Quanten.de Diskussionsforum - Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

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AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Dann hatte ich deinen Satz

"Denn er passt sich schließlich z.B. den Gezeitenkräften der Gravitation nicht kräftefrei an (er wird beobachtbar zerrissen)."

offenbar falsch verstanden und nehme meine unnötige "Belehrung" zurück.
Uli

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Zitat:

Zitat von Uli (Beitrag 50721)

und nehme meine unnötige "Belehrung" zurück.

So hatte ich wiederum Deinen Beitrag gar nicht verstanden :)

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Jetzt kommen wir endlich ;) zum ersten Tensor: Der metrische bzw. Fundamentaltensor

Zitat:

Zitat von S. 777 Mitte - 779 Unten

§ 4. Beziehung der vier Koordinaten zu räumlichen und zeitlichen Meßergebnissen.
Analytischer Ausdruck für das Gravitationsfeld.

Es kommt mir in dieser Abhandlung nicht darauf an, die allgemeine Relativitätstheorie als ein möglichst einfaches logisches System mit einem Minimum von Axiomen darzustellen. Sondern es ist mein Hauptziel, diese Theorie so zu entwickeln, daß der Leser die psychologische Natürlichkeit des eingeschlagenen Weges empfindet und daß die zugrunde gelegten Voraussetzungen durch die Erfahrung möglichst gesichert erscheinen. In diesem Sinne sei nun die Voraussetzung eingeführt:
Für unendlich kleine vierdimensionale Gebiete ist die Relativitätstheorie im engeren Sinne bei passender Koordinatenwahl zutreffend.

Der Beschleunigungszustand des unendlich kleinen ("örtlichen") Koordinatensystems ist hierbei so zu wählen, daß ein Gravitationsfeld nicht auftritt; dies ist für ein unendlich kleines Gebiet möglich. X1,X2,X3 seien die räumlichen Koordinaten; X4 die zugehörige, in geeignetem Maßstabe gemessene 1) Zeitkoordinate. Diese Koordinaten haben, wenn ein starres Stäbchen als Einheitsmaßstab gegeben gedacht wird, bei gegebener Orientierung des Koordinatensystems eine unmittelbare physikalische Bedeutung im Sinne der speziellen Relativitätstheorie.

Der Ausdruck:

(1) ds² = dX1² + dX2² + dX3² - dX4²

hat dann nach der speziellen Relativitätstheorie einen von der Orientierung des lokalen Koordinatensystems unabhängigen, durch Raum-Zeitmessung ermittelbaren Wert. Wir nennen ds die Größe des zu den unendlich benachbarten Punkten des vierdimensionalen Raumes gehörigen Linienelementes. Ist das zu dem Element (dX1, .... dX4) gehörige ds² positiv, so nennen wir mit Minkowski ersteres zeitartig, im entgegengesetzten Falle raumartig.
Zn dem betrachteten "Linienelement" bzw. zu den beiden unendlich benachbarten Punktereignissen gehören auch bestimmte Differentiale dx1 .... dx4 der vierdimensionalen Koordinaten des gewählten Bezugssystems. Ist dieses sowie ein "lokales" System obiger Art für die betrachtete Stelle gegeben, so werden sich hier die dXv durch bestimmte lineare homogene Ausdrücke der dxσ darstellen lassen:

(2) http://img20.imageshack.us/img20/7827/art2c.jpg

Setzt man diese Ausdrücke in (1) ein, so erhält man

(3) http://img511.imageshack.us/img511/7909/art3.jpg

wobei die gστ Funktionen der xσ sein werden, die nicht mehr von der Orientierung und dem Bewegungszustand des "lokalen" Koordinatensystems abhängen können; denn ds² ist eine durch Maßstab-Uhrenmessung ermittelbare, zu den betrachteten, zeiträumlich unendlich benachbarten Punktereignissen gehörige, unabhängig von jeder besonderen Koordinatenwahl definierte Größe. Die gστ sind hierbei so zu wählen, daß gστ = gτσ ist; die Summation ist über alle Werte von σ und τ zu erstrecken, so daß die Summe aus 4 x 4 Summanden besteht, von denen 12 paarweise gleich sind.

Der Fall der gewöhnlichen Relativitätstheorie geht aus dem hier Betrachteten hervor, falls es, vermöge des besonderen Verhaltens der gστ in einem endlichen Gebiete, möglich ist, in diesem das Bezugssystem so zu wählen, daB die gστ die konstanten Werte

(4) http://img215.imageshack.us/img215/9099/art4.jpg

annehmen. Wir werden später sehen, daß die Wahl solcher Koordinaten für endliche Gebiete im allgemeinen nicht möglich ist.

Aus den Betrachtungen der §§ 2 und 3 geht hervor, daß die Größen gστ vom physikalischen Standpunkte aus als diejenigen Größen anzusehen sind, welche das Gravitationsfeld in bezug auf das gewählte Bezugssystem beschreiben. Nehmen wir nämlich zunächst an, es sei für ein gewisses betrachtetes vierdimensionales Gebiet bei geeigneter Wahl der Koordinaten die spezielle Relativitätstheorie gültig. Die gστ haben dann die in (4) angegebenen Werte.

Ein freier materieller Punkt bewegt sich dann bezüglich dieses Systems geradlinig gleichförmig. Führt man nun durch eine beliebige Substitution
neue Raum-Zeitkoordinaten x1 .... X4 ein, so werden in diesem neuen System die gστ nicht mehr Konstante, sondern
Raum-Zeitfunktionen sein. Gleichzeitig wird sich die Bewegung des freien Messenpunktes in den neuen Koordinaten als eine krummlinige, nicht gleichförmige, darstellen, wobei dies Bewegungsgesetz unabhängig sein wird von der Natur des bewegten Massenpunktes. Wir werden also diese Bewegung als eine solche unter dem Einfluß eines Gravitationsfeldes deuten. Wir sehen das Auftreten eines Gravitationsfeldes geknüpft an eine raumzeitliche Veränderlichkeit der gστ.

Auch in dem allgemeinen Falle, daß wir nicht in einem endlichen Gebiete bei passender Koordinatenwahl die Gültigkeit der speziellen Relativitätstheorie herbeiführen können, werden wir an der Auffassung festzuhalten haben, daß die gστ das Gravitationsfeld beschreiben.

Die Gravitation spielt also gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie eine Ausnahmerolle gegenüber den übrigen, insbesondere den elektromagnetischen Kräften, indem die das Gravitationsfeld darstellenden 10 Funktionen gστ zugleich die metrischen Eigenschaften des vierdimensionalen Meßraumes
bestimmen.

---

1) Die Zeiteinheit ist so zu wählen, daB die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit - in dem "lokalen" Koordinstensystem gemessen - gleich 1 wird.

Als erstes eine kleine Bitte: Habe ich irgendwo evtl. versehentlich einen (Ab-)Schreibfehler reingehauen? :rolleyes:

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Dann darauf aufbauend an dieser Stelle noch einmal der Verweis auf EMIs formidabler Herleitung von (3) auf Basis der kovarianten Darstellung des Metriktensors:
http://img339.imageshack.us/img339/9...ensorkovar.jpg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Und um einmal zu sehen, ob ich wider Erwarten auch schon ein bißchen was gelernt habe ;) - Die kontravariante Darstellung des Metriktensors stellt sich wie folgt dar:
http://img101.imageshack.us/img101/2...rkontravar.jpg
Diese Matrix ist invers zur obigen Matrix des kovarianten Metriktensors, das Produkt beider Matrizen muß den Einheitsvektor
http://img695.imageshack.us/img695/3...eitstensor.jpg
ergeben. Dies ist nur dann erfüllt, wenn ko- und kontravarianter Metriktensor identisch sind (@zg: Prüfung durch / Herleitung über Gaußsches Eliminationsverfahren möglich ;)).

Soweit richtig? :rolleyes: (Vermutlich wohl eher voll daneben! :D)

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 50729)

Ja SCR,

das ist der Fundamentaltensor der ART.

Wegen gik=gki bleiben von den 16 Elementen 10 Tensorgrößen übrig, die das grav.Potential darstellen.

In der SRT nehmen die 16 Größen konstante Werte an:

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

In der grav.Theorie Newtons ist das Potential φ dagegen ein Skalar.
In der ART erscheinen die 10 Koeffizienten gik die das grav.Potential bestimmen.
Durch diese 10 unabhängige Komponenten des metrischen Tensors besitzt die ART eine allgemeinere Struktur als die Newtonsche Theorie.

Einstein ging es auch bei der ART um eine Verallgemeinerung der Poissonschen Differenzialgleichung für das Newtonsche Potential φ.
∆φ = -4Π G ρ , mit Laplace-Operator ∆, grav.Konstante(Newton) G und Massedichte ρ

Die Potentiale gik hängen von der Verteilung der Massen ab, die ihrerseits die Krümmung bestimmen.
Die Bestimmung der Geometrie bedeutet die Bestimmung des grav.Feldes und umgekehrt.

Anstelle der Massedichte ρ in der Possonschen-Gleichung tritt in der ART ein Tensor Tik auf, der die Energie-, Impuls-, Massenstromdichte, Drücke und Spannungen mathematisch zusammenfasst:

Rik - 1/2 gik R + χ Tik = 0 , mit dem Riemannschen Krümmungstensor Rik und der grav.Konstanten(Einstein) χ

Man kann zeigen, dass dieses Gleichungssystem im Grenzfall das einfache Newtonsche Gesetz enthält.

So, nun Du weiter SCR.

Gruß EMI

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 50731)

das Produkt beider Matrizen muß den Einheitsvektor ergeben.

Das Produkt zweier Matrizen ergibt keinen Vektor, sondern eine Matrix:

a_ij • b_jk = c_ik

Siehe dazu das Falk'sche Schema.

Handelt es sich um zwei Tensoren, so ergibt das Produkt einen Tensor höherer Stufe.

Zur Erinnerung:

Bei der Multiplikation zweier Tensoren n-ter und m-ter Stufe entsteht ein Tensor (n + m)-ter Stufe.

Gr. zg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 50731)

Diese Matrix ist invers zur obigen Matrix des kovarianten Metriktensors, das Produkt beider Matrizen muß den Einheitsvektor

Müsste natürlich "Einheitsmatrix" heißen: eine Matrix mal ihrer Inversen sollte die identische Abbildung (die "1" in Matrixschreibweise) ergeben; das ist genau die Matrix, die du zum Schluss hingeschrieben hast.

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Zitat:

Zitat von Uli (Beitrag 50747)

Haargenau richtig!

A · A^-1 = E

Charakteristikum der Einheitsmatrix (Idendity matrix) ist, dass die Hauptdiagonale aus Einsen besteht. Die übrigen Elemente sind Null.

Ferner: Die Multiplikation einer Einheitsmatrix mit einer Matrix A ergibt wieder die Matrix A.

Für die inverse Matrix schlage man nach unter Gauß-Jordan-Algorithmus.

Für einfache Matrizen (2,2; 3,3) lässt sich die Inverse bequem über die Determinante bestimmen. Dazu benutze man die Regel von Sarrus.

Soviel zur Präzisierung.

at SCR
Du siehst, wir nehmen dir einen Teil deiner Arbeit ab. Das tun wir gerne.

Gr. zg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Die von Einstein erhobene Forderung, dass

g_ik = g_ki

wird erfüllt, dadurch, dass der metrische Tensor ein symmetrischer Tensor 2. Stufe sein müsse. Aus den zehn unabhängigen Komponenten des g_ik resultieren die Feldgleichungen der Gravitation.

Historische Notiz:

Es wird darauf hingewiesen, dass Einstein in späteren Jahren auch mit einem antisymmetrischen Fundamentaltensor operierte, um so mehr Raum für das elektromagnetische Feld zu erlangen. Weil er sich aber auf nur vier Weltdimensionen beschränkte, gelang ihm sein Vorhaben nur teilweise. Das Endziel einer Vereinheitlichten Feldtheorie blieb ihm versagt.

Gr. zg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Zitat:

Zitat von zeitgenosse (Beitrag 50752)

Es wird darauf hingewiesen, dass Einstein in späteren Jahren auch mit einem antisymmetrischen Fundamentaltensor operierte, um so mehr Raum für das elektromagnetische Feld zu erlangen.

Wird das grav.Potential durch den metrischen Fundamentalsensor dargestellt und wird die el.mag.Feldstärke durch einen antisymmetrischen Tensor gegeben, so folgt aus den Invarianzeigenschaften der ART, dass zu jedem möglichen Feld, das einem Teilchen mit der el.Ladung +Q entspricht,
auch ein Feld existiert, das ein Teilchen mit der el.Ladung -Q beschreibt welches aber die selbe Ruhemasse wie das erste Teilchen besitzt!
Das ist die erstmalige theoretische Berechnung/Vorhersage von Antimaterie, die direkt aus der ART folgt!
Ausführlich nachzulesen in Einsteins Aufsatz "Elektron und Relativitätstheorie" erschienen 1925!, 3 Jahre vor Dirac seiner Deduktion von Antimaterie auf der Basis der SRT.

Einstein zeigte, dass aus der Invarianz der diagonalen Metrik gegenüber Raumspieglung und Zeitumkehr auch die Invarianz der Masse gegenüber der Ladungskonjugation folgt.
Die Teilchenmasse m muss daher für beide el.Ladungsvorzeichen dieselbe sein.
m --> m für +Q --> -Q

Da aber (1925) nur das Proton mit pos.el.Ladung und das Elektron mit neg.el.Ladung (die sich erheblich in der Masse unterscheiden) bekannt war,
empfand Einstein seine aufgefundene Symmetrie als unerwünscht. Er zweifelte gar an seiner ART und stellte seine Arbeiten zur Einheitlichen Feldtheorie einige Jahre ein.

Dirac dagegen, erklärte einfach die Protonen zu den Antiteilchen der Elektronen und führte dies in seinem Buch "Die Prinzipien der Quantenmechanik (1930)" expliziet aus.
Diracs Überzeugung von der Richtigkeit der SRT und QM war so stark, dass er nicht bereit war den Widerspruch seiner Ergebnisse zur physikalischen Realität anzuerkennen.
Diracs Annahme des Proton als Antielektron war unmöglich, weil die von Dirac verwendeten Symmetriegruppen verlangten, das Teilchen und Antiteilchen die selbe Ruhemasse besitzen und das jede Massedifferenz eine Brechung der SRT-Symmetrie der Raum-Zeit-Welt bedeuten würde.

Dirac hatte aber Glück, da 1932 das Positron, das echte Antiteilchen des Elektron entdeckt wurde.
Dies war das von EINSTEIN! (und eigentlich von Dirac auch) tatsächlich geforderte Elementarteilchen mit Elektronenmasse und pos.el.Ladung.
Damit war nun auch für das Proton ein Antiproton mit der Masse des Protons vorauszusagen, was später auch entdeckt wurde.
Somit wurde klar, das für JEDES Teilchen ein Antiteilchen existiert.

Frohe Ostern EMI

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Hallo zusammen,
schönen Dank erst einmal für Eurer Feedback:

Zitat:

Zitat von Uli (Beitrag 50747)

Ja, mein Fehler.

Zitat:

Zitat von zeitgenosse (Beitrag 50746)

Zur Erinnerung: Bei der Multiplikation zweier Tensoren n-ter und m-ter Stufe entsteht ein Tensor (n + m)-ter Stufe.

Der komplette blaue Würfel wäre der Tensor (n + m)-ter Stufe des Tensorprodukts, die dunkelblau unterlegte Diagonalfläche des Kubus die Einheitsmatrix:
http://img339.imageshack.us/img339/9522/tensprod.jpg
(Die beiden hellblauen "Dächer" / "3D-Dreiecke" über bzw. unter der Einheitsmatrix enthalten "im SRT-Fall" nur Nullen).

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Um ein wenig ein Gefühl zu bekommen einmal ein paar "ART-konforme" metrische Tensoren:

Metr. Tensor in der Schwarzschild-Metrik:
http://www.wissenschaft-online.de/as...warzschild.jpg
Zugehöriges Linienelement (mit G=c=1):
http://www.wissenschaft-online.de/as...lineelschw.jpg

Metr. Tensor in der Kerr-Metrik:
http://www.wissenschaft-online.de/as...ed/KerrMet.jpg
zugehöriges Linienelement (Boyer-Lindquist):
http://www.wissenschaft-online.de/as...lineelkerr.jpg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Metr. Tensor in der Robertson-Walker-Metrik:

http://www.utsc.utoronto.ca/~harper/...aymath6234.gif

Zugehöriges Linienelement:
http://www.utsc.utoronto.ca/~harper/...quation620.gif

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Zitat:

Zitat von EMI (Beitrag 50755)

Das ist die erstmalige theoretische Berechnung/Vorhersage von Antimaterie, die direkt aus der ART folgt!

Interessante Infos/Erläuterungen.

Zitat:

Zitat von zeitgenosse (Beitrag 50752)

Es wird darauf hingewiesen, dass Einstein in späteren Jahren auch mit einem antisymmetrischen Fundamentaltensor operierte, um so mehr Raum für das elektromagnetische Feld zu erlangen. Weil er sich aber auf nur vier Weltdimensionen beschränkte, gelang ihm sein Vorhaben nur teilweise.

Du siehst den Grund in seiner Beschränkung auf vier Dimensionen begründet? :rolleyes: (In meinen Augen gar nicht einmal so abwägig - Aber das heißt ja nix :D.)
Welche Form müsste ein "umfassender" Metrik-Tensor denn Deiner Meinung nach haben?

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 50756)

Der komplette blaue Würfel wäre der Tensor (n + m)-ter Stufe des Tensorprodukts.

Man muss dabei etwas aufpassen!

In der Tensorrechnung sind nämlich drei unterschiedliche Produkte denkbar:

1) Das skalare Produkt (U • V) zweier Tensoren m-ter und n-ter Stufe ist ein Tensor (m + n - 2)-ter Stufe.

2) Das vektorielle Produkt (U x V) zweier Tensoren m-ter und n-ter Stufe ist eine Tensor (m + n - 1)-ter Stufe.

3) Das tensorielle Produkt (U ¤ V) zweier Tensoren m-ter und n-ter Stufe ist ein Tensor (m + n)-ter Stufe; dazu sind alle Komponenten des ersten mit allen Komponenten des zweiten Tensors zu multiplizieren.

Fazit:

Der Anwender muss präzise wissen, welches Produkt er jeweils im Auge hat.

Gr. zg

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Hi zg,

Zitat:

Zitat von zeitgenosse (Beitrag 50760)

Der Anwender muss präzise wissen, welches Produkt er jeweils im Auge hat.

Guter Hinweis! ("Gelesen" heißt eben noch lange nicht "verinnerlicht" :( ;))

Am interessantesten finde ich im Moment den metrischen Tensor der Kerr-Lösung - wegen der Werte g14 (bzw. gΦt) und g41 (bzw. gtΦ);
die Boyer-Lindquist-Koordinaten weisen allerdings Koordinaten-Singularitäten auf (z.B. bei g22 (bzw. grr) des oben dargestellten Metrik-Tensors: Δ -> 0)
Die Kerr-Schild-Metrik umgeht diese Problematik:
http://www.wissenschaft-online.de/as...kerrschild.jpg
Bei dieser Metrik ist aber im Vergleich zu Boyer-Lindquist die Zeitabhängigkeit jetzt weg. Oder ist die lediglich in den anderen Nebendiagonalen-Elementen "versteckt"? :rolleyes:
Das muß ich mich einmal etwas näher ansehen (insbesondere g12, g21, g13 und g31) ... http://forum.swishboard.de/images/smilies/lupe.gif

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Zitat:

Zitat von SCR (Beitrag 50627)

Zwei frei fallende Uhren ruhen in gewissem Abstand zueinander - Ihre Geodäten in der Raumzeit beschreiben zwei Hyperbeln, die sich zusehens voneinander entfernen. Siehst Du das auch so? :rolleyes:

Die frei fallenden Uhren A und B ruhen (zunächst) zueinander.
Durch das Raumwachstum bewegen sie sich (zunächst unmerklich) stetig beschleunigt voneinander weg.
Auf Grund der relativen Bewegung zueinander wird ein dritter Beobachter (früher oder später) eine ZD zwischen beiden unterstellen:
a) Wurden die Uhren überhaupt beschleunigt?
b) Welche Uhr geht langsamer: A oder B?
c) Woher stammt die E(kin)?
...
Sind aber nur so ein paar Fragen "nebenbei" ... ;)

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

Nächster Abschnitt der ART:

Zitat:

Zitat von S. 779 Unten - 781 Oben

B. Mathematische Hilfsmittel für die Aufstellung allgemein kovarianter Gleichungen.

Nachdem wir im vorigen gesehen haben, daß das allgemeine Relativitätspostulat zu der Forderung führt, daß die Gleichungssysteme der Physik beliebigen Substitutionen der Koordinaten x1 .... z4 gegenüber kovariant sein müssen, haben wir zu überlegen, wie derartige allgemein kovariante Gleichungen gewonnen werden können. Dieser rein mathematischen Aufgabe wenden wir uns jetzt zu; es wird sich dabei zeigen, daS bei deren Lösung die in Gleichung (3) angegebene Invariante ds eine fundamentale Rolle spielt, welche wir in Anlehnung an die Gausssche Flächentheorie als "Linienelement" bezeichnet haben.

Der Grundgedanke dieser allgemeinen Kovariantentheorie ist folgender. Es seien gewisse Dinge ("Tensoren") mit Bezug auf jedes Koordinatensystem definiert durch eine Anzahl Raumfunktionen, welche die "Komponenten" des Tensors genannt werden. Es gibt dann gewisse Regeln, nach welchen diese Komponenten für ein neues Koordinatensystem berechnet werden, wenn sie für das ursprüngliche System bekannt sind, und wenn die beide Systeme verknüpfende Transformation bekannt ist. Die nachher als Tensoren bezeichneten Dinge sind ferner dadurch gekennzeichnet, daB die Transformationsgleichungen für ihre Komponenten linear und homogen sind. Demnach verschwinden samtliche Komponenten im neuen System, wenn sie im ursprünglichen System sämtlich verschwinden. Wird also ein Naturgesetz durch das Nullsetzen aller Komponenten eines Tensors formuliert, so ist es allgemein kovariant; indem wir die Bildungsgesetze der Tensoren untersuchen, erlangen wir die Mittel zur Aufstellung allgemein kovarianter Gesetze.

§ 5. Kontravarianter und kovarianter Vierervektor.

Kontravarianter Vierervektor.

Das Linienelement ist definiert durch die vier "Komponenten" dxv, deren Transformationsgesetz durch die Gleichung

(5) http://img638.imageshack.us/img638/9008/art5r.jpg

ausgedrückt wird. Die dxσ' drücken sich linear und homogen durch die dxv aus; wir können die Koordinatendifferentiale dxv daher als die Komponenten eines "Tensors" ansehen, den wir speziell als kontravarianten Vierervektor bezeichnen. Jedes Ding, was bezüglich des Koordinatensystems durch vier Größen http://img138.imageshack.us/img138/7177/ahochv.jpg definiert ist, die sich nach demselben Gesetz

(5a) http://img24.imageshack.us/img24/3981/art5a.jpg

transformieren, bezeichnen wir ebenfalls als kontravarianten Vierervektor. Aus (5a) folgt sogleich, daß die Summen (http://img146.imageshack.us/img146/9...sminusbhoc.jpg) ebenfalls Komponenten eines Vierervektors sind, wenn http://img541.imageshack.us/img541/592/ahochsigma.jpg und http://img693.imageshack.us/img693/4623/bhochsigma.jpg es sind. Entsprechendes gilt für alle später als "Tensoren" einzuführenden Systeme (Regel von der Addition und Subtraktion der Tensoren).

Dazu hätte ich dann schon so ein paar Fragen ...

AW: Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum