Frage zur Newtonschen Feldgleichung
Hallo ich habe eine Frage zur Newtonschen Feldgleichung:
△Φ(x) = 4πGρ(x). Wenn die Dichte an jedem Ort x, der sich im Vakuum befindet, den Wert 0 annimmt, dann müsste doch der Laplace-Opretaor angewandt auf das Gravitationspotential an allen Punkten im Vakuum ebenfalls 0 ergeben, - tut er doch aber nicht wenn sich der Ort x in der Nähe einer Masse befindet, oder doch ?? bzw. ist denn ρ(x) nicht die Massendichte am Ort x , also Null im Vakuum ? Vielen Dank & Gruss G. |
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Hi!
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https://upload.wikimedia.org/math/d/...4bb7a2f96b.png Für den trivialen Fall, dass an allen Orten (x,y,z) die Dichte 0 ist (keine Quellen), hast du sicher recht und Φ(x,y,z) = 0 für alle (x,y,z) wäre eine Lösung. Wenn du nun an einem ausgewählten Raumpunkt eine Masse setzt (etwa ein diskreter Massenpunkt, dessen Dichte durch eine Delta-Funktion beschrieben werden könnte), dann bekommst du ja ein Coulomb-artiges Potenzial als Lösung, das erst im Unendlichen gegen Null geht. Das zeigt, dass deine Intuition hier nicht passt. So eine Dgl., die will erstmal gelöst werden. :) |
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Danke für Eure Antworten!
Hallo JoAx, Ich hätte gedacht: Die Dichte ist definiert als Masse m pro Volumen V. Die Dichte an einem Punkt ist also die Ableitung dm nach dV. Also 0 im Vakuum. Kann ja aber nicht sein denn sonst wäre ja △Φ(x) ebenfalls 0 im Vakuum. Anscheinend gibt es einen Unterschied zw. Dichte ρ und Dichtefunktion ρ(x) den ich nicht verstehe. Anders gefragt: welchen Wert hat zB ρ(x) wenn x ein Ort im Vakuum ist welcher sich in 75000 km Entfernung von einer Masse befindet, die die grösse der Erde hat, ist dann die Dichte an dem Ort nicht 0 ? Hallo Hawkwind, Ja !!! Aber was ist wenn die Dichte nur an einem Punkt 0 ist und wo anders nicht, dann steht doch in der Gleichung trotzdem noch: △Φ(x,y,z) = 0 denn 4πGρ(x,y,z) = 0 da ρ(x,y,z) = 0 oder nicht ? |
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Dichte bzw. Dichtefunktion ρ sind identisch. Es handelt sich um eine Funktion des Ortes. Die Masse M[V] innerhalb eines Volumens V folgt durch Integration von ρ über das Volumen V (es ist umgekehrt nicht sinnvoll, ρ aus M ableiten zu wollen).
Im Vakuum gilt ρ = 0. Aus △Φ = 0 folgt nicht notwendig Φ = 0. Aus ρ = 0 innerhalb eines bestimmten Volumens folgt nicht notwendig Φ = 0 innerhalb dieses Volumens. Es existieren nicht-verschwindende, sogenannte harmonische Funktionen u mit △u = 0 (global, d.h. in jedem Punkt). Eine Punktmasse im Ursprung r = 0 führt zu Φ(r) = a/r + u, wobei a eine Konstante und u eine derartige harmonische Funktion sind. Zusammen mit den üblichen Randbedingungen im Unendlichen folgt zwingend u = 0 sowie das bekannte Potential Φ(r) = a/r. Dass Φ(r) = a/r eine Lösung von △Φ = 0 (außer für r = 0!) darstellt, folgt durch triviales Ausrechnen (siehe Hawkwinds Beitrag). Der Punkt r = 0 muss gesondert betrachtet werden (Delta-Distribution!) |
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Hallo TomS,
vielen Dank, das hilft mir weiter ! :) |
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