AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Hallo SCR

Hä? Kannst du das bitte näher erläutern? :confused:

Eine Drehmatrix ist doch nur ein spezielle Schreibweise, wenn ich die Koordinaten eines Punktes im kartesischen Koordinatensystem in die Koordinaten des um phi rotierten Koordinatensystems umrechnen möchte.

aus (x|y) wird (x'|y') mit x'=x*cos(phi)+y*sin(phi) und y'=y*cos(phi)-x*sin(phi)

Das Ganze kann man natürlich auch ohne jetzt Träger der Fields-Medaille zu sein in Matrixschreibweise darstellen und das ist dann eben die Drehmatrix.

Also:

a) Was bedeutet irreflexibel im Allgemeinen?
b) Warum ist eine Drehmatrix irreflexibel?
c) Sollte sich deine Unterstellung als wahr erweisen. Welche brauchbaren Schlussfolgerungen könnte man daraus ziehen?
d) Was hat das mit Hilberträumen zu tun?

Gruss, Marco Polo

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Mist - Jetzt habe ich dieses Posting "kaputt-gemacht".
Könnt Ihr das wieder reparieren?
Wäre sehr nett - Danke!

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Das ist ein Missverständnis; es geht nicht um reale Bewegungen/Beschleunigungen von Punkt A nach Punkt B und dann nach Punkt C sondern um aufeinanderfolgende Lorentz-Boosts (Koordinatentransformationen) in unterschiedlichen Richtungen. Diese resultieren in der erwähnten Wigner-Rotation.

Ich betrachte einen Mast. Zuerst betrachte ich die Orientierung des Mastes im Ruhesystem dieses Mastes (Koordinstensystem A): er zeige senkrecht nach oben. Dann wechselt der Beobachter in ein System, das sich mit 290 000 km/sec nach vorne bewegt (KS B): der Mast zeigt immer noch nach oben. Danach wechselt der Beobachter von seinem momentanen System B in eines, das sich vom KS B aus gesehen, mit 290 000 km/sec nach rechts oben bewegt: Ergebnis - die Segelstange zeigt nicht mehr senkrecht nach oben sondern weist nun einen Winkel (den "Wigner-Winkel") gegenüber der Vertikalen auf.

Vielleicht hätte ich mich in dem entsprechenden Posting klarer ausdrücken sollen, aber mir war nicht bewusst, dass gar nicht ganz klar ist, worum es geht und dass es Missverständnisse geben könnte.

Gruß,
Uli

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Hi Uli,
Das verstehe ich jetzt nicht so ganz - Denn was heißt denn das jetzt im Klartext bezogen auf diese Aussage?
War/Ist die jetzt richtig oder falsch? :rolleyes:

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Das wäre halt das, was ein Beobachter machen müsste in der Praxis, um von einem Bezugssystem A in ein System B und schließlich C zu wechseln.

Ich hätte diese Möglichkeit zum Missverständnis vermeiden und stattdessen unterschiedliche Beobachter nehmen sollen, die einfach platt ruhen in ihren Systemen A, B und C. Dann wärer klarer, dass es nicht um irgendwelche Reisen zu irgendwelchen Punkten geht.

Gruß,
Uli

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Hi Uli,
Grober Schnitzer! :D

Aber jetzt erklär mir doch bitte einmal, wie Du das in diesem Kontext bezüglich der Thomas-Präzession konkret gemeint hattest:
Entsprechend einen Mast "mit Drehimpuls" angenommen - Da "torkelt" dann in KS C "der schiefe Mast"? :rolleyes:

1. O.K. - Ich stehe vor einem Mast und schaue hoch.
2. Hmm. -
a) Der Mast wechselt auch nach KS B: Ich stehe also immer noch vor dem Mast und schaue hoch.
b) Der Mast bleibt in KS A: Der Mast wird kürzer / Ich muß irgendwann nicht mehr nach oben sondern nach unten sehen.
Wie meintest Du das? :rolleyes:
3. O.K. Ich bewege mich seitlich (= 90°-Winkel zum Mast) nach rechts - Denn 1. kann ich zumindest von 2.a) nicht unterscheiden.
Dann müsste ich doch nur den "Wigner-Winkel" messen (0°, 1°, ...) und könnte daraus meine absolute Bewegung (und auch die des "anderen" Objekts) bestimmen (Da ich dann doch 1. von 2.a) unterscheiden könnte).

2.b) würde bedeuten, das sich bereits "mit einem BS-Wechsel" etwas verändert (Längenkontraktion? Da wüsste ich aber nicht, dass man irgendwann "hinter sich schauen kann" ... Hmmm :rolleyes:).

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Zur Anschauung: wenn man sich das mal halbklassisch vorstellen will im Bohrschen Atommodell, so hat man da ein Elektron das mit Spin-Up den Kern umkreist.
Die Thomas-Präzession ergibt sich nun aus der Lorentz-Rücktransformation vom Ruhesystem des Elektrons auf das des Kerns. Da das Elektron aber keine geradlinige Bewegung ausführt, sondern eine kreisförmige, sind ständig andere Lorentz-Rücktransformationen erforderlich (andere Richtungen); als Folge davon ändert der Wignerwinkel aus der Sicht des Kerns ständig seine Orientierung gegen die Richtung des Spins im Elektronsystem und es entsteht eine Präzession des Spins.
Das sind natürlich nur "Handwaving-Argumente" und eine echte unmittelbar beobachtbare Thomas-Präzession des Elektron-Spins gibt es nicht, da es ja nicht einmal eine Bahn des Elektrons gibt.
Diesen Effekt macht man jedenfalls dafür verantwortlich, dass das effektive magnetische Moment des Elektrons in dem Term der Spin-Bahn-Wechselwirkung "künstlich" um den Faktor 1/2 reduziert werden muss (wenn man nichtrelativistische Schrödingergleichung "macht"). Diese Reduktion läuft unter dem Schlagwort "Thoma-Präzession".

Besser man löst gleich die Dirac-Gleichung statt der Schrödingerschen und bekommt den Thomas-Effekt automatisch inklusive, ohne solch halbklassischen Erwägungen machen zu müssen.

Das war jetzt sicher keine gute Erklärung, an der man mit Recht vieles kritisieren kann. Sauber bekommt man den Thomas-Effekt, indem man die Dirac-Gleichung für das Wasserstoffatom löst. Das alles hat auch mit der Transformation von Dirac-Spinoren unter Lorentz-Transformationen zu tun. Überschreitet die Möglichkeiten dieses Forums.

Ich habe leider keine Zeit mehr, auf deine anderen Fragen einzugehen: es ist halt viel leichter gefragt als halbwegs vernünftig geantwortet. Habe an diesen paar Zeilen schon einige Zeit gebastelt.

Gruß,
Uli

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Hi Uli,
Der schiefe Mast torkelt also (?). :rolleyes:
Warum? :rolleyes: Hört sich doch interessant an.
Ja, und es hat sich gelohnt: Gib' mir mehr.
Du wirst doch wohl nicht etwa kneifen? :D Lass' Dir ruhig Zeit wenn Du sie brauchst.
Ich würde ja weniger fragen - Aber Du hast mir doch klargemacht, dass ich nicht den leisesten Dunst von dem habe, von dem ich schreibe. Also bleibt doch nur diese Option ...

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Hi Marco Polo,
Einen Teil konnte ich noch retten (Hatte ich noch in der Zwischenablage):
Einen anderen Teil hatte Uli ja zum Glück noch zitiert - Damit wären dann über den Daumen etwa 90% wieder hergestellt.
Ich bin aber auch ein Dödel :D: Ich wollte eigentlich "neu" antworten und nicht einen bestehenden Beitrag ändern.

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Ich glaube, das genau ist es, warum ich manchmal etwas gereizt auf deine Postings reagiere: du unterschätzt die Voraussetzungen, die man mitbringen muss, um fortgeschrittene Physik exakt zu behandeln - wie etwa Diskussion des Wasserstoff-Atom-Problems mittels relativistischer Quantenmechanik -völlig.

So etwas kann man fortgeschrittenen Physikstudenten in einem separaten Kapitel eines Lehrbuchs über "advanced quantum mechanics" anbieten. Sie würden sich dann schon ein paar Tage damit auseinandersetzen müssen, die Schritte nachvollziehen zu können.

Einem "Publikum", das zu 99% aus Laien besteht wie hier, so was vor die Füße zu werfen, wäre reine Zeitverschwendung. Das kapiert keiner.

Ich denke, dass da selbst die meisten professionellen Experimentalphysiker das Handtuch werfen würden bzw. "kein Interesse hätten".

Ich hätte sowieso nicht die Zeit, so etwas vorzubereiten und aus dem Stegreif könnte ich es natürlich nicht.

Gruß,
Uli

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Hi Uli,
ich hätte durchaus noch die ein oder andere Anmerkung zu Deinem letzten Beitrag (EDIT: Und nicht einmal nur kritische) - Aber lassen wir's: Ich habe ja bereits angefangen, selbst ein wenig zu "stöbern".

Hättest Du aber noch die Güte mir die offenen Fragen aus dem Beitrag hier zu beantworten? Da interessiert mich insbesondere 3. - Ich wäre Dir sehr zu Dank verbunden! :)
Außerdem wüsste ich natürlich immer noch gerne von Dir ob "der Mast" nun in Deinen Augen konkret "torkelt" oder nicht ... :rolleyes:
So? Davon habe ich nix bemerkt. http://www.smileygarden.de/smilie/Sc...e_girl_258.gif

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Das habe ich ja bereits versucht.


Damit die Wignerrotation in einer Präzession resultiert, muss nach meinem Verständnis noch ein Kreisbewegung im Spiel sein, z.B. der Beobachter wechselt ständig sein Ruhesystem gemäß einer Kreisbewegung. Dann beobachtet er, wie der Mast um die Vertikal präzessiert. Das ist - wie man bei der Spin-Bahn-Kopplung der Atomphysik sieht - keineswegs ein Scheineffekt, sondern hat messbare Konsequenzen.



Das wäre witzlos.


Nein, es geht hier nicht um die Längenkontraktion: die gibt es bei der ersten Transformation übrigens auch gar nicht (wenn der Mast vertikal ausgerichtet ist und der Boost in einer Richtung senkrecht zum Mast stattfindet).

Bei 2a gibt es keine Wignerrotation - da gibt es gar nichts, wenn du den Mast mitnimmst.
Warum solltest du dich nicht umdrehen und zurückschauen können ?????

Gruß,
Uli

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Hi Uli,
Ja: Du wechselst in diesem konkreten Fall ja ständig (C1, C2, C3, ...).
Bei der Thomas-Präzession wird dabei aber - im Gegensatz zu "normalen" Präzessionen - kein Drehmoment ausgeübt, Sack Zement! :D
Wigner-Rotation und Thomas-Präzession sind nun einmal faktisch gleich http://u-k-s.net/images/smilies/engel1_orange.gif ;):
Es sind beides relative Effekte, in beiden Fällen geht's alleine um den Mast (Mast im Falle der Thomas-Präzession = Spin-Rotationsachse). Oder siehst Du das anders? :rolleyes:
Jetzt sag' 'mal, Uli: Wie will man das Maßstabs-Paradoxon "aus beiden Sichten" (einmal bewegt sich der Maßstab, einmal das Loch) konsistent erklären, ohne dabei auf eine Drehung zurückzugreifen?
Da kommt mir gerade was:
Wie ist das denn überhaupt mit dem Garagen-Paradoxon - wenn sich die Garage und nicht das Auto bewegt?
Das müsste doch auch über eine Drehung konsistent aus beiden Sichten ... :rolleyes: Hmmm - Muß ich mir einmal durch den Kopf gehen lassen.

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Hi SCR!

Leider geht's nicht. Es gibt kein Tool, dass die verschiedenen Versionen eines Beitrages abspeichert. Passiert mir auch hin und wieder, dass ich auf "Ändern" drücke, anstatt "Zitieren". Bis jetzt habe ich es noch immer rechtzeitig gemerkt.


Gruss, Johann

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Hi JoAx!
Macht nix: Ein Großteil konnte ja "gerettet" werden - Danke trotzdem dass Du Dir's angeschaut hast. :)

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Versuch einer Deutung des physikalischen Raumbegriffs:

In der Physik macht man oft von abstrakten Räumen Gebrauch, die real gar nicht existieren. So gibt es bspw. einen Phasenraum und einen Impulsraum. Diese Räume sind aufs Engste mit der analytischen Mechanik verknüpft. In der QM spielt der Hilbertraum eine wichtige Rolle.

Für die SRT ist der Minkowski-Raum von einzigartiger Bedeutung. Dieser besitzt eine pseudoeuklidische Struktur (Eichkurve ist die Hyperbel).

Man spricht im Kontext auch vom "hyperbolischen Pythagoras": x² - (ct)² = 1

Die raumzeitliche Union des Hermann Minkowski ist flach. Die Christoffel-Symbole verschwinden in dieser Welt. Beobachter befinden sich in kräftefreier Bewegung. Es handelt sich geometrisch bei einem Minkowski-Diagramm um eine Projektion hyperbolischer Strukturen auf die Ebene. Man spricht auch von der Lorentz-Geometrie.

Die Raumzeit (Mannigfaltigkeit) der ART dagegen ist pseudo-riemannsch, d.h. dass dem vierdimensionalen Kontinuum eine positive Krümmung eigen ist. An die Stelle Kartesischer Koordinaten treten Riemannsche Normalkoordinaten. Einsteins Überlegungen liegt die Riemannsche Geometrie und der Tensor-Calculus von Levi-Civita zugrunde. Nicht ohne Grund wird der Riemann-Christoffelsche Krümmungstensor bemüht, aus welchem der für die Einsteinschen Feldgleichungen massgebende Ricci-Tensor durch Verjüngung hervorgeht.

(Frage an SCR: Wie überschiebst du einen Tensor und was verstehst du unter der Kontraktion eines Tensors?)

Es sind dies alles mathematische Konstruktionen der theoretischen Physik, um mehr oder weniger komplizierte Sachverhalte quantitativ zu erfassen.

So überrascht es nicht, dass es auch einen Geschwindigkeitsraum gibt. In der Galilei-Mechanik ist dieser euklidisch, in der relativistischen Mechanik hingegen von einer Lobatschewski-Struktur. Geschwindigkeiten werden dort durch den Tangens hyperbolicus bestimmt.

Der Unterschied (mit c = 1) ist der:

a) Nach Galilei gilt --> u = w + v

In einem Galileischen Geschwindigkeits-Diagramm sind zwei Bewegungslinien durch den Tangens ihres Schnittwinkels bestimmt.

b) Nach Einstein gilt --> u = (w - v)/(1 - wv)

In einem Minkowski-Diagramm erweist sich der Winkel zwischen zwei Weltlinien daher als die gesuchte Relativgeschwindigkeit.

Es wäre nun fatal, wenn einer dieser abstrakten Räume mit dem natürlichen Bewegungsraume verwechselt würde. Der Naturraum (Ortsraum) ist allem Anschein nach euklidisch. Global allenfalls von verschwindender (positiver) Krümmung. Der Sehraum wiederum ist hyperbolisch. Das geht eindeutig aus empirischen Befunden hervor. Auch die Projektive Geometrie spielt dabei eine gewisse Rolle. Es ist nicht immer einfach, diese Unterschiede zu erkennen. Es empfiehlt sich das Büchlein von Weyl, "Raum-Zeit-Materie", sowie eventuell ein Studium Reichenbachs, z.B. "Die philosophische Bedeutung der Relativitätstheorie" (Gesammelte Werke Band 3). Insgesamt geht die vorliegende Thematik weit über die Physik hinaus. Mathematik, Philosophie und Physik geben sich hier die Hand.

Mit den Worten von Prof. Walter Thirring schliesse ich diesen Exkurs:

Hier ist der ganze menschliche Geist, sind Wissenschaft und Religion gefordert.

Gr. zg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Hi zg,
vorab: IMHO klasse Beitrag!
Dann aber nix wie ran: Ich habe schließlich von allen drei Themen keinen Schimmer. :D
Ich denke, das trifft nur eingeschränkt zu:
1. Lokal und unter "gewöhnlichen" Rahmenbedingungen (= kein SL etc.) kann näherungsweise eine euklidische Geometrie angenommen werden: Deshalb funktioniert Newton immer noch so gut - Man kann eben die Euklidik für den größten Teil unserer "Alltagsprobleme" unterstellen.
2. Global ergibt sich für das gesamte Universum näherungsweise eine euklidische Geometrie (siehe WMAP-Daten). Die Geometrie der ART ist definitiv elliptischer Natur und - (vor allen Dingen!) real. Damit sich in Summe näherungsweise eine euklidische Geometrie ergeben kann muß IMHO in unserem Universum der Geometrie der ART "zum Ausgleich" eine reale hyperbolische gegenüberstehen.
Danke für die Literaturhinweise: Von Weyl hatte ich schon was gelesen und sogar ein bißchen was verstanden -> Der wäre bei mir erste Wahl :D.
Mit Religion hat das IMHO aber eher weniger zu tun.
Überschieben = Produkt zweier Tensoren bilden + Verjüngen
Verjüngen = Kontraktieren
Tensoren gleicher Stufe kann man addieren, Das Produkt eines Tensors n-ter Stufe mit einem Tensor m-ter Stufe ergibt einen Tensor (n+m)-ter Stufe.
Beim Verjüngen wird die Stufe eines Tensors erniedrigt.
Damit kann man z.B. aus einem zweistufigen Tensor einen Vektor bzw. aus einem Tensor 1. Stufe (= Vektor) einen Skalar machen.
Aber warum fragst Du / Worauf zielt Deine Frage ab? :rolleyes:
Ich habe doch schließlich von der Materie keinen Dunst - Du weißt dafür umso mehr. :D

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Ich wollte nur schauen, inwiefern du die Materie beherrschst. Die Fragen haben u.a. mit der Raumkrümmung - damit auch mit der Geometrie der Raumzeit - zu tun.

Eine kurze Zusammenfassung des Gesagten:

1) Beim Verjüngen (ein in der Tat trefflicher Ausdruck) entsteht ein Tensor (n - 2)-ter Stufe. Aus dem Ricci-Tensor bspw. der Ricci-Skalar. Dabei werden zwei Indizes gleichgesetzt, dann wird über sie summiert (Anwendung der Einsteinschen Summenkonvention).

So entsteht bspw. der Ricci-Tensor, indem man den Riemann-Tensor (ein Tensor 4. Stufe) über den metrischen Tensor verjüngt. Zurück bleibt ein Tensor 2. Stufe, der zusammen mit dem Fundamentaltensor und dem Krümmungsskalar den sog. Einstein-Tensor G_ik auf der linken Seite der Einsteinschen Feldgleichungen bildet. Auf der rechten Seite -als Quelle des Gravitationsfeldes - steht der Energie-Impuls-Tensor T_ik.

2) Bei der Multiplikation zweier Tensoren n-ter und m-ter Stufe entsteht ein Tensor (n + m)-ter Stufe.

3) Das Überschieben hast du richtig beschrieben. Zwei Tensoren werden miteinander multipliziert und dann verjüngt. Verjüngt man bspw. das dyadische Produkt zweier Vektoren x und y, so entsteht daraus ein Skalarprodukt bzw. ein Tensor 0-ter Stufe.

4) Ein weiterer wichtiger Begriff im Tensor-Kalkül ist die Spur eines Tensors. Darunter versteht man bei einem Tensor 2. Stufe die Summer seiner Diagonalelemente. Die Spur ist eine Tensorinvariante, weil sie unter linearen Koordinatentransformationen erhalten bleibt.

In der Physik kommt insbesondere den Tensoren 2. Stufe eine grosse Bedeutung zu. Unter diesen gibt es symmetrische (A_ik = A_ik) und antisymmetrische (A_ik = -A_ik) bzw. schiefsymmetrische Tensoren. In der klassischen Physik gebräuchliche Tensoren sind der Trägheitstensor (Mechanik), der Spannungstensor (Elastomechanik) oder der Feldstärketensor (Elektrodynamik).

Ich weiss nicht, ob man die Tensorrechnung heutzutage im Physikstudium erlernt. Seinerzeit musste ich mir diese Dinge autodidaktisch aneignen. Ich hatte jedoch das Glück, einiges zuvor von Fließbach aufgeschnappt zu haben.

Gr. zg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Nachtrag:

1) Im Unterschied zur Spur eines Tensors wird das Produkt der Eigenwerte (wie in der gewöhnlichen Matrixalgebra) als Determinante bezeichnet.

2) In Bezug auf die Summationskonvention gilt, dass durch getrennte Permutation der oberen oder unteren Indizes eines beliebigen Tensors ein Tensor vom selben Typ entsteht.

Gehen wir noch einen Schritt weiter und betrachten in aller Kürze einige Anwendungen der Tensoranalysis, z.B.:

a) Weylableitung von Weylfeldern (kovariante Ableitung schiefsymmetrischer Tensoren) --> Verallgemeinerung der Divergenz

b) Cartanableitung von Cartanfeldern (kovariante Ableitung schiefsymmetrischer Tensoren) --> Verallgemeinerung der Rotation

c) Lieableitung beliebiger Tensorfelder in Richtung eines Vektorfeldes --> Verallgemeinerung der Richtungsableitung

An diesem Thema der mathematischen Physik muss ich allerdings selbst noch etwas arbeiten.

Gr. zg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Hi zg,
Jepp: Da war meine Aussage falsch.
Im was? ;)

Mach' ansonsten ruhig einfach 'mal da weiter. :)

Wie wär's z.B. damit?
http://upload.wikimedia.org/math/d/7...18124e4439.png

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Hallo zusammen,

vielleicht steigen wir einmal mit dem hier ein:
http://www.alberteinstein.info/galle..._pp284-339.pdf (PDF Seite 8 oben / Dokument Seite 290)

Wenn man sich den Kontext dieser Aussage betrachtet, wird deutlich, dass sie sich auf den Anwendungsbereich der SRT bezieht - Das entsprechende Beispiel wird nämlich von ihm auf der vorhergehende Seite wie folgt eingeführt:
Unter weiterer Berücksichtigung dieses früheren Beitrags hier würde ich mir dann gerne einmal den Fundamentaltensor ansehen wollen -
Kannst Du mir zu dem zum Einstieg schon irgendetwas sagen, zg? :rolleyes:

P.S.: AE führt weiter aus:
Er fordert in diesem Kontext lediglich die allgemeine Kovarianz.

P.P.S.: Rein interessehalber: Wer von Euch hat eigentlich bisher die ART schon einmal im Original studiert? :rolleyes: Hand hoch! ;)

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Da muss ich widersprechen.

Im Grunde geht es im Kontext um das Ehrenfest-Paradoxon (rotierende Kreisscheibe).

Einstein betont nun, dass die Euklidische Geometrie auf das rotierenden System nicht länger anwendbar ist, weil der Quotient aus Umfang und Kreiszahl sich als vom Bezugssystem abhängig erweist.

Gr. zg

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Hi zg,

ja richtig. Aber Ehrenfest ist doch ein SRT-Problem (Längenkontraktion) :confused: - Oder sehe ich das falsch?

EDIT: Bzw. willst Du evtl. sagen, dass bei rotierenden Beschleunigungen eine andere Geometrie anzuwenden ist als bei geradlinigen? :rolleyes:

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Ja und Nein - denn wegen der Kreisrotation kann die Problematik mit der euklidischen Geometrie nicht befriedigend gelöst werden. Und unter dem Aspekt krummliniger, d.h. Gaußscher Koordinaten verwendet man besser die Riemannsche Geometrie. Damit aber wird auch ein Galileisches Bezugssystem hinfällig.

Gr. zg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Hi zg,
Heisst das konkret im Umkehrschluss, die rotierende "Scheibe" wölbt sich zu einer Halbkugel auf? :rolleyes:

Oder wie kommst Du ansonsten auf eine hier zugrundezulegende, elliptische Geometrie?

Das lese ich nämlich nicht aus den Äußerungen von AE.

Dass die Gravitation auf einer elliptischen Geometrie beruht - Keine Frage, das ist ja der zentrale, damals "neue" Aspekt der ART und wird auf den nachfolgenden Seiten ausführlich beschrieben.

Zur konkreten Geometrie SRT lese ich jedoch in dem Dokument vergleichsweise "wenig". Und wenn doch dann wie bereits erwähnt eher so etwas:
http://www.alberteinstein.info/galle..._pp284-339.pdf (PDF Seite 21 unten / Dokument Seite 303)

Und da steht für mich nun einmal zweifelsfrei "hyperbolisch" und nicht "elliptisch" ... :rolleyes:

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Sag' 'mal, Uli, bist Du auch noch da - oder bin ich Dir zu minderbemittelt? :rolleyes:

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

sorry, ich hab stress zur Zeit.

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Wie man's nimmt...

Für Ehrenfest's rotierende Scheibe (es könnte auch ein Zylinder sein) muss man das Konzept des starren Körpers aufgeben. Anstelle dessen tritt der elastische deformierbare Körper.

Kaluza (bekannt als „Erfinder der fünften Dimension“) verwies darauf, dass eine hyperbolische Fläche den Widerspruch beseitigen hülfe. Als Mathematiker brauchte er natürlich keine Rücksicht darauf zu nehmen, ob in der realen Welt überhaupt so etwas wie eine hyberbolische Geometrie existiert.

Na ja, für den Experimentalphysiker war das Ehrenfest-Paradoxon noch nie ein Problem; denn rotierende Scheiben zerspringen für gewöhnlich, bevor sie relativistische Umfangsgeschwindigkeiten erreichen.

Gr. zg

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Hi zg.

Sorry for off topic, aber wenn du das Thema gerade ansprichst:
Genau das ist das Problem eines Freundes von mir, der eine Versuchsanordnung mit sehr schnell rotierenden Scheiben ersonnen hat.
Ich wollte dich schon länger mal fragen, was es da technisch Machbares gibt.
Ich dachte da bspw. an Kohlefaser.
Es müßte halt etwas mit hoher Zugfestigkeit in Relation zur Masse sein.


Gruß Jogi

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Hallo zg,
Nö: Für Ehrenfest's rotierende Scheibe (es könnte auch ein Zylinder sein) muss man das Konzept des euklidischen Raums aufgeben. Anstelle dessen tritt der hyperbolische Raum. - Kaluza "der Ältere" ist mir auf Anhieb schon äußerst symphatisch. ;)

Frage zum Fundamentaltensor im Minkowskiraum: ---+ oder +++-
- Wo liegt denn da der Unterschied? :rolleyes:

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Es ist dies nur eine Frage der Konvention an, ob ich für den metrischen Tensor diese oder jene Signatur verwende.

Dabei handelt es sich um die Diagonalelemente, in der SRT meist {1, -1, -1, -1}:

http://upload.wikimedia.org/math/d/9...1177b88a1d.png

In der ART auch {-1, 1, 1, 1}:

http://upload.wikimedia.org/math/8/3...a4481c09dc.png

Die Signatur (Überschuss an positivem oder negativem Vorzeichen bei der Summenbildung der Diagonalelemente) ist dann entweder -2 oder +2.

Gr. zg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

In der englischsprachigen Wiki ist erheblich mehr Information zum Thema vorhanden:

http://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest_paradox

Auch Kaluza's "hyperbolic plane" kommt zum Zuge.

Wie ging es danach weiter?

Gut, ein einfaches Thema ist es nicht gerade. Sollen sich doch die Mathematiker die Köpfe heiss machen.

Gr. zg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Anisotrope Carbonfasern sowie KEVLAR® (Aramidfasern von Du Pont) als auch Verbundwerkstoffe sind in Betracht zu ziehen.

Es ist zudem immer eine Frage der Kosten.

Gr. zg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Hallo zg,

Raum und Zeit sind also immer "invers" ... Hmm :rolleyes:

Und es ist korrekt +--- / -+++ und nicht wie von mir geschrieben +++- / ---+ ... Sonst würden die Vorzeichen am Ende nicht stimmen (?) ...

Hat diese "Wahlmöglichkeit der Signatur" in irgendeiner Art und Weise hiermit zu tun? :rolleyes:
(Obwohl ich von diesem wiki-Artikel nicht viel verstanden habe)

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Mit dem Trägheitssatz von Sylvester? Ich glaube nicht.

Ich muss hier sowieso ersteinmal auf gewisse Literaturbezüge verweisen:

Bär, Elementare Differentialgeometrie (de Gruyter)

Klotzek, Euklidische und nichteuklidische Elementargeometrien (VHD)

Nur, damit wir uns richtig verstehen.

Im Vorbeitrag ging es ja um die Signatur der Raumzeit bzw. deren Metrik. Hat diese die Signatur 2, spricht man auch von einer Lorentz-Signatur.

Meist haben wir es in der Physik bekanntlich mit einer Zeit- und drei Raumkoordinaten zu tun:

ds² = c²(dt)² - (dr)²

Im Minkowski-Raum gilt für den (kontravarianten) Vierer-Ortsvektor:

http://upload.wikimedia.org/math/7/1...bc413e2bb7.png

In der älteren Literatur finden wir häufig folgende Notation in Minkowski-Koordinaten vor: {x, y, z, ict}. Mittels der imaginären Zeitkoordinate erreicht man eine formale Gleichstellung von Raum und Zeit. Man muss dabei aber aufpassen: Was sich im Minkowski-Raum bei einer Koordinatentransformation dreht, dreht sich nicht unbedingt auch im euklidischen Ortsraum. Das haben viele bis heute noch nicht richtig begriffen.

Zurück zum Kernthema:

Daraus folgt dann für den metrischen Tensor (= Minkowski-Tensor):

http://upload.wikimedia.org/math/d/9...1177b88a1d.png

Wegen der vier Weltdimensionen schreibt sich dieser als 4x4-Matrix. Das ist gut zu begreifen. Und weil es sich um einen symmetrischen Tensor handelt, reduzieren sich die 16 Tensorelemente auf deren zehn unabhängige Komponenten. Auf der Hauptdiagonalen finden sich {1, -1, -1, -1}. Somit ist die Signatur {-2}.

Die Signatur wird folglich durch die Eigenwerte des Fundamentaltensors bestimmt. In einem euklidischen Raum hätten wir nur positive Eigenwerte zu verzeichnen. Deshalb bezeichnet man den Minkowski-Raum auch als "Raum mit pseudoeuklidischer Signatur".

Sehr gut beschrieben sind diese Zusammenhänge m.E. bei:

Schmutzer, Grundlagen der theoretischen Physik (4 Bnd, Wiley-VCH)

Wenn es dein Geldbeutel erlaubt. :-)

Gr. zg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Es hängt einfach davon ab, wie du deine Koordinaten numerierst:
wenn die Zeit n=0 und der Raum n=1,2,3 ist , dann ist

-1,+1,+1,+1 oder - je nach Konvention +1,-1,-1,-1

okay.

Vorwiegend in älteren Notationen hat man oft
Zeit: n=4 und Raum n=1,2,3

dann wäre
-1,-1,-1,+1 oder +1,+1,+1,-1 okay.

Die Zeit-Koordinate braucht halt ein anderes Vorzeichen als die Raumkoordinaten; dann ergibt sich automatisch die Minkowskimetrik.

Eine noch andere Möglichkeit ist es, die Zeit auf die imaginäre Achse zu legen t=ict' oder so; dann sorgt die imaginäre Einheit für die Minkowski-Metrik und das Skalarprodukt selbst sieht formal wie im Euklidischen aus.

Gruß,
Uli

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Hi zg, Hi Uli,

Danke Euch erst einmal.

Zur Verbesserung/Absicherung meines Basisverständnisses:

Der metrische Tensor (= Fundamentaltensor, Metriktensor) in Einsteins Schreibweise:
gμν

Es ist ein Tensor zweiter Stufe (erkennbar an den Indizes)
- Index μ: Spalte der Matrix
- Index v: Zeile der Matrix

Es handelt sich um eine 4x4 Matrix -> Eigentlich 16 Einträge

Indizes stehen unten: Es handelt sich hierbei um einen kovarianten Tensor
kovariant: Basisvektoren/Achsen zweier Systeme stehen aufeinander senkrecht

Indizes stehen oben (bzw. würden oben stehen): kontravarianter Tensor
kontravariant: Basisvektoren/Achsen zweier Systeme sind zueinander parallel

Die zwei Systeme - Es handelt sich im Falle des Fundamentaltensors um die Raumzeit im Sinne einer geometrischen Mannigfaltigkeit sowie der dazu gehörende Tangentialraum (Frage: bezeichnet man den im Falle Kovarianz auch so?) - Der Tangentialraum kann sich außerhalb der Mannigfaltigkeit befinden / liegt in der Regel außerhalb.

Korrekt? :rolleyes:

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Bei einem Tensor unterscheidet sich die kovariante Form (Indizes tiefstehend) von der kontravarianten (Indizes hochstehend) dadurch, dass die Transformationsmatrizen invertiert sind.

Zum tieferen Verständnis betrachten wir auf der Mannigfaltigkeit den Tangentenvektor an einem Punkt P. Die Tangentenvektoren im Punkt P bilden die kontravariante Basis. Als Tangentialraum bezeichnet man sämtliche kontravarianten Vektoren an P. In der Regel liegt der Tangentialraum nicht mehr in der Mannigfaltigkeit selbst. Demgegenüber besteht die kovariante Basis aus darauf senkrecht stehenden Vektoren. Beide Basen sind an sich gleichwertig.

Bei einem Tensor 2. Stufe (A_ik) gibt der erste Index die Zeile und der zweite die Spalte der entsprechenden Komponente in einem m x m Matrixschema an. Lateinische Buchstaben laufen von 1 bis 3, griechische von 1 bis 4.

Gr. zg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

So ist es SCR.
http://www.quanten.de/forum/showpost...5&postcount=61
http://www.quanten.de/forum/showpost...7&postcount=63

Gruß EMI

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Zweifellos, SCR!

An sich benötigst du kein zusätzliches Buch zum Tensorkalkül (obwohl Belesenheit nicht schaden kann).

Doch eigentlich genügen bereits die folgenden Skript's von Petry:

http://home.vrweb.de/~si.pe/Einfuehr...chnung%20I.pdf

http://home.vrweb.de/~si.pe/Einfuehr...hnung%20II.pdf

http://home.vrweb.de/~si.pe/Einfuehr...nung%20III.pdf

Gr. zg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Der Thread gefällt mir: Ich habe mir auf Basis Eurer aktuellen Infos noch einmal ein paar Stellen der ART durchgelesen und verstehe auf Anhieb wieder etwas mehr.
Denke ich zumindest ;).

Wo ich aber grundsätzlich immer noch am Knobeln bin: Das "Zeit-Element".
Warum hat das Zeit-Element im metrischen Tensor ein entgegengesetztes Vorzeichen zu den Raum-Elementen? :rolleyes:

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Die Invarianzbeziehung für das Quadrat des Weltlinienelements:

ds² = dx1²+dx2²+dx3²+dx4² = dx'1²+dx'2²+dx'3²+dx'4² = inv.

stellt man mit:

dx4² = (i c dt)² = -c²dt² und dx'4² = -c²dt'²

in der Form (Lorentztrafo):

dx1²+dx2²+dx3²-c²dt² = dx'1²+dx'2²+dx'3²-c²dt'²

dar. Die beiden Seiten der Gleichung stellen Lichtkugeln mit den Radien ct bzw. ct' dar, deren Mittelpunkte im Koordinatenursprung liegen.
Wir können daher schreiben:

x1²+x2²+x3²=ct² und x'1²+x'2²+x'3²=ct'²

Die Überlegung dazu:
Im Moment wo die Ursprünge der Systeme S und S' mit der Relativgeschwindigkeit v zusammenfallen, wird ein Lichtsignal ausgesandt.
Beobachter in den Nullpunkten von S und S' stellen wegen der Konstanz von c fest, dass sich das Licht um beide Ursprünge auf einer Kugeloberfläche ausbreitet,
die für S und S' die obige Gleichungen erfüllt.

Die Metrik der Welt ist durch das invariante Linienelement gegeben.
In der ART wird das Linienelement verallgemeinert. Beim Übergang von S zu S' ist auch die kugelförmige Ausbreitung der Lichtwellen invariant.
Das bedeutet, dass die Lichtkugel durch die Lorentztrafo nicht in einen Lichtellipsoid verwandelt wird sondern erhalten bleibt.

Gruß EMI

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Weil die invariante Länge im Minkowskiraum
(ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2
ist und nicht
(ct)^2 + x^2 + y^2 + z^2

Folgt aus der Invarianz von c. So ist im besonderen der so definierte Minkowski-Abstand 2er beliebiger Weltpunkte eines Lichtstrahls immer gleich 0.

Gruß,
Uli

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Danke - Nachvollziehbar.

Und im wiki steht auch noch eine Begründung dazu:
http://de.wikipedia.org/wiki/Raumzei...nkowski-Metrik
http://de.wikipedia.org/wiki/D%E2%80%99Alembertoperator

@zg: Die Links sehen sehr gut aus - Die pfeif' ich mir erst einmal rein :D.

Und nebenbei:
Oder auch
4Πx1²+4Πx2²+4Πx3²=4Πct² und 4Πx'1²+4Πx'2²+4Πx'3²=4Πct'² - Aber das soll jetzt nicht weiter interessieren. :)

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Exakt.

Bei einem Übergang von einem Inertialsystem K in ein zweites K' bleibt das vierdimensionale Wegelement ds invariant.

Um die Zeit als gleichwertige Weltdimension zu erhalten, wird t mit c multipliziert (T*L/T = Dimension einer Länge).

Für ein Wegelement ds gilt im euklidischen Raum:

ds = √(x² + y² + z²)

Legt nun das Licht (c = const.) ein Wegelement ds in der Zeit dt zurück, gilt:

r² - (ct)² = 0

bzw.

- c²t² + dx² + dy² + dz² = 0

Mit dieser Notation werden die Koordinaten x, y, z positiv und ct negativ gewertet. Es liegt eine pseudo-euklidische Geometrie vor.

Dasselbe Ergebnis erzielt man durch Minkowskis Kunstgriff einer imaginären Zeitkoordinate:

(ict)² = (√-1)² * (ct)² = -1(ct)² = -c²t²

In einer gekrümmten Raumzeit (Riemannsche Mannigfaltigkeit) gilt hingegen:

ds² = g_ik dx^i dx^j

g_ik ist der inzwischen bekannte metrische Tensor mit den Diagonalelementen {-1, 1, 1, 1}.

Damit nun müsste auch SCR zufrieden sein.

Gr. zg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Wenn ja, wäre das diesmal ja wirklich schnell gegangen.:D
Er pfeift sich ja z.Zt. deinen Link rein.
Hilft hoffentlich, wenn's man schon nicht im Kopf hat.:D

Gruß EMI

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

:D

Das ist erst einmal "meine" aktuelle Zusammenfassung des Fundamentatensors:

http://img683.imageshack.us/img683/3499/metrtensor.jpg

Er stellt in dieser Form diag(1;1;1;-1) eine qualitative Berücksichtigung der
- Relativität der Gleichzeitigkeit wegen max = c (das negative Vorzeichen beim Zeitelement resultiert daraus, dass im jeweils anderen Koordinatensystem das korrespondierende Ereignis xyzt bzw. x'y'z't' zeitlich früher stattgefunden haben muß wenn ich es jetzt im "lokalen" Koordinatensystem "sehe")
- Ansonsten ist das Ganze grundsolide ;) räumlich euklidisch ("Umrechnungs-Faktoren" 1 auf der Diagonalen, 0 bei den "nicht-identischen" Dimensionen -> keine dimensionsübergreifende Beziehungen).

Der Rest resultiert aus der Wegelement-Formel. Gibt's zu der eigentlich auch eine Herleitung? :rolleyes:
(EDIT: Ich vermute Pythagoras)

Die Vorzeichen müssten sich eigentlich unter bestimmten Umständen "rumdrehen" / "wechseln" - Hmm. 'Mal sehen. :rolleyes: Ach ja - Dann bei der ART.

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Mensch!

Habe dir den Weg zum Wegelement in meinem Vorbeitrag ausführlich gezeigt.

Lesen und verstehen musst halt schon noch selbst.

Gr. zg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Hi zg,
meine Frage bezog sich auf die Ausgangsgleichung:
Die basiert auf Pythagoras, richtig? :rolleyes:
Der Rest war von Dir dann ohne Zweifel supi-krass-verständlich erklärt http://u-k-s.net/images/smilies/engel1_orange.gif.

Die SRT basiert rein auf dem Fundamentaltensor - Korrekt? :rolleyes:

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum
 

Hi EMI,
Wenn die Antwort auf meine letzte Frage "Ja" lautet werde ich Dich auch hier sicher wieder nicht enttäuschen. :D