Frage zum Formalismus der QM
 

Hallo,

ich hoffe mal ich Spam das Forum nicht voll mit meinen Wissenslücken! :D

Nun gut, so weit ich weiß ist es ja so: Der Zustand eines Teilchens mit einem bestimmten Spinwert in einer bestimmten Raumrichtung ist zugleich nichts anderes als die Superpostion zweier gegensätzlicher Spinwerte in abweichender Raumrichtung. (Spin Up x ~ Spin Up/Down y oder Spin Up z ~ Spin Up/Down x)
Woanders hat das mir jemand mal so beschrieben:
Das ganze ist AFAIK abhängig von der Basis (Orthonormalbasis).

Gilt das nun eigentlich so für alle Eigenschaften die ein QM-System haben kann? Wie wäre das z.B. beim Ort (x)?

AW: Frage zum Formalismus der QM
 

Das gilt auch für den Ort. Allerdings bilden die Eigenwerte zum Ort - im Gegensatz zum Spin - keinen endlichen und abzählbaren Satz von Eigenwerten und Funktionen sondern ein kontinuierliches Spektrum.

Die Eigenfunktionen zum Ort (die "Orthonormalbasis") sind deshalb kein abzählbarer Satz von Basiszuständen sondern ein kontinuierliches Spektrum. In der Ortsdarstellung sind das die Deltafunktionen von Dirac. In der Ortsdarstellung (Koordinate x) wäre die Eigenwertgleichung einer Orts-Eigenfunktion Psi(x) zum Eigenwert x1 also

x*Psi(x) = x1*Psi(x)

x ist dabei eine Variable und x1 der feste Eigenwert. Die Funktion Psi(x) muss also offenbar überall verschwinden, aber bei x=x1 einen ganz scharfen Peak haben: eine Delta-"Funktion" delta(x-x1).

Die allgemeine Lösung wäre dann nicht eine Summe über die gewichteten Basiszustände sondern ein gewichtetes Integral über diese Delta-"Funktionen" (wegen kontinuierlichem Spektrum) - die Anführungszeichen weil die Delta-"Funktion" streng genommen keine Funktion sondern ein Funktional ist.

AW: Frage zum Formalismus der QM
 

Ist das nur beim Ort so?

AW: Frage zum Formalismus der QM
 

Nein, für Impuls liegt ebenfalls ein kontinuierliches Spektrum vor.

Bei Energien mischt es sich: für gebundene Zustände liegt ein diskretes Spektrum vor (z.B. Atom-Orbitale); ist die Energie des Quants aber oberhalb der Potentialschwelle, so ist das Energiespektrum kontinuierlich. Man sieht das recht anschaulich beim Energiespektrum des Wasserstoffatoms, wie die Niveaus immer enger zusammenrücken, wenn man sich "von unten" der Ionisationsenergie nähert:
http://qudev.phys.ethz.ch/content/sc...sikIV1589x.png

Die Eigenwerte von Drehimpulsen sind immer diskret.

AW: Frage zum Formalismus der QM
 

https://phys.org/news/2016-06-physic...um-limits.html

Was in dem Artikel steht müsste doch auch für ein einzelnes Silber-Atom z.B. bei Stern-Gerlach gelten.
Ich versuch das mal mit meinem Halbwissen anzuschneiden!

Wenn ich ein Silberatom habe und es hat irgendeine Superpostion und dann kommt der 1. Magnet und es findet eine Messung statt, dann werden doch die entsprechenden Vektoren im Hilbertraum gedreht. Ich messe Up oder Down z.b. mit 50/50. Dauert dieser Vorgang Zeit, genau diese Drehung der Vektoren?
Und wie wäre das dann beim Zeitentwicklungsoperator? (Der ja auch so eine "Drehung" bewirkt.)

Vielleicht kann da jemand genau darauf eingehen, welcher Vorgang bei so einem Ablauf, ein Teilchen in Superpostion wird gemessen, denn genau Zeit braucht. Bzw. welcher Teil keine Zeit braucht.
Ich dachte immer so dunkel, wenn ich irgendwelche Vektoren im Hilbertraum durch einen Operator verändere, dass dies dann keine Zeit braucht. Weil ja jegliche (unitäre) Zeit(entwicklung) selbst nur durch den Zeitentwicklungsoperator "vorgegeben" ist.

So ein Wechsel von einem Zustand auf einen anderen ist doch ein Operator der auf Vektoren im H-Raum angewendet wird?

THX schonmal vorab. ;)

AW: Frage zum Formalismus der QM
 

Nochmal nen Nachtrag zum Vorpost etwas anders:
Read more at: https://phys.org/news/2016-06-physic...imits.html#jCp

Hat das grundsätzlich speziell etwas mit den "Dichtematrizen" bzw. der "Dichtematrix" zu tun, die es in der QM gibt?

BTW: Ich habe etwas gefunden beim kurz Suchen: aber mehr als die "Überschrift" habe ich davon nicht gelesen. Verlinke das trotzdem mal -->
Quantum mechanics in metric space: wave functions and their densities
https://arxiv.org/abs/1102.2329

AW: Frage zum Formalismus der QM
 

Ich versuche mal als Laie einige Fragen zu beantworten und hoffe keine Fehler zu machen.
Ich denke der Kollaps der Wellenfunktion wird als instantan betrachtet. Eine Messung selbst hingegen benötigt immer Zeit.
(Interessanter Artikel ist bei Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Quante...nische_Messung)
Ist m.E. richtig. Die Anwendung des Operators in dem Formalismus repräsentiert das Rersultat einer Messung und gibt keine Auskunft über die Dauer.
Wenn wir bspw. den Impulsoperator nehmen, so ist er im Ortsraum -ihquer*d/dx und eine Ableitung benötigt ja in dem Sinne keine Zeit.
Auch bei einem formalen Zustandswechsel des Systems, wie c†|0>=|1> mit c† als Erzeugendenoperator spielt die Zeit keine Rolle.

Ich denke nicht. Im Zitat geht es ja um Metrik und nicht Matrizen. Aber ich weiß auch nicht um welche Metrik es da geht.
Ich kenne die Dichtematrix nur zur Beschreibung von Polarisation von Elektronen-Zuständen.

AW: Frage zum Formalismus der QM
 

Dankeschön! :) Das hilft mir weiter.
Ich schätze du hast recht. Zr Metrik: ich weiß leider nix, meine Vermutung war, dass es sich hierum handelt: https://arxiv.org/abs/1102.2329
Das könnte sich dann formal auch auf so eine 'geodesic' beziehen.
https://phys.org/news/2016-06-physic...imits.html#jCp