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Nein. Einbettungen haben beliebig viele Freiheitsgrade, die keine Auswirkungen auf die Unterräume haben. In anderen Worten, zu einem R können unendlich viele U existieren. An den U ist nichts kanonisches. Da alle Physik nur von der intrinsischen Geometrie abhängt, sind die R kanonisch.


Beispiel: Eine (intrinsisch flache) Ebene kann auf beliebig viele Arten in drei Dimensionen gebogen werden, ohne sie zu verzerren. Kannst du jederzeit mit einem Blatt Papier ausprobieren.

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Ein Beispiel dafür ist die Zylinderfläche. Diese ist laut riemannscher Geometrie flach, obwohl sie gebogen ist. Die Oberfläche einer Kugel ist dagegen gekrümmt.

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Der 2-Torus ist ebenfalls flach. Wie läßt er sich aus Papier ohne Zerreißen herstellen?

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Das ist doch ein Beispiel, wo der Einbettungsraum vier Dimensionen benötigt? Die Bezeichnung 2-Torus ist deshalb auch irreführend. Ich stelle mir unter "2-Torus" eher die Donut-Fläche vor und die ist gekrümmt.

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Beide Beispiele sind richtig, haben aber nichttriviale Topologie, also nicht R². Sie unterscheiden sich also von der Ausgangsebene.
Wichtig für mein Argument ist, dass man unendlich viele unterschiedeliche Einbettungen finden kann, die sich intrinsisch in gar nichts vom Original unterscheiden.

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OK, das ist soweit einsichtig und klar.

Es gibt also beliebig viele (laut Riemann-Geometrie) flache Objekte, zB. die Zylinderfläche, die zwar einen höherdimensionionalen Einbettungsram benötigen (in diesem Fall 3D), aber trotzdem intrinsisch 2D sind.

Nicht flache, also laut Riemann-Geometrie gekrümmte, Objekte, die einen höherdimensionalen Einbettungsraum benötigen (zB. die Kugeloberfläche) müssten aber m.E. intrinsisch 3D sein, obwohl sie nur mit einer 2D-Riemann-Geometrie beschrieben werden. Weil sie nicht verzerrungsfrei auf die niedrige Dimension (in diesem Fall 2D) zurückgeführt werden können.

Das ist der Punkt, auf den ich hinaus will. Denn dies würde bedeuten, dass die gekrümmte 4D-Raumzeit intrinsisch 5-dimensional ist.

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Wenn man die gekrümmte Oberfläche (z.B. Kugeloberfläche) und deren Eigenschaften komplett in 2D beschreiben kann, so zeigt das doch eher, dass dem Einbettungsraum keine wesentliche Bedeutung zukommt.

Man kann die Kugeloberfläche ja z.B. auch in einen zehndimensionalen euklidischen Raum isometrisch einbetten, ohne dass sich an den Eigenschaften der Kugelfläche irgendetwas ändert. Die Dimension des Einbettungsraumes ist damit, abgesehen von N >= 3, frei wählbar.

BTW: Bist Du Science-Fiction-Fan :rolleyes: ?

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Bin kein Science-Fiction Fan, zumindest kein außergewöhlich fanatischer :)
Schon klar, dass die Hyper-Raum-Analogie aus diversen Science-Fictions auf dieser Idee beruht, aber das ist nicht mein Motiv. Ich bin die letzten Jahre eher philosophisch interessiert, deswegen geht es mir um die grundsätzliche Frage nach der Ontologie von physikalischen Theorien.


Gut, deswegen habe ich anfangs bereits geschrieben, dass die mathematische Struktur der ART und somit auch der Realität mindestens 5-dimensional sein müsste. Über weitere Dimesionen möchte ich auch nicht spekulieren :)

Rein formal ist mir schon klar, dass die Riemann-Mannigfaltigkeit der ART (im Sinne der mathematischen Formulierung) 4-dimensional ist. Aber ich denke halt, dass die 5. Dim. irgendwie versteckt bzw. implizit darin vorkommt.

Viellleich nochmal eine Analogie: Man nehme ein reales physikalisches Objekt, zB. eine Billiardkugel. Dann läßt sich ihre Oberfläche mit einem 3D-Vektorraum mathematisch vollständig beschreiben. Alternativ kann man (m.E. mathematisch gleichwertig/gleichbedeutend) die Oberfläche mit einer 2D-Riemann Differentialgeometrie beschreiben. Es bleibt dann aber weiterhin die Oberfläche eines realen 3D-Objektes, d.h. die 3. Dim. verschwindet ja nicht, nur weil man mathematisch eine mögliche 2D-Beschreibung zur Verfügung hat.

Man kann also m.E. nicht argumentieren, dass die gekrümmte Raumzeit 4-dimensional ist nur weil eine geeignete mathematische Struktur zur Beschreibung dieser Raumzeit 4-dimensionalen Charakter hat.

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Das hängt davon ab, was man unter "implizit" versteht.

In den einführenden Standardwerken und-schriften zum Standardmodell der Kosmologie findet man zumindest nichts von einer fünften Dimension.

Darüberhinaus gibt es noch das etwas bekanntere RS-Modell: https://de.wikipedia.org/wiki/Randall-Sundrum-Modell