Bestätigung für Bornsche Regel
 

Hallo zusammen,

im neuen Heft "Physik in unserer Zeit" befindet sich ein Artikel

Bestätigung für Bornsche Regel
Siehe: http://onlinelibrary.wiley.com/doi/1...90077/abstract

Mir ist nicht klar, warum es eine schwere Verletzung der Quantenmechanik wäre, wenn die Interferenz von mehr als zwei Wegen herrühren würde. Hat jemand dazu nähere Informationen?

M.f.G. Eugen Bauhof

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Das Experiment wurde doch hier im Forum bereits thematisiert:
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1639

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Hallo eigenvector,

du hast recht, das hatte ich übersehen. Aber meine Frage bleibt trotzdem.

M.f.G. Eugen Bauhof

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Das ist ganz einfach, Eugen.
Die Bornsche Interpretation besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang von einem Anfangs- zu einem Endzustand proportional zum Betragsquadrat der Wahrscheinlichkeitsamplitude ist. Wenn nun zu einem Übergang A(total) unterschiedliche Übergänge A1, A2, ... möglich sind, so hat man

A(total) = A1 + A2 + ...

d.h., kohärente Addition der Amplituden.

Physikalisch beobachtbar ist das Betragsquadrat dieser Größe

|A(total)|^2 = (A1)^2 + 2*A1*A2 + (A2)^2 + ...

Da die Bornsche Regel auf Quadraten basiert, folgt also direkt aus der Binomialformel
(a + b)^2 = a^2 + 2*a*b + b^2

dass höchstens Interferenzen 2er Amplituden ("Wege") beitragen. Eine Interferenz aus 3 Wegen wäre so etwas wie

A1 * A2 * A3

das kann nie vorkommen, wenn - wie nach Born - das Betragsquadrat die Wahrscheinlichkeit bestimmt. In so einem Fall müsste die Wahrscheinlichkeit schon mindestens wie die dritte Potenz der Amplitude gehen.

Es können also evtl. beliebig viele Wege beitragen (... + 2*A1*A2 + 2*A1*A3 + 2*A2*A3 + ...) ; es interferieren aber nie mehr als 2 (die gemischten Terme sind die Interferenzterme).

Gruß,
Hawkwind

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Hallo Hawkwind,

danke für deine Erläuterungen, aber so ganz habe ich es leider noch nicht verstanden. Bei Roger Penrose habe ich eine mathematische Veranschaulichung der Quanteninterferenz in der Gaußen Zahlenebene gefunden, siehe Grafik-Anhang.

Dort erscheint das Betragsquadrat zweier komplexer Zahlen w und w. Das heißt, hier werden die Wahrscheinlichkeiten durch komplexe Zahlen dargestellt. Der Interferenzterm beträgt 2•|w|•|z|•cos(ß). Liegt vielleicht der tiefere Grund darin, dass immer nur zwei Wege miteinander interferieren können darin, dass die Wahrscheinlichen komplex sind?

Bei drei Wegen würden drei komplexe Wahrscheinlichkeiten w, z, y miteinander interferieren. Da würde der Interferenzterm vermutlich ganz anders aussehen.

M.f.G. Eugen Bauhof

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Hallo zusammen!

Oder vlt. daran, dass es grundsätzlich nur zwei unterschiedliche Wege gibt, vom Punkt 0 zu |w+z| (in deiner Grafik) zu kommen, wenn man "Teilstrecken" w und z hat. Vektoraddition.

?

Gruss, Johann

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Nein, der Grund ist einfach, dass die Wahrscheinlichkeit mit dem Quadrat der Amplitude geht: Quadrat bedeutet bei 3 Amplituden/Wegen

(a + b + c)^2 = a^2 + 2*a*b + b^2 + ... + 2*a*c + ... + 2*b*c

Interferenzterme sind also immer von der Form a*b und nie von der Form a*b*c oder höher.
Ginge die Wahrscheinlichkeit mit der 3. Potenz der Amplitude, so hätten wir auch 3-fach-Interferenzterme
(a + b + c)^3 = a^3 + ... + 2*a*b*c + ...

Dieses Feature ist im Prinzip auch schon ohne Komplexität der Amplituden so. Die Komplexität macht es aber erst so richtig spannend, da so erst Phasenunterschiede wirklich wichtig werden. Im Reellen gäbe es halt nur die Vorzeichenwillkür A + B oder A - B, sozusagen positive oder negative Interferenz. Im Gegensatz zu absoluten Phasen sind relative Phasen zwischen Amplituden durchaus von Bedeutung in der Quantenmechanik. Penrose Schreibweise betont die Bedeutung dieses Phasenwinkels (bei ihm ß) besonders. Im Reellen könnte ß nur die Werte 0 oder 180 Grad annehmen.

Gruß,
Hawkwind

PS. streng genommen müsste ich oben in den Produkten immer das Produkt
(a + b + c) x (a + b + c)*
betrachten, wobei der Stern diesmal für komplexe Konjugation steht; das spielt aber bei dem Argument (2-Wege-Interferenz) keine Rolle.

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Penrose veranschaulicht in dem Diagramm nur, dass es 2 komplexe Amplituden w und z gibt, die addiert werden; das ist in der komplexen Ebene analog zur Vektoraddition:

|w+z|^2 = (w + z) (w* + z*) = |w|^2 + |z|^2 + {wz* + w*z}

Dabei ist der letzte Term in den geschweiften Klammern der Interferenzterm, den Penrose nochmal durch den Phasenwinkel zwischen beiden Amplituden ausgedrückt hat.

Ich denke, anschaulich begründen lässt es sich nicht weiter, warum es immer nur Interferenzen zwischen jeweils 2 Amplituden gibt; das folgt unmittelbar aus der Bornschen Interpretation mittels einem Minimum an Algebra.

Gruß,
Hawkwind

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Hallo Hawkwind,

ich denke, jetzt verstehe ich.
(a+b)² bedeutet, dass zwei mögliche Wege durch 2 Spalte gegeben sind. Bei (a+b+c)³ sind drei mögliche Wege durch 3 Spalte gegeben, so wie es die Experimentatoren aufgebaut haben.

Nun stellten sie fest, dass immer nur zwei mögliche Wege miteinander interferierten, obwohl drei Möglichkeiten bei der Versuchsanordnung vorliegen. Das heißt, es interferieren immer nur die Wege-Möglichkeiten (a+b) oder (a+c) oder (b+c) miteinander, aber niemals (a+b+c).

Sehe ich das in etwa so richtig?

Wir wissen also aufgrund des Experiments, dass es so ist. Wir wissen aber nicht warum es so ist.

Hawkwind schrieb:
Ja, aber nur dann, wenn man die Bornsche Regel zugrunde legt. Aber gerade die sollte ja erst durch das Experiment bestätigt werden. Wenn man es nur durch ein Minimum an Algebra belegen könnte, wäre dieses Experiment überflüssig gewesen.

M.f.G. Eugen Bauhof

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Bei 3 möglichen Wegen lautet die Bornsche Regel zur Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeit P

P ~ (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac +2bc

Wir haben also nach Born schon Interferenzen aller 3 Wege: aber immer nur paarweise !

Das Minimum an Algebra ersetzt nicht die Bornsche Regel sondern basiert darauf - setzt diese voraus.
Das genannte Experiment hinterfragt eben die Bornsche Regel, d.h. die Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit vom Quadrat der Amplitude - insofern macht es schon Sinn.