Physikalische Einheiten und Heaviside-Funktion
Eine Mathe-Frage:
Ist die Einheit (bzw. physikalische Dimension) der Heaviside-Funktion gleich der Einheit (Dimension) ihres Arguments? Wenn das Argument der Theta-Funktion z.B. 5 Meter ist, ist dann die Einheit dieser Funktion auch Meter? |
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genau kann ich die Frage nicht beantworten. Ich würde aber sagen, dass die Heaviside Funktion die einheitenlos dargestellte Funktion ist und ihre Ableitung die Deltafunktion. Die Einheiten ergeben sich aus dem praktischen Anwendungsfall und entsprechend wird multipliziert (bzw. das Argument kann auch einheitenlos gemacht werden). Oft sind es ja auch steuerungstechnische Aspekte, d.h. bspw. bei 0 = Zeitpunkt 0 s / s = wird etwas eingeschaltet, zum Beispiel Spannung 10 V. Vielleicht ist das Thema auch verwandt mit der Achsenbeschriftung: x Achse = Länge / m oder Länge in m --> Zahlen sind einheitenlos Das sind jedenfall meine Gedanken dazu. VG Slash Anm.: Die Sinus-Fkt. bspw. - darstellbar als Potenzreihe - kann bspw. im Argument keine (physikalische) Einheit haben, da man sonst bspw. 1 m + 1 m³ + ...etc. addieren müsste, was nicht geht. |
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Nö, die hat keine Einheit.
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Hallo Benjamin,
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In einer Publikation (siehe Anhang) wird eine Ladungsdichte als eine Summe von Produkten definiert, in denen die Einheitsladung mit Donatordichten und der Theta-Funktion multipliziert wird. Am Ende steht auch noch eine Ladung multipliziert mit der Dirac-Distribution. Die Ladungsdichte (rho) ist eine Flächenladungsdichte [C/cm²], genauso wie die Ladungsdichte Qi [C/cm²]. Einzig die Donatordichten N sind Raumladungsdichten [C/cm³], was in Summe nur Sinn ergibt, wenn die Theta-Funktion eine Dimension "Länge" beiträgt. Außerdem hängt die Theta-Funktion auch mit der Dirac-Distribution wie folgt zusammen: d/dx theta(x) = delta(x) Ist x aber eine Raumkoordinate, dann trägt es die Dimension "Länge" und damit auch eine entsprechende Einheit, zum Beispiel m. Selbes gilt für die Ableitung nach x, die dann die Einheit 1/m tragen muss. Wenn also die Delta-Distribution keine physikalische Einheit trägt, dann muss theta(x) dieselbe Dimension wie x haben, nämlich m. |
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(Unendlich hoch, unendlich kürz, Fläche darunter = 1). In dem Link, so wie mir auch nur bekannt, wird die Heaviside-Funktion verwendet, um anzuzeigen, dass ein Wert / ein Signal ... "aus-" bzw. "eingeschaltet" wird, z.B. in Abhänigkeit einer Position, oder einer Zeit etc. Durch Addition kann man auch eine Fensterfunktion realisieren (oder mehrere), also eine Art digitale Signal. Übrigens beschreibt dieser Anwendungsfall eine Approximation (vermutlich wären die realen Verhältnisse stetig und nicht sprunghaft). Aber es ist schon richtig, dass natürlich genaugenommen das Argument x in diesem praktischen Fall eine Einheit hat. Vermutlich wäre absolut korrekt, durch die Einheit zu teilen, also statt x-x0 besser (x-xo) / (1 m) zu schreiben. |
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Das mit der Ableitung erklärt sich dann so, indem man eine Konstante mit der Einheit "1/m" in die Theta-Funktion einführt, wie man es ja auch für die Winkelfunktionen macht, zb. bei Wellengleichungen, wo im Argument die Ortskoordinaten immer mit der Wellenzahl multipliziert werden, oder die Zeit mit der Kreisfrequenz. Dann erklärt sich die Ableitung auch: d/dx sin(kx) = k*cos(kx) <-> [1/m] = [1/m] d/dx theta(kx) = k*dirac(x) <-> [1/m] = [1/m] Also theta(x) schreiben ist physikalisch schon fragwürdig, weil man eine Konstante in der Funktion braucht, damit ihr Argument einheitslos ist. |
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Man kann die Theta-Funktion beispielsweise dazu benutzen, um ein Potential in Abhängigkeit von der Position ein- und auszuschalten. Dann hat das Argument die Einheit einer Länge. Der Funktionswert der Theta-Funktion bleibt dabei erstmal dimensionslos, kann aber z.B. mit V_0 multipliziert werden. Dann bekommt auch der Funktionswert eine physikalische Einheit. |
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