fuer diese Parameter ergeben sich unterschiedliche Rechtecke R.
Schwierigste Aufgabe wird es sein den Flaecheninhalt dieser Rechtecke als Funktion der Parameter x0,y0 zu ermitteln. Die Flaeche A(x0,y0)
Und diese Flaeche maximierst du dann mittels Differentialrechnung. Indem du nach x0,y0 ableitest.

Fuer einen Parameter gilt als Extremwert:
a) dA(x0)/dx0=0
Die Steigung auf der Bergspitze oder der Talsohle ist gleich Null.

Lauft man in ein Tal ist die Steigung erst kleiner Null, beim Verlassen groesser Null.
Die Ableitung reicht also von negativen Werten nach positiven Werten.
Die Ableitungsfunktion dA(x0)/dx0 selbst hat also eine positive Steigung.
D.h. die zweite Ableitung ist groesser 0

An der Bergspitze ist es Umgekehrt
D.h. die zweite Ableitung ist kleiner 0
Dass waere die zweite Bedingung , dass der Extremwert nach a) ein Maximum ist.

Fuer 2 Parameter schlaegt man die Ableitungsbedingungen am besten nach.
Ich hab sie grad nicht im Kopf.

AW: Extremwertproblem
 

Hey Richy,

Hier einmal ein funktionierender Link:
http://www.quanten.de/forum/attachme...1&d=1225576747

Ja, P hägt von x und f(x) ab. Ich nehme 3 Punkte, P selbst (und bezeiche es als P3), und jeweils einen am ende der geraden (also P1 und P2) , auf der P liegt. Für die Fläche A= a*b habe ich dann eine Funktion:

A(x1,x3,y2,y3)= [80- (x1+ x3)]* [60-(y2-y3)]

ich wähle nun ein KOS, indem die linke Seite des rechtecks genau auf der y- Achse liegt. Es ergibt sich somit: x1= 0 und zusätzlich weiß ich, dass y2= 60 ist. In A(x) eingesetzt:

A(x,y)= (80-x3)* [60-(60- y3)]

Jetzt habe ich x3 und y3 als variable gewählt. Ich lasse nun durch P1 und P2 eine Funktion laufen (die also alle 3 punkte durchläuft). Für die erhalte ich

f(x)= 1,5x +30

ich kann diese in A(x) einsetzen und erhalte nach Umformen:

A(x)= 1,5x²- 150x+ 2400
A'(x)= 3x- 150

Hier einmal meine Überlegung Grafisch:
http://www.quanten.de/forum/attachme...1&d=1225578482

So brauch ich nicht mit 2 Variabeln zu rechnen. Für die notw. Bedingung A'(0) habe errechne ich

x= 50

Das kann aber nicht sein, denn bei x= 50 kann P garnicht liegen. Die Gerade, auf der P liegt ist für die Definitionsmenge als Df = [0;20] definiert. Nach x= 20 hat man ja gar keine Glasplatte mehr, die man schneiden könnte... Hier komm ich also nicht mehr weiter...

Gruß

AW: Extremwertproblem
 

Vorzeichenfehler ?

A(x,y)= (80-x)*y

Ich kriege nach Einsetzen
A(x) = (80-x)*(1.5x+30) = 120x + 2400 - 1.5x² - 30x = -1.5x² + 90x + 2400
A'(x) = -3x + 90
==> x = 30

AW: Extremwertproblem
 

Vorzeichenfehler ja, aber x=30 liegt immer noch außerhalb der Glasplatte.
Bis hierhin noch richtig:
A(x) = -1.5x² + 90x + 2400

Gruß EMI

PS: Die größte Fläche ergibt sich bei P2(x2=20, y2=60) = 60²
Die Verschnittflächen addieren und den Punkt P von deren Minimum ermitteln;)

AW: Extremwertproblem
 

Was meinst du mit "Verschnittflächen addieren"? Wie komm ich auf 60²?...

AW: Extremwertproblem
 

Quatsch - die Platte ist doch 80 cm breit: meine Lösung stimmt.

Edit: hast ja doch irgendwie recht damit (s.u.)

AW: Extremwertproblem
 

EMI hat schon recht... Es geht ja nicht um die ganze Platte, sondern um das Stück, wo die Abgebrochen ist, wo der Punkt P liegt. Wenn man ein Koordinatensystem wählt, wo also mein P1 die koordinate x=0 hat, so ergibt sich ein Maximales ergebnis für x bei 20 (80- 60, also die länge der platte unten minus der oberen länge).. Ich muss irgendwo die 20 herholen..

Vielleicht sollte ich so tun, als hätte ich falsch gerundet :D :D

gruß

AW: Extremwertproblem
 

Naja, das Extremum wäre bei x=30. Der Bruch endet aber schon bei x=20. Also ist x=20 dem Extremum am nächsten und somit die Lösung. So würde ich argumentieren.
Bei x=20 verschwindet natürlich keine Ableitung; das ist einfach der Rand des Definitionsbreiches; und dort ist die Fläche am größten.

AW: Extremwertproblem
 

Habs auch grad nachgerechnet :
A(x,y)=(80-x)*y
y laesst sich ueber x ausdruecken
y=30+30/20*x fuer 20>x>0
Setzt man ein erhalet man die bereits genannte Funktion
A(x)=2400+90*x-3/2x^2
Deren Maximum liegt bei x=30 also nicht im Intervall [0..20]

Die Ableitung ist im Intervall stets positiv. Es reicht dies fuer einen Punkt darin zu zeigen zum Beispiel fuer 0. Denn 30 ist ja das einzigste Extremum :
Laesst man sich die Funktion ausdrucken, so sieht man auch dass sie monoton steigend ist.

Deren Maximum liegt also beim maximalen x=20
So wie Uli auch argumentiert hat. Es ist ein Randmaximum.
Fuer x>20 ist die Funktion nicht mehr
y=30+30/20*x
sondern konstant
y=60

Wuerde ich x noch weiter erhoehen, so wurde sich y nicht mehr aendern und die Flaeche wieder schrumpfen, da (80-x) kleiner wird.
y ist eine unstetige Funktion damit auch A(x,y).
Man koennte
A=(80-x)*(30+30/20*x) fuer 20>x>0
A=(80-x)*60 fuer 80>x>20
darstellen. Dann wuerde man das Maxiumum besonders gut sehen.

AW: Extremwertproblem
 

Nimm die 30 (Maximum) und zieh davon 10 ab. 30-10=20 Da hast Du deine 20.;)

EMI

PS: Die 10 darfst Du von den 30 abziehen, um wieder auf der Glasplatte zu landen.

AW: Extremwertproblem
 

Auch fuer den Wert x=30 existiert ein Rechteck auf der Glasplatte.
Das habe ich im letzten Thread doch gezeigt.
Der "Fehler" ist, dass in dieser Grafik die Funktion y(x) nicht richtig dargestellt
ist.
http://www.quanten.de/forum/attachme...1&d=1225578482
Die Verlaengerung ueber den Wert x=20 existiert nicht.
Beim Wert 20 ist y(x) unstetig und folgt dann dem Verlauf der oberen Kante der Glasplatte.
Sie nimmt dann den festen Wert y=60 an :

y(x)=(30+30/20*x) fuer 20>x>0
y(x)=60 fuer 80>x>20

AW: Extremwertproblem
 

Hallo richy,

schon klar.
Das Rechteck für den Wert x=30 hat auch die maximale Fläche, aber der "Glasanteil" dieser Fläche ist halt nicht die maximal mögliche Glasfläche. Die ist 60².
In y(x)=(30+30/20*x) müsste x irgendwie bis 20 begrenzt werden.

Gruß EMI

AW: Extremwertproblem
 

Genau das habe ich doch oben getan !
Die Funktion ist abschnittsweise anzugeben.

Fuer x=0..20 lautet sie
y(x)=(30+30/20*x)
fuer x=20..80 lautet sie
y(x)=60

Das ist genau die Funktion dem die obere Kante der Glasplatte folgt.
Miniaturansicht der unstetigen Funktion y(x) :
.___
/

Nein. Die Verlaengerung der Funktion y(x)=(30+30/20*x) existiert nicht.
Aber sehr wohl ein Rechteck fuer x=30.
Und dessen Flaecheninhalt ist (80-30)*60
Und ich brauche gar nicht nachrechnen, dass dies kleiner ist als die Flaeche bei x=20.
Dort ist die Flaeche (80-20)*60
Ab da eben (80-x)*60

Schon klar was du meist. Es geht aber nicht um irgendwelche nichtexistierenden Glasanteile.
Was denn waere wenn die Funktion y(x) bei x=20 keinen Knick haette.
Sie hat da nun mal den Knick und ist von 0..80 abschnittsweise definiert.
Die geistige Verlaengerung des ersten Abschnittes spielt keine Rolle ausser dass ich damit argumentieren kann, dass die Flaeche von x=0..20 eine monoton steigende Funktion ist.

AW: Extremwertproblem
 

Ich würde vorschlagen George bricht noch etwas von der Ecke weg;) , so das P2 nicht bei x=20 sondern bei x= 262/3 ~ 26,6666667 ist.

Dann ist sein P2 auch der Maxwert für Delta x und y!
Dann braucht er auch mit dem Glasschneider nicht mehr in der Luft rumschneiden.:)

EMI

AW: Extremwertproblem
 

Wenn Du ein lokales Maximum für x=30 rausbekommst, das aber wegfällt, da es nicht im Definitionsbereich liegt und sich sonst rechnerisch kein lokales Maximum im Bereich ]0..20[ ergeben hat, dann muss sich bei einer der Intervallgrenzen das absolute Maximum befinden.
In dem Fall ist das die 20, sagt einem schon die Logik, aber man kann auch für x=0 und x=20 ausrechnen und das x nehmen, wo sich der grösste Wert ergibt.


Extremwertsatz:
"Wenn eine Funktion f in einem Intervall [ a; b] stetig ist, dann hat sie in diesem Intervall auch einen kleinsten und größten Wert."

Also wenn die Funktion f in [a,b] definiert und stetig ist und Du in dem Intervall kein lokales Maximum mittels der Ableitungen von f findest, muss also danach auf einer der Intervallgrenzen ein absolutes Maximum sein. Für das Minimum gilt natürlich das Gleiche.

P.S.: Denk gerade über die Stetigkeit nach. Unstetigkeit wäre für den Satz eigentlich nur ein Problem, wenn die Funktion an einem x innerhalb des Intervalls gegen unendlich streben würde. Im Definitionsbereich ist die Funktion aber für alle x definiert und somit automatisch nach oben und unten beschränkt, wenn der Definitionsbereich ein geschlossenes Intervall ist. Von daher ergibt sich in diesem Fall der Sachverhalt schon allein daraus. ( Wenn das nun zu formal war, dann ist die Uni schuld. Einmal eine "Kleinigkeit" in 'nem Beweis vergessen, schon wurden da 3 von 4 Punkten abgezogen. ;) )

AW: Extremwertproblem
 

hehe, genau! sich einfach das nehmen, was man braucht:D Ist immer ne gute Vorgehensweiße:)

Naja ich glaub ich hab es dann soweit verstanden. Da die Funktion stetig ist, muss sich das Extrema also am Rand des Definitionsbereiches befinden, also x= 20.

Grüße, George

AW: Extremwertproblem
 

Ja genau, also wenn Du kein lokales Maximum in dem Intervall mittels Ableitung findest, die Funktion stetig ist, und die Intervallgrenzen mit zum Intervall gehören, es also ein geschlossenes Intervall ist, dann muss eine der Intervallgrenzen ein absolutes Maximum sein.

Ich weiss ja nicht, wozu Du das rechnen musst, ob Schule, Ausbildung ...

Allgemein bei einer Kurvendiskussion:
Wenn man eine stetige differenzierbare Funktion hat, die auf einem geschlossenen Intervall definiert ist und dazu absolute Minima und Maxima bestimmen soll, dann schaut man erstmal mittels 1. und 2. Ableitung, ob innerhalb des Intervalls lokale Minima und Maxima sind und rechnet diese gegebenfalls aus.
Danach rechnet man die Funktionswerte an den 2 Intervallgrenzen aus und vergleicht die mit den lokalen Minima und Maxima.
Der grösste bzw kleinste Wert aus den ganzen Werten ist dann ein absolutes Maximum bzw. Minimum.


( Wenn ein oder beide Intervallgrenzen offen sind, weil die Funktion auf der Intervallgrenze selber nicht definiert ist, kann man da natürlich nicht direkt einsetzen. Dann muss man eine Grenzwertbetrachtung machen, also ein x innerhalb des Intervalls gegen die Intervallgrenze streben lassen und schauen, wogegen der Funktionswert strebt. f(x)=1/x²+10 im Definitionsbereich (0;1]. wäre so ein Fall. Die Funktion hat dann kein absolutes Maximum, weil für x->0 f(x) gegen unendlich strebt. Das absolute Minimum ist aber da und hat den Wert 11. )

Wenn Du das ganze öfter brauchst Klassenarbeit/Klausur/Übungsaufgaben ... dann würde ich mir nochmal durchlesen, wie man eine Kurvendiskussion macht und ein paar Übungsaufgaben rechnen.

AW: Extremwertproblem
 

Wenn wir gerade bei den Extrema sind, hätte ich auch eine einfache Aufgabe:

Es soll ein (rechteckiger) Hühnerhof angelegt werden. Dazu stehen 40 m Zaun zur Verfügung. Wie gross ist die maximale Fläche?

Gr. zg

AW: Extremwertproblem
 

Na ja, die größte Fläche ergibt ein Kreis. das ist aber nicht die Frage.
Als rechteckiger Hühnerhof sind es 100m² maximal. Hühnerhof als gleichseitiges Rechteck/Quadrat(geviert).

Gruß EMI

PS:Bei gegebenen Umfang ist die max.Fläche eines Rechtecks immer ein Quadrat!

Umfang = 4a
Rechteck Seiten a-x, a+x
Fläche = A = a² - x²
dA/dx = - 2x
=> x = 0
A = a²
A = (U/4)² mit U=40m folgt:
A = (40m/4)² = 100m²

AW: Extremwertproblem
 

Das sehe ich auch so.

F'(x) = 0

F''(10) = -2

F(10) = 20*10 - 10^2 = 100

Gr. zg

AW: Extremwertproblem
 

Eine zweite Praxisaufgabe zum Thema, die mir gerade in den Sinn kommt:

In einem Blechverarbeitungsunternehmen (Dosenhersteller) sollen die Herstellungskosten für ein bestimmtes Produkt gesenkt werden. Dazu soll u.a. bei der Fertigung von zylindrischen Blechdosen mit gegebenem Volumen der Materialverbrauch minimiert werden (bekanntlich ist die benötigte Menge an Weissblech proportional zur Dosenoberfläche). Somit soll für den optimalen Blechzylinder mit Nebenbedingung V = h(Pi*r^2) die minimale Oberfläche O(r, h) ermittelt werden. Zu bestimmen sind demzufolge der Radius (r) und die Höhe (h) einer solchen Dose.

Gr. zg

AW: Extremwertproblem
 

Methode von Lagrange :
http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator

Volumen :
V=h*Pi*r^2.
soll maximiert werden

Flaeche : A= Mantelflaeche+2 mal Deckelflaeche
A=2*Pi*r²+2*Pi*r*h
soll minimiert werden

Muesste jetzt nachschlagen, aber versuche es mal aus dem Kopf :
dA/dr=4Pi*r+2*Pi*h =! 0
dA/dh=2*Pi*r =! 0

Nee das koennen nicht die Nebenbedingungen sein r=0, h=0
Ist ja klar dass dann die Oberflaeche minimal ist
Ist einfach die Oberflaeche die Nebenbedingung ?
Wenn ich dann nach der Lagrangen Koordinate lambda ableite erhalte ich dann aber die Bedingung dass die Oberflaeche 0 sein soll. Richtig waere aber dass diese konstant ist.
Ich versuche es mal so :

NB:
2*Pi*r²+2*Pi*r*h-c=0

H(r,h,l1)=h*Pi*r^2 + l1*(2*Pi*r²+2*Pi*r*h-c)

dH/dr=2*h*Pi*r + l1*4*Pi*r + 2*Pi*h=0
dH/dh=Pi*r^2+l1*2*Pi*r=0
dH/dl1=2*Pi*r^2+2*Pi*r*h-c=0

Das Gleichungssystem haette die Loesung :
h = r^2/(r+1)

Aber als Dosenhersteller wuerde ich nochmals gruendlicher ueberlegen.
Das waeren ja Flachdosen :-)
Die Bedingung dass die Oberflaeche minimal ist habe ich irgendwie noch nicht eingebracht.
Da wird wohl der Fehler liegen.

EDIT
HATTE EINE KLAMMER VERGESSEN !
H(r,h,l1)=h*Pi*r^2 + l1*(2*Pi*r²+2*Pi*r*h-c)
Hier
Das ist falsch :
dH/dr=2*h*Pi*r + l1*4*Pi*r + 2*Pi*h=0
richtig ist :
dH/dr=2*h*Pi*r + l1*(4*Pi*r + 2*Pi*h)=0

Und die Loesung des Gleichungssystems ist dann
h=2*r
*****

AW: Extremwertproblem
 

Geschätzt:
h = r ?
Mal sehen ob ich dazu komme mal zu rechnen.
Da habe ich immer so meine Probleme mit dem Rechnen.

EMI

PS: doch eher 2*r = h ? Ich denke wir müssen einer Kugel(größstes Volumen zu Oberfläche) am nächsten kommen.

AW: Extremwertproblem
 

Maximales Volumen bei minimaler Oberflaeche geht ja gar nicht !
Ich habe das falsch gelesen. Das Volumen ist die Nebenbedingung !
Jetzt also nochmal als Test mit Lagrange :

NB:
1) V=h*Pi*r^2
minimiere :
2) A=2*Pi*r²+2*Pi*r*h

H(r,h,l1)=2*Pi*r²+2*Pi*r*h + l1*(h*Pi*r^2-c)

dH/dr=4*Pi*r+2*Pi*h+2*l1*h*Pi*r=0
dH/dh=2*Pi*r+l1*Pi*r^2=0
dH/dl1=h*Pi*r^2-c=0

Dieses Gleichungssystem hat die Loesung
h=2*r
****
Naja keine Flachdose, mehr ne Quadratdose :-)

Bei vorgegebenem Volumen benoetigt man am wenigsten Weissblechflaeche mit der Quadratdose :-)
Das hier waere also die schwaebische Dosenform :
h=2*r
*****

Da beide Dosenanteile hier im Forum reichlich vorhanden sind kann man sagen :
Das Forum hier ist ein optimales Dosenwerk :D

( Das mit der Kugel war auch mein Gedanke )
Gratuliere ! Sehr gut geschaetzt ! Da zeigt sich der Praktiker.

AW: Extremwertproblem
 

Ja, aber dabei nicht wie oben eine klammer vergessen !!!
Habs gerade korrigiert.
Beide Optimierungsaufgaben fuehren zum selben Ergebnis !

AW: Extremwertproblem
 

Hihi, genau. Was hatte ich doch gleich für Klammern verlangt?
50 Cent/Stück meine ich mich zu erinnern.

AW: Extremwertproblem
 

Schwaben liegt um die Ecke. Da spart man auch mit Klammern.
BTW: Man kann die Aufgabe auch ohne Lagrange loesen.

1) V=h*Pi*r^2
2) A=2*Pi*r²+2*Pi*r*h
Hier in 1) h ueber V ausdruecken
3) h=V/( Pi*r^2)

3) in 2) einsetzten
2) A=2*Pi*r²+2*Pi*r*V/( Pi*r^2)
Und dann A minimieren.
Das fuehrt aber auch zu recht komplizierten Ausdruecken.

Na dann biege ich mir die doch lieber selbst :-)

AW: Extremwertproblem
 

Oh, na sowas, plötzlich steht die richtige Lösung schon da-
dann kann man das hier ignorieren:

V=h*Pi*r^2
A=2*Pi*r²+2*Pi*r*h

=> h=V/(πr²) damit nach A:
A= 2πr²+2V/r

∂A/∂r = 4πr-2V/r² = 0

daraus ergibt sich dann:
_______
r = ³√ V / (2π) und ein hässlicher Ausdruch für h, den man durch h=V/(πr²) bekommt.

Viel schöner ist es allerdings, wenn man jetzt V=hπr² in den Ausdruck für r einsetzt, dann kommt:
h^(1/3)*r^(2/3)/2^(1/3)=r, was einen schließlich dazu bringt, dass

r=h/2

das optimale Verhältnis einer zylindrischen Dose mit irgendeinem Volumen drin ist.

Merke: Man kann nicht das Volumen optimieren und gleichzeitig die Fläche minimieren.
Entweder man minimiert die Fläche bei gegebenem Volumen, oder man maximiert das Volumen bei gegebener Fläche.
Beides läuft auf das gleiche Verhältnis hinaus.

AW: Extremwertproblem
 

Ich habe für die Funktion von r bei gegebenem Volumen und gesuchter minimaler Weissblechfläche der Konservendose

r = (V/pi)^(1/3) erhalten, also die dritte Wurzel aus V/pi

Grüsse, rene

AW: Extremwertproblem
 

@Hamilton

Den Rechenweg habe ich oben auch angegeben.
Die Methode von Lagrange ermoeglich aber solche Aufgaben formell einheitlich zu loesen. Die Schwierigkeit verlagert sich dann auf das Loesen des Gleichungssystems. Aber auch dies laesst sich am Rechner einheitlich loesen.

Die Lagange Methode habe ich auch bei folgendem Problem erfolgreich benutzt.
Dabei war unter anderem ein numerischer Differenzierer im Frequenzbereich zu entwerfen. Dieser Entwurf enthielt nun aber Eigenschaften, die ihn fuer nichtlineare Differenzenverfahren ungeeignet macht, Er ist nicht Gruppengeschwindigkeitstreu. Diese Eigenschaft erfuellen aber Differenzierer mit einem Entwurf ueber die Taylorreihe. Alledings haben die den Nachteil hoher numerischer Daempfung.
Loesung des Problems war ein Entwurf im Frequenzbereich wobei der Entwurf im Zeitbereich ueber die Methode von Lagrange als Nebenbedingung verwendet wurde. Das kann man sich so vorstellen, dass man ueber die Nebenbedingungsgleichungen zunaechst die Dimension des Zahlenraumes erhoeht in dem dann aber im urspruenglichen Bereich nur noch die Gebiete in Frage kommen in denen die Nebenbedingungen erfuellt sind.
Die Implementierung am Rechner war dabei lediglich eine erweiterung der Bestimmungsmatrix.
Also sehr einfach.

Damit besass der Differenzierer nun die positibven Eigenschaften beider Entwurfsverfahren. Er war gruppengeschwindigkeitstreu UND numerisch wenig gedaempft.
Dank Lagrange :-)

Das erhaelt man bei der Methode ohne Lagrange.
Jetzt ist aber V eine Funktion von r und h. Und damit kannst du diese Gleichung r=f(V(r,h) als Funktion r=g(h) umformen.
Kann dir aber schon vorhersagen, dass du dabei ueber recht unschoene Ausdruecke stolpern wirst.
Das Ergebnis wird aber auch h=2*r sein.

AW: Extremwertproblem
 

Bei einem gegebenen Volumen von 1 Liter ergeben sich

h=r=6.8278cm

Grüsse, rene

[nachträgliche Anmerkung: Hat sich im Nachhinein als falsch erwiesen]

AW: Extremwertproblem
 

Schockschwerenot. Es gibt 2 komplexe Lösungen und eine reelle mit r=5.4193cm bei V=1000cm^3.

h wäre dann h=2*r

So kann man sich täuschen.

Grüsse, rene

AW: Extremwertproblem
 

Hab's mal eben numerisch nachgerechnet.

Dabei ist mir aufgefallen dass der Flächeninhalt von Deckel und Boden zusammen genau der Mantelfläche entspricht.

So unschön ist das also gar nicht.


Gruß Jogi

AW: Extremwertproblem
 

NB:
1) V=h*Pi*r^2
minimiere :
2) A=2*Pi*r²+2*Pi*r*h
Methode von Lagrange:
H(r,h,l1)=2*Pi*r²+2*Pi*r*h + l1*(h*Pi*r^2-c)
l1 ist der Lagrange Multipikator.

Man erhaelt das Gleichungssystem :
1)dH/dr=4*Pi*r + 2*Pi*h + 2*l1*h*Pi*r=0
2)dH/dh= 2*Pi*r + l1*Pi*r^2=0
3)dH/dl1= h*Pi*r^2-c=0

Den Weg wie man das Gleichungssystem loest hatte ich mir gespart weils so einfach ist :

Gleichung 3 braucht man nicht.

Kuerzen :
1) 2*r + h + l1*h*r=0
2) 2 + l1*r=0

2) nach l1 aufloesen
2) l1=-2/r

in 1) einsetzen
2*r + h - 2*h=0
2*r-h=0
h=2*r
****

Ohne Polynome
Eleganter und einfacher als mit Lagrange geht es nicht.
http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator
http://upload.wikimedia.org/math/4/a...b59827c805.png

Man fuegt der zu optimierenden Gleichung die Nebenbedingung lambda*g=0 an.
Es lassen sich beliebig viele Nebenbdingungen ueber lambda_k anfuegen.
Nun loest man diese neue Oprimierungsaufgabe.

Der Lagrangemultiplikator faellt wie man oben gesehen hat bei der Loesung wieder raus.

Wer tut denn so was ? *fg
Ich habe dir bei der Methode unschoene Ausdruecke vorhergesagt :-)

AW: Extremwertproblem
 

Is klar.

Bei der Sache mit der Kugel warst du mir zuvorgekommen, ich war grad' dabei, den alten Griechen zu suchen, der den Zusammenhang schon mal erkannt hatte.;)


Gruß Jogi

AW: Extremwertproblem
 

Yep. Hast Du. Allgemein ausgewertet komme ich auf:

r = 1/2*4^(1/3)*(V*Pi^2)^(1/3)/Pi als reele Lösung. Dann kommen noch die beiden komplexen

-1/4*4^(1/3)*(V*Pi^2)^(1/3)/Pi ± 1/4*I*sqrt(3)*4^(1/3)*(V*Pi^2)^(1/3)/Pi

Grüsse, rene

AW: Extremwertproblem
 

Warum benutzt du nicht die Lagrange Methode, die ich vorgestellt habe ?
Da kann man die Loesung wie du oben siehst fast im Kopf ausrechnen.
Einfach Nebenbedingung g=0 ueber lambda*g "hinne drabaebbe". (ankleben :-)

AW: Extremwertproblem
 

Hmm, das komische ist, dass ich die Aufgabe irgendwie sofort wiedererkannt habe, aber mich kein Stück daran erinnern kann, das jemals so gerechnet zu haben. (Hab's vielleicht früher falsch gemacht. :p )
Naja, nun hab ich es auch mit Lagrange berechnet und das gleiche Ergebnis rausbekommen, also h=2*r. Also wieder was dazu gelernt.

AW: Extremwertproblem
 

Stimmt. Das Verhältnis zwischen r und h lässt sich damit beinahe spielerisch bestimmen mit h=2*r. Aber ich will ja schliesslich auch noch ihre Beträge rausbekommen, also eine Funktion f'(r) mit einer minimierender Variable r, und wenn ich die habe, kann ich auch noch h bestimmen.

Grüsse, rene

AW: Extremwertproblem
 

Genau!

Es war nach der minimalen Oberfläche (= Blechverbrauch) bei gegebenem Volumen, z.B. 1 Liter Dose, gefragt.

Somit, wie von einigen richtig erkannt:

h = 2r

r = (V/2Pi)^(1/3)

Zusatzfrage:

Wie viel Verschnitt (Blechabfall) fällt pro Dose mindestens an? Schliesslich muss der Fertigungsplaner ja wissen, wieviele Coils (Bandstahlrollen) er für einen Kundenauftrag anfordern muss.

@richy
Der Tipp mit dem Lagrange-Multiplikator war übrigens äusserst nützlich.

Gr. zg

AW: Extremwertproblem
 

8r^2 - 2*Pi*r^2 (?)


Gruß Jogi

AW: Extremwertproblem
 

Das habe ich auch, etwas vereinfacht:

1,72 r^2 Verschnitt pro Dose

Gr. zg

AW: Extremwertproblem
 

Kann man aber noch optimieren, wenn man die Kreise nicht im quadratischen, sondern im diagonalen Verband ausschneidet.

Dann wird's mit der Berechnung allerdings schwieriger.


Gruß Jogi

AW: Extremwertproblem
 

Das überlasse ich gerne dem NC-Programmierer.

Gr. zg

AW: Extremwertproblem
 

Meinst du damit die dichteste Kreispackung ?
Ich meine wenn ich diese fuer mehr als 7 Kreise waehle fuehrt dies zu dem diagonalen Verband, den du erwaehnt hast.
http://de.wikipedia.org/wiki/Dichteste_Kugelpackung
Demnach haette man dann 26% Verschnitt.

AW: Extremwertproblem
 

Zu diesem Thema hat der Mathematiker László Fejes Tóth 1975 die Wurstvermutung aufgestellt. :D

http://de.wikipedia.org/wiki/Wurstka...rstkatastrophe

Passt das nicht auch in die Kochecke?

AW: Extremwertproblem
 

Hi richy.

Genau.
Ob das in praxi was bringt, hängt von verschiedenen Parametern ab.
Wenn der Auftrag nur über eine Dose lautet, kannzes von vorneherein vergessen.

Bei einem grösseren Auftrag spielt das Blechmaß die Hauptrolle.
Erst wenn ich durch die dichtere Kreispackung eine Reihe mehr aus der gleichen Blechbreite kriege, macht das Sinn.
Außerdem muss ich ja auch die Werkzeugkosten im Auge behalten.:D

Yep, an die Kugelpackung dachte ich natürlich auch sofort.
Das ist das Gleiche, nur eben in 3D.

Wie kommst du auf die 26% ?


Gruß Jogi

AW: Extremwertproblem
 

He he der bin ich an anderer Stelle auch begegnet :-)
Auch der Wurstkatastrophe.
Wie ist das aber gemeint. Die dichteste Kugelpackung ist doch der Kugelknoedel ! (Erinnerst du dich ?)
Aber der ist eine Pizzapackung. Die Wurtspackung hat weniger Verschnitt ?

Und ausgehend von der Schneeflocke ueber Kepler haben wir auch gelent wie man Orangen oder Kanonenkugeln als dichtestes Kluster anordnet :

=> auch im Himmel gibt es Wuerste. Das klingt verheissungsvoll :D

Nee, die heisst nur Kugelpackung in der Ebene. Den Namen Kreispackung gibt es nicht.
Man koennte auch Knoedel oder Pizzapackung sagen.
In 3 D ist die dichteste Kugelpackung Keplers Pyramide.
http://de.wikipedia.org/wiki/Keplersche_Vermutung

Der kam ueber Schneeflocken auf diese Idee ;

Wegen dem Raumfuellungsgrad von 74%

Heisst das nicht, dass man am besten ein Blech mit der Breite 2*r bestellt.
Aber rein intuitiv wuerde ich meinen das waere nicht so optimal wie die Knoedelpackung.

AW: Extremwertproblem
 

Noch besser:
Ein Rundstahl im geforderten Querschnitt.
Den dann in Scheiben schneiden, Verschnitt=0.

Gruß Jogi