AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit
Danke für die Mühe.
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Grundsätzlich wächst e bei Beschleunigung "aufwärts". Ist das, was hier im Vergleich zum freien Fall (mit e = const.) hinzu kommt potentielle Energie? Wenn ich PAllen richtig verstehe, entspricht die rote Kurve im Kruskal Diagramm der geraden Linie t = const. Ok, formal mag das so sein, aber die dahinterstehende Idee? Du schreibst vom Killingvektor dt. Darunter kann ich mir noch nichts vorstellen. Vielleicht liege ich daneben, t = const. bedeutet doch dt = 0. Ist etwa der Killingvektor bei maximaler Eigenzeit Null? |
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Ich hatte seine Argumentation "Kreise konstanten Umfangs" nicht verstanden. Was wollte er damit sagen? |
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Was weg geht, ist kinetische Energie, weil man nach außen beschleunigt. Zitat:
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Also: Das Killingvektorfeld besteht in jedem Punkt aus einem Vektor, der eine Koordinateneinheit in t-Richtung lang ist. Die Bedeutung des Feldes ist: Wenn du irgendein physikalisches Geschehen in Koordinaten beschreibst, und dann in jedem Punkt die t-Koordinaten um ein überall gleiches Vielfaches des Killingvektors verschiebst, dann ändert das nichts an dem beschriebenen Geschehen. Wenn du stattdessen z.B. überall um eine Sekunde Eigenzeit (also entsprechend mehr Koordinatenzeit) verschieben würdest, dann wäre die Situation nicht mehr die gleiche. |
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Aus der Argumentation in meinem vorherigen Beitrag folgt, dass sich r nicht ändert, wenn man entlang t verschiebt. Das gilt auch innerhalb des EH. Der Unterschied ist nur, dass t dort eine Raumrichtung bezeichnet. Du hast da als Raumgeometrie also eine Kugeloberfläche (theta und phi-Richtungen), die als dritte Dimension die t-Richtung hat. Um sich das vorzustellen, lässt man eine Dimension der Kugeloberfläche weg, so dass ein Kreis übrigbleibt. Senkrecht dazu kann man noch entlang t verschieben, so dass die Geometrie einer Zylinder-Mantelfläche entspricht. In dieser Geometrie entspricht t der Achsrichtung, deshalb nennt er die Koordinate "axial". |
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Soviel von unterwegs. Du hast noch einiges geschrieben, wozu ich Fragen habe. Dazu später. |
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Vielleicht klärt das ja ein Mißverständnis. Für eine radiale Geodäte bekommt man in Schwarzschild-Koordinaten nämlich kein t=const. für den freien Fall im Bereich 0 <= r <= r_S. |
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Nach meinem momentanen Verständnis sehe ich 2 Möglichkeiten für e = 0: Der Freifaller fällt ab r=rS (rein theoretisch). Ich nehme an, das hast Du gerechnet. Kannst Du die Rechnung zeigen, zumindest die Schritte, ich würde es gern nachvollziehen. Oder er fällt von außerhalb durch den rS und folgt dann nach kurzer Beschleunigung der Geodäte t=const mit e = 0. Wählt er andere kurze Beschleunigungen und fällt dann frei, ist e=const. aber <> 0. EDIT Wobei man wohl annehmen kann, daß die zweite Möglichkeit mit der kurzen Beschleunigung das fallen lassen am EH quasi simuliert. |
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Zuerst habe ich eine Rechnung zum allgemeinen radialen Freifaller gemacht, um zu sehen, in welcher Beziehung t als Schwarzschild-Koordinate zur Eigenzeit tau steht. Ich habe dazu diesen Link https://en.wikipedia.org/wiki/Schwar...test_particles verwendet Zitat:
dt = dtau * E / (mc²) * (1 - (2*rS / (3 *c * tau))^(2/3))^(-1) Dabei gilt zusätzlich E = mc² * sqrt(1 - rS / r0) r0 ist dabei der Startradius des freien Falls, an dem also dr/dt = 0 gilt. Startet der Freifaller am EH geht dessen Gesamtenergie gegen Null und es gilt dt = 0, womit bewiesen ist, dass t=const. genau diesem Freifaller entspricht. Rechnung 2: Motiviert von Ichs obiger Erklärung kann man in der Schwarzschild-Metrik dt = dtheta = dphi = 0 setzen und erhält dann die Formel: c * dtau = dr / sqrt(rS/r - 1) Diese Gleichung kann integriert werden. Setzt man auf der rechten Seite die Integrationsgrenzen von r=rS bis r=0 ein, so erhält man die bekannte Formel tau = -pi * M. Wegen dt = 0 gilt hier ebenfalls t = const. |
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