Berechnung von Raumzeitkrümmung??
Hallo,
ich wollte fragen, wie ich mit der ART und Einsteins Feldgleichung in der Lage bin, zu berechnen, wie stark beispielsweise ein Stern die Raumzeit krümmt? Möglich müsste es sein. Und noch meine andere Frage, was ein Tensor ganz simpel überhaupt ist. Wikipedia schreibt das ein wenig zu kompliziert. Gruß |
Die Berechnung ist aufwändig, am im Prinzip einfach.
Man benutzt die Metrik (= die Lösung der Einstein-Gleichungen) um daraus den Krümmungstensor zu berechnen. Da es sich um die Krümung der vierdimensionalen Raumzeit handelt, gibt es nicht "die" Krümmung; dieser Tensor fasst vielmehr deren Komponenten zusammen. Nun kann man ein paar einfachere geometrische Objekte ableiten, die evtl. besser vorstellbar sind, allerdings nicht mehr die vollständige Information tragen, nämlich den Ricci-Tensor sowie diverse Krümmungsskalare (nach Ricci, Kretschmann). Im Falle der Schwarzschildmetrik im Außenraum eines Sterns oder eines schwarzen Lochs liegt eine Vakuumlösung (verschwindende Energie-Impuls-Druck-Dichte) vor. Für eine Vakuumlösung sind Ricci-Tensor und Ricci-Skalar exakt Null. Der Kretschmann-Skalar weist jedoch auf eine nicht-verschwindende Krümmung hin; sein Wert ist ~ 1/r^6, d.h. er fällt mit wachsendem Abstand vom Zentrum sehr schnell ab. Im Falle einer Vakuumlösung entspricht der Kretschmann-Skalar direkt der sogenannten Weyl-Krümmung. Über eine anschauliche Interpretation muss ich mir noch Gedanken machen. |
AW: Berechnung von Raumzeitkrümmung??
Eine gängige Veranschaulichung bietet die "Staubkugel", wie hier beschrieben. Gleichung (2) zeigt die Rate V../V mit der das Volumen der Kugel unter dem Einfluß der Raumzeitkrümmung expandiert, bzw. schrumpft. Dabei ist V../V proportional zu Energiedichte + Druck, im isotropen Fall der FRW Raumzeit zu (rho + 3P). Ich halte diese einfache Darstellung (auf die 'Ich' mehrfach hingewiesen hat) der Einstein'schen Feldgleichungen für sehr lehrreich.
Wenn die Raumzeit von einer zentralen Masse gekrümmt wird (Schwarzschild), verformt sich die Kugel zu einem Ellipsoid, wobei das Volumen erhalten bleibt. |
AW: Berechnung von Raumzeitkrümmung??
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Aber was bedeutet Weyl-Krümmung an einem Ort ohne Betrachtung einer Bewegung in der Zeit? |
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AW: Berechnung von Raumzeitkrümmung??
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Alles was ich sagen wollte ist, dass ich eine Veranschaulichung suche, die ohne die zeitliche Betrachtung auskommt. |
AW: Berechnung von Raumzeitkrümmung??
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Das Lösen der Feldgleichungen ist deutlich schwieriger. |
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Für mich ist die einfachste Veranschaulichung immer noch der zeitliche Verlauf des Abstands benachbarter Geodäten. Man malt die beiden Linien, fertig. Das funktioniert in der Schwarzschild-, wie auch in der FRW-Raumzeit. Für eine etwas umfassendere Betrachtung würde ich allerdings die Kugel (s. der Artikel von Baez) bevorzugen. |
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Man beginnt mit einer Zusammenhangsform auf einer Mannigfaltigkeit sowie dem Paralleltransport eines Vektors entlang einer (beliebigen) geschlossenen Kurve. https://en.wikipedia.org/wiki/Parall..._Transport.svg Dass die Parallelerschiebung entlang ABNA am Punkt A den Winkel alpha generiert, ist ein Ausdruck der nicht-trivialen Geometrie. Diese ist in der Zusammenhangsform ω kodiert (die fundamentaler ist als die Krümmung). Aus der 1-Form ω folgt die 2-Form Ω = Dω = dω + ω ∧ ω Diese 2-Form Ω entspricht nun im wesentlichen dem Riemannschen Krümmungstensor R. Man kann R auch direkt mittels D darstellen. (leider ist das nicht besonders anschaulich) |
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ScienceUp - Dr. Günter Sturm