Erhaltungsgrößen??
 

Hallo! Ich würde gerne mal notieren, was sind Erhaltungsgrößen, was nicht und wie hängen sie zusammen??

Was mir spontan als erhaltende Größe einfällt:
Ladung, Masse, Impuls, Drehimpuls (fehlt was?)

Wo ich mir nicht sicher bin: zB der Energie-Impuls-Dichte-Tensor in der ART. Ist er eine Erhaltungsgröße? Soweit ich das sehe ist er gegen eine Menge an Koordinaten-Transformationen invariant. Aber deswegen erhalten? Der allgemeine Energie-Begriff ist dagegen ja koordinaten-abhängig und man sagt, dies wäre in der ART ein Riesenproblem, der Energiebegriff wäre hier eben nicht mehr eindeutig.

Ebenso unsicher für mich: Lagrange-Dichten in der QFT. Sie haben auch bestimmte Invarianzen, aber Erhaltungen? Die Energie einer Feld-Anregung ist das Integral über die passende Lagrange-Dichte und so kommt man zB zur Energie eines Photons als Anregung des EM-Feldes. Energie, Impuls und Drehimpuls des Photons hingegen sind wieder erhalten..

Bitte um Meinungen und Erklärungen. DANKE!

ghosti

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Diese Frage klärt man aufgrund des Satzes von Noether am besten über die zugehörigen Symmetriegruppen:

Die U(1) garantiert die elektrische Ladungserhaltung.
Im Fall von Supersymmetrie gibt es erhaltene Superladung(en).

Dann kommt die Lorentzgruppe. Diese garantiert in der Elementarteilchenphysik je nach Ausprägung zumindest die Energie,- Impuls- und Drehimpulserhaltung. Die Parität ist bekanntlich nur teilweise erhalten.

In der ART gilt die Lorentzgruppe nur lokal, allerdings inklusive Parität, falls der Energie-Impuls-Tensor entsprechend geartet ist.

Die Leptonenzahl ist als Erhaltungsgröße nicht ganz sicher: https://de.wikipedia.org/wiki/Leptonenzahl

EDIT: Bei der Eichgruppe SU(2) folgt aufgrund des Higgs-Mechanismus keine weitere Erhaltungsgröße: https://de.wikipedia.org/wiki/Fabri-Picasso-Theorem
Bei der Eichgruppe SU(3) sind Farbladungen erhalten: https://de.wikipedia.org/wiki/Ladungserhaltung

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Masse ist keine Erhaltungsgröße; ein massives Teilchen kann in masselose Photonen zerfallen etc.. Z.B. das neutrale Pion in 2 Photonen.

Ansonsten ist Bernhards Hinweis auf Emmi Noethers Theorem relevant, das einen Zusammenhang zwischen kontinuierlichen Symmetrien und entsprechenden Erhaltungsgrößen besagt.

Aus der Homogenität des Raumes (Translationsinvarianz) folgt die Impulserhaltung,
aus der zeitlichen Invarianz die Energieerhaltung,
und aus der Isotropie des Raums (Richtungsunabhängigkeit) die Erhaltung des Drehimpulses.

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Im Standardmodell der Teilchenphysik gibt es noch einen Satz erhaltener Materie-Quantenzahlen: elektrische Ladung, Baryonenzahl, Leptonenzahl.

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Du meinst die Poincare-Gruppe:
4 Translationen => Energie + 3 * Impuls (das findest du nicht in der Lorentz-Gruppe)
3 Rotationen => Drehimpuls

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Genau. Danke.

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Ich glaube, in der Literatur wird nicht immer 100%ig unterschieden zwischen Poincare- und Lorentz-Gruppe. Manchmal spricht man statt von Poincare-Transformationen auch von "inhomogenen Lorentz-Transformationen": deine kleine Ungenauigkeit ist also verzeihbar. :)

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Natürlich, du hast recht.

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Ich meinte natürlich die Energie, nicht Masse allein..
Wenn ich mal spekulieren darf:
Wenn eine bestimmte Energie erhalten ist, muss es eine Energiedichte nicht zwangsläufig sein.. Der Zusammenhang könnte zB eine Lorentz-Trafo sein. Da ist z.B. der Zusammenhang relative Ladungsdichte*relatives Volumen = konstante Gesamt-Ladung. In dem Fall ist es ja ein Skalar.
Kann man ähnlich einen Zusammenhang zwischen elma Lagrangedichte *Volumen = konstante Energie (QFT: quantisierte Gesamt-Energie) bilden?

Im ersten Moment würde das ja bedeuten, wir haben eine genau definierte Energie-Dichte-Verteilung. Die Verteilung ist z.B. ~cos^2 da prop E^2+B^2
genauer w~Fuv*F^uv.
Das Viererintegral darüber führt zu Quanten des Feldes, hier Photonen. Ich entsinne mich an ein Youtube-Video von Josef Gassner zum Feyman-Integral.
Ich weiß nur nicht, wie andere Herleitungen ev aussehen, wenn man nicht damit rechnet. Welche Alternativen gibt es?

Naja, das hieße jetzt aber diese Darstellung ist überall endlich,es gibt keine Singularitäten. Schon seltsam, dass der Welle-Teilchen-Dualismus dann doch dazu führt? Das Photon als Teilchen wird ja punktförmig dargestellt.
Das ist wohl dann, wenn ich das richtig sehe, eine Konsequenz der Anwendung der Wahrscheinlichkeits-Welle.. Aus der Energie-Dichte-Verteilung wird effektiv eine Wahrscheinlichkeitsdichte-Verteilung und die Gesamt-Energie ein Skalar, ein Punkt ohne Struktur... Es gibt da übrigens eine halbklassische Darstellung bei der Anwendung von Quantenmaterie als Ursache des Gravitationsfeldes im Rahmen der ART. Die Energie-Dichte wird dargestellt wie Psi* m Psi oder so ähnlich zumindest.

Das ist der Hintergrund zu meiner Frage, was denn nun erhalten ist. Soweit ich das sehe nie Dichten, sondern immer bestimmte Gesamtwerte.

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Wenn ich zB über einen Stromdichte-Vektor integriere,
dann ist das Ergebnis doch wieder ein Vektor?
Ich denke ja. Kann nur passieren, dass bestimmte Verteilungs-Symmetrien dazu führen, dass Elemente des Vektors Null werden..
Stimmt das dann auch für einen Dichte-Tensor?
Wenn ich bedenke, dass der Vierer-Energie-Impuls-Vektor Teil des Tensors ist, würde ich sagen, ja.
Oder??

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Wenn ich mich recht entsinne, ist eine Stromdichte so etwas wie Ladungen, die pro Zeiteinheit durch eine Einheitsfläche laufen. Z.B. die x-Komponente jx der Stromdichte ist

jx = (delta Q) / [(delta y) * (delta z) * (delta t)]

Q steht dabei für die Ladung.

jx zusammen mit entsprechend definierten jy und jz formen einen Dreier-Vektor. Nimmt man als nullte Komponente noch die Ladungsdichte
rho = (delta Q)/(delta V)
hinzu, so erhält man einen relativistisch kovarianten Vierervektor. V steht für Volumen.
Wenn du also diese Stromdichte über eine Fläche integrierst, dann erhältst du die Anzahl von Ladungen, die pro Zeit diese Fläche passiert haben.
Ich hoffe, das hilft!?

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Habe obigen Beitrag korrigiert.

AW: Erhaltungsgrößen??
 

So darfst du das aber nicht schreiben.

Für beliebige N gilt:
A.1) bei einer globalen SU(N)-Symmetrie folgen N²-1 Erhaltungsgrößen
B.1’) bei einer lokalen SU(N)-Symmetrie folgen N²-1 Erhaltungsgrößen je Punkt im Raum, d.h. letztlich überabzählbar viele Erhaltungsgrößen
B.1) darin sind speziell N²-1 globale Erhaltungsgröße enthalten, die im wesentlichen dem Fall (a) entsprechen.

Nur im Falle einer weiteren Symmetriebrechung mag sich das ändern:
A.2) Goldstone-Theorem
A.3) globale Anomalie
B.2) Higgs-Mechanismus und Fabri-Picasso-Theorem

B.2) folgt jedoch nicht für SU(N) allgemein, sondern nur für spezielle Zusatzannahmen, nämlich das Higgsfeld sowie die Phase mit spontaner Symmetriebrechnung. Ohne Higgsfeld gilt A.1. Und mit Higgsfeld jedoch bei genügend hoher Energie gilt ebenfalls A.1.

Außerdem wird das Theorem missverständlich interpretiert. Die genannte Ladung ist selbstverständlich erhalten, allerdings ist ausschließlich Q = 0 = const. zulässig. Dann wären in der Theorie sogenannte Superselection Sectors vorhanden. Es gibt auch andere Erweiterungen, aus denen automatisch Q = 0 für bestimmte erhaltene Ladungen folgt, z.B. für SU(N) auf kompakten Mannigfaltigkeiten.

EDIT: es gibt noch ein Problem bei Wikipedia; so wie das Theorem dort dargestellt ist, impliziert es nur im Vakuum, dass die Ladung verschwindet; es wäre zulässig, dass lokalisierte d.h. nicht-translationsinvariante Zustände mit nicht-verschwindender Ladung existieren; man müsste das Theorem z.B. für endliche kompakte Mannigfaltigkeiten untersuchen; so wie es jetzt dasteht, würde ich an deiner Stelle nicht viel darauf geben

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Ich denke, das ist schon noch nachvollziehbar, aber du hast natürlich recht, die Unterscheidung zwischen lokaler und globaler Symmetrie ist mir heute im Laufe des Tages auch noch aufgefallen und ist auch wichtig. Danke also für die Präzisierung.

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Ich wollte eher darauf hinaus, dass derartige no-go-Theoreme in der QFT oft wenig wert sind, da die Annahmen unklar oder lückenhaft sind, und da sie teilweise nur sehr eingeschränkte Aussagekraft haben. In dem Fall kommt noch hinzu, dass der Artikel unpräzise ist.

An sich ist der Fall sehr einfach:

A) bei einer SU(N) existieren immer N²-1 Erhaltungsgrößen
B) im Falle einer spontanen Symmetriebrechung ändert sich daran nichts, außer dass für die Erhaltungsgrößen Q |phys> = 0 gilt
C) der Fall einer Anomalie muss gesondert betrachtet werden

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Was ist das Q im Fall der elektroschwachen Wechselwirkung? Ist da etwas bekannt?

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Ich glaube, im Falle der elektroschwachen Wechselwirkung hat man Q (elektrische Ladung) und Y (schwache Hyperladung).
@Tom: bitte ggf korrigieren, danke!

Aber was soll

|phys>

aus

Q |phys> = 0

sein? Der Ladungsoperator wird kaum einen jeden Zustand "zerstören"!?

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Klar.

Rein algebraisch ist das immer das selbe: die 3 Yang-Mills-Ladungen der Eichfelder plus die entsprechenden fermionischen Ladungen in der adjungierten Darstellung der SU(2). Das entspricht exakt der Konstruktion der Farbladungen der QCD.

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Ich meine die drei Generatoren der SU(2), d.h. nicht die elektrische Ladung der U(1).

Aber die Ladungen zerstören jedem physikalischen Zustand. Das ist genau die Aussage dieses Theorems.

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Geht es nicht eher speziell um den Vakuumzustand, der annihiliert wird?

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Das war meine Frage bzw. mein Kritikpunkt oben.

Wenn der Vakuumzustand annihiliert wird, jeder andere physikalische Zustand von diesem erreicht werden kann und die Ladung erhalten ist, dann wird auch jeder andere physikalische Zustand annihiliert.

Aber das ist eben eine unbewiesene Annahme. Es könnte auch weitere Sektoren geben, in denen keine Translationsinvarianz gilt, und die Ladung ungleich Null tragen.

AW: Erhaltungsgrößen??
 

Ich verstehe das genau nicht so wie du:

Nur wenn die Symmetrie ungebrochen ist gilt

Q|vac>=0.

Dies ist auch erforderlich für eine endliche Operatornorm.
Wenn die Symmetrie spontan gebrochen wird, ist Q|vac> endlich, was zu einer unendlichen Operatornorm führt. Das besagt das Theorem. Ladungsoperatoren gebrochener Symmetrien haben eine unendliche Ladungsnorm.

Das Beispiel aus der SU(2) x U(1) verdeutlicht das ja auch:

Bei SSB gibt es nur mehr eine Linearkombination der Generatoren (nämlich Q=T_3+0.5Y_w), für die Q|vac>=0. Das ist die elektrische Ladung.